Semana 5-Ecuaciones Logaritmicas 2014-2

Facultad de Ingeniera y Arquitectura Ciclo 2014 - II

Tema: SEMANA 5

Ecuaciones Logartmicas. Aplicaciones de Ecuaciones Exponenciales

y Logartmicas.

ECUACIONES LOGARTMICAS Definicin: Si: N y b son nmeros positivos y si 1b entonces:

L

b bN LNlog

Se observa que el concepto de un exponente y el de un logaritmo son simplemente dos

formas diferentes de ver exactamente la misma cosa.

Ejemplo:

8238 32 log

PROPIEDADES: A continuacin se presentan las siguientes propiedades

1. 0 x,xx

alog

a

2. 1bb

log

3. 01b

log

4. xb

logn)nx(b

log

5. yb

logxb

log)xy(b

log

6. )y(b

log)x(b

log)y

x(

blog

7. )x(b

logn

)x(nb

log1

8. log ( ) log ( )x y x yb b

9. Cambio de base de un sistema a otro:

a

blog

xb

logx

alog

10. 1)b(x

log).x(b

log

Resolucin de una ecuacin logartmica

La ecuacin con la incgnita bajo el signo de logaritmo se llama Ecuacin

Logartmica.

Cuando se resuelve una ecuacin logartmica en la que aparecen una o varias

expresiones de la forma:

)]([log xfb

1) Se debe considerar las siguientes condiciones:

a) Base positiva y diferente de uno, es decir: 10 bb

b) 0)( xf

2) Utilizar las propiedades de logaritmos


3) Aplicar que )()(log xfLbLxfb

4) Resolver la ecuacin resultante.

5) Se sustituyen en la ecuacin original los valores obtenidos en el paso anterior y se

determinan las races extraas.

Ejemplo 1: Determinar el valor de x, en:

3log 2x

Solucin: Al usar la definicin de logaritmo se tiene que

2

3log 2 3x x Esto implica que, 9x y satisface la ecuacin. Por tanto, el CS: 9 . Ejemplo 2: Hallar el valor de x, en:

4log (2 4) 3x

Solucin: Al utilizar, la definicin de logaritmo se tiene que

3

4log (2 4) 3 2 4 4x x . En consecuencia, se resuelve la ecuacin de primer orden

32 4 4x

2 4 64x 2 60x 2 60x 30x Por consiguiente, 30x y satisface la ecuacin.

Por tanto, el CS: 30

. Ejemplo 3: Encontrar los valores de x, en:

4 4

14log ( ) 2log 3x

x


Solucin: Haciendo uso, de la Propiedad 4 se tiene que

2

4 4

14log ( ) log (3 )x

x

.

Por consiguiente, 4 4

14log ( ) log (9)x

x

Luego, al usar la propiedad 8 se tiene:

14( ) 9x

x

Al multiplicar en aspa:

2 149

x

x

2 14 9x x

2 9 14 0x x

7 7

2 2

x x

x x

Por tanto, el CS: 2;7

. Ejemplo 4: Hallar x, en:

3 38log 2log 12 0x x

Solucin: Al restar, se tiene que

36log 12x

3log 2x

Luego, al usar la definicin de logaritmo, se tiene que


23log 2 3x x

9x Esto implica que, 9x y satisface la ecuacin. Por tanto, el CS: 9 . Ejemplo 5: Resuelva la ecuacin: loglog log 6 0xx x Solucin: Al hacer uso, de la propiedad 4 se tiene que: (log )(log ) log 6 0x x x

2(log ) log 6 0x x

log 3

log 2

xaspa simple

x

Luego, (log 3)(log 2) 0x x

Por consiguiente,

3

2

log 3 10 (1 . )

log 2 10 (2 . )

x x ra solucin

x x da solucin

Por tanto, el CS: 3 210 ;10 . Ejemplo 6: Determinar los valores de x, en:

1 1

2 2 2log (9 7) log 4 log (3 1)x x

Solucin: Al utilizar, la propiedad 5 se tiene que:

1 12 2log (9 7) log 4(3 1)x x .

Luego, al usar la propiedad 8, se tiene:

1 19 7 4(3 1)x x

1 2 1(3 ) 7 4(3 1)x x


1 2 1(3 ) 4(3 ) 3 0x x

1

1

33.

13

x

xaspa simple

Esto implica que:

1

1

3 3 1 1 2(1 . )

3 1 1 0 1(2 . )

x

x

x x ra solucin

x x da solucin

Por tanto, el CS: 1;2

.

Ejemplo 7: Resolver: 1 2xlog( )

Solucin:

1 2xlog( )

21 10x 1 100x 101x

Como, 101x satisface la ecuacin, entonces el C.S. = 101

Ejemplo 8: Resolver:

2log 3 log10

xx

Solucin:

2log 3 log10

xx

2log 3 log log10

2log 3 log 1

x x

x x

2log log 2x x

log 2x 210 100x

Como, 100x satisface la ecuacin, entonces el C.S. = 100


Ejemplo 9: Resolver: 4642

312 x

logx

logx

log

1) 0 1 x x

2) 4642

312

xlog

xlog

xlog (por prop. 7)

4623412 x

log/x

logx

log

44

61223

/x

.log

49 x

log

3) 94 x

4) 32 x

03 22 x 033 xx 3 3 xx (No se toma porque 0 1 x x )

Pero, 3x

Por lo tanto, C.S = { 3 }

Ejemplos 10: Resolver: 22 2log (log ) 2x

Solucin:

22 2log (log ) 2x

2 22log 2x Aplicando la definicin de logaritmo

22log 4x

2 42x

2

2

16

16 0

( 4)( 4) 0

x

x

x x

4x 4x

Las dos satisfacen en la ecuacin, entonces:

C.S = 4, 4


Ejemplos 11: Resolver: 2log 2 log 11 2log(5 )x x

Solucin:

2 2log 2. 11 log(5 )x x

2 2log 22 2 log(25 10 )x x x 2 222 2 25 10x x x

20 3 10 3x x 0 ( 3)(3 1)x x

3x 1

3x

Las dos cumplen en la ecuacin.

C.S =1

, 32

EJERCICIOS PROPUESTOS

I. Resuelve las siguientes ecuaciones logartmicas.

NIVEL I

1. 4log (7 15) 3x

2. 3log (4 5) 3x

3. 2 21

4log ( ) log 2562

x

4. log( 1) log( 2) 2log( 3)x x x

5. 2 64

3log log 2log( 2)4 27

xx

6. log( 8) log( 1) 18x x

7. 3 9log log 2x x

8. 5 5 52 1

log ( 3) 3log 4 log ( 3)3 3

x x

9. 2(log 9) 4(log 9) 4 0x x

10. 5 3 72log 2log 2 log 45 3 7x x

11. 2log(2 log ( 3)) 0x

12. log( 5) log( 4) 1x x

13. log(5 20) log17 1x

14. 6 6 6log ( 7) log 27 log 4x

15. 4log5 4x

16. 23 3log ( 6 ) log 9x x

17. 2 3 62 2 2 2 2log 4 log 4 log 4 ... log 4 log 4

x

18. 4 1

log 27

x

19. 3log log8 2logx x

20. 25log 2log log512x x


NIVEL II

II. Resolver las ecuaciones y los sistemas de ecuaciones logartmicas

1. 4 3 2log (log (log )) 0x

2. log logx x

3. 3log(35 )

3log(5 )

x

x

4. 26 3log ( 5 ) log 9x x

5. 1 1

log log log2 2

x x

6.

2log

63 3log 2

x

x

7. Resolver el siguiente sistema

log(9 ) log(3 )

log log

9 3x y

x yx y

8. En el siguiente sistema

log

10 10 1

.10 10

x y

x y

x y x

x

Calcular x

9. Resolver el sistema

4 2

2 2

log log 0

4 5

x y

x y

10. Si: 10 3x , calcular:

M= 3 62log loglog

log (3 4 6 )x xx

x

11. Hallar un nmero tal que el doble de su logaritmo en base 10 exceda en una

unidad al logaritmo en base 10 de dicho nmero aumentado en 11/10.

12. log4 loglog3 loglog81x

13. log 6log( ) log 16 0xx x

14. 3log (1 log ) 8loga x xx a a

15. (1 log 1 log ) 5a xx a


APLICACIONES DE LAS ECUACIONES EXPONENCIALES Y

LOGARITMICAS

1. ptica Si un cristal obstruye 5% de la luz que pasa a travs de l, el porcentaje

p de la luz que pasa por n cristales sucesivos est dado aproximadamente

por la siguiente ecuacin: 0.05100 np e . Qu porcentaje de la luz pasar a

travs de 20 cristales? y a travs de 30?

2. Presin atmosfrica La presin atmosfrica p sobre un globo o un avin

disminuye al aumentar la altura. Esta presin, medida en milmetros de mercurio,

se relaciona con el nmero de kilmetros h sobre el nivel del mar mediante la

frmula: 0.125550 hp e . Determine la presin atmosfrica a una altura de 4km.

Cul es la presin a una altura de 15km?

3. Satlites espaciales El nmero de vatios w proporcionados por la fuente de energa de un satlite espacial despus de un periodo de das est dado por la frmula:

0.00260 dw e Cunta energa estar disponible despus de 2 meses? Cunta energa estar

disponible despus de dos aos (un ao equivale a 365 das)?

4. Corriente alterna en un circuito RL. La ecuacin que gobierna la cantidad de corriente I (en amperios) despus de un tiempo t (en segundos) en un circuito RL

individual, el cual consta de una resistencia R (en ohms), una inductancia L (en

henrios) y una fuerza electromotriz E (en voltios), es ( )1 R L tE

I eR

. Si:

E =120voltios, R = 20 ohms, y L=10 henrios, Cunta corriente I1 est disponible

despus de 0.50 segundos? Despus de 0.1 segundos? y luego de 1 segundo?

Cul es la corriente mxima? Si: E =120 voltios, R = 5 ohms, y L = 10 henrios,

cunta corriente I2 est disponible despus de 0.3 segundos? Despus de 0.5

segundos? y luego de un segundo? Cul es la corriente mxima?

5. ptica Si un solo cristal obstruye el 20% de la luz que pasa por l, entonces el porcentaje de luz que pasa a travs de n cristales consecutivos est dado

aproximadamente por la ecuacin:

0.2100 np e

Cuntos cristales son necesarios para bloquear al menos un 50% de la luz? y para

bloquear al menos el 85% de la luz?

6. Satlites espaciales El nmero de vatios w proporcionados por la fuente de energa de un satlite espacial despus de un periodo d de das est dado por la frmula

0.00260 dw e Cunto tiempo transcurre hasta que la energa disponible llega a 30 vatios? Y

hasta que desciende solamente a 5 vatios?


7. Corriente alterna en un circuito RL La ecuacin que gobierna la cantidad de corriente I (en amperios) despus de un tiempo t (en segundos) en un circuitoR1

individual, el cual consta de una resistencia R (en ohmios), una inductancia L

(en henrios) y una fuerza electromotriz E (en voltios) es:

( )1 R LE

I eR

Si E =12 voltios, R =10 ohmios y L =5 henrios, Cunto tiempo transcurre antes de

obtener una corriente de 0.5 amperios? y de 1 amperio?

8. Crecimiento de una funcin exponencial Suponga que se le ofrece un trabajo de un mes, donde se le pagara bien. Cul de las formas de pago siguientes resultan ms

redituables para usted? Un milln de dlares al final del mes. Tres centavos el

primer da del mes, 9 centavos el segundo da, 29 centavos el tercero y, en general,

3n centavos el da n?

9. Bacterias El nmero de bacterias en un cultivo est dado por la frmula: 0.05( ) 300 tn t e , donde t se mide en horas. Cul es la poblacin inicial del

cultivo? Cuntas bacterias contendr el cultivo al tiempo 10t ?

10. Velocidad Un paracaidista deportivo desde una altura razonable. La resistencia del aire que experimenta es proporcional a su velocidad, y la constante de

proporcionalidad es 0.3. Se demuestra que la velocidad del paracaidista en el

tiempo t est dada por:

0.3( ) 70( 1)tv t e

Donde t se mide en segundos y v(t) se mide en pies por segundo (pies/seg.).

Determinar la velocidad inicial del paracaidista. Determinar la velocidad despus

de 15 y 20 segundos.

11. Poblacin de conejos. Suponga que la poblacin de conejos se comporta de acuerdo con la frmula de crecimiento logstico:

0.6

0

400( )

4000.05

0.05

t

n t

en

Donde, n0 es la poblacin inicial. Cul ser la poblacin despus de 10 aos?

12. Poblacin de aves. La poblacin de una especie de ave est limitada por el tipo de habitad necesario para la anidacin. La poblacin esta modelada por la frmula de

crecimiento logstico:

0.044

5000( )

0.5 27.5 tn t

e

Donde, t se mide en aos. Determine la poblacin inicial de aves?

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