Semana 6mod

Lic. Fis. Carlos Levano Huamaccto

CICLO 2011-I Módulo:Unidad: 6 Semana: 6

FISICA I

CONSERVACION DE LA ENERGIA MECÁNICA

CONTENIDOS

• Energía Potencial• Impulso• Conservación de la Cantidad de Movimiento• Choques• Coeficiente de Restitución• Choques en dos dimensiones• Centro de Masa

ENERGÍA POTENCIALUn cuerpo que está a una determinada altura tiene energía. Esa energía es igual al trabajo que la fuerza peso puede realizar si se deja caer al cuerpo desde esa altura.

¿ Y cuánto vale el trabajo que puede realizar la fuerza peso ?

Bueno, el trabajo realizado por una fuerza es w=F d

Ep = P ⋅ h ó m ⋅ g ⋅ h

Esta Ep que tiene el objeto es con respecto al piso. Al calcular energías potenciales, uno siempre tiene que indicar el nivel de referencia, es decir, el lugar desde donde uno empieza a medir la altura.

U, Energía potencial de un resorte en Joule,K, constante de rigidez del resorte N/mX, lo que se ha estirado.

Ejemplo : Calcular la Epot del cuerpo que está arriba de la mesa.

hgmEp ⋅⋅=

ms

mKgEp 18,91

2⋅⋅=⇒

Joule 9,8E

l

p =⇒

NOTA: La energía potencial en realidad se llama “Energía potencial gravitatoria “ .

Yo la voy a llamar solamente “ energía potencial ”. Esto lo hago para abreviar, nada más.

La Em de un sistema en un momento determinado es la suma de la energía cinética, más la potencial que el tipo tiene en ese momento. ( Esto es una definición ). Es decir:

Em = Ec + Ep Energía mecánica.

Ejemplo: Calcular la Energía Mecánica del Carrito en el punto A.

La energía mecánica del carrito en el punto A va a ser la suma de las energías cinética y potencial.

EMA = ECA + EPA

( ) ms

mKgsmKgEmA 18,9212

2

2

21 ⋅⋅+⋅=⇒

JouleEmA 6,20 =⇒

Ejemplo: Se Empuja al carrito dándole velocidad de manera que su energía cinética inicial es de 0.2 Joule. El carrito cae luego por la pendiente calcular la energía Mecánica del carrito en los puntos A, B y C. Datos: m = 1 Kg

La energía mecánica en el punto A va a ser: EMA = ECA + EPA

Joule 0,2 18,9 1 2 +⋅⋅=⇒ ms

mKgE Am

JouleE Am 10 =⇒

EN EL PUNTO B:

BBBm hgmvmE ⋅⋅+⋅=⇒ 2

21

( ) ms

mKgsmKgE Bm 5,08,9111

2

221

⋅⋅+⋅=⇒ JouleE Bm 4,5 =⇒

EN EL PUNTO C:

0 =⇒ CmE

¿ Pero cómo ? . ¿ No era que la energía siempre se conservaba ?. ¿ No era que no se perdía sino que sólo se transformaba de una forma en otra ?.

Y bueno, justamente. Toda la energía mecánica que el tipo tenía se transformó en calor. El calor también es energía ( energía calórica ).

Una fuerza es conservativa si hace que la energía mecánica del sistema no cambie mientras ella actúa. O sea, una fuerza conservativa hace que la energía mecánica se conserve. ( De ahí viene el nombre )

Emi = Emf

Bueno, inicialmente su energía potencial vale m

g ⋅ h y a medida que va cayendo la va perdiendo. Pero atención con esto: Pierde

energía potencial...

¡ pero va ganando energía cinética !

. 6,1928,9120 Joulems

mKghgmEPot =⋅⋅=⋅⋅=

Situaciones Problemáticas

( ) JsmKgvmE ffc 6,1926,61 2212

21

=⋅=⋅=

La energía mecánica no se modificó. Se mantuvo igual. Se conservó. Digo entonces que la fuerza peso es una fuerza conservativa.

1ª FUERZA NO CONSERVATIVA: El Rozamiento

2ª FUERZA NO CONSERVATIVA: Una Fuerza Exterior.

← Una fuerza exterior.

Inicialmente la Ecin del carrito vale cero y al final NO.

.El bloque de 1kg se deja caer

desde la posición mostrada,

sobre un resorte de constante

K=1600 N/m. Determine la

máxima compresión del resorte.

(g=10 m/s2)

1 k g

3 m

K

EJEMPLOS DE APLICACIÓN

2.Un cuerpo de 2kg de masa sube

una pista circunferencial, tal como

se muestra en la figura. Si el

cuerpo alcanza una altura máxima

de 0,5m. ¿Cuál es el trabajo

realizado por las fuerzas de

rozamiento.

h

C

V = 5 m / s

.Un bloque parte de “A” sin velocidad inicial y se desliza,

como muestra la figura. ¿Qué distancia “S” recorre en la

parte plana si solamente hay rozamiento en esta parte?A

5 m

m

µ = 0 , 2

s

.De una altura de 5m con respecto al extremo libre de su

resorte (ver figura) se lanza una piedra de 2kg con

velocidad de 10m/s. ¿Cuál es la constante elástica del

resorte si éste comprime 1m por acción del choque?

lllllll

5 m

5.Una bala de 0,15kg con rapidez de 200m/s penetra

en una pared de madera deteniéndose al recorrer 0,3 m.

La magnitud de la fuerza media que detiene la bala es.

MOMENTUM LINEAL

Es una magnitud vectorial definida como el producto de la masa de un

cuerpo y su velocidad.

Unidades

Donde: p =Cantidad de movimiento(vectorial)

V=Velocidad(vectorial)

m=masa(escalar)

P:Kg.m/s

Reemplazando valores se obtiene:

Sabemos que:p =mV

Si m=2kg y V=5m/s ; Calcular p.

Ejercicios Resueltos

Solución

Es una magnitud vectorial definida como el producto de la fuerza que actúa sobre un cuerpo y el intervalo de tiempo que dura la acción de la fuerza.

Donde: F=Es el valor de la fuerza( vectorial)

t=Es el intervalo de tiempo que dura la acción de la fuerza(escalar)

I=Es el valor del impulso(vectorial)

Unidades

I=Ft

I: N s

→

1V→I

→F

→

2Vt

Sabemos que:

Si F=10N y t=0.02s, entonces I es:

I=Ft


I=(10N)(0.02s)


Solución

→

1V→I

→F

→

2Vt

IMPULSO.-“La impulsión de la fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo es igual al incremento de la cantidad de movimiento del cuerpo”

→F

→

2V→a

Las relaciones anteriores se pueden expresar en forma vectorial, es decir:

∑ = amF

Sabemos que:

Entonces:

El impulso es:

∑ −= )()( 12 ttFI

pI;tFI

∆==

m=4kg

V2=2m/s

V1=4m/s


2400NF

:queda F, Finalmente01.0

24

01.0

168

01.0

4(-4)-4(2)F

:obtiene se F Despejando

;mV-mV)V-m(VFtI 1212

=

=+==

===Sabemos que:


Hallar la fuerza media en el choque; si dura 1 centésimo de segundo.

La velocidad de impacto es hacia la izquierda, entonces se considera negativa y la del rebote es a la derecha entonces es positiva.

Solución

PIp-pI 12 ∆=⇒=

A un péndulo de madera se le golpea con un pedazo de fierro con una fuerza de 600N, el impacto dura 0.01s. Si la masa de la madera es de 10Kg. ¿Cuál será la velocidad que adquiere?


Solución

1212 mV-mV)V-m(VFtI ===

Aplicando el teorema de la cantidad de movimiento:


(600N)(0.01s)=10kg(V2 - 0); 6Ns=10kg(V2)

Área= IMPULSION

A) FUERZA VARIABLE

∫=1

o

t

t

FdtIMPULSO

LA MAGNITUD DEL IMPULSO ES:

F

Área= F.(t2 - t1)

SE CUMPLE Área= IMPULSION

B) FUERZA CONSTANTE

.Cuando un cohete es lanzado, la fuerza que permite su impulso es

F=100+400t-800t2 donde t esta en segundos y F en Newton, si el intervalo de

tiempo de lanzamiento es 2seg. calcular: a)El impulso realizado para el

lanzamiento del cohete, b)La fuerza promedio durante el impulso. Solución

∫=1

o

t

t

FdtIMPULSO

Sabemos que:


400N.sI

2400-8002000)3

2900()

2

2400(1000(2)I

)3

t900()

2

t400(1000(t)I

)dt900t-400t(1000FdtI

32

32

2

0

22

0

=

+=−+=

−+=

+== ∫∫

Fuerza promedio: ∫=1

o

t

t

_

FdtΔt

1F 200N

2

400Fdt

Δt

1F

1

o

t

t

_

=== ∫

Ejemplos

Solución

) m/s(k4j3i2v→→→→

+−=

Sabemos que:

2.Una partícula de masa m=1kg en el instante t1=0 tiene una velocidad de:

∫→

=1

o

t

t

dtFIMPULSO

luego inmediatamente actúa sobre la masa la fuerza New) kt3jt4i3(F 2→→→→

+−= durante 1 segundo; luego la velocidad de la partícula al cabo de 1seg, será

)V-Vm(I 12

→→=


2

1

0

1 VmdtFVm →→→

=+ ∫

2

1

0

2 V(1))dt k3tj4t-i(3) k4j3-i(1)(2 →→→→→→→

=+++ ∫

“Cuando sobre el sistema no actúa ninguna fuerza resultante exterior, la cantidad de movimiento del sistema permanece constante tanto en magnitud, como en dirección y sentido”

CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

→

1V →

2V→

2Vm1 m2

→

1F→

2F m1 m2

→

4V→

3Vm1 m2

ANTES DEL CHOQUE

CHOQUE

DESPUES DEL CHOQUE

La Cantidad de movimiento total inicial es igual la Cantidad de movimiento total Final

CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

La Ley de la conservación de la cantidad de movimiento es una igualdad vectorial que se puede expresar en forma escalar si todas las velocidades están dirigidas a lo largo de una misma recta, es decir:

42312211 vmvmvmvm +=+

Es el fenómeno de la colisión entre dos cuerpos, en el que aparecen fuerzas de acción y reacción de gran magnitud, que actúan durante un brevísimo lapso de tiempo.

Choques Elásticos ( e = 1 )

Choques Inelásticos ( 0 < e < 1 )

Choques perfectamente inelásticos ( e = 0 )

“En los choques, la ley de la conservación de la cantidad de movimiento se cumple en todos los casos, mientras que la Ley de Conservación de la Energía no siempre se cumple”

CHOQUES

COEFICIENTE DE RESTITUCION (e)

Es un numero que establece la relación entre las velocidades relativas de los cuerpos después y antes del choque.

2

43

V-V1

VVe

−−=

→

1V→

2V ANTES DEL CHOQUE

→

2V

m1 m2

→

3V→

4V DESPUES DEL CHOQUE

m1 m2

Nota

•e=0, En choques perfectamente inelásticos

•e=1, En choques elásticos

• 0 < e < 1 Choques Inelásticos

La figura muestra la colisión de los bloques 1 y 2. Entonces, el coeficiente de restitución entre los bloques es:

20m/s

1

V=0

2

12m/s

1 2

16m/s

Solución:

2

43

V-V1

VVe

−−=

2.0)20

4(

0-20

1612e =−−=−−=

Sabemos que :



Este es el caso en el que la energía cinética total antes del choque es igual a la energía cinética después del choque.

CASO1: CHOQUES ELASTICOS ( e = 1 )

CHOQUE

DESPUES DEL CHOQUE

CONSERVACION DE LA ENERGIA CINETICALa energía cinética antes del choque es igual a después del choque

242

231

222

211 vm

21

vm21

vm21

vm21 +=+

CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTOLa Cantidad de movimiento antes del choque es igual a después del choque

42312211 vmvmvmvm +=+

No hay desprendimiento de calor

Dos “canicas” de masas iguales van a realizar un choque elástico y

unidimensional. Si una de ellas esta en reposo y la otra posee una

velocidad de 4m/s antes del choque, determinar las velocidades que

adquieren después del choque.

Solución:

Aplicando el principio de conservación de la cantidad de movimiento

42312211 VmVmVmVm +=+

V2=0V1=4m/s

Como las masas son iguales, m1=m2=m, se tiene

(4)m +(0)m = mV3+ mV4

V3+ V4 = 4 ..............( 1 )Como el choque es perfectamente elástico(e=1)

)2...(.................... 4VV

10-4

VV

V-V1

VVe

43

43

2

43

−=−

=−

−=−

−=

NOTA: Este caso se ve en el choque de bolas de billar, en la cual tienen masas iguales y una de ellas está en reposo; entonces las partículas intercambian velocidades

Ejemplos de choque elástico

CASO 2: CHOQUES INELASTICOS ( 0 <e < 1 )

ANTES DEL CHOQUE

CHOQUE

DESPUES DEL CHOQUE

CONSERVACION DE LA ENERGIA CINETICALa energía cinética total no es constante

CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO La Cantidad de movimiento antes del choque es igual a después del choque

42312211 vmvmvmvm +=+

Coeficiente de restitución ( e):

NOTA: El choque de una pelota de plástico con una superficie dura es inelástico, porque un poco de energía cinética se pierde cuando esta se deforma mientras está en contacto con la superficie. Depende del material de los cuerpos que chocan.

En este caso los cuerpos permanecen adheridos “se pegan” después de la colisión.

CASO 3: CHOQUES PERFECTAMENTE INELASTICOS

→

1V →

2V→

2V

→

4V→

3V

m1 m2

m1 m2

ANTES DEL CHOQUE

CHOQUE

DESPUES DEL CHOQUE

Se cumple V3=V4

Por conservación de la cantidad de movimiento y si V3=V4=V entonces:

)vmm(vmvm 212211 +=+

Durante este tipo de interacción, parte de la energía cinética se transforma en calor

Dos masas disparadas en sentidos contrarias, tal como se muestra en la figura,

chocan y quedan pegadas ¿Cuál será la velocidad del conjunto? si los datos son:

m1 = 50g; V1 = 100 m/s ; m2 = 40g; V2 =60 m/s

m2m1

Solución:

Aplicando el principio de conservación de la cantidad de movimiento

Como las masas quedan pegadas se cumple, V4 = V3 = V, se tiene

(50g)(100m/s) - (40g)(60m/s) = (50g)V+ (40g)V

(5000 -2400 )g.m/s= 90g(V) 2600 g.m/s = 90g(V)

42312211 VmVmVmVm +=+

Finalmente la velocidad(V) que se obtiene es:

V = 28.89m/s

Ejemplo de choque perfectamente inelástico

COLISIONES EN DOS DIMENSIONES

Para el caso de dos dimensiones la conservación del momento se expresa

para cada componente como:

m1v1ix + m2v2ix = m1v1fx + m2v2fx

m1v1iy + m2v2iy = m1v1fy + m2v2fy


m1

m2

v1i

v2f

v1f

Antes de la colisión Después de la colisión

v2i


onsideraremos el caso en que m2 está en reposo

inicialmente. Después del choque m1 se mueve a un ángulo

θ con la horizontal y m2 se mueve a un ángulo φ con la

horizontal. Las ecuaciones anteriores quedan como:

1v1i = m1v1fcos θ + m2v2fcos φ

= m1v1f senθ − m2v2fsen φ


La ley de la conservación de la energía suministra otra ecuación. Sin embargo, dadas las masas y la velocidad inicial deberá darse alguna de las cantidades restantes v1f,v2f, φ, θ.

2222

12112

12112

1ffi vmvmvm +=

jemplo.-Un auto de 1500Kg a 25 m/s hacia el este choca con una camioneta de 2500Kg que se mueve hacia el norte a 20m/s en un cruce. Encuentre la magnitud y dirección de la velocidad de los autos después del choque, suponga un choque perfectamente inelástico.

25 m/s

20 m/s

vf

Momento en x:

Antes Después

(1500 kg)(25 m/s) = (4000 kg) vf cos(θ)

Momento en y:

Antes Después

(2500 kg)(20 m/s) = (4000 kg) vf sen(θ)

Resolviendo

θ = 53.1° vf = 15.6 m/s

EJERCICIOS

1.Un bloque de masa m1=1.6kg, moviéndose hacia la derecha con una velocidad de 4m/s sobre un camino horizontal sin fricción, choca contra un resorte sujeto a un segundo bloque de masa m2=2,1kg que se mueve hacia la izquierda con una velocidad de 2,5m/s. (k=de 600N/m). En el instante en que m1 se mueve hacia la derecha con una velocidad de 3m/s determine: a) la velocidad de m2 b) la distancia x que se comprimió el resorte

DINAMICA DE UN SISTEMA DE PARTICULAS

Las fuerzas internas se anulan…..

CENTRO DE MASA

M

m

m

m ii

i

iiCM

∑∑∑ ==

rrr

m1

m2

mn

mi

r1

r2 ri

rn

rCM

x

y

z

El centro de masa de un sistema de partículas es un punto en el cual parecería estar concentrada toda la masa del sistema.

MOVIMIENTO DE UN SISTEMA DE PARTICULAS

M

m

dt

dm

Mdt

d

iiCM

ii

CMCM

∑∑

=

==

vv

rrv

1

∑∑ === totiiiCM mM ppvv

ACELERACIÓN DE CENTRO DE MASA

∑∑ === iii

iCM

CM mMdt

dm

Mdt

da

vva

11

De la segunda ley de Newton:

∑∑ == iiiCM mM Faa

dt

dM tot

CMext

paF ==∑

Tomando en cuenta la 3era. Ley de Newton:

El centro de masa se mueve como una partícula imaginaria de masa M bajo la influencia de la fuerza externa resultante sobre el sistema.

Ejemplo: Calcular el centro de masa de la barra.

Por ser un objeto simétrico zcm = 0 ycm = 0

Consideremos una densidad lineal de masa

Si dividimos la barra en elementos de longitud dx, entonces la masa de cada elemento es

Ejemplo: Por ser un objeto simétrico respecto al eje Z, las coordenadas x , y, del centro de masas serán nulas:xcm = 0 ycm = 0

Por semejanza de triángulos:

GRACIAS

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