SEMEJANZA Descripción: Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma “forma”, pero no...
-
Upload
daniel-coronel-escobar -
Category
Documents
-
view
222 -
download
0
Transcript of SEMEJANZA Descripción: Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma “forma”, pero no...
![Page 1: SEMEJANZA Descripción: Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma “forma”, pero no necesariamente el mismo tamaño La idea de la “misma forma”](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022012919/5665b4ce1a28abb57c93d6e4/html5/thumbnails/1.jpg)
SEMEJANZA
![Page 2: SEMEJANZA Descripción: Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma “forma”, pero no necesariamente el mismo tamaño La idea de la “misma forma”](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022012919/5665b4ce1a28abb57c93d6e4/html5/thumbnails/2.jpg)
Descripción: Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma “forma”, pero no necesariamente el mismo tamaño
La idea de la “misma forma” aparece en las ampliaciones o reducciones.
![Page 3: SEMEJANZA Descripción: Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma “forma”, pero no necesariamente el mismo tamaño La idea de la “misma forma”](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022012919/5665b4ce1a28abb57c93d6e4/html5/thumbnails/3.jpg)
¿ Qué observas ?10 cm
5 cm
4 cm 8 cm
![Page 4: SEMEJANZA Descripción: Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma “forma”, pero no necesariamente el mismo tamaño La idea de la “misma forma”](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022012919/5665b4ce1a28abb57c93d6e4/html5/thumbnails/4.jpg)
¿Cómo expresamos matemáticamente esta idea de la “ misma forma”?
La respuesta es comparando el largo y el ancho de ambas fotografías :Las razones entre el ancho y el largo de cada foto son iguales; es decir:
las dos fotografías son:
¿IDÉNTICAS O SEMEJANTES ?
cm
cm
cm
cm
10
5
8
4
Así es, ya que los productos “cruzados” son iguales10 x 4 = 8 x 5
![Page 5: SEMEJANZA Descripción: Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma “forma”, pero no necesariamente el mismo tamaño La idea de la “misma forma”](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022012919/5665b4ce1a28abb57c93d6e4/html5/thumbnails/5.jpg)
Dos figuras son semejantes porque:
1º Tienen la misma forma, por ampliación o por reducción.
2° Tienen diferente tamaño, porque los lados de la figura mayor son una ampliación en forma proporcional de los lados de la figura menor, manteniéndose constante los
ángulos.
![Page 6: SEMEJANZA Descripción: Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma “forma”, pero no necesariamente el mismo tamaño La idea de la “misma forma”](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022012919/5665b4ce1a28abb57c93d6e4/html5/thumbnails/6.jpg)
No son figuras semejantes
![Page 7: SEMEJANZA Descripción: Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma “forma”, pero no necesariamente el mismo tamaño La idea de la “misma forma”](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022012919/5665b4ce1a28abb57c93d6e4/html5/thumbnails/7.jpg)
¿Qué elementos determinan la semejanza de las figuras?
![Page 8: SEMEJANZA Descripción: Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma “forma”, pero no necesariamente el mismo tamaño La idea de la “misma forma”](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022012919/5665b4ce1a28abb57c93d6e4/html5/thumbnails/8.jpg)
Dos figuras son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales.
Los elementos que se corresponden (puntos, segmentos, ángulos …) se llaman “homólogos”.
¿Qué elementos determinan la semejanza de las figuras?
![Page 9: SEMEJANZA Descripción: Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma “forma”, pero no necesariamente el mismo tamaño La idea de la “misma forma”](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022012919/5665b4ce1a28abb57c93d6e4/html5/thumbnails/9.jpg)
Triángulos semejantes
Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son, respectivamente, iguales y sus lados homólogos son proporcionales.
![Page 10: SEMEJANZA Descripción: Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma “forma”, pero no necesariamente el mismo tamaño La idea de la “misma forma”](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022012919/5665b4ce1a28abb57c93d6e4/html5/thumbnails/10.jpg)
Dado un triángulo de lados 4m, 5m y 6m.
Multiplica cada uno de los lados por 3.
x 3
Los lados del triángulo se han triplicado.
4m5m
6mA
B
C
18m
15m
12m
P
Q
R
![Page 11: SEMEJANZA Descripción: Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma “forma”, pero no necesariamente el mismo tamaño La idea de la “misma forma”](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022012919/5665b4ce1a28abb57c93d6e4/html5/thumbnails/11.jpg)
11
Identificamos algunos elementos :
RAZÓN DE SEMEJANZA : 3
LADOS HOMÓLOGOS AB BC AC
PQ QR
PR
![Page 12: SEMEJANZA Descripción: Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma “forma”, pero no necesariamente el mismo tamaño La idea de la “misma forma”](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022012919/5665b4ce1a28abb57c93d6e4/html5/thumbnails/12.jpg)
Criterios de semejanza de triángulos
Existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triángulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus ángulos.
Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triángulos
![Page 13: SEMEJANZA Descripción: Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma “forma”, pero no necesariamente el mismo tamaño La idea de la “misma forma”](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022012919/5665b4ce1a28abb57c93d6e4/html5/thumbnails/13.jpg)
Existen tres criterios de semejanza de triángulos
1. AA ( ángulo-ángulo)2. LLL (lado-lado-lado)3. LAL (lado-ángulo-lado)
![Page 14: SEMEJANZA Descripción: Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma “forma”, pero no necesariamente el mismo tamaño La idea de la “misma forma”](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022012919/5665b4ce1a28abb57c93d6e4/html5/thumbnails/14.jpg)
Primer criterio : AA Dos triángulos que tienen los dos ángulos
congruentes son semejantes entre sí.
A´
B´C’
A
BC
´
´
´
Es decir: Si ´ ,
´ de lo anterior se deduce que
´Entonces, ABC semejante con A´B´C´
![Page 15: SEMEJANZA Descripción: Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma “forma”, pero no necesariamente el mismo tamaño La idea de la “misma forma”](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022012919/5665b4ce1a28abb57c93d6e4/html5/thumbnails/15.jpg)
Ejemplo
¿Son los siguientes triángulos semejantes?
¡SI!Por que al tener dos de
sus ángulos congruentes, cumplen con el criterio AA
65° 25°
A
BC
Q
25°
65°
PR
![Page 16: SEMEJANZA Descripción: Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma “forma”, pero no necesariamente el mismo tamaño La idea de la “misma forma”](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022012919/5665b4ce1a28abb57c93d6e4/html5/thumbnails/16.jpg)
Segundo criterio: LLL
Dos triángulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre sí.
A´
B´C’
A
BC
aa´
El cociente obtenido de comparar los lados homólogos entre sí recibe el nombre de
razón de semejanza.
Es decir:aa´ = b
b´ = cc´ =K
b b´
c
c´
![Page 17: SEMEJANZA Descripción: Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma “forma”, pero no necesariamente el mismo tamaño La idea de la “misma forma”](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022012919/5665b4ce1a28abb57c93d6e4/html5/thumbnails/17.jpg)
Ejemplo :
Determine si los triángulos ABC y PQR son semejantes
Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales
1,5 3 = =
3,5 7
510
A
BC
1,5
3,5
5
P
Q
R
3
7
10Efectivamente , así es, ya que los productos la razón entre
los lados correspondientes es constante
Por lo tanto Triángulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL
= 0,5
![Page 18: SEMEJANZA Descripción: Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma “forma”, pero no necesariamente el mismo tamaño La idea de la “misma forma”](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022012919/5665b4ce1a28abb57c93d6e4/html5/thumbnails/18.jpg)
Tercer criterio:LAL
Dos triángulos que tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es igual, son semejantes entre sí.
A’
B’C’
A
BC
Es decir:
aa’
aa’ = c
c’
c
c’
y = ’
´
Entonces ABC semejante aA’B’C’
![Page 19: SEMEJANZA Descripción: Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma “forma”, pero no necesariamente el mismo tamaño La idea de la “misma forma”](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022012919/5665b4ce1a28abb57c93d6e4/html5/thumbnails/19.jpg)
Ejemplo :
¿Son los triángulos ABC y DEF semejantes?
Veamos si dos de sus lados son proporcionales
39
= 412
Efectivamente así es, ya que los productos
“cruzados” son iguales
3 • 12 = 4 • 9
¿Los ángulos formados por estos dos lados son congruentes?
Por criterio LAL Triángulos ABC y DEF son SEMEJANTES
Efectivamente, porque, tal como se señala en el dibujo, ambos son rectos
A
BC
4
3
D
E
F
9
12
![Page 20: SEMEJANZA Descripción: Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma “forma”, pero no necesariamente el mismo tamaño La idea de la “misma forma”](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022012919/5665b4ce1a28abb57c93d6e4/html5/thumbnails/20.jpg)
Mediante la semejanza de triángulos se pueden calcular distancias inaccesibles. Por ejemplo, para calcular la altura de un árbol se hace lo siguiente:
A
E
D
C
B
Los triángulos ABC y ADE son semejantes, lo cual se denota así:
Aplicaciones de la semejanza de triángulos
ABC CDE
![Page 21: SEMEJANZA Descripción: Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma “forma”, pero no necesariamente el mismo tamaño La idea de la “misma forma”](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022012919/5665b4ce1a28abb57c93d6e4/html5/thumbnails/21.jpg)
A
E
D
C
BA
Al separar los triángulos de la figura anterior se tiene lo siguiente:
En ellos se tiene: , ,A A B D C D
AB AC BC
AD AE DE
Dado que las longitudes en el piso y la longitud en el asta se pueden medir, entonces usando una de las proporciones anteriores se obtiene la altura del árbol. Observe:
yAB AD DE
BC
E
![Page 22: SEMEJANZA Descripción: Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma “forma”, pero no necesariamente el mismo tamaño La idea de la “misma forma”](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022012919/5665b4ce1a28abb57c93d6e4/html5/thumbnails/22.jpg)
AB BC AB DEBC
AD DE AD
F
ED
C
BA
A D
B E
C F
A D
B E
C F
AB DE
BC EF
AC DF
, ,A D B E C F
Supóngase que
Entonces, se tiene
En la semejanza de triángulos; la igualdad de las medidas de los ángulos, define una correspondencia entre los vértices, los ángulos y entre los lados de los triángulos. Dichas correspondencias se denotan con una flecha de doble punta , lo cual se lee “se corresponde con”. Observe:
Dos triángulos son semejantes, si sus ángulos correspondientes tienen la misma medida y si sus lados correspondiente son proporcionales.
, ,A D B E C F
ABC CDE AB AC BC
DE DF EF
F
![Page 23: SEMEJANZA Descripción: Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma “forma”, pero no necesariamente el mismo tamaño La idea de la “misma forma”](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022012919/5665b4ce1a28abb57c93d6e4/html5/thumbnails/23.jpg)
La sombra que una persona proyecta al alejarse de un farol es 1/3 de su distancia al poste del farol. Si la persona mide 1.70 m y la punta de la sombra dista de dicho poste 12 m, ¿qué altura tiene el farol y qué longitud tiene la sombra?
Un topógrafo desea medir el ancho de una montaña, por donde se pretende hacer un túnel desde un punto A hasta un punto B, opuesto a ella y visibles ambos desde un punto C en la llanura, como se muestra en la figura adjunta. Para ello él localiza los puntos D y E de modo que
Calcule la longitud del túnel.
AC BC
CE CD
![Page 24: SEMEJANZA Descripción: Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma “forma”, pero no necesariamente el mismo tamaño La idea de la “misma forma”](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022012919/5665b4ce1a28abb57c93d6e4/html5/thumbnails/24.jpg)
Se dispone de dos tirantes, uno de 30 m y otro de 25 m, para contener un puente de 33 m de largo como se muestra en la figura adjunta, en donde .
Entonces:
¿A qué distancia está el punto C de las bases de los postes ?
Si , ¿cuánto mide el poste ?.
B E
yAB DE
24AB DE
31 D
C
BA
¿Cuál de los segmentos de la figura mide ?
3
![Page 25: SEMEJANZA Descripción: Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma “forma”, pero no necesariamente el mismo tamaño La idea de la “misma forma”](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022012919/5665b4ce1a28abb57c93d6e4/html5/thumbnails/25.jpg)
Dos triángulos son semejantes, si dos ángulos de uno miden lo mismo que dos ángulos del otro.
D
C
BA
E
Si , ¿son semejantes los triángulos ABC y DEC ?AB DE
Si la razón de los lados correspondientes es uno, los triángulos son congruentes.
D
C
BA E
FEl símbolo de congruencia es y se lee “ es congruente con”.
,ABC DEF
porque: 1AB BC AC
DE EF DF
![Page 26: SEMEJANZA Descripción: Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma “forma”, pero no necesariamente el mismo tamaño La idea de la “misma forma”](https://reader030.fdocumento.com/reader030/viewer/2022012919/5665b4ce1a28abb57c93d6e4/html5/thumbnails/26.jpg)
D
C
B
AO
Si y O es punto medio de , ¿son congruentes los triángulos AOB y COD ?
AB DCAC