Seminario 02

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERA Facultad de Ingeniera Civil DAE Resistencia de Materiales I / EC-121 I Seminario 02

J. Condori Uribe Torsin, Ley de Hooke Generalizada

1. Un tubo circular de radio interior 1r y radio exterior

2r est sometido a un par

producido por fuerzas P=900 lb. Los pares P tienen su lnea de accin a b=5.5in

desde el exterior del tubo. Si el esfuerzo cortante permisible es de 6300psi y el

radio interior es 1

1.2r in Cul es el 2r mnimo permisible?

max 2

4 4 4

2 1 2

2 2

2 2

4

2

4

2 2 2

4 2

2 2

, (1)

2.0736 (2)2 2

El par de torsin es ( )* 2 1800(5.5 ) (3)

Ecuaciones (2) y (3) en ecuacin (1):

1800 5.5 26300=

2.0736

2.0736 0.1819 5.5

0.1819 1.

p

p

Trr r

I

I r r r

T P b r r

r r

r

r r r

r r

2

2

00045 2.0736 0

1.40

r

r in



2. Un alambre de dimetro d=4mm y longitud L gira dentro de un tubo flexible

para abrir o cerrar un interruptor desde un lugar apartado. En forma manual se

le aplica un par T en el extremo B, haciendo girar as el alambre dentro del

tubo. En el otro extremo A, el giro del alambre acciona una manija que abre o

cierra el interruptor.

Para accionar el interruptor se requiere un par To=0.20 N-m. La rigidez a la

torsin del tubo combinada con la friccin entre el tubo y el alambre induce un

par distribuido de intensidad constante igual a t=0.04 N.m/m (par por unidad

de distancia) que acta a todo lo largo del alambre.

a) Si el esfuerzo cortante admisible en el alambre es 30adm

Mpa , Cul es la

longitud mxima Lmax admisible del alambre?

b) Si la longitud del alambre es L=4.0m y el mdulo de elasticidad del alambre

al cortante es G=15Gpa, Cul es el ngulo de torsin (en grados) entre

los extremos del alambre?

0

:

4

0,20

0.040

Datos

d mm

T N m

t N m m

a) Longitud mxima admisible del alambre:

max

max

0

04 4

30

?

(1)

0.20 0.04 [ ] (2)

0.004(3)

32 32

adm

p

L

p

MPa

L

Tr

I

T T tdx T tL

T T tL L N m

dI



6

4

3 6

Ecuaciones (2) y (3) en ecuacin (1):

0.20 0.04 0.00430 10

20.004 32

0.004 30 10 0.20 0.0416

0.3709 0.20 0.04

4.42

L

L

L

L m

b) ngulo de torsin:

0

4.0

15GPa

=?

(4)T t

L m

G

2

4 4 40 0

2

9 4

- El ngulo de torsin debido a la friccin:

( )(5)

( )

32 32 16(6)

reemplazando valores...

16(0.04)40.8488

15 10 0.004

- El ngulo de torsin debido al tor

pL L

t

t

T x dxd

GI x

tx t tLdx xdx

G d G d G d

rad

0

0

0

9 4

que T :

0.20(4) 322.1220

15 10 0.004

En la ecuacin (4):

=0.8488+2.1220 =2.97rad=170.218

p

T

T L

GI

rad



3. El eje compuesto mostrado en la figura se fabrica por contraccin ajustando el

tubo de acero sobre un ncleo de latn de manera que ambos actan como una

barra slida en torsin. Los dimetros son 1

40d mm (exterior para el ncleo del

latn) y 2

50d mm (para el mango de acero). El mdulo de elasticidad al

cortante del acero es 80GPaaG y del latn es 36GPa

lG

Los esfuerzos cortantes permisibles del latn y el acero son

48MPa, 80MPal a . Determinar el par mximo permisible

maxT que puede

aplicarse al eje.

: Re :

,

Reemplazando las relaciones fuerza-desplazamiento en las ecuaciones

de compatibilidad y luego resolviendo con la ecuacin de eq

a la l a l a l

a pa l pl

Equilibrio Compatibilidad laciones F d

T L TLT T T

G I G I

4 4 7 4

2 1

4 7 4

1

max

uilibrio

para cada par, se tiene:

( ) 3.6226 1032

2.5133 1032

a pa

aa pa l pl

l pl

la pa l pl

pa

pl

p

G IT T

G I G I

G IT T

G I G I

I d d m

I d m

Tr

I



Acero:

( )6 2

69 7 9 7

( ) 92

( )

80 102

80 10 280 10 3.6226 10 36 10 2.5133 10

80 101521.15

a a pa

pa a pa l pl

a

a

T G I d

I G I G I

Td

T N m

Latn:

( )6 1

69 7 9 7

( ) 91

( )

max ( ) ( ) ( )

48 102

48 10 236 10 3.6226 10 80 10 2.5133 10

36 102535

min , 1521.15

l l pl

pl a pa l pl

l

a

l a a

T G I d

I G I G I

Td

T N m

T T T T N m

4. [UNI/2011-II]Un eje de acero (Ga=80Gpa) de L=4.0m est compuesto en la

mitad de su longitud por una camisa de latn (Gb=40 Gpa) que se liga con

firmeza con el acero. Los dimetros exteriores del eje y la camisa con 1

70d mm

y 2

90d mm respectivamente.

a) Calcule el par admisible T1 que se puede aplicar a los extremos del eje para

que el ngulo de torsin entre sus extremos se limite a 8.

b) Calcule el par admisible T2 para que el esfuerzo cortante en el latn sea

cuanto mucho 70MPa.b

c) Determinar el par admisible T3 para que el esfuerzo cortante en el acero no

pase de 110MPa.s

d) Cul es el par mximo permisible Tmax para satisfacer las 3 condiciones

anteriores?



Solucin (a):

1

44 412 1

1

...(1)

2 2,

32 32

2

: : Re :

2 2...(2) ,

AB BCp

b s

AB ps pbb pb s ps

s

BCs ps

b s

b s b s b sb pb s ps

b pb s ps

b sb pb s ps

TL

GI

T L T L dI I d d

G I G I

T L

G I

Equilibrio Compatibilidad laciones F d

T L T LT T T

G I G I

G I G IT T T T

G I G I G

b pb s psI G I

1 1

1

1

1

9

9

6 4

2 2 2 2

2 1...(3)

2

2 ...(4)2

:

80 10

40 10

2.3572 10

4.

s s ps

s ps s ps b pb s ps s ps s ps

s ps b pb

s ps b pb s ps

s ps b pb s ps

s ps b pb

s

b

ps

pb

T L T L L T LG IT

G I G I G I G I G I G I

G I G ILT

G I G I G I

G I G I G IT

L G I G I

Teniendo

G Pa

G Pa

I m

I

6 4

1

0841 10

8 8180

8571.84 N-m

m

rad

T



Solucin (b):

max

2max 2

2 max2

2

Tomamos T de la solucin de la parte (a):

2

2

13686.56N-m

b

p

b

b pb

b pb s ps pb

pb b pb s ps

b pb

T r

I

G I dTG I G I I

I G I G IT

d G I

T

Solucin (c):

3

3 1max

31

3

2

2

7408.34 N-m

s

ps

s ps

T T

T d

I

T Id

T

Solucin (d):

max min 1 2 3

max

( , , )

7408.34

T T T T T

T N m



5. [UNI/2012-I]Un cubo de aluminio de

10cm de arista est comprimido en

dos direcciones perpendiculares por el

dispositivo que se muestra. Calcular el

esfuerzo de compresin y la

disminucin de volumen del cubo.

Considere:

5 20.40, 8 10E Kg cm .

3 4

1 2

2

2

2

Del equilibrio:

1800 2

1800

Area de una cara del cubo: A=100cm

1800 218 2

100

25.46

Usando la Ley de Hooke Generalizada

para el esfuerzo plano:

1

1

x y

x x y

y y x

z x

F F Kg

F F Kg

Kg cm

Kg cm

E

E

E

y



0

5

5

5 3

0

2 3

Dilatacin:

1

11 2

11 2 0.40 2 25.46

8 101.273 10

1.273 10 10

1.273 10

x y z

x y y x x y

x y

VeV

eE

eE

e

e

V V e

V cm



6. [UNI/2012-I]El sistema mostrado tiene como holguras en cada direccin las

fracciones indicadas de sus respectivas deformaciones libres (cuando acta slo

las 60 t). Calcular los esfuerzos que se generan en las paredes as como la

variacin porcentual de su volumen.

(En deformacin libre) .........(1)

,

.........(2)

zz z

x z y z

x

y

P P

ab E abE

P

abEP

abE

(1) y (2) son deformaciones unitarias libres. Las deformaciones libres totales son:

.......(3 )

.......(3 )

.......(3 )

x x

y y

x z

Pa a

bEP

b baEPc

c cabE

Las holguras para las direcciones x y y seran:

P

c

a

VISTA EN ELEVACIN

a

VISTA EN PLANTA

b

/3

/2

x

z

x

y



........(4 )

2 2

........(4 )3 3

xx

y

y

Ph a

bEP

h baE

y las deformaciones unitarias en el estado triaxial restringido seran:

........(5 )

2 2

........(5 )3 3

x zx

y zy

h Pa

a abE Eh P

ab abE E

Considerando las ecuaciones para un estado triaxial de esfuerzos:

1

1...........(6)

1

x x y z

y y x z

z z x y

E

E

E

11 1 2

1 ......(7)1 1 2

11 1 2

x x y z

y y x z

z z x y

E

E

E

1 2 .......(8)x y z x y zO

Ve eV E

...........(9)O

V eV

La deformacin en la direccin z para el estado restringido estara dado por la

Ec(6c).

z sera el mismo que la condicin libre ya que estamos considerando pequeas

deformaciones (el rea inicial puede tomarse igual al rea final).



Haciendo (5)=(6):

1

2 21

3 3

22

3

zx y z z x y z

zy x z z y x z

z x y

z y x

E E

E E

Resolviendo el sistema de ecuaciones

2

2

3 4........(10)

6 1

3 4........(11)

6 1

y z

x z

Reemplazando las ecuaciones (10) y (11) en las ecuaciones (8) y (9):

2 2

2

2

1 2 3 4 3 4

6 1 6 1

1 2 1 27 6 6 1

6 1 16 1

2 16 ................(12)

61

z z

z

z z

z

eE

eE E

eE

Tambin podramos usar las ecuaciones (5a), (5b) y (8), pero antes tendramos que

calcular z. Entonces, de la Ec(6c) y (10) y (11):

2

2

2 2

2 2 2

2

2 3

2

3 4 3 41

6 1 6 1

16 1 3 4 3 4

6 1

6 13 7............(13)

6 1

z z z z

zz

zz

E

E

E

Ahora (5a), (5b) y (13) en (8):



2 3

2

3 2

2

6 13 7

2 3 6 1

2 13 5 6..........(14)

6 1

z z z

z

eE E E

eE

Las ecuaciones (14) y (12) nos dan, entonces, los mismos resultados.

Esfuerzos: Ecs. (11) y (10)

2

2

2

2

2

3 4 0.4 0.4 50182.54 kg/cm ( )

10 106 1 0.4

3 0.4 4 0.4 50206.35 kg/cm ( )

10 106 1 0.4

50 /100 500 kg/cm ( )

x

y

z

C

C

C

Variacin del volumen:

3 3

2

Usando la ecuacin (12) o (14):

e=0.3556

En la Ec(9):

500.3556 10 0.222cm ( )

800 10

z

O

E

V eV C

Seminario 02

Documents

Transcript of Seminario 02