ESTADSTICA

Laestadsticaes unaciencia formaly una herramienta que estudia el uso y los anlisis provenientes de una muestra representativa de datos, busca explicar las correlaciones y dependencias de un fenmeno fsico o natural, de ocurrencia en formaaleatoriaocondicional.ESTADSTICA La Estadstica se divide en dos grandes reas:Estadstica descriptiva.Estadstica Inferencial. Estadstica Descriptiva Se dedica a la descripcin, visualizacin y resumen de datos originados a partir de los fenmenos de estudio. Los datos pueden ser resumidos numrica o grficamente. Ejemplos bsicos deparmetros estadsticos son: lamediay ladesviacin estndar. Algunos ejemplos grficos son:histograma,pirmide poblacional, grfico circular, entre otros.Estadstica Inferencial comprende los mtodos y procedimientos que por medio de la induccin determina propiedades de unapoblacin estadstica, a partir de unapequea partede la misma.Algunos trminos utilizadosPoblacin: conjunto de todos los individuos (personas, objetos, animales, entre otros) que aporten informacin sobre el fenmeno que se estudia. Muestra: subconjunto de la poblacin seleccionado de acuerdo con un criterio, y que sea representativo de la poblacin.

Algunos trminos utilizadosVariable: fenmeno que puede tomar diversos valores. Y pueden ser de dos tipos:Variables cualitativas o por atributos. stas no se pueden medir numricamente.Variables cuantitativas. stas tienen un valor numrico.stas se clasifican en Discretas y Continuas.Algunos trminos utilizadosDatos: caractersticas o nmeros que son recolectados por observacin.Datos cualitativosDatos cuantitativosDatos cronolgicosDatos geogrficos

Distribucin de frecuencias Se le llama as a la agrupacin de datos en categoras mutuamente excluyentes que indican el nmero de observaciones en cada categora.1Esto proporciona un valor aadido a la agrupacin de datos. La distribucin de frecuencias presenta las observaciones clasificadas de modo que se pueda ver el nmero existente en cada clase. Estas agrupaciones de datos suelen estar agrupadas en forma de tablas.Distribucin de frecuencias para datos agrupados Es una ordenacin tabulada de los datos recopilados en una investigacin o estudio, de acuerdo a la clase o intervalo a que pertenece y con el nmero de veces o frecuencias que se repite. Una distribucin de frecuencias se represente por medio de tablas de frecuencia y grficas.Pasos para elaborar una distribucin de frecuenciasOrdenar los datos de forma ascendente o viceversa.Determinar el rango de la serie de datos, R R= Xn X1Encontrar el nmero de clases o intervalos de clases K, segn la frmula de Sturges: K = 1 + 3.322(log N)Determinar la amplitud de la clase CC = R/KHacer la tabla 6. Grficar

Medidas de ms empleo en el anlisis estadstico:Medidas de tendencia central.Medidas de dispersin.Medidas de agudez y asimetra

Medidas de tendencia central Corresponden a valores que generalmente se ubican en la parte central de un conjunto de datos. Ellas permiten analizar los datos entorno a un valor central. Entre stas estn:La media aritmticaLa modaLa Mediana

Medidas de dispersin Llamadas tambin medidas de variabilidad, muestran la variabilidad de una distribucin, indicando por medio de un nmero, si las diferentes puntuaciones de una variable estn alejadas de la media. Entre ellas se tiene:Rango o recorridoDesviacin mediaVarianzaDesviacin tpicaMedidas de asimetra Son indicadores que permiten establecer elgrado de simetra(o asimetra) que presenta unadistribucin de probabilidad de unavariable aleatoriasin tener que hacer su representacin grfica.

Regresin y correlacinProbabilidad Es la posibilidad de que ocurra determinado evento, y sirve para tomar decisiones en una situacin de incertidumbre. Espacio Muestral Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento estadstico y se le representa por el smbolo S.Ejemplo:

Conteo de puntos muestralesRegla de la multiplicacin o principio fundamental del conteo: S una operacin puede realizarse en n1 formas, y si por cada una de estas una segunda operacin puede llevarse a cabo en n2 formas, entonces las dos operaciones pueden realizarse juntas en n1*n2 formas.Probabilidad de un eventoLa probabilidad de un evento A es la suma de los pesos (probabilidades) de todos los puntos muestrales de A. Por lo tanto, 0 P(A) 1 ,

P() = 0 y

P(S) = 1Teorema Si un experimento puede tener cualquiera de N resultados diferentes igualmente factibles, y si exactamente n de estos resultados corresponden al evento A, entonces la probabilidad de este ltimo es:

P (A) = n/NReglas aditivas A veces es ms fcil calcular la probabilidad de algn evento a partir de otros, s el evento en cuestin puede representarse como la unin o complemento de otro evento.S A y B son dos eventos cualquiera, entonces P(A B) = P(A) + P(B) P(A B ) S A y B so mutuamente excluyentes, entonces P ( A B ) = P (A ) + P ( B ) , De igual forma si hubiese ms de dos eventos Para 3 eventos A, B y C P ( A B C ) = P(A) + P (B) + P ( C ) P (A B ) P (A C ) P (B C) + P (A B C ) Eventos complementariosS A y A` son eventos complementarios entonces

P (A) + P(A`) = 1

Probabilidad condicionalSea A la probabilidad de que un evento B se d cuando se sabe que algn otro evento A se ha presentado se llama probabilidad condicional y se escribe P(BA). Esta expresin comnmente se lee la probabilidad de que B ocurra dado que ocurri A, o simplemente la probabilidad de B, dado A. Y se define:P(BA) = P(A B) / P(A) , s P(A) 0Variables aleatorias y Distribuciones de probabilidadVariables aleatoria. Es una funcin que asocia un nmero real a cada elemento del espacio muestral. Y se puede utilizar una letra mayscula, por ejemplo X para designar una variable aleatoria y su correspondiente letra minscula, para uno de sus valores. Ejemplo: Se sacan dos pelotas en sucesin, sin reemplazo, de una urna que contiene 4 pelotas rojas y 3 negras. Los resultados posibles y los valores y de la variable aleatoria Y, donde Y es el nmero de pelotas roja, son:Espacio muestralyRR2RN1NR1NN0Espacio muestral discretoS un espacio muestral contiene un nmero finito de posibilidades o una secuencia interminable con tantos elementos como nmeros naturales existen, se le llama espacio muestral discreto. Espacio muestral continuoS un espacio muestral contiene un nmero infinito de posibilidades igual al nmero de puntos en un segmento de lnea, se le llama espacio muestral continuo.

Variable aleatoria discreta Si se puede contar su conjunto de resultados posibles.Ejemplo:Numero de artculos defectuososEl nmero de accidentes por ao en una va rpidaEl nmero de huevos que pone una gallina.Variable aleatoria continua Cuando una variable aleatoria puede tomar valores en una escala continua.Ejemplo:AlturaPesoTemperaturaDistanciaPerodos de vida

Distribuciones discretas de probabilidad El conjunto de pares ordenados (x, f(x)) es una funcin de probabilidad, funcin masa de probabilidad o distribucin de probabilidad de la variable aleatoria discreta X si, para cada resultado posible x:

f(x) 0 f(x) = 1 P(X = x ) = f(x)

Ejemplo: Un embarque de 8 microcomputadoras similares que se enva a un distribuidor contiene 3 aparatos defectuosos. Si una escuela realiza un compra aleatoria de 2 computadoras, encuentre la distribucin de probabilidad para el nmero de microcomputadoras defectuosas. Distribuciones continuas de probabilidadLa funcin f(x) es una funcin de densidad de probabilidad para la variable aleatoria continua X, definida en el conjunto de los nmero reales, s

f(x) 0 x R f(x) dx = 1, donde Linf =- Lsup = + P(a x b ) = f(x) dx, Linf = a, Lsup = bDistribuciones empricasLas utilizamos cuando no conocemos la funcin masa de probabilidad o la funcin de densidad de probabilidad. Los datos estadsticos generados en gran cantidad, pueden ser muy tiles al estudiar el comportamiento de la distribucin si se presentan en una forma tabular y grfica, a la cual se le llama diagrama de tronco y hojas. Ejemplo:

Distribuciones de probabilidad conjuntaPara variable discretaLa funcin f(x, y) es una distribucin probabilidad conjunta o funcin masa de probabilidad de las variables aleatorias discretas X y Y, sif(x, y) 0 (x, y) R f(x, y) = 1 P(X = x, Y = y) = f(x,y) para cualquier regin A en el plano xy, P[(X,Y) A) = f(x, y) A

Para variable continuaLa funcin f(x, y) es una funcin de densidad de probabilidad de las variables aleatorias continuas X y Y, sif(x, y) 0 (x, y) R f(x, y) dx dy = 1, donde Linf = - Lsup = + P[(X,Y) A) = f(x, y) dx dy, para cualquier A regin en el plano xy

Esperanza MatemticaLlamada tambin media de la distribucin de probabilidad de X, o valor esperado. Def. Sea una variable aleatoria con distribucin de probabilidad f(x). La media o valor esperado de X es: = E (X) = x f(x) , s X es discreta, y = E (X) = x f(x), s X es continua.TeoremaSea X una variable aleatoria con distribucin de probabilidad f(x). La media o valor esperado de la variable aleatoria g(x) est dada por: g(X) = E [g(X)] = g(x) f(x) , s X es discreta, y g(X) = E [g(X)] = g(x) f(x)dx , si X es continua

Esperanza matemtica de un distribucin de probabilidad conjuntaSean X y Y variables aleatorias con distribucin de probabilidad conjunta f(x,y). La media o valor esperado de la variable aleatoria g(X,Y) es:g(X,Y) = E [g(X,Y)] = g(x,y)f(x,y) , s X y Y son discretas, yg(X,Y) = E [g(X,Y)] = g(x,y)f(x,y)dxdy s X y Y son continuas. Nota: la definicin de la esperanza matemtica de funciones de varias variables es semejante a sta.

Variancia y CovarianciaSea X una variable aleatoria con distribucin deprobabilidad f (X) y media . La variancia de X es: 2 = E [ ( X - )2 ]= ( X - )2 f(x) , s X es discreta, y2 = E [ ( X - )2 ] = ( X - )2 f(x) dx s X es continua.

Nota: la raz cuadrada positiva de la variancia, se le llama desviacin estndar de X. Teorema Sea X una variable aleatoria con distribucin de probabilidad f(x). La variancia de la variable aleatoria g(X) est dada por: 2g(X) = E [ ( g(X) - g(x) )2 ]= (g(X) - g(x) )2 f(x) , s X es discreta, y

2g(X) = E [ ( g(X) - g(x) )2 ]= (g(X) - g(x) )2 f(x) dx s X es continua.

Algunas distribuciones discretas de probabilidad El comportamiento de una variable aleatoria queda descrito por su distribucin discreta de probabilidad sin importar que sta se represente grficamente por un histograma, en forma tabular o por medio de una frmula.

Con frecuencia las observaciones que se generan en diferentes experimentos estadsticos tienen el mismo tipo de comportamiento en trminos generales. En consecuencia, las variables aleatorias discretas que se asocian con estos experimentos pueden describirse, por la misma distribucin de probabilidad y por lo tanto se representa por una frmula.Algunas distribuciones discretas de probabilidadDistribucin discreta uniforme:(sta es la ms simple de todas)Si la variable aleatoria X asume los valores x1, x2, . . . , xk con iguales probabilidades, entonces la distribucin discreta uniforme esf(x; k) = 1/k, x= x1, x2, . . . , xkNota: Es aquella en la cual la variable aleatoria asume c/u de sus valores con idntica probabilidad. Es la ms simple de todas las distribuciones discretas de probabilidad. Se ha utilizado la notacin f(x; k) en lugar de f(x) para indicar que la distribucin uniforme depende del parmetro k.Teorema: la media y la variancia de la distribucin uniforme discreta f(x; k), estn dadas por:

Distribucin binomial y multinomialFrecuentemente un experimento consiste en ensayos repetidos independientemente, cada uno con dos posibles resultados que pueden llamarse xito y fracaso. Este proceso se conoce como proceso de Bernoulli. Cada intento se llama experimento de Bernoulli.Distribucin binomialUn experimento de Bernoulli puede resultar en un xito con una probabilidad p y un fracaso con una probabilidad de q 1 . Entonces la distribucin de probabilidad de la variable aleatoria binomial X, el nmero de xitos en n experimentos independientes, es:

Experimentos multinomialesEl experimento binomial se convierte en un experimento multinomial si cada intento tiene ms de 2 resultados posibles. Distribucin multinomialS un intento determinado puede resultar en cualquiera de los k resultados E1 , E2 , , Ek con probabilidades p1, p2, , pk , entonces la distribucin de probabilidad X1, X2,, Xk , que representan el nmero de ocurrencias para E1 , E2 , , Ek en n intentos independientes es:

Algunas distribuciones continuas de probabilidadDistribucin Normal La distribucin continua de probabilidad ms importante en todo el campo de la estadstica es la distribucin normal. Su grfica recibe el nombre curva normal, es la curva en forma de campana, la cual describe en forma aproximada muchos fenmenos que ocurren. Los errores en las mediciones cientficas se aproximan hasta lmites extremadamente pequeos gracias a la distribucin normal.

Frecuentemente se le llama distribucin gaussiana, en honor de Karl Friedrich Gauss (1777 1855), quin tambin deriv su ecuacin de un estudio de errores en mediciones repetidas

Definicin: La funcin de densidad de la variable aleatoria normal X, con media y variancia 2 , es