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Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal 1/138
Tratamiento Digital de la Señal
Rafael Martínez OlallaGrupo de Informática Aplicada al Procesamiento de Señal e Imagen (GIAPSI)
Universidad Politécnica de Madrid, Campus de Montegancedo, s/n, 28660 Boadilla del Monte, Madrid, Spain
e-mail: [email protected]
2/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Tratamiento Digital de la Señal
1. Técnicas de procesado de señal2. Señales y sistemas
Definiciones básicasPropiedades de los sistemasRepresentación de señales en términos de impulsos
3. Transformada de Laplace4. Introducción al análisis de Fourier
Perspectiva HistóricaConceptos básicosRespuesta de sistemas LTI a exponenciales complejasRepresentación de señales periódicas en tiempo continuoGeneralización para señales aperiódicasRepresentación de señales discretas
3/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
5. Paso del mundo continuo al discreto (Muestreo)Ejemplos cotidianosTeorema de muestreoEsquema de un sistema digital
6. Transformada Z7. DFT8. Filtrado básico
Tratamiento Digital de la Señal
4/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Técnicas de Procesado de Señal
5/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Técnicas de procesado de señal
FiltradoAnálisisClasificación
6/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Filtrado (I)
Filtros fijosF P Bajo, F P Banda, F P Alto, F Banda EliminadaAplicaciones sencillas:
DiferenciadoresIntegradoresFiltros de nuloMedia móvilSuavizadoFiltros en peineetc.
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
7/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Filtrado (II)
Filtros adaptativosSe pueden clasificar de diversos modos, atendiendo a:
Su estructura (transversales, celosías)Algoritmos de actualización de los pesos (gradiente, mínimos cuadrados)Dominio de filtrado (tiempo, frecuencia)etc
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
8/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Filtrado (III)
Aplicaciones del filtrado adaptativo:Identificación de sistemas (modelo en capas de la tierra, modelo del tracto vocal, etc.)Modelado inverso (deconvolución predictiva, ecualización adaptativa -cancelación de los efectos del canal en transmisión-)Predicción (LPC, ADPCM, análisis espectral, detección de señal)Cancelación de interferencias (ECG fetal, interferencia de red, cancelación de ruido, cancelación de eco, antenas adaptativas, dirección de baterías de artillería)
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
9/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Análisis
AutocorrelaciónBancos de filtrosMétodos transformacionales
FourierCepstrumWavelets
Métodos paramétricosModelo autorregresivo (predicción lineal)
Métodos para hallarlo: (autocorrelación, covarianza, filtros en celosía, filtros adaptativos)
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
10/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Clasificación , Codificación, Compresión
Codificación reversible / irreversibleDigitalización => pérdidaCodificación por forma de onda (PCM, DPCM, ADPCM)Codificación en subbandasCodificación LPCCodificación mediante WaveletsRedes neuronalesCuantificación vectorial
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
11/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Señales y Sistemas
12/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
2. Señales y sistemas
DefinicionesSeñales útilesPropiedades de los sistemasRepresentación de señales en términos de impulsos: convolución
Pulmones
Diafragma
Generador
Filtro acústico
Cavidad faríngea
Cavidad oral (modificada por los
órganos articulatorios)
Cavidad nasal
Cuerdas vocales
Laringe
Tráquea
Velo
Señal acústica de salida
13/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Definición de señalAmplitud
tiempo
Señal de electrocardiograma
Señal: función de una o más variables independientes
Contiene información acerca de fenómenos físicos
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
14/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
E s t o e s u n a s e ñ a l de v o z
Definición de señal• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
15/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
11 kHz
0 kHz0 s 3 s e s t o e s u n a s e ñ a l d e v o z
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
Definición de señal
16/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Tono fundamental Formantes
Espectro de la vocal /i/ pronunciada por un hablante masculino
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
Definición de señal
17/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Definición de sistema
Oído externo Oído medio Oído Interno
Pabellón auditivo Canal auditivo
Trompa de Eustaquio
Tímpano
Ventana oval
Ventana redonda
Membrana basilar
Cadena de huesecillos
Fibras del nervio auditivo
Cóclea (desenrollada)
Altas frecuencias Bajas frecuencias
Resonancia en la membrana
Sistema: proceso que produce transformación de señales
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
18/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Definición de sistema
Señal de entrada Sistema
Oído externo
Señal de salida
Onda de presión acústica
Movimiento del tímpano
(a)
Oído medio
Movimiento de la
ventana oval
Señal de entrada Sistema Señal de
salida
Movimiento del tímpano
(b)
Movimiento de la
ventana oval
Señal de entrada Sistema Señal de
salida
Conjunto ventana oval
fluido endolinfático
Onda de presión en el fluido
(c)
Membrana basilar
Señal de entrada Sistema Señal de
salida Onda de presión
en el fluido
(d)
Resonancia de la membrana
Células del órgano de Corti
Señal de entrada Sistema Señal de
salida
Impulso eléctrico al cerebro
(e)
Resonancia de la membrana
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
19/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Pulmones
Diafragma
Generador
Filtro acústico
Cavidad faríngea
Cavidad oral (modificada por los
órganos articulatorios)
Cavidad nasal
Cuerdas vocales
Laringe
Tráquea
Velo
Señal acústica de salida
Definición de sistema
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
20/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Tren de impulsos
Ruido aleatorio
Periodo del pitch
Amplitud
Filtro digital H(z)
Señal de voz
|H(Ω)|
Ω π
Definición de sistema
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
21/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Excitación Filtro del tracto vocal
Señal de voz
Pulsos glotales tiempo
ampl
itud
Respuesta al impulso del tracto vocal
tiempo
ampl
itud
Voz tiempo
ampl
itud
Excitación sonora frecuencia
ampl
itud
Espectro de un pulso
(a)
(b)
(c)
frecuencia am
plitu
d
Voz frecuencia
ampl
itud
Respuesta del tracto vocal
Formantes
Definición de sistema
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
22/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Definiciones
Señal: Función de una o mas variables independientes (Contienen información de fenómenos físicos)
Señales tiempo continuo x(t)Señales tiempo discreto x[n]
Sistema: Cualquier proceso que produce transformación de señalesTiempo continuoTiempo discreto
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
23/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Tiempo continuo / tiempo discreto
yxSistema yx
t
x(t)
y(t)x(t) Sistemade
tiempocontinuo
y(t)x(t)
n
x[n]
..... ........... 2, 1.8, 0.8, -0.7, 2.5, -0.8, 1.5, 1.5, 1.5, .......
n=0
(a) (b)
y[n]x[n] Sistemade
tiempodiscreto
y[n]x[n]
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
Sistema de tiempo continuo
Sistema de tiempo discreto
24/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Transformaciones de la variable independiente
t
x(t)
t
x(t-t0)
t0 t
x(t+t0)
-t0
n
x[n] x[n-n0]
n0
..... .....
n
..... .....
x[n+n0]
-n0 n
..... .....
t
x(t)
t
x(-t)
t
x(t)
t
x(2t)
t
x(t/2)
Desplazamiento temporal
Inversión temporal
Escalado
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
25/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Dada la señal x(t) de la figura, representar:(a) x(t+1), (b) x(t-1), (c) x(-t+1), (d) x(-t-1), (e) x(2t), (f) x(t/2) y (g) x(2t+1)
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
Transformaciones de la variable independiente
t
x(t)
1
-1 1 t
x(t+1)
1
-2 -1 t
x(t-1)
1
21
t
x(-t+1)
1
21 t
x(-t-1)
1
-2 -1t
x(2t)
1
-1/2 1/2
t
x(t/2)
1
-2 2 t
x(2t+1)
1
-1 -1/2
26/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Propiedades de simetría y periodicidad
t
x(t)
t
x(t)
t
x(t)
............
T 2T-T-2T-3T n
x[n]
..... .....
N 2N-N-2N
Señal par Señal impar
Señal periódica
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
27/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Señales útiles –Señal sinusoidal
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
0 π/2ω
-1
-0.5
0
0.5
1
t π/ω 3π/2ω 2π/ω −2π/ω −3π/2ω −π/ω −π/2ω
sen(ωt)
cos(ωt)
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-1
-0.5
0
0.5
1ϕ /ω
t
sen(2πt)
sen(2πt+ϕ)
28/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Señales útiles -exponencial compleja de
tiempo continuo
Eje real
Eje imaginario
Plano α
Exponencialesreales crecientes
Exponenciales realesdecrecientes
Exponencialescomplejasperiódicas
Cualquier lugar del plano αdistinto de los ejes: producto deexponencial real por exponencialcompleja periódica (combinaciónde sinusoides amortiguadas)
t
x(t)
K
t
x(t)
K Keαt Keαt K > 0 α > 0
K > 0 α < 0
tKetx α=)(
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
Exponenciales reales
29/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
00.5
11.5
2-1 -0.5 0 0.5 1
-j
-0.5j
0
0.5j
j
Eje imaginario
Eje real
tiempo
ej2πt
Señales útiles -exponencial compleja de
tiempo continuotjetx 0)( ω=
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
30/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Eje real
Ejeimaginario
Eje detiempos
Envolventeexponencial
(eσt)
Fase inicial ϕ
Señales útiles -exponencial compleja de
tiempo continuo
⎪⎩
⎪⎨⎧
+=
=
0ωσα
ϕ
jeKK j ( ) ( )
( ) ( )[ ]ϕωϕωσ
ϕωσωσϕα
+++=
=== ++
tjsenteKtx
eeKeeKKetxt
tjttjjt
00cos)(
)( 00
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
tKetx α=)(
31/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Señales útiles –función sinc
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
( ) ( )πϑ
πϑϑ sen=sinc
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5-5
sen(πϑ)
ϑ
(a)
-4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
-5
1/πϑ
ϑ
(b)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
1
-5
sinc(ϑ)
ϑ
(c)
32/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Eje real
Eje imaginario
Plano α
Exponencialesreales
Exponenciales complejasrelacionadas con señales
sinusoidales Circunferencia unidad
n
..........
(a)
n
..........
(b)
n
..... .....
(c)
n
..... .....
(d)
n
..........
(e)1
n
..........
(f)
Señales útiles - exponencial compleja de tiempo discreto
[ ] nKnx α=
Exponenciales reales: (a) a >1, (b) 0<a<1, (c) -1<a<0, (d) a<-1, (e) a=1, (f) a=-1
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
33/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
0
-1 -0.5 0 0.5 1
-j
-0.5j
0
0.5j
j
Eje imaginario
Eje real
n
ejnπ/4
1 23 4 5 6 7
8
(a)
0
-1 -0.5 0 0.5 1
-j
-0.5j
0
0.5j
j
Eje imaginario
Eje real
n
ejnπ/2
1 2 3 45 6 7
8
(b)
0
-1 -0.5 0 0.5 1
-j
-0.5j
0
0.5j
j
Eje imaginario
Eje real
n
ejnπ
1 2 3 45 6
7 8
(c)
0
-1 -0.5 0 0.5 1
-j
-0.5j
0
0.5j
j
Eje imaginario
Eje real
n
ejn3π/2
1 23
45 6
7 8
(d)
0
-1 -0.5 0 0.5 1
-j
-0.5j
0
0.5j
j
Eje imaginario
Eje real
n
ejn7π/4
12 3
4 5 6 7 8
(e)
0
-1 -0.5 0 0.5 1
-j
-0.5j
0
0.5j
j
Eje imaginario
Eje real
n
ejk2πn
1 2 3 4 5 6 7 8
(f)
Señales útiles - exponencial compleja de tiempo discreto
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
34/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Interconexión de sistemas• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
yxSistema 1
zSistema 2
yx
Sistema 1
Sistema 2
yxSistema 1
Sistema 2
Serie o cascada
Paralelo
Con realimentación
35/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Propiedades de los sistemas
Memoria: (sin memoria => la salida en un instante depende de la entrada en ese instante)
Ej. sin mem: Multiplicar la entrada por dos.Invertibilidad: (Entradas distintas producen salidas distintas)
Ej. Aplicaciones de restauración de señal, ecualización de canal, filtrado inverso.
Causalidad: (La salida no depende de entradas futuras)Los sistemas “físicos son causales”
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
t[ ] [ ]∑
−=
++
=N
Nkknx
Nny
121
Ej: Filtro de media móvil no causal
36/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Propiedades de los sistemas
Estabilidad: (Entradas acotadas producen salidas acotadas)
Invarianza: (Un desplazamiento en la entrada produce el mismo desplazamiento en la salida)
Linealidad: (Una combinación lineal de entradas produce la misma combinación lineal de salidas)
Son muy importantes los sistemas lineales invariantes
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
(a) (b)
x(t)
y(t)
x(t)
y(t)a) Sistema estableb) Sistema no estable
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )012
202
11
Invarianza ttytytyttxtxtytxtx
−=⇔→−=→= [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ][ ] [ ]012
202
11
Invarianza nnynynynnxnxnynxnx
−=⇔→−=→=
)()()()(
22
11
tytxtytx
→→
)()()()()()( 213213 tbytaytytbxtaxtx +=→+=
37/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Representación de señales en términos de impulsos
Función Impulso unidad
Función Escalón unidad
δ[n]
0
δ[n-1]
0
[ ]⎩⎨⎧
≠=
=0001
nn
nδ
u[n]
0
[ ]⎩⎨⎧
<≥
=0001
nn
nu
u[n-1]
0
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
38/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Caso discreto
δ[n]
0
δ[n-1]
0
0
x[n]
x[−3]δ[n+3]
x[−2]δ[n+2]
x[−1]δ[n+1]
x[0]δ[n]
x[1]δ[n-1]
x[2]δ[n-2]
x[3]δ[n-3]
[ ] [ ] [ ]knkxnxk
−= ∑∞
−∞=
δ
Representación de señales en términos de impulsos
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
39/92
Suma de convoluciónSi tenemos sistema lineal invariante:
[ ] [ ] [ ]knhkxnyk
−= ∑∞
−∞=
[ ] [ ] [ ]knkxnxk
−= ∑∞
−∞=
δ
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
y[n]x[n] SistemaLI de
tiempodiscreto
h[n]δ[n]
h[n-n0]δ[n-n0]
h[n]+h[n-n0]δ[n]+δ[n-n0]
0 0
δ[n] h[n]
0 0
δ[n-n0] h[n-n0]
n0 n0
0 0
δ[n]+δ[n-n0] h[n]+h[n-n0]
n0
(a) (b)
40/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Extensión a sistemas continuos
¿Cuál es la derivada de una función escalón continua?
Función delta de Dirac
x(t)
0
1
dttdut )()( =δ
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
(a)
tΔ/2
uΔ(t)
1
−Δ/2
(b)
tΔ/2
δΔ(t)1/Δ
−Δ/2
41/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
⎩⎨⎧ Δ≤≤Δ
=Δ restot
t0
0/1)(δ
1)( =Δ Δ tδ
∑∞
−∞=Δ ΔΔ−Δ=
kktkxtx )()()(ˆ δ
∑∞
−∞=Δ→Δ
ΔΔ−Δ=k
ktkxlimtx )()()(0
δ
( ) ( ) ττδτ dtxtx −= ∫∞
∞−)(
Representación de una señal con funciones delta
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
t
x(t)
x(0) x(-Δ)
x(Δ) x(2Δ)
Δ 2Δ -Δ 0 kΔ
x(kΔ) (b)
Δx(0)δΔ(t)
Δx(kΔ)δΔ(t- kΔ) x(t)
(a)
Δ 0
1/Δ
δΔ(t)
42/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Integral de convolución
( ) ( ) τττ dthxty −= ∫∞
∞−)(( ) ( ) ττδτ dtxtx −= ∫
∞
∞−)(
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
y(t)x(t) SistemaLI de
tiempocontinuo
h(t)δ(t)
h(t-t0)δ(t-t0)
h(t)+h(t-t0)δ(t)+δ(t-t0)
0 0
0 0t0 t0
0 0t0
(a) (b)δ(t)
δ(t-t0)
δ(t)+δ(t-t0)
h(t)
h(t-t0)
h(t)+h(t-t0)
43/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Transformada de Laplace
44/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
3. Transformada de Laplace
TL: representación de señales como combinación lineal de exponenciales complejas de la forma est
s = σ + jωConcepto de región de convergenciaTransformada de Laplace Racional
45/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Pierre Simón Laplace23 de marzo de 1749 – 5 de mayo de 1827Probabilidad de que el sol salga por el horizonte = (d+1)/(d+2)Defensor del determinismo causalCon 18 años viaja a París para presentarse a D’Alambert. Tras un primer intento infructuoso decide escribir una disertación sobre los principios de la mecánica: resultado, D’Alambert le consiguió una plaza de profesor de matemáticas en al escuela militar de París.“Tratado de la mecánica celeste”. Presentación a Napoleón:
Monsieur Laplace, me cuentan que ha escrito usted este gran libro sobre el sistema del universo, sin haber mencionado ni una sola vez a su creador." A lo que Laplace contestó "Sire, nunca he necesitado esa hipótesis.“
Newton 100 años antes al modelar el funcionamiento del sistema solar mediante su ley de gravitación no fue capaz de explicar ciertas irregularidades aparentes que se deberían producir en la órbitas de algunos planetas. Newton aludía a la mediación divina para que el sistema siguiese funcionando.Comentario de Lagrange: "Pues es una bella hipótesis. Explica muchas cosas."
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
46/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Representación de señales mediante exponenciales
complejasBuscamos representar señales como combinación lineal de señales básicas que tengan 2 propiedades:
Que con ellas se pueda construir una amplia clase de señalesQue la respuesta del sistema LTI a cada señal sea lo suficientemente simple.
est exponencial compleja en el caso continuo. zn exponencial compleja en el caso discreto.
( ) ( ) τττ dthxty −= ∫∞
∞−)(
stetx =)( ( ) ∫∫∞
∞−
−−∞
∞−== ττττ ττ dehedehty sstts )()( )(
∫∞
∞−
−= ττ τ dehsH s)()( )()( sHety st=
x(t) y (t) = x(t)*h(t)h(t)
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
47/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Transformada de Laplace racional
X(s) = N(s) / D(s)X(S) racional cuando
x(t) sea c.l. De exponencialesEn sistemas LTI especificados mediante ec. dif. lin de coef. ctes.
Importancia de las raices de numerador y denominador: diagrama de polos y ceros.
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
48/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Ejemplos de transformadas de Laplace racionales
Filtro paso bajo de primer orden H(s) = H0ωc / (s+ωc)Filtro paso bajo de segundo orden H(s) = H0 / (s2+as+b)Filtro paso alto de primer orden H(s) = H0s / (s+ωc)Filtro paso alto de segundo orden H(s) = H0s2 / (s2+as+b)Filtro paso banda H(s) = as / (s2+bs+c)
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
55/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Transformada de Fourier
56/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
4. Introducción al análisis de Fourier
Perspectiva históricaFenómenos periódicosExperimento de FourierDescomposición de señalesExponenciales complejas
57/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Perspectiva históricaAntecedentes
Babilonios: Uso de series trigonométricas para describir fenómenos periódicos1748 Euler: estudio de cuerdas vibrantes.
¿Sirve esta representación para alguna señal mas?
.......
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58/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Perspectiva histórica
Mecanismo de Antikythera:Construido en Rodas 80 aC.Cálculo astronómicoSimulación del movimiento del sol, la luna y varios planetas. Primera computadora.Rueda Luna – Sol.
Relación de velocidades : 13,36842Relación astronómica: 13,368267
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59/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Mecanismo de Antikythera• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
60/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Perspectiva histórica
1753 Bernoulli: Todos los movimientos físicos de una cuerda se pueden representar por combinación lineal de modos normales1759 Lagrange critica el uso de series trigonométricas el el estudio de cuerdas vibrantes.1768 nace Fourier.
Vida Política agitada.1798 Expedición a Egipto.1802 – 1815 prefecto de Isère.Estudio de fenómenos de propagación y difusión del calor.1807 finaliza su trabajo.Series de sinusoides armónicamente relacionadas pueden representar cualquier serie periódicaJustificación teórica Dirichlet 1829.Representación de señales aperiódicas como integrales ponderadas de sinusoides que no está armónicamente relacionadas.1807 presenta un papel que es revisado por Monge, Lacroix, Laplace y Lagrange.1822 Teoría analítica del calor.
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
61/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Perspectiva históricaOrdenador de las mareas de Lord Kelvin. 1876Analizador armónico de Michelson.Otro resultado importante de Michelson no tan relacionado: medición de la velocidad de la luz
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62/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Fenómenos de carácter periódico
Movimiento de los planetasClima terrestreFuentes alternasOlas del océano
Signals and Systems [Oppenheim]
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63/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Experimento de Fourier: Temperatura a lo largo de una
anilla
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
180º
0º
270º90º
0 60 120 180 240 300 360
Aproximación mediantefunciones sinusoidales
Distribución detemperatura
Temperatura
Ángulo de la anilla
64/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal64[Revista Investigación y Ciencia]
Experimento de Fourier: Temperatura a lo largo de una anilla
65/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Descomposición de una onda cuadrada periódica
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
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66/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Sonido de una cuerda de guitarra
tiempo (s) frecuencia (Hz)
amplitud (dB)
frecuenciafundamental
segundoarmónico
ruido de fondo
.......
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67/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal67
Sonido de una cuerda de guitarra
68/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal68
Vocales españolas: voz femenina
69/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal69
Vocales españolas: voz femenina
70/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal70
Vocales españolas: voz femenina
71/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal71
Vocales españolas: voz masculina
72/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal72
Vocales españolas: voz masculina
73/92
Exponencial compleja
x(t) = ejω0t
Según aumenta ω0, aumenta la velocidad de oscilaciónEs periódica para cualquier valor de ω0Es autofunción respecto de los sistemas lineales invariantesVa a servirnos de base para la descomposición de funciones (TF y DSF)
00.5
11.5
2-1 -0.5 0 0.5 1
-j
-0.5j
0
0.5j
j
Eje imaginario
Eje real
tiempo
ej2πt
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74/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Respuesta de sistemas LTI a exponenciales complejas
La representación y análisis de sistemas LTI Con la suma de convolución se basa en representar la señal como combinación lineal de impulsos desplazados.Buscamos una representación alternativa para señales y sistemas LTI.Usaremos exponenciales complejas: Series y transformadas de Fourier.Debido a la propiedad de superposición, la respuesta de un sistema LTI a cualquier entrada que consista en una combinación lineal de señales básicas, será combinación lineal de las respuesta a esas señales básicas.La respuesta de un sistema LTI a exponenciales complejas tiene una forma particularmente simple.
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
75/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Representación de señales mediante exponenciales
complejasBuscamos representar señales como combinación lineal de señales básicas que tengan 2 propiedades:
Que con ellas se pueda construir una amplia clase de señalesQue la respuesta del sistema LTI a cada señal sea lo suficientemente simple.
est exponencial compleja en el caso continuo. zn exponencial compleja en el caso discreto.
x(t) y (t) = x(t)*h(t)h(t) ( ) ( ) τττ dthxty −= ∫∞
∞−)(
stetx =)( ( ) ∫∫∞
∞−
−−∞
∞−== ττττ ττ dehedehty sstts )()( )(
∫∞
∞−
−= ττ τ dehsH s)()( )()( sHety st=
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
76/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Representación de señales periódicas en tiempo continuo
x(t) = x(t+T) T periodo fundamentalω0 = 2π/T frecuencia fundamental
∑∞
−∞=
=k
tjkkeatx 0)( ω ( ) dtetx
Ta tjkT
k0
0
00
1 ω−∫=
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
77/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
TF en tiempo continuo
∑∞
−∞=
=k
tjkkeatx 0)( ω
( ) dtetxT
a tjkT
k0
0
00
1 ω−∫=
SEÑALES PERIÓDICAS (DSF)
( ) ωωπ
ω dejXtx tj∫∞
∞−=
21)(
( ) dtetxjX tjωω −∞
∞−∫=)(
SEÑALES APERIÓDICAS (TF)
La señal a analizar es una señal de tiempo continuo
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
78/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
0 tT1-T1 T=4T1 3T
x(t)
....1
2T 4T-2T-3T-4T -T
....
(a)
k
........
(b)
0 5 10 15 20-20 -15 -10 -5
1/2 a0
a1
ak
ω
ak
........
(c)
0 5ω0
1/2
ω0 2ω0=π/T1-5ω0 −ω0-2ω0-4ω0 4ω0
a1
a2
a3
3ω0
a-1
a0
TF en tiempo continuo• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
79/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
TF en tiempo continuo • Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
0 tT1-T1 T=8T1
x(t)
....1
2T-T-2T
....
(a)
k
........
(b)
0
5
10 15 20
1/4 a0a1
ak
-5
-10-15-20
........
(c) 1/4 a0 a1ak
0 ωω0 2ω0−ω0-2ω0 3ω0
4ω0=π/T1a2
80/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
TF en tiempo continuo• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
0 tT1-T1
x(t)
....1
T=16T1-T
....
(a)
k
........
(b)
0 5 10 15 20
1/8a0 a1
ak
-5-10-15-20
........
(c)1/8
a0 a1ak
0 ωω0−ω0-8ω0
8ω0=π/T1
( ) ωωπ
ω dejXtx tj∫∞
∞−=
21)( ( ) dtetxjX tjωω −∞
∞−∫=)(
81/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Análisis de Fourier en tiempo discreto
∑∞
−∞=
−=k
knxkhny ][][][
njenx 0][ Ω=
∑∞
−∞=
Ω−=Ωk
kjekhH 0][)( 0
x[n] y [n]h[n]
∑∑∞
−∞=
Ω−Ω∞
−∞=
−Ω ==k
kjnj
k
knj ekheekhny 000 ][][][ )(
)(][ 00 Ω= Ω Heny nj
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
82/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
• x[n] = kαn k,α complejos• Caso de interés: k = 1, α = ejΩ0
• ejΩ0n = cosΩ0n + j senΩ0n • ej(Ω0+2π)n = ej2πn ejΩ0n = ejΩ0n
• Es decir, en el caso discreto la señal de frecuencia Ω0 es idéntica a las señales con frecuencias Ω0±2π, Ω0±4π, etc
Secuencia exponencial compleja
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
83/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Secuencia exponencial compleja
Conclusión: en el caso de exponenciales complejas discretas basta considerar un intervalo de frecuencias de 2π
Dada la periodicidad de la fórmula ej(Ω0+2π)n = ej2πnejΩ0n = ejΩ0n , la secuencia exponencial compleja no tiene una tasa de oscilación que se incremente con Ω0
Las señales oscilan mas y mas rápido según nos aproximamos a valores de Ω0 próximos a πEn π se produce la máxima velocidad de oscilación Al sobrepasar π y acercarnos a 2π, decrece la velocidad de oscilación
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
84/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Condición de periodicidad de la secuencia
exponencial compleja
Para que esta señal sea periódica de periodo N > 0:
Es decir, Ω0/2π debe ser racionalejΩ0(n+N) = ejΩ0n => ejΩ0n =1 => Ω0n = m2π
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85/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Análisis de Fourier en tiempo discreto
Desarrollo de Fourier en tiempo discreto como representación de señales periódicas
Representación en series de Fourier de una señal periódica en tiempo discreto -> serie finita
Conjunto de exponenciales complejas periódicas de periodo N:
φk[n] = ejkΩ0n = ejk(2π/N)n , k = 0, ±1, ±2,...
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
86/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Análisis de Fourier en tiempo discreto
Sólo existen N señales distintas en el conjunto anterior (Exponenciales complejas que difieren en 2π son iguales)
Podemos representar secuencias periódicas como combinaciones lineales de las secuencias φk[n] .
φk[n] = φk+rN[n]
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87/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Análisis de Fourier en tiempo discreto
∑ ∑∑>=< >=<
Ω
>=<
===Nk Nk
nNjkk
njkk
Nkkk eaeananx )/2(0][][ πφ
nNjk
Nn
njk
Nnk enx
Nenx
Na )/2(][1][1
0 πω −
>=<
−
>=<∑∑ ==
∫ ΩΩ= Ω
ππ 2)(
21][ deXnx nj
∑∞
−∞=
Ω−=Ωn
njenxX ][)(
SEÑALES PERIÓDICAS (DSF) SEÑALES APERIÓDICAS (TF)
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88/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Propiedades de la transformada de Fourier
Linealidad ax[n] + b y[n] <-> a X(Ω) + bX(Ω)Desplazamiento en el tiempo x[n-n0] <-> e-jΩn0X(Ω)Desplazamiento en frecuencia x[n]ejΩ0n <-> X(Ω−Ω0)Convolución x[n]*y[n] <-> X(Ω) Y(Ω)Multiplicación x[n] y[n] <-> 1/2π X(Ω)*Y(Ω)Relación de Parseval (Potencia tiempo = 1/2π potencia en frecuencia)
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
89/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Función de transferencia de un sistema
Es la transformada de Fourier de la respuesta al impulso de dicho sistemaTiempo: y(t) = x(t)* h(t)Frecuencia: Y(w) = X(ω) H(ω) Estudio de sistemas en el dominio de la frecuencia supone una gran simplicidad respecto al dominio del tiempo.
h(t) H(ω)x(t) y(t)
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
90/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Muestreo
91/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
5. MUESTREO
• Paso mundo continuo -> mundo discreto (Muestreo)
• Esquema de muestreo• Teorema de muestreo• Aliasing.
92/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
MUESTREO
• Una señal continua puede ser recuperada a partir de sus muestras si se cumplen ciertas condiciones
• Ejemplos de muestreo en la vida real:• Música digital• Cine• Revista con imágenes
• El muestreo sirve de puente entre señales en tiempo continuo y discreto
• Representar señales continuas mediante señales en tiempo discreto facilita el procesado de la señal
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
93/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Representación de una señal continua por sus muestras
Si no establecemos otras condiciones, no se puede establecer una relación unívoca entre una señal y un conjunto de muestras equiespaciadasUn nº infinito de señales puede originar una serie dada de muestras¿No podemos representar pues una señal mediante sus muestras?
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
94/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Representación de una señal continua por sus muestras
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
95/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Representación de una señal continua por sus muestras
(Condiciones)
Si una señal esta limitada en banda (TF = 0 fuera de una determinada banda de frecuencias)Y si las muestras están tomadas lo suficientemente juntas en relación a la máxima frecuencia de la señalEntonces podemos asegurar que existe una relación unívoca entre esa señal y sus muestras
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96/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Muestreo con un tren de impulsos
Para muestrear una señal continua la multiplicamos por un tren de impulsos periódico.
El tren de impulsos es la función de muestreo, el periodo T, el periodo de muestreo y la frecuencia fundamental de p(t), ωs = 2π/T, la frecuencia de muestreo
xp(t) = x(t)p(t) ∑∞
−∞=
−=n
nTttp )()( δ
∑∞
−∞=
−=k
skT
P )(1)( ωωδω
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
97/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Esquema de muestreo (Dominio del Tiempo)
T t
x(t)
t
2T0-T
p(t)
... ...
xp(t)
... ...
T t0-T
( )∑∞
−∞=
−=k
kTttp δ)(
)(tx ( ) ( ) ( )tptxtxp =
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
98/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Esquema de muestreo (Dominio de la frecuencia)
T t
t
2T0-T
... ...
... ...
T t0-T
ω
ω
ω0=2π/T0-ω0
... ...
... ...
ω
π21
(a) (b)
-ω0 ω0
-ωm ωm
-ωm ωm
1
1 2π/T
1/T
x(t)
p(t)
xp(t)
X(ω)
P(ω)
Xp(ω)
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99/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
Aliasing
(a)
(b)
100/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Esquema de muestreo (Dominio de la frecuencia)
ω
ω
ω0=2π/T0-ω0
... ...
... ...
ω
π21
(b)
-ω0 ω0
-ωm ωm
-ωm ωm
2π/T
1/T
X(ω)
P(ω)
Xp(ω)
ω
ω
ω0=2π/T0-ω0
... ...
... ...
ω
π21
(a)
-ω0 ω0
-ωm ωm
-ωm ωm
2π/T
1/T
X(ω)
P(ω)
Xp(ω)
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
101/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Conversión analógico -digital
x(t)
t
T t2T0-T
p(t)
... ...
xp(t)
... ...
T t0-T n
x[n]
...
10-1 2
...
Conversión detren de impulsos
a secuencia
x[n]x(t)
p(t)
xp(t)
Conversoranalógico digital
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
102/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Procesado digital de señales analógicas
A/Dx(t) x[n]
D/Ay(t)
Procesadodigital
y[n]
x(t)
t
xp(t)
... ...
T t0-Tn
x[n]
...
10-1 2
...
Conversión desecuencia a tren
de impulsos
x[n] x(t)xp(t)
Sistema de reconstrucción ideal
Filtro ideal dereconstrucción
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
103/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Filtro de reconstrucción
... ...
ω-ωs ωs-ωm ωm
1/T
Xp(ω)
ω
T
H(ω)
ω-ωm ωm
1
X(ω)
-ωc ωcXp(ω)
h(t)xp(t) xp(t)*h(t)
H(ω)
Xp(ω)H(ω)
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
104/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Muestreo (Conclusiones)
Si x(t) es una señal limitada en banda (si no lo es habrá que limitarla). Entonces x(t) está unívocamente determinada por sus muestras x(nT), n = 0, ±1, ±2, .. Si
La frecuencia 2 ωm es la frecuencia de Nyquist
ωs > 2ωm
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
105/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Transformada Discreta de Fourier
106/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
7. Transformada discreta de Fourier
Representación práctica del espectro de las señales (DFT)Relación DFT TF señales en tiempo discreto. Razonamiento de la suficiencia de la representaciónAnálisis de Fourier a corto plazoFunciones de ventanaParametrización de señales
107/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
DFT
Objetivo: pasar del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia.Medios: un sistema digital.Restricciones: señal de entrada discreta y señal de salida discreta.Herramienta: análisis de Fourier
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
108/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Candidata: Transformada de Fourier para señales de tiempo discreto.
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
( ) [ ]∑∞
−∞=
Ω−=Ωn
njenxX
[ ] ( )∫ ΩΩ= Ω
ππ 221 deXnx nj
¡¡¡ La variable Ω es continua!!!
DFT
109/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Solución: sólo el DSF para señales de tiempo discreto da lugar a señales de variable independiente discreta.Implicación: implícitamente se supone que la señal es periódica y que se dispone de un periodo de esa señal.Resultado: obtención de valores de la transformada de Fourier a intervalos regulares en frecuencia.
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
[ ] [ ] [ ]∑∑−
=
Ω−−
=
−==
1
0
1
0
20
N
n
njkN
n
nN
jkenxenxkX
π
[ ] [ ] [ ]∑∑=
Ω−
=
==Nk
njkN
k
nN
jkekX
NekX
Nnx 0
11 1
0
2π
DFT
110/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Señales estacionarias a corto plazo.Necesidad de segmentarAnálisis de Fourier “por trozos”Efecto de la segmentaciónUtilización de funciones de ventanaCompromiso ancho del lóbulo principal versus altura de los lóbulos secundarios.
Análisis de Fourier a corto plazo
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
111/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000
2
4
6
8
10
12
14
Análisis de Fourier a corto plazo
112/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Funciones de ventana -rectangular
113/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Funciones de ventana - bartlett
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
114/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Funciones de ventana - hamming
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115/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Funciones de ventana - hanning
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
116/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Funciones de ventana - blackman
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
117/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Funciones de ventana -comparación
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
0 5 10 15 20 25 300
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Funciones de ventana
RectangularTriangularHammingHanningBackman
118/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Funciones de ventana -comparación
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
-300 -200 -100 0 100 200 300-100
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0Funciones de ventana
RectangularTriangularHammingHanningBackman
119/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Funciones de ventana -comparación
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
120/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Parametrizador
Banco de filtros digitales
Transformada de Fourier
Predicción lineal
Estimación de Energía
Banco de Filtros
Cepstrum
Banco de Filtros
Cepstrum
Traza de Voz
Amplitudes del Banco de Filtros
Amplitudes del Banco de Filtros derivadas
de la T.F.
Coeficientes Cepstrales derivados
de la T.F.
Coeficientes de P. L.
Amplitudes del Banco de Filtros derivadas de Predicción Lineal
Coeficientes Cepstrales derivados de Predicción Lineal
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
121/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
ParametrizadorPreénfasis y enventanado
DFT
Banco de Filtros Mel
Log|.|
IDFT
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
-1 -0.5 0 0.5 1-1
-0.8-0.6-0.4-0.2
00.20.40.60.8
1
Parte Real
Par
te Im
agin
aria
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000
2
4
6
8
10
12
14
Espectro
Espectro Mel
Mel Cepstrum
f (kHz)541 2 3
Hk(ω)
( ) ( )∑=ω
ωω kHYkE )(Energía a la salida del filtro k-ésimo (k = 1,2,..., NB)
( ))(log)(~ kEkE =
( )Ec ~DCT=
Log-espectro Mel
sβ
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
122/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Transformada z
123/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Generalización de la transformada de Fourier para tiempo discreto.Exponenciales complejas discretas -> autofunciones de los sistemas LTIDefinición de la transformada zConcepto de región de convergenciaRelación Transformada de Fourier en tiempo discreto / TZ
6. Transformada z• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
124/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Transformada zAnálisis de sistemas de tiempo discretoConcepto de diagramas de polos y ceros Relación con respuesta en frecuenciaFiltrado digital
Ω = 0f = 0 Hz
Ω = 0f = 0 Hz
Ω = πf = fs/2 Hz
Ω = πf = fs/2 Hz
125/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Transformada z
∑∞
−∞=
−=k
knxkhny ][][][nznx 0][ =
∑∞
−∞=
−=k
kzkhzH 00 ][)(
x[n] y [n] = x[n]*h[n]h[n]
∑∑∞
−∞=
−∞
−∞=
− ==k
kn
k
kn zkhzzkhny 00)(
0 ][][][
∑∞
−∞=
−=⎯→←n
nTZ znxzXnx ][)(][
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
126/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Transformada z
Propiedades de la ROC• Anillos• No contiene polos• x(n) duración finita -> ROC plano z
Propiedades (traslación en el tiempo)Análisis de sistemas LTI mediante TZ
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
127/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Transformada z: relación con la respuesta en frecuencia
Eje real
Eje imaginario
z = 1= ej0
z = j = ejπ/2
z = -1 = ejπ
z = -j = ej3π/2
β
z = ejβ
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
128/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Eje real
Eje imaginarioZona correspondiente a las altas frecuencias
z = -j = ej3π/2
Zona correspondiente a bajas frecuencias
Ω = π radianes (Corresponde a la mitad de la frecuencia de muestreo)
Transformada z: relación con la respuesta en frecuencia
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
129/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Vamos a “desdoblar” la circunferencia de radio 1 y a establecer la correspondencia ángulo - frecuencia.
Por supuesto podemos dar todas las vueltas que queramos a la circunferencia, pero volveremos a ver los mismos ángulos y las mismas frecuencias
ángulo (rad)frecuencia
0 π 2π
0 fs/2 fs
fs= frecuencia de muestreo
α
αfs/2π
Sólo tiene sentido físico ese rango de frecuencias
Transformada z: relación con la respuesta en frecuencia
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
130/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Transformada zPropiedad muy importante: desplazamiento en el tiempoT Z {x[n-no]} = X(z) z-n0
Una forma de expresar un sistema discreto es mediante una ecuación en diferencias. P ej:
En el dominio z tendriamos:
Con lo cual la función de transferencia quedaría:
y[n] = x[n] - x[n-1]
Y(z) = X(z) - X(z)z-1
zz1z1
X(z)Y(z)H(z) 1 −=−== −
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
131/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal131
Diagrama de polos y
ceros
polo cero
Ángulo de visión de la transparencia siguiente
Zona de frecuencias altas
Zona de frecuencias bajas
132/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal132
Influencia de los polos y cerosDesde esta posición se puede observar que el sistema del ejemplo corresponde a un filtro paso alto
133/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Sistemas definidos mediante ec. en dif. lin. de coef. ctes.
[ ]0nnx − [ ]∑∞
−∞=
−−⎯→←n
nTz znnx 0 [ ]∑∞
−∞=
−−
=−=
k
nn
knnzkx 0
0[ ]∑
∞
−∞=
−−=k
nn zkxz 0 )(0 zXz n−=
[ ] n
nznxzX −
∞
−∞=∑=)(
H(z)X(z) Y(z)=X(z)H(z)Sistema discreto L I:
Ejemplo de sistema definido por ecuación en diferencias:[ ] [ ] [ ] [ ]115.0 −++−= nxnxnyny [ ] [ ] [ ] [ ]115.0 −+=−−⇒ nxnxnyny
Aplicando transformada z:11 )()()(5.0)( −− +=− zzXzXzzYzY
)()()(
zXzYzH =⇒ 1
1
5.011
−
−
−−
=z
z5.0
1−−
=zz
Faltaría por definir la ROC
134/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Diagrama de polos y ceros
5.01)(
−−
=zzzH
0.5 1
Suponiendo por ejemplo sistema estable, la ROC y el diagrama de polos y ceros serían:
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
135/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Estructuras de filtros digitales
Elementos básicos
Retardos z-1x[n] x[n-1]
Sumas x[n] x[n]+y[n]
y[n]
Escalados x[n] ax[n]a
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
136/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Filtros FIR[ ] [ ]∑
=
−=M
kk knxbny
0
z-1
z-1
z-1
x[n] y[n]b0
b1
b2
bM-1
bM
x[n-1]
x[n-2]
x[n-M+1]
x[n-M]
y1=0
for(i=0;i<=M;i++)
y1=y1+b[i]x[n-i];
y[n]=y1
for(i=M;i>0;i--)
x[n-i] = x[n-i+1];
• Técnicas de procesado de señal• Señales y sistemas• Transformada de Laplace• Introducción al análisis de Fourier• Muestreo• Transformada Z• DFT• Filtrado básico
137/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Filtros IIR
[ ] [ ]∑∑==
−=−M
kk
N
kk knxbknya
00
z-1
z-1
z-1
x[n] b0
b1
b2
bM-1
bM
x[n-1]
x[n-2]
x[n-M+1]
x[n-M]
y[n]
z-1
z-1
z-1
1/a0
-a1
-a2
-aM-1
-aM
[ ] [ ] [ ]∑∑==
−−−=N
kk
M
kk knyaknxbnya
100
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138/138Tratamiento Digital de la Señal de Voz, Curso 2010/2011. Tratamiento Digital de la Señal
Diseño de filtros digitales
Diseño de filtros IIR basado en técnicas de diseño analógico
Prototipado paso bajoTransformación de frecuenciasTeoría de la aproximación
Diseño de filtros FIRMétodo de la ventanaMétodo del muestreo en frecuencia
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