Señales y sistemas - Trabajo Práctico N° 1 (Descriptores de una señal)

Universidad Nacional de Tres de Febrero

Ingeniería de sonido

Señales y Sistemas

Trabajo Práctico Nro. 1:

“Descriptores de una señal”

Docentes:

• Ing. Antonio Greco

• Mg. Lic. Myriam Sassano

Alumnos:

• Alan Rubellin

• Andrés Sabater

Fecha de entrega:

• 05/05/2012

Descriptores de una señal Señales y Sistemas - UNTREF

Rubellín - Sabater 1

Índice 1. Introducción: ...................................................................................................................................2

1.1 Señales.......................................................................................................................................2

1.2 Descriptores de una señal .........................................................................................................3

1.3 Valuación numérica de integrales .............................................................................................6

2. Planteo del problema: .....................................................................................................................8

2.1 Obtención de la señal ................................................................................................................8

3. Desarrollo: .......................................................................................................................................9

4. Resultados: ....................................................................................................................................12

5. Conclusiones:.................................................................................................................................15

6. Bibliografía:....................................................................................................................................16



1. Introducción: 1.1 Señales Las señales son magnitudes o parámetros físicos cuyos valores varían con el tiempo, espacio o cualquier variable independiente, y contienen información acerca de un fenómeno físico. Por ejemplo, las señales eléctricas pueden representar la variación de una tensión eléctrica con respecto al dominio del tiempo. Otro ejemplo que puede citarse es el caso de una señal sonora que representa las variaciones de presión respecto del tiempo y de la posición en el espacio. Las señales pueden clasificarse en dos tipos según su dominio: señales continuas y señales discretas. 1.1.1 Señales continuas Son señales que varían en función de una variable independiente continua que adquiere valores reales; es decir que si tomamos dos puntos cualesquiera de esta variable, existirán infinitos valores dentro de ese intervalo. Un ejemplo de este tipo de señales es la carga de un capacitor en función del tiempo, en un circuito RC de corriente continua.

Figura 1. Ejemplo de una señal continua: carga de un capacitor en función del tiempo (“Introdución al

Análisis de Circuitos” Robert L. Boylestad / 2011, 12va. Edición).

1.1.2 Señales discretas Son señales que varían en función de una variable independiente discreta, es decir, que sólo adquiere valores enteros. Un ejemplo de este tipo de señales es el índice semanal Dow Jones en el mercado de valores.



Figura 2. Ejemplo de una señal discreta: índice semanal Dow Jones en el mercado de valores (“Señales y

Sistemas” Oppenheim – Willsky – Nawab / 1997, 2da. Edición).

1.1.3 Señal periódica Una señal periódica es aquella en la que se cumple lo siguiente:

• x (t + kT) = x (t) CASO SEÑAL CONTINUA

Siendo T el periodo fundamental de la señal, y k un número entero. • x [n + kN] = x [n] CASO SEÑAL DISCRETA

Siendo N el periodo fundamental de la señal, y k un número entero.

1.2 Descriptores de una señal Los descriptores son valores que caracterizan a una señal, obtenidos a través de cálculos utilizando datos propios de la señal en cuestión, por ejemplo, el período de la señal. Los descriptores utilizados en este informe son: el valor pico, valor eficaz (RMS), valor medio, factor de cresta y los percentiles (10, 50, 90).

Figura 3: Descriptores de una señal periódica. (Material y apuntes del curso Señales y Sistemas, UNTREF,

Ingeniería de Sonido 2012)



Figura 4:Descriptores de una señal aperiódica. (Material y apuntes del curso Señales y Sistemas,

UNTREF, Ingeniería de Sonido 2012)

1.2.1 Valor pico Este descriptor corresponde al máximo valor alcanzado por la señal en un determinado intervalo de tiempo. 1.2.2 Valor eficaz (RMS) El valor eficaz o RMS de una señal es el valor que produce la misma disipación de potencia que una señal constante en el tiempo de la misma magnitud. En el caso de una señal de corriente alterna, el valor RMS es el que tendría una corriente continua que produjera la misma potencia que dicha corriente alterna, al aplicarla sobre una misma resistencia.

El valor eficaz de una onda periódica xa(t) se calcula sobre un intervalo de la función correspondiente a un periodo propio fundamental completo Tp desde cualquier instante t0.

Ecuación 1. Valor eficaz de una señal continua.

En el caso de que la onda a medir sea una señal discreta, el valor eficaz se calculará de la siguiente manera:

Ecuación 2. Valor eficaz de una señal discreta.

dttxTp

⋅⋅= ∫+

)(1

Vp0 Tt

0

2RMS

n

xxx n

2][

2]1[

2]1[

RMS

... V

+++=



1.2.3 Valor medio Se denomina valor medio de una señal a la media aritmética de todos sus valores instantáneos de amplitud medidos en un cierto intervalo de tiempo. En el caso de una señal de corriente alterna sinusoidal, el valor medio es nulo debido a que los valores medidos en el primero semiciclo de la señal (positivo respecto del cero) se compensan con los valores instantáneos del segundo semiciclo de la señal (negativo respecto del cero).

El valor medio de una onda periódica xa(t) se calcula sobre un intervalo de la función correspondiente a un periodo propio fundamental completo Tp desde cualquier instante t0.

Ecuación 3. Valor medio de una señal continua.

En el caso de que la onda a medir sea una señal discreta, el valor medio se calculará de la siguiente manera:

Ecuación 4. Valor medio de una señal discreta.

1.2.4 Factor de cresta El factor de cresta se define como la relación entre el valor pico de la señal y su valor RMS, siendo ambos valores obtenidos dentro de un determinado intervalo de tiempo.

Ecuación 5. Factor de cresta de una señal.

dttxTp

⋅⋅= ∫+ p0 Tt

0

medio )(1 V

n

xxx n][]1[]1[medio

... V

+++=

RMSV

Vmax cresta deFactor =



1.2.5 Percentiles El percentil Px es aquel valor de la señal tal que el x% de los valores son inferiores o iguales a éste; siendo el (100-x)% restante, superiores al percentil Px. El método de cálculo es, en primer lugar, ordenar los valores de la función de manera ascendente. En segundo lugar, se busca el valor del vector ordenado en la posición x*(n+1)/100. Siendo x el valor del percentil a calcular y n el número total de muestras. 1.3 Valuación numérica de integrales Como se ha visto hasta ahora, varios descriptores de señales se calculan mediante diferentes integrales definidas. Sucede a menudo que este tipo de integrales son demasiado complejas de calcular que se recurren a otros medios para valuarlas numéricamente. A pesar de la practicidad que generan estas aproximaciones, se tendrá un cierto un error con respecto al valor numérico de la integral original. En este informe se harán uso de dos métodos numéricos: la regla del trapecio y la regla de Simpson 1/3, teniendo en cuenta que ambos métodos tienen menor error de precisión diferente. 1.3.1 Regla del trapecio Consiste en dividir el intervalo de la función que se desea aproximar en un numero finito y entero de N subintervalos de igual distancia. Se calcula el área de la función en cada subintervalo, aproximándola con el área de un trapecio. La función f se aproxima en cada intervalo [xk,xk+1], con k ={0,1,..,N-1}, utilizando el polinomio de Lagrange de interpolación de lineal.

Ecuación 6. Polinomio de interpolación lineal de Lagrange.

Remplazando f por el polinomio de Lagrange nos queda que:

Ecuación 7. Regla del trapecio

.

Donde h = xk+1-xk representa la longitud de cada subintervalo.

kk xx −⋅+

−⋅=

+

+

+

+

1k

k1k

1k

1kkk

x

x-x)f(x

x

x-x)f(x (x)p

++⋅=⋅≅⋅ ∑∫∫

−

=

+ 1

1k )(2)()(

2(x)p)(

1 N

k

k

x

x

b

a

xfbfafh

dxdxxfk

k



1.3.2 Regla de Simpson 1/3 La regla de Simpson es similar a la regla del trapecio en el hecho de que divide el intervalo de integración en intervalos de menor tamaño. Sin embargo, es diferente ya que aproxima el área de cada intervalo haciendo pasar una parábola por tres puntos de dos intervalos adyacentes. Por lo tanto, el número N deberá ser par. El polinomio utilizado es el de interpolación de Lagrange de grado menor o igual que dos:

Ecuación 8. Polinomio de interpolación de Lagrange de grado menor o igual que dos.

Remplazando f por el polinomio de Lagrange nos queda que:

Ecuación 9. Regla de Simpson 1/3.

)(x)(x

)x-(x)x-(x)f(x

)(x)(x

)x-(x)x-(x)f(x (x)p

21k1k

2kk1k

2k1k

2k1kkk

+++

++

++

++

−⋅−

⋅⋅+

−⋅−

⋅⋅=

kkkk xxxx

)(x)(x

)x-(x)x-(x)f(x

12k2k

1kk2k

+++

++

−⋅−

⋅⋅+

kk xx

+++⋅=⋅≅⋅ ∑ ∑∫∫

−

=

−

=+

+ 2

2

0

2

2

1212k )(2)(4)()(

3(x)p)(

2

N

k

N

k

kk

x

x

b

a

xfxfbfafh

dxdxxfk

k



2. Planteo del problema: Para lograr alcanzar los valores típicos que describen una señal, es de fundamental necesidad la posesión de instrumental específico, para poder obtener resultados precisos. Tal es así, que surge como problemática los costos del material de trabajo. Para poder satisfacer tal complejidad, existe la posibilidad de recurrir a determinados software comerciales que calculan los parámetros descriptores de la señal pertinente; aunque se desconoce la exactitud y precisión de los resultados que éste entrega, así como tampoco, el trato que se le da a la señal. Por eso, surge la necesidad de trabajar con software matemático para, de esta manera, desarrollar los algoritmos correspondientes y alcanzar los valores pretendidos con una exactitud conocida y confiable. 2.1 Obtención de la señal

Para registrar la señal de estudio se llevo a cabo la grabación de un tren de impulsos (aplausos) a través del siguiente sistema:

Figura 5: Sistema de procesamiento digital de audio tipo de izq. a derecha: Micrófono, amplificador,

conversor análogo-digital, sistema digital, conversor digital-análogo, amplificador, altavoz. (Material y

apuntes del curso Señales y Sistemas, UNTREF, Ingeniería de Sonido 2012)

Todo los equipos se encontraban “on board” en una notebook Dell, modelo INSPIRON 1545 con N° de serie: 11679682429 La señal registrada fue la siguiente:

Figura 6: Señal de análisis.



3. Desarrollo: Se ha desarrollado el siguiente programa en Matlab con el fin de alcanzar los siguientes descriptores:

• Average (Valor medio) • RMS (Root Mean Square) • RMStrap (RMS integrando con la regla del trapecio) • RMSsimp (RMS integrando con la regla de Simpson 1/3) • Vmax (Valor pico) • Vmin (Valor pico negativo) • FC (Factor de Cresta) • P10, P50 y P90 (Percentiles 10, 50 y 90) • Gráfico representativo de la señal

También se ha buscado que el programa devuelva resultados utilizando funciones propias del Matlab, como ser:

• Averagemtlb (Average con la función “Mean”) • Vmaxmtlb (Vmax con la función “Max”) • P10mtlb, P50mtlb, P90mtlb (Percentiles con la función “Prctile”)

A continuación se detalla el código del programa desarrollado: function res= descriptores (signal)

% "DESCRIPTORES" devuelve los valores que describen a una señal;

% Average, RMS, RMS con integral por regla del trapecio, RMS con

% integral %por regla de Simpson, Vmax, factor de cresta FC, Percentiles

% 10, 50 y 90, y su gráfico. % Tambien devuelve los valores Averagemtlb, Vmaxmtlb, P10mtlb, P50mtlb y % P90mtlb que son los valores que devuelven distintas funciones del % programa Matlab, para permitir de esta manera la comparación con los % valores obtenidos. % % Se debe ingresar la función y entre paréntesis, entre una sola comilla, % el nombre del archivo que contiene la señal .wav, % % Ejemplo: % % descriptores ('señal.wav')

%Se carga el vector y la cantidad total de muestras [y,fs,nbits]= wavread (signal); n= length (y);



%Cálculo del valor medio Averagemtlb= mean (y) Average= sum(y)/n

%Cálculo del valor RMS RMS= sqrt(sum(y.^2)/n)

%Calculo RMS por integral trapezoidal sumT=0; for N= 1:n if N==1 | N==n y2=y(N)^2; else y2=2*y(N)^2; end sumT=sumT + y2; end

RMStrap= sqrt(sumT/(2*n))

%Calculo RMS a través de la regla de Simpson sumS=0; for N= 1:n if N==1 | N==n y3=y(N)^2; else p=N/2; %Se determina si N es par o impar. p2=floor(p); p3=p-p2; if p3==0 y3=2*y(N)^2; else y3=4*y(N)^2; end end sumS= sumS+y3; end RMSsimp= sqrt(sumS/(3*n))

%calculo Valor Maximo Vmaxmtlb= max(y) Vminmtlb= min(y)

picn= y(1); pic= y(1); for N= 1:n if y(N)>pic; pic = y(N); end if y(N)<picn; picn = y(N); end end; Vmax = pic Vmin = picn



%Calculo Factor de cresta FC= pic/RMS

%Calculo de percentiles P10mtlb = prctile (y,10) P50mtlb = prctile (y,50) P90mtlb = prctile (y,90)

x = sort (y); a=(n+1)*10/100; b=floor (a); c=ceil (a); P10= (x(b)+x(c))/2

a=(n+1)*50/100; b=floor (a); c=ceil (a); P50= (x(b)+x(c))/2

a=(n+1)*90/100; b=floor (a); c=ceil (a); P90= (x(b)+x(c))/2

%Ploteo de la señal

plot(y, 'r'); title (signal); xlabel('Tiempo'); ylabel ('Amplitud');

end

También se ha trabajado la señal con los programas “Nuendo 4.0” y “Sony SoundForce 7.0”, con le fin de adquirir valores estimativos y descriptivos de la señal, para ser luego comparados con los resultados del programa desarrollado.



4. Resultados: Los resultados obtenidos con el programa ejecutado, utilizando como fuente de análisis la señal mencionada y graficada en el apartado segundo del presente, fueron los siguientes: descriptores('Impulsos')

Averagemtlb = -9.9861e-005

Average = -9.9861e-005

RMS = 0.0809

RMStrap = 0.0809

RMSsimp = 0.0810

Vmaxmtlb = 0.9806

Vmax = 0.9806

Vminmtlb = -0.8717

Vmin = -0.8717

FC = 12.1171

P10mtlb = -0.0654

P50mtlb = 5.4932e-004

P90mtlb = 0.0645

P10 = -0.0654

P50 = 5.4932e-004

P90 = 0.0645



A continuación se presentan las tablas estadísticas entregadas por estos dos programas comerciales: Sony SoundForce:

Figura 7: Valores entregados por Sony SoudForce 7.0

Steinberg Nuendo:

Figura 8: Valores entregados por Steinberg Nuendo 4.0



Visto y considerando que los valores devueltos por los programas comerciales están expresados en decibeles; también se expresarán en forma directa.

Integral de Riemann

Regla del trapecio

Regla de Simpson

Nuendo SoundForge

Valor RMS 0,0809 0,0809 0,081 0,083 0,081

Valor RMS (dB) -21,841 -21,841 -21,8303 -21,62 -21,83

Tabla 1. Comparación del valor eficaz de la señal elegida, utilizando los valores arrojados por el programa

propio y los entregados por dos programas comerciales.

Se puede observar la prácticamente nula diferencia entre los resultados obtenidos trabajando con los distintos sistemas de integración, así como también la similitud entre los resultados alcanzados con los algoritmos desarrollados y las funciones predeterminadas de Matlab.

Valor Matlab Código propio Nuendo SoundForge

Average -9,99E-05 -9,99E-05 -1,00E-04 -1,00E-04

Average en dB -80,0121 -80,0121 -80,01 -80

Vmax 0,9806 0,9806 0,981 0,981

Vmax en dB -0,1702 -0,1702 -0,17 -0,17

Vmin -0,8717 -0,8717 -0,872 -0,872

Vmin en dB -1,1927 -1,1927 -1,19 -1,19

Tabla 2. Comparación del valor máximo, valor mínimo y valor medio de la señal elegida, utilizando los

valores arrojados por el programa propio y los entregados por dos programas comerciales.

Puede observarse que las diferencias entre los resultados obtenidos con el programa matemático, tanto a través de las funciones desarrolladas como las predeterminadas, y los resultados obtenidos utilizando programas comerciales referidos al manejo de señales sonoras, son totalmente despreciables.

También vale destacar, la particular similitud entre los valores entregados por los algoritmos desarrollados y predeterminados por el programa matemático; así como también los datos entregados por los dos software comerciales.



5. Conclusiones: Se han logrado desarrollar los códigos necesarios para describir los valores característicos de una señal y se han comparado con los valores calculados por el programa Matlab y los entregados por los softwares comerciales Nuendo y SoundForce. Si bien los valores alcanzados por el código desarrollado ofrecen amplia similitud con los obtenidos a través de los softwares comerciales, no estamos en condiciones de afirmar que todos los programas comerciales otorguen una exactitud confiable en sus resultados. Así mismo, es de amplio conocimiento, que la calidad de los resultados de la medición no sólo depende de la precisión del cálculo realizado por cualquier software, sino que es directamente proporcional a la calidad del equipamiento con que se capture y digitalice la señal. También se pudo observar, que los programas comerciales que entregan los resultados en decibeles, toman como valor conceptual del decibel como 20 log(X), debido a que fue con este cálculo que obtuvimos los símiles valores. Esto deja en claro una situación de “por default” por parte del programa ya que en ningún momento éste solicita información del tipo de magnitud con el cual se está trabajando.



6. Bibliografía:

• “Señales y Sistemas” Oppenheim – Willsky – Nawab / 1997, 2da. Edición. • “Señales y Sistemas” Material y apuntes del Curso./ 2012, UNTREF, Ingeniería de

Sonido. • “Introdución al Análisis de Circuitos” Robert L. Boylestad / 2011, 12va. Edición. • “Matlab Getting Started Guide” The MathWorks Inc./ 2010. • “Probabilidad y estadísticas para ingeniería y ciencias” Walpole – Meyers –

Meyers/ 2007, 8va. Edición.

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