Sep10-algMecanicasepA_Soluciones10
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Algebra. (I. Mecanica). Septiembre 2010. Tipo A Soluciones.
Ejercicios 1 a 6: Deben ser contestados en hoja de lectura optica. Cada respuesta correcta suma1pto, incorrecta resta 0.33ptos, las dobles marcas o en blanco ni suman ni restan.
Problema: Se corregira solo si la nota obtenida en los 6 ejercicios tipo test es igual o superior a2, 3.
Ejercicio 1 En el espacio vectorial Pn(x) de los polinomios con coeficientes realesde grado menor o igual a dos, se consideran los polinomios p1(x) = a + 2x2; p2(x) =a + 3x + 5x2; p3(x) = 3a + 3x + x
2, son: A) linealmente independientes; B) segun elvalor de a seran linealmente independientes o linealmente dependientes; C) linealmentedependientes; D) ninguna de las anteriores.
Ejercicio 2 En el espacio vectorial R2 se define un endomorfismo tal que f(3, 0) =(1,2); f(1, 1) = (1,1). Las ecuaciones de f en la base canonica {(1, 0), (0, 1)} son:A) y1 =
13x1 43x2, y2 = 23x1 13x2; B) y1 = 3x1 13x2, y2 = 3x1 43x2; C) y1 = 13x1+ 43x2,
y2 = x1 13x2; D) ninguna de las anteriores.Ejercicio 3 La conica de ecuaciones x = 22 4 1, y = + 1 es una: A)
circunferencia; B) elipse; C) hiperbola; D) ninguna de las anteriores.
Ejercicio 4 Sea A una matriz regular y B una matriz cuadrada arbitraria del mismoorden que A, entonces las matrices producto AB y BA tienen los valores propios: A)recprocos; B) iguales; C) opuestos; D) ninguna de las anteriores.
Ejercicio 5 En el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que
uno consideramos el producto escalar: p(x) q(x) = 10 p(x)q(x)dx, la proyeccion delvector p(x) = 2, sobre el vector q(x) = 3x+ 1 es: A) 2; B)
32
; C)57
; D) ninguna de las
anteriores.
Ejercicio 6 El valor de para que la forma cuadratica f(x, y, z) = x2 + 4y2 + 2z2 +
2xy+2xz sea semidefinida positiva, es: A) 2 y 2; B) ningun valor de ; C) 2 y 2;D) ninguna de las anteriores.
Problema
Dado el sistema de ecuaciones lineales: 1 1 21 0 21 1 7
x1x2x3
=01
3
. Resolverlo mediante la factorizacion LUa)(2,5ptos.) Obteniendo las matrices L y U , dando las operaciones de fila y las matriceselementales transformadas.b)(1,5ptos.) Estudiar y dar la solucion del sistema obtenido por el procedimiento defactorizacion LU.
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Soluciones de Algebra. (I. Mecanica). Septiembre 2010. Tipo AEjercicio 1 En el espacio vectorial Pn(x) de los polinomios con coeficientes reales
de grado menor o igual a dos, se consideran los polinomios p1(x) = a + 2x2; p2(x) =a + 3x + 5x2; p3(x) = 3a + 3x + x
2, son: A) linealmente independientes; B) segun elvalor de a seran linealmente independientes o linealmente dependientes; C) linealmentedependientes; D) ninguna de las anteriores.
Solucion 1Se verifica: p3(x) = p2(x) 2p1(x), luego son linealmente dependientes, correcta la
C).
Ejercicio 2 En el espacio vectorial R2 se define un endomorfismo tal que f(3, 0) =(1,2); f(1, 1) = (1,1). Las ecuaciones de f en la base canonica {(1, 0), (0, 1)} son:A) y1 =
13x1 43x2, y2 = 23x1 13x2; B) y1 = 3x1 13x2, y2 = 3x1 43x2; C) y1 = 13x1+ 43x2,
y2 = x1 13x2; D) ninguna de las anteriores.Solucion 2La expresion de los vectores de la base canonica en la base B = {u = (1, 1), v = (3, 0)}
es: (1, 0) = 13(3, 0) =13v; (0, 1) = (1, 1) 13(3, 0) = u 13v, aplicando f resultara: f(1, 0) =
13f(v) =
13(1,2) = (13 ,23) y f(0, 1) = f(u) 13f(v) = (1,1) 13(1,2) = (43 ,13),
si escribimos:f(x1, x2) = f(x1(1, 0) + x2(0, 1)) = x1f(1, 0) + x2f(0, 1) = x1(
13 ,23) + x2(43 ,13) =
(y1, y2), entonces13x1 43x2 = y1 ; 23x1 13x2 = y2, correcta la A).Ejercicio 3 La conica de ecuaciones x = 22 4 1, y = + 1 es una: A)
circunferencia; B) elipse; C) hiperbola; D) ninguna de las anteriores.
Solucion 3Elevando al cuadrado la expresion de la x resulta x2 = 22 4 1 y llevando el
valor de sacado de la y resulta:x2 = 2(y 1)2 4(y 1) 1 lo que nos lleva a la expresion final x2 + 2y2 = 1 que
es una elipse de semiejes a = 1 y b =
2
2.Correcta la B).
Ejercicio 4 Sea A una matriz regular y B una matriz cuadrada arbitraria del mismoorden que A, entonces las matrices producto AB y BA tienen los valores propios: A)recprocos; B) iguales; C) opuestos; D) ninguna de las anteriores.
Solucion 4En efecto, podemos escribir AB I = AB AA1 = A(B A1) y por tanto
la expresion de la ecuacion caracterstica de AB es: |A(B A1)| = |A||B A1| =|BA1||A| = |(BA1)A| = |BAI| que resulta ser, igualada a 0, la misma quela de BA y por tanto los valores propios de ambas son iguales. Correcta la B).
Ejercicio 5 En el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que
uno consideramos el producto escalar: p(x) q(x) = 10 p(x)q(x)dx, la proyeccion del2
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vector p(x) = 2, sobre el vector q(x) = 3x+ 1 es: A) 2; B)32
; C)57
; D) ninguna de las
anteriores.
Solucion 5El producto escalar de los polinomios p y q es p q = |p||q| cos, la proyeccion de p
sobre q tiene la expresion Proy pq = |p| cos = p q|q| . Calculando los elementos de estecociente:
el producto escalar, p q = 10 2(3x+ 1)dx = [3x2 + 2x]10 = 5 y la norma de q,|q| = +
10 (3x+ 1)
2dx = +
[3x3 + 3x2 + x]10 =
7. Llevando a la expresion de la
proyeccion ambos resultados queda 57, correcta la C).
Ejercicio 6 El valor de para que la forma cuadratica f(x, y, z) = x2 + 4y2 + 2z2 +
2xy+2xz sea semidefinida positiva, es: A) 2 y 2; B) ningun valor de ; C) 2 y 2;D) ninguna de las anteriores.
Solucion 6
La matriz asociada a la forma cuadratica es, A =
1 1 4 01 0 2
; entonces el polinomiocaracterstico sera:
|A I| =1 1 4 01 0 2
= 3 + 72 13 + 4 22 + 2, para que estepolinomio en tenga una raz nula, = 0, debera ser el termino independiente nulo,luego 4 2 = 0 lo que nos lleva a que = 2. La ecuacion con este resultado es27+11 = 0 que tiene dos races positivas. Se verifica que el rango de f y la signaturade f son iguales e iguales a 2.Correcta la C).
Problema
Dado el sistema de ecuaciones lineales: 1 1 21 0 21 1 7
x1x2x3
=01
3
. Resolverlo mediante la factorizacion LUa)(2,5ptos.) Obteniendo las matrices L y U , dando las operaciones de fila y las matriceselementales transformadas.b)(1,5ptos.) Estudiar y dar la solucion del sistema obtenido por el procedimiento defactorizacion.
Solucion a). La matriz de los coeficientes de las incognitas A es regular (|A| = 1),la factorizacion sera unica; primero hay que transformar, si es posible, la matriz inicialen triangular superior mediante la eliminacion de Gauss sin intercambios de filas. Deta-llamos el proceso de calculo de la matriz U , escribiendo la matriz de partida, la operacionelemental y la matriz transformada, de izquierda a derecha.
3
-
A =
1 1 21 0 21 1 7
F2 F2F1 1 1 20 1 4
1 1 7
F3 F3F1 1 1 20 1 4
0 2 9
F3 F3 2F2
1 1 20 1 40 0 1
= U .A continuacion calculamos la matriz L considerando las operaciones elementales asoci-
adas a la sucesion de operaciones realizadas para la obtencion de la matriz U . La primera
operacion, F2 F2 F1 se corresponde con la matriz E1 = 1 0 01 1 0
0 0 1
, entonces laE11 =
1 0 01 1 00 0 1
, es la matriz asociada a la operacion F2 F2 + F1.Sucesivamente y de la misma manera calculamos los pasos siguientes.
La segunda operacion, F3 F3F1 se corresponde con la matriz E2 = 1 0 00 1 01 0 1
,entonces la E12 =
1 0 00 1 01 0 1
, es la matriz asociada a la operacion F3 F3 + F1.La tercera operacion, F3 F32F2 se corresponde con la matriz E3 =
1 0 00 1 00 2 1
,entonces la E13 =
1 0 00 1 00 2 1
, es la matriz asociada a la operacion F3 F3 + 2F2.La matriz L sera L = E11 E
12 E
13 =
1 0 01 1 01 2 1
. Puede comprobarse que en efectoA = LU .
Solucion b).
El primer paso es resolver LY = B, siendoB =
013
, en este caso es, 1 0 01 1 0
1 2 1
y1y2y3
=013
, cuya solucion trivialmente es Y =01
1
. El ultimo paso es resolver la ecuacionUX = Y , es decir
1 1 20 1 40 0 1
x1x2x3
=01
1
, donde facilmente resulta la solucion4
-
X =
131
.
5