Solución examen Física (Grado en Matemáticas)

Curso 2012/2013, Septiembre

1. Se quiere elevar una vagoneta llena de carbón, con un peso total del 90 kg, hasta la parte superior de un plano inclinado 30º para su descarga (ver figura). Para ello se la conecta mediante una cuerda inextensible y de masa despreciable a un cubo lleno de agua que pesa 50 kg. La cuerda pasa por una polea que puede

considerarse como un disco sólido de masa 10 kg (2 / 2I mr ). Suponiendo que

la vagoneta y el cubo parten del reposo, calcule la velocidad de la vagoneta cuando el cubo ha descendido una altura de 10 m. No considere ningún tipo de rozamiento y supóngase que la cuerda no desliza sobre la polea haciendo que ésta gire. (2 puntos)

Solución

Podemos resolver el problema aplicando la conservación de la energía mecánica:

cU E

2 2 21 1 1( ) ( ) sen30

2 2 2c i f v i f c v

m g h h m g h h m v m v I ,

donde 10 mi f

h h y /v r . Despejando la velocidad obtenemos

2,6 m/sv .

2. Supongamos que nos encontramos en la superficie de la Tierra. ¿Con qué velocidad deberíamos lanzar horizontalmente un objeto para que, despreciando cualquier tipo de rozamiento, diera la vuelta a la Tierra y nos golpease en la

espalda? Utilizar exclusivamente los siguientes datos: 2

09,81 m/s .g

T6370 km.R (1,5 puntos)

Solución Para que esto ocurra el objeto debería describir una órbita en la superficie de la Tierra bajo la acción de su campo gravitatorio. Por lo tanto

2

1/2

02 7,9 km/sT

T

T T

M m vG m v g R

R R .

3. Una esfera conductora de radio R1 cargada con una carga q se encuentra en

equilibrio electrostático. Esta esfera se coloca en el interior de una corteza esférica

conductora y descargada, de radio interior R2 y radio exterior R3, siendo 2 1

R R .

Representar gráficamente el módulo del campo eléctrico en función de la distancia radial al centro de las esferas. (1,5 puntos)

Solución Sabemos que la carga en un conductor en equilibrio electrostático se distribuye en su superficie, por lo que campo eléctrico dentro de la esfera conductora será nulo. Por otro lado, en la superficie interna de la corteza esférica se inducirá una carga de signo opuesto a la carga de la esfera conductora interna, esto es -q, mientras que en la superficie externa la carga inducida será q para conservar la neutralidad de la carga dentro de la corteza. Aplicando Gauss obtendremos fácilmente el siguiente comportamiento:

4. Una carga q de masa m se mueve en la dirección del eje X y en el sentido

positivo con velocidad constante vv i . En un momento dado se activa un

electroimán que genera un campo magnético B uniforme en todo el espacio

xB B

zB i k con componentes positivas.

r

E

R1 R2 R3

- Describir lo más precisamente posible el movimiento de la partícula. (1,5 puntos) -¿Cuánto tiempo tardará en avanzar una distancia d muy grande en la dirección del eje X? (1,5 puntos)

Solución En el momento en que se activa el campo magnético, la velocidad de la carga

forma un ángulo arctan z

x

B

B con el campo.

Si este ángulo fuera 0 (velocidad inicial y campo alineados), el campo magnético no modificaría en nada la trayectoria de la carga ya que la fuerza resultante

q F v B sería nula.

Si el ángulo fuera de 90º (velocidad inicial y campo perpendiculares), sabemos sobradamente que la partícula describiría una trayectoria circular ya que la fuerza sería perpendicular en todo momento a la velocidad, de módulo constante y siempre contenida en el mismo plano, perpendicular al vector campo. Sin embargo, en nuestro caso la velocidad y el campo forman un cierto ángulo, por lo que la trayectoria será helicoidal, esto es, la combinación de una trayectoria lineal con velocidad constante y un movimiento circular en el plano perpendicular a la dirección de avance lineal. En estos casos lo mejor es descomponer la velocidad en dos componentes, una componente en la dirección del campo (que no experimentará fuerza alguna) y una componente perpendicular al campo. El módulo de la componente en la dirección del campo B es

||cos

Bv v ,

donde

2 2

x

cos xB

B B

z

.

Para calcular la expresión vectorial de esta componente bastará multiplicar el módulo por el vector unitario en la dirección del campo

x

|| x2 2

x

B

vBB B

B B

z

z

v i k

Por lo tanto, la carga se moverá con velocidad constante en esta dirección. Por otro lado, describirá a la vez circunferencias en el plano perpendicular a B. El módulo de la componente de la velocidad inicial perpendicular a B es

sinB

v v ,

con

2 2

x

sin zB

B B

z

.

El radio de las circunferencias será

2 2

B z

x z

mv mvBR

q q B B

B

.

Para calcular el avance de la partícula en la dirección del eje X debemos calcular

la componente X de la velocidad de avance lineal ||B

v . Esta componente es

2 2

2 2

|| , || 2 2

x

cos cos x

B x B

v Bv v v

B B

z

El tiempo que tardará en recorrer una distancia d en la dirección del eje X, suponiendo que el radio de giro es muy pequeño comparado con esta distancia, será:

2 2

x

2 2

|| ,B x x

d B Bdt

v v B

z

5. Las transformaciones relativistas de velocidades son

2 2

' '

'1 1

x xx x

x x

u v u vu u

vu vu

c c

Una nave se aleja de la Tierra con una velocidad de 0.6c respecto a la Tierra. A

una cierta distancia se desprende una cápsula que vuelve hacia la Tierra con

velocidad 0.3c respecto de la nave, la cual sigue su trayectoria inicial manteniendo

la misma velocidad. Supongamos dos observadores, uno situado en la Tierra y

otro situado en la nave, ¿cuál de ellos medirá una mayor duración de un suceso

que se produzca dentro de la cápsula? (2 puntos)

Solución

Para calcular la duración del suceso desde los dos sistemas de referencia

debemos calcular la velocidad de la cápsula respecto a la Tierra.

Consideremos dos sistemas de referencia, el sistema S situado en la Tierra y el

sistema S’ situado en la nave. El sistema S’ se mueve con respecto al sistema S

con velocidad 0.6c. Para calcular la velocidad de la cápsula con respecto a la

Tierra, aplicamos la transformación directa de velocidades con ' 0,3xu c y

0,6v c :

2

0,3 0,60,366

0,3 0,61

x

c cu c

c c

c

.

Para ambos observadores la duración del suceso en la cápsula es el tiempo

propio ya que ocurre dentro de la cápsula y por tanto puede ser medido con un

único reloj por un observador situado dentro de la misma. Por lo tanto, cada

observador aplicará la dilatación del tiempo:

Pt t ,

donde 2

2

1

1v

c

, siendo v la velocidad de la cápsula con respecto a su sistema

de referencia. Como en el caso del observador en la Tierra esta velocidad es

mayor que para el observador situado en la nave ( 0,366 0,3c c ), el factor de

dilatación también será mayor y por tanto su reloj medirá una mayor duración

del suceso que el reloj del observador situado en la nave.