SEP220153.pdf

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“Las matemáticas con un enfoque en competencias” forma parte de la Colec-ción de Propuestas Académicas para la Formación Docente en el D.F. y fue elaborado bajo la coordinación de la Dirección de Actualización y Centros de Maestros (DAyCdM).

Coordinación General:

Adela Guerrero Reyes

Coordinación Académica:

José Juan García Ávalos

Autor:

Fortino Escareño Soberanes

ISBN en trámite

México, D.F., noviembre de 2009

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Presentación

Centrar la mirada en las necesidades de la escuela y el colectivo docente y, atenderlas de manera pertinente y oportuna, es uno de los objetivos prioritarios de la Dirección de Actualización y Centros de Maestros (DAyCdM), más aún en estos momentos en los que la educación se encuentra en un proceso de renovación que implica no sólo cambios curricu-lares sino una manera diferente de concebir la práctica docente.

En esta perspectiva, la DAyCdM ofrece la opción formativa denominada “Colección de Propuestas Académicas de Formación Continua para el D.F.” integrada por diez Cursos, cuya intención es apoyar a los y las docentes de educación básica en servicio en la apropia-ción del nuevo modelo educativo.

Las temáticas generales que se abordan en la Colección son las siguientes:

• Situaciones Didácticas en Preescolar• Español• Matemáticas• Ciencias• Formación Cívica y Ética• Adolescencia y aprendizaje• Nuevas Tecnologías de la Información y la Comunicación (TIC’s)• La Evaluación para la mejora educativa• Habilidades Directivas• La Asesoría en la Escuela

Cada una de las Propuestas Académicas que integran esta Colección, a cargo de espe-cialistas,- docentes e investigadores-, con una gran trayectoria académica y experiencia en aula, permite una aproximación a la realidad escolar actual, ya que el contenido de ellas corresponde al nuevo enfoque por competencias que la Reforma Integral de la Educación Básica ha adoptado.

El material que ahora tiene en sus manos, es para ser trabajado bajo una modalidad presencial, dándole la posibilidad de formar parte de un diálogo académico en donde el análisisylareflexiónseránelementosesencialesparaelmejoramientodesudesempeñoprofesional y así, adquirir herramientas básicas para renovar sus conocimientos y fortalecer su quehacer docente.

Estamos seguros de que este esfuerzo que invierte en su Formación Continua se verá reflejadopositivamenteensulaboreducativay,sobretodoenlacalidaddelosaprendizajede sus alumnas y alumnos.

Contenido

DESCRIPCIÓN DEL CURSO �� 6Introducción �� 6

Propósitos �� 7

GUÍA DEL PARTICIPANTE �� 11Sesión 1� Razonamiento combinatorio �� 12

Sesión 2� Experimentos sobre probabilidad �� 20

Sesión 3� Gráficas estadísticas �� 28

Sesión 4� Representación de situaciones cotidianas mediante gráficas lineales�� 38

Sesión 5� Representación de situaciones cotidianas mediante gráficas de segmentos rectos y curvos �� 49

Sesión 6� El desarrollo de competencias matemáticas y la evaluación del desempeño de los alumnos �� 56

Anexo 1 �� 63Anexo 2 �� 66

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LAS MATEMÁTICAS CON UN ENFOQUE EN COMPETENCIAS

DESCRIPCIÓN DEL CURSO

Título

Las matemáticas con un enfoque en competencias�

Temática

Conocimiento de los propósitos y enfoque didáctico del estudio de las matemáticas en educación básica; en particular, de los contenidos en que los profesores han manifestado defi-ciencias: combinatoria, probabilidad, estadística y representaciones gráficas�

Destinatario

Asesores técnico-pedagógicos y profesores frente a grupo�

Nivel o modalidad educativa

Educación Primaria, Secundaria General, Secundaria Técnica, Telesecundaria, Educación Especial y Educación de Adultos del Distrito Federal�

IntroducciónLa combinatoria, la probabilidad y la estadística deben ser referencias obligadas en los

nuevos cursos de formación continua que se impartan a los profesores de educación básica� En primer lugar, por el hecho de que constituyen tres aspectos formativos que han sido privile-giados en los programas de matemáticas de la Reforma tanto de la educación primaria (2011), como de la educación secundaria (2011)� En segundo lugar, porque son una fuente de errores tanto de los jóvenes como de los adultos (entre los que se incluyen los profesores), que se sustentan en una serie de creencias falsas que es preciso educar desde la escuela�

Otro aspecto que tiene preeminencia en los programas de matemáticas vigentes de educación básica, es la interpretación de la información contenida en las gráficas que describen situaciones de la vida cotidiana y aún de las ciencias básicas, como la física, la biología y la química� Tal aspecto estuvo ausente en los programas de matemáticas del pasado, y sus conse-cuencias se han evidenciado en los resultados de evaluaciones nacionales e internacionales aplicadas tanto a maestros como a estudiantes�

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Este curso se propone abordar la problemática del estudio, el aprendizaje y la enseñanza de estos cuatro temas que, por cierto, están íntimamente relacionados: la combinatoria, la probabilidad, la estadística y las representaciones gráficas�

Propósitos

1. Revalorar la importancia de considerar los propósitos generales del estudio de las matemáticas en cada sesión de clase�

2. Profundizar en el conocimiento de los contenidos de la asignatura y de las estrategias didácticas, para abordarlos siempre con la idea de desarrollar las competencias mate-máticas de los alumnos señaladas en los planes de estudios de educación primaria y secundaria, teniendo como referente los contenidos de los temas de combinatoria, probabilidad, estadística y representaciones gráficas�

3. Conocer las principales dificultades y concepciones de alumnos y profesores sobre combinatoria, probabilidad y estadística�

4. Desarrollar competencias para el diseño de planes de clase sobre estos contenidos�

Contenidos

1. Conocimiento de los propósitos y enfoque didáctico del estudio de las matemáticas, señalados en la nueva propuesta curricular de educación primaria y secundaria�

2. Conocimiento de la propuesta curricular de combinatoria, probabilidad, estadística y representaciones gráficas�

3. Conocimiento de la clasificación de los problemas combinatorios y de formas de resolución�

4. Conocimiento de procedimientos de resolución de problemas sencillos de probabilidad�

5. Interpretación y trazo de gráficas estadísticas, de funciones lineales y de segmentos rectos y curvos�

6. Conocimiento de los obstáculos y dificultades en la resolución de problemas de combinatoria y probabilidad�

Productos de trabajo

Los participantes resolverán los problemas y cuestiones planteadas en las actividades� Asimismo, integrados en equipos, los participantes deberán elaborar un texto cuyo título sea “¿De qué manera el enfoque didáctico utilizado en la resolución de un problema de combinatoria, ayuda al logro de los propósitos del estudio de las matemáticas en educación básica?”�

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Materiales de apoyo

Anno, M� (2005)� El jarrón mágico� Una aventura matemática� SEP-Editorial Juventud, Libros del Rincón� México�

“En el jarrón había agua…”; así empieza la historia� Luego, el autor del texto nos sube a un barco y nos lleva a una isla, donde las operaciones van multiplicándose: en la isla hay 2 países, en cada país hay 3 montañas, en cada montaña hay 4 reinos, etc� El desafío es llevar la cuenta total de las opciones, pero, cuando llegamos al final del libro, donde nos encontramos nuevamente con esos jarrones que nos llevaron de viaje, la cuenta se ha complicado y los resultados son enormes y sorprendentes� Aunque el libro desarrolla un tema sumamente abstracto (los números factoriales, asunto central en los problemas combinatorios), las preguntas que plantea tratan de ser las que plantean espontáneamente los niños y puede ser el inicio de un aprendizaje divertido� Este libro tiene una edición posterior con el título El misterioso jarrón multiplicador�

Batanero, C�, J� D� Godino y V� Navarro-Pelayo (1994)� Razonamiento combinatorio� Madrid� Síntesis�

El libro trata de proporcionar algunas respuestas a las siguientes preguntas: ¿Qué papel juega la Combinatoria en Probabilidad y en Matemática Discreta? ¿Es la capacidad combinatoria sólo un instrumento matemático o es un componente fundamental del razonamiento lógico? ¿Hay variables de tarea que afectan a los procedimientos y errores de los alumnos al resolver los problemas combinatorios? ¿Cómo deberíamos considerar estas variables en la enseñanza y evaluación? Esta obra es una de las más consultadas por los profesores e investigadores en Educación Matemática interesados por el análisis combinatorio; además, se utilizó como guía para la elaboración de la propuesta curricular de matemáticas de 2006 de México, específicamente en los temas de problemas de combinatoria y probabilidad�

Bosch, C�, et al� (2002)� Una ventana a la incertidumbre� Biblioteca Juvenil Ilustrada Santillana� México� Santillana�

Es un libro bellamente ilustrado que presenta una diversidad de problemas de probabilidad, que pueden ser resueltos por alumnos de secundaria y de los últimos grados de primaria� De manera sencilla, aborda los problemas que dieron origen a esta rama de las matemáticas y describe el esfuerzo intelectual realizado por los pioneros de esta ciencia�

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Hitt, F� (2002)� Funciones en contexto� México� Prentice Hall�

El libro propone una visión didáctica moderna de uno de los conceptos centrales de las matemáticas: la función� No se trata pues de un manual teórico de esta disciplina� El autor hace un uso eficiente de las diferentes representaciones de las funciones y de la conversión de una representación a otra, y considera la visualización matemática como una habilidad importante que es necesario desarrollar en los estudiantes� La obra se utilizó como guía para la elaboración de la propuesta curricular de matemáticas de 2006 de México, específicamente en el tema de relaciones funcionales, la proporcionalidad entre ellas; influyó sobre todo en el énfasis que recibieron las representaciones gráficas tanto algebraicas como estadísticas�

Mori, T� et al� (2005)� Sócrates y los tres cochinitos� Biblioteca del aula� México, SEP-FCE�

Sócrates es un lobo muy especial: es filósofo y no le interesa comer� Sin embargo, su esposa Jantipa (que siempre estaba hambrienta) “jalaba de una cuerda que tenía amarrada a la cola de Sócrates y le preguntaba: ¿A qué hora comemos?”� Las demandas de Jantipa lo llevan a buscar a los tres cochinitos, que viven en una pradera donde hay 5 casas y que, por la hora (ya era de noche), deberían estar en sus camas� Sócrates se pregunta entonces: ¿vivirán todos juntos o uno en cada casa?, ¿en cuál debo buscar? Y comienza a dibujar las posibilidades� “Apúrate”, le dice su esposa, “todos saben igual”� Pero Sócrates comprende que, si se apura, alguna opción se le pasará por alto� “Creo que dibujaré todas las posibilidades”, se plantea el lobo� Cuando termina de dibujar, la noche ha pasado y los tres cochinitos están en la pradera, jugando� Sócrates los mira y exclama: “¡Qué felices se ven! (…) Después de todo, creo que no deberíamos comernos a esos lindos cochinitos, ¿no crees?”� Jantipa le responde: “Bueno, en realidad ya no tengo hambre”�

La variedad de posibilidades matemáticas que se despliegan a lo largo del libro está completamente desarrollada por el ilustrador, lo que permite seguir los razonamientos del lobo� La complejidad sólo se percibe al leer la nota a padres y maestros� El libro es una intro-ducción a los problemas de combinatoria y está dirigido a alumnos de secundaria�

Nozaky, A� (2005)� Trucos con sombreros� México, SEP-FCE�

Puede ser un libro un poco difícil de comprender para los niños de nivel primaria, pues demanda gran concentración y compromiso por parte del lector, a quien se incluye como protagonista desde las primeras palabras: “Ésta es la sombra de un niño� Considérala tuya� A lo largo de este libro verás tu sombra� Desde ahora te llamaré Niño Sombra�” El libro trata sobre el análisis combinatorio, el cual se aborda mediante trucos que plantea el sombrerero con

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la idea de que los niños se diviertan con la magia, para luego empezar a descifrarla� La nota para padres y maestros es extensa y muy útil para que los niños sigan los razonamientos sin tropiezos, aunque sugiere que los niños intenten siempre descifrar los trucos sin ayuda�

SEP� Programas de Matemáticas de educación secundaria (2011)�SEP� Programas de Matemáticas de educación primaria (2011

Procedimiento formal de evaluaciónSe evaluará la participación activa de los profesores en el desarrollo de las

sesiones de clase, tareas u otras actividades realizadas en el curso, que garanticen la evaluación objetiva de los conocimientos, habilidades y competencias adqui-ridas� Es obligatorio para los profesores la redacción del texto señalado en la sexta

sesión� Se evaluarán también los reportes escritos de los productos de trabajo de cada una de las sesiones�

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GUÍA DEL PARTICIPANTE

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Sesión 1. Razonamiento combinatorioEl razonamiento combinatorio es uno de los aspectos formativos que han sido privile-

giados en los programas de matemáticas de educación secundaria (2011) y en el de primaria (2009)� En dichos programas, este aspecto aparece en los subtemas Problemas multiplicativos y Problemas de conteo� Se le incluye porque el tema es importante por sí mismo en la formación de los alumnos, pero también con el fin de enriquecer la comprensión de nociones impor-tantes de la probabilidad�

El propósito de esta sesión es que los participantes reconozcan el modelo combinatorio implícito en el enunciado de los problemas combinatorios simples, y puedan hacer el inventario de todos sus resultados posibles utilizando para el efecto procesos sistemáticos de conteo: tablas de doble entrada, diagramas de árbol, tablas, etcétera�

Actividad 1. Una clasificación de los problemas combinatorios

Los problemas combinatorios simples pueden clasificarse en tres modelos diferentes: selección, colocación y partición�

En el modelo de selección se considera un conjunto de objetos (generalmente distintos), de los cuales se extrae una muestra de ellos� Por ejemplo:

En una caja hay 4 fichas de colores: 3 son azules y una blanca. Se toma una ficha al azar y se anota su color. Sin devolverla a la caja, se toma una segunda ficha y se anota su color. Se continúa de esta manera hasta agotar las cuatro fichas. ¿De cuántas maneras diferentes se puede hacer la selección? (Una manera puede ser: azul, blanca, azul, azul)�

En este problema, la acción clave es “seleccionar”; otras acciones que generalmente se refieren al modelo de selección son: elegir, extraer, sacar, tomar, etc�, de una urna, de una bolsa, de una caja o de otro recipiente�

Otro tipo de problemas combinatorios se refiere a la colocación de una serie de objetos en compartimentos o celdas� Por ejemplo:

En un edificio hay tres departamentos� Cada uno cuenta con un lugar de estacionamiento� Hasta este momento se han habitado dos departamentos, el de Andrés y el de Beatriz, quienes pueden colocar cada día sus coches en el lugar que prefieran� ¿Cuáles son todas las formas en que pueden estacionarse?

En este problema, la acción clave es “estacionar”; otras acciones que pueden considerarse en el modelo de colocación son: colocar, introducir, asignar, guardar, etcétera�

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Finalmente, se podría estar interesado en dividir un conjunto de objetos en dos o más subconjuntos, es decir, en efectuar una partición de un conjunto� Por ejemplo:

Luis tiene cuatro canicas de colores en las bolsas delanteras de su pantalón: una azul, una blanca, una café y una dorada� Dos de ellas las tiene en la bolsa derecha, y las otras dos, en la izquierda� ¿Cuáles son todas las formas en que pueden estar distribuidas las cuatro canicas?

En este problema, la acción clave es “distribuir”; otras acciones asociadas con la partición son dividir, partir, descomponer, separar, etcétera�

1. ¿A qué modelo combinatorio pertenece cada uno de los siguientes problemas?a. Se desea formar un número de cuatro cifras con los dígitos 2, 4, 6 y 8, sin repe-

tirlos, es decir, empleando cada dígito una sola vez� ¿De cuántas formas puede lograrse?

b. Una señora tiene cuatro novelas y tres diccionarios, y desea escoger una novela y un diccionario para colocarlos en una repisa de la cabecera de su cama� ¿De cuántas maneras puede hacer la elección?

c. ¿De cuántas maneras pueden distribuirse cuatro personas en dos taxis, si en cada uno hay lugar para dos?

d. La mamá de Caperucita, que tenía una canasta con 4 guayabas, 3 duraznos y 2 peras, le encargó a su hija escoger 2 guayabas, 2 duraznos y 2 peras, para llevarle la fruta en una cesta a la abuela� ¿De cuántas maneras Caperucita podría hacer la elección de las seis frutas para la abuela?

e. Un joven estudiante pondrá cuatro libros en la repisa de su recámara� ¿De cuántas maneras puede acomodarlos?

f. Una familia de seis miembros se aloja en dos habitaciones triples de un hotel� ¿De cuántas maneras pueden hospedarse?

2. Por equipo, redacten un problema de conteo para el nivel escolar que atienden, y sometan a consideración de los demás equipos la clasificación (selección, colocación o partición) que hagan de él�

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Actividad 2. ¿De cuántas maneras se pueden acomodar?Es un lugar común afirmar que el conocimiento se produce en respuesta a preguntas que

nos planteamos� Una vez que hemos aprendido a hacernos preguntas –preguntas relevantes y apropiadas–, hemos aprendido a aprender, y ya nadie puede detenernos en el camino de seguir aprendiendo lo que necesitamos y queremos conocer�

En esta actividad –y en todas las restantes de este curso– tomaremos como punto de partida la resolución de un problema sencillo; variaremos el número de elementos para tratar de hacer generalizaciones�

Empezaremos con problemas similares a los que se presentaron en la actividad anterior:

1. Se desea formar un número de tres cifras con los dígitos 2, 4 y 6, sin repetirlos, es decir, empleando cada dígito una sola vez� ¿De cuántas formas puede lograrse?

a. ¿Cuántos números que empiecen con 2 (como 246) pueden formarse con esos tres dígitos?

b. ¿Cuántos que empiecen con 4 (como 426) pueden formarse?c. ¿Hay más números que empiecen con 2 que con 4, hay menos o es lo mismo?d. ¿Cuántos números que empiecen con 6 cree usted que pueden formarse?

Escríbalos�e. ¿Cuántos números se formaron en total?f. Ahora suponga que se desea formar números de cuatro cifras con los dígitos 1, 2,

3 y 4, empleando cada dígito una sola vez� ¿Cuántos números diferentes pueden formarse?

g. Y si se trata de formar números de cinco cifras con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5, empleando cada dígito una sola vez, ¿cuántos números diferentes resultan?

h. ¿Encontró un procedimiento que permita determinar la cantidad de números que pueden formarse, con las condiciones que se han dado? ¿En qué consiste? Compártalo con el grupo�

Veamos ahora otro de los problemas:

2. Un joven estudiante pondrá cuatro libros en la repisa de su recámara� ¿De cuántas maneras puede acomodarlos?

Algunas preguntas que podemos plantearnos para resolver el problema pueden ser las siguientes:

a. ¿Cómo distinguiremos un libro de otro? ¿Qué código conviene utilizar para identificarlos: letras o números?

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¿Qué procedimiento conviene aplicar para obtener, de manera sistemática, todas las formas posibles en que pueden acomodarse los cuatro libros? ¿Podrían servir diagramas de árbol como los siguientes? (Hemos designado los libros con las letras A, B, C y D)�

b. ¿Cuántas formas hay de acomodar los cuatro libros?c. Suponga que no son cuatro libros, sino tres� ¿De cuántas maneras pueden

acomodarse?d. Y si son cinco libros, ¿de cuántas maneras pueden acomodarse? ¿Y si fueran seis

libros?e. ¿Encontró ya un procedimiento sencillo para determinar el número formas en

que pueden acomodarse n libros?

Analicemos un último problema:

3. Para comunicarse por escrito, sin que ningún curioso entienda los mensajes, dos amigas utilizan una variante del código Morse� Sabemos que, en este código, las letras, las cifras y los signos de puntuación se denotan con puntos y rayas� En sus comunicaciones, las dos amigas utilizan el código únicamente para representar las 27 letras del alfabeto, y no requieren de números ni signos de puntuación� Por ejemplo, las letras A y B las representan con un solo signo: un punto para la A y una raya para la B� Pero para representar otras letras, hacen combinaciones de dos o más signos; por ejemplo, representan la letra D con la sucesión de dos signos: punto, raya (• –), y la letra I, con la sucesión de tres signos: punto, raya, punto (• – •).a. ¿Cuál es el número total de letras que pueden representarse mediante la combi-

nación de dos signos?b. ¿Y mediante la combinación de tres signos?c. ¿Y de cuatro signos?d. ¿Hasta cuántos signos sucesivos se requieren para representar las 27 letras del

alfabeto?e. ¿Puede usted representar el alfabeto mediante una variante del código Morse?

Trate de hacerlo y comunique su resultado al grupo�f. ¿Esta variante del código Morse guarda alguna relación con algún sistema de

numeración que usted conozca? Comparta su opinión con el grupo�

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Actividad 3. ¿De cuántas maneras se pueden seleccionar?La situación que consiste en extraer al azar una o más canicas (o papelitos) de una caja

(o urna), donde hay varias de diversos colores (o marcadas con números diferentes), es uno de los modelos más adecuados para entender la noción de combinatoria� Mediante este modelo puede representarse y resolverse casi cualquier problema combinatorio que tenga un número limitado de resultados posibles� En esta actividad se plantean, para su resolución, problemas de este tipo, algunos de los cuales se han presentado en actividades anteriores�

Para tener una idea más clara de la situación aleatoria que plantean los siguientes problemas, sustituya los objetos a que se refieren (novelas, diccionarios, frutas) con otros objetos (canicas o trozos de papel de colores) para realizar una simulación en cada caso�

1. Una señora tiene cuatro novelas y tres diccionarios, y desea escoger una novela y un diccionario para colocarlos en una repisa de la cabecera de su cama� ¿De cuántas maneras puede hacer la elección?a. ¿Qué código utilizará para distinguir cada uno de los siete libros?b. ¿Cuántos diccionarios puede elegir por cada novela?c. Utilice el siguiente cuadro de doble entrada para realizar, de manera sistemática,

el conteo de formas posibles de hacer la elección de novelas y diccionarios�

d. ¿De qué otra manera puede realizar el conteo?e. Suponga que, en vez de cuatro novelas y tres diccionarios, se trata de cinco

novelas y cuatro diccionarios� ¿De cuántas maneras podría hacerse la elección de una novela y un diccionario?

f. ¿Y si fueran 12 novelas y cinco diccionarios?g. ¿Y si fueran n novelas y m diccionarios?

2. La mamá de Caperucita, que tenía una canasta con 5 guayabas, 4 duraznos y 2 peras, le encargó a su hija seleccionar 2 guayabas, 2 duraznos y 2 peras, para llevarle la fruta en una cesta a la abuela� ¿De cuántas maneras Caperucita podría seleccionar seis frutas para la abuela?a. ¿Qué código usará para identificar cada una de las 11 frutas?

D1 D2 D3N1

N2 N3 N4

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b. Si son 5 guayabas, ¿de cuántas maneras pueden elegirse dos de ellas? Complete los siguientes diagramas de árbol para encontrar todas las formas posibles�

c. Utilice también la siguiente tabla de doble entrada para resolver el problema� ¿Cuál de los dos recursos (el diagrama o la tabla) facilita más la resolución del problema?

d. Si son 4 duraznos, ¿de cuántas maneras puede hacerse la elección de dos de ellos?

e. ¿Es necesario utilizar algún recurso para hacer la elección de las dos peras?f. ¿De cuántas maneras Caperucita puede hacer la elección de dos guayabas, dos

duraznos y dos peras?g. Y si fueran 6 guayabas en vez de 5, 4 duraznos y 2 peras, ¿cuántas formas de

elección serían?h. Y si fueran 6 guayabas, 5 duraznos y 2 peras, ¿cuántas formas de elección serían?

3. En una caja hay 4 fichas de colores: 3 son azules y una blanca� Se toma una ficha al azar y se anota su color� Sin devolverla a la caja, se toma una segunda ficha y se anota su color� Se continúa de esta manera hasta agotar las cuatro fichas� ¿De cuántas maneras diferentes se puede hacer la selección?a. Las fichas pueden salir en este orden: azul, blanca, azul, azul, que representa-

remos como ABAA� ¿En qué otro orden pueden salir?b. De todas las formas diferentes en que pueden salir las 4 fichas, ¿en cuántas, la

primera en salir es blanca? ¿Por qué?c. ¿En cuántas de todas esas formas, la primera en salir es azul?d. Complete el siguiente diagrama para obtener, de manera sistemática, todas las

formas en que pueden salir las 4 fichas�e. Y si fueran 3 fichas azules y 2 blancas, ¿de cuántas maneras diferentes pueden

salir las 5 fichas?

G1 G2 G3 G4 G5G1 G2 G3 G4 G5

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Actividad 4. Cuando hay una separaciónEn esta actividad, usted resolverá problemas de conteo en los que conjuntos de objetos

se dividen en dos o más subconjuntos, de modo que los objetos se pueden colocar de distintas maneras en cada subconjunto�

1. ¿De cuántas maneras pueden distribuirse cuatro personas en dos taxis, si en cada uno hay lugar para dos?a. ¿Qué recurso escrito conviene utilizar para encontrar, de modo sistemático,

todas las formas posibles en que pueden distribuirse las cuatro personas en los dos taxis?

b. Designemos a las personas con las letras A, B, C y D� Complete el siguiente cuadro con todas las formas en que puede realizarse la distribución de las personas en los dos taxis�

c. Suponga que en uno cualquiera de los taxis viajará una persona, y en el otro, las tres restantes� ¿De cuántas maneras puede ahora realizarse la distribución?

d. Y si, en vez de cuatro personas, fueran cinco, y en uno cualquiera de los taxis viajará una persona y en el otro las cuatro restantes, ¿de cuántas maneras puede realizarse la distribución?

e. Suponga, finalmente, que son ocho personas las que se van a distribuir en los dos taxis, de modo que en cada uno viajarán cuatro� ¿De cuántas maneras pueden distribuirse?

Taxi 1 Taxi 2

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2. Una familia de cinco miembros se aloja en dos habitaciones (una doble y una triple) de un hotel� ¿De cuántas maneras pueden hospedarse?a. Designemos a las personas con las letras A, B, C, D y E� Si A se aloja en una

habitación doble, ¿con quiénes podría compartirla? ¿Cuántas posibilidades son?b. Si A se aloja en una habitación triple, ¿con qué otras dos personas podría

compartirla? ¿Cuántas posibilidades son?c. Registre todas las posibilidades en la siguiente tabla:

Productos de trabajoUna observación importante: tome en cuenta que el nivel de dificultad de los problemas

que se plantean en este tema corresponde al curso que usted está tomando� No se trata de que estos mismos problemas los plantee en el grupo que usted atiende�

Consulte el programa de matemáticas de primaria (que está en proceso de prueba) y elija de allí un problema de conteo� En equipo, contesten las siguientes preguntas:

a. ¿Cuáles serían tres posibles dificultades que enfrentarían los alumnos para resol-verlo? (Por supuesto, usted tendría que resolver primero el problema para prever tales dificultades�)

b. ¿Qué previsiones tomaría en el grupo con objeto de tratar de que sus alumnos desarrollen las competencias de comunicación y argumentación?

c. ¿Qué actividad convendría realizar en el grupo con el fin de que los alumnos conozcan y manejen varias técnicas para resolver ese problema?

Compartan sus conclusiones con los demás equipos�

Habitación doble

Habitación triple

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Sesión 2. Experimentos sobre probabilidadLa probabilidad, así como el área relacionada de la estadística, sirve para interpretar infor-

mación, realizar predicciones y tomar decisiones en situaciones en que hay incertidumbre� Su importancia es cada vez mayor en las ciencias básicas como la física, la química y la biología, al igual que en actividades prácticas como la predicción del estado del tiempo, la mercadotecnia y la política�

El propósito de esta sesión es que los participantes reconozcan ejemplos de tareas que favorecen el desarrollo del razonamiento probabilístico de los alumnos de educación básica, las realicen y reflexionen sobre las posibles dificultades que enfrentarán los alumnos en el tema, con el fin de prever las estrategias que permitan superarlas�

Actividad 1. Experimentando con monedasSi lanza cuatro veces una moneda, ¿cuál de las siguientes sucesiones de resultados cree

que es más probable que ocurra? (Los resultados “águila” y “sol” se designan con las letras A y S, respectivamente)�

- AASS - SSSA - ASSS - AAAA - SSSS

- Todas son igual de probables

a. Reúnase con un compañero y realicen 50 ensayos (lanzar cuatro veces una moneda)� En la siguiente tabla, registren cada sucesión que resulte; anoten una marca (/) por cada vez que salga�

Resultado Marcas Total

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b. En su equipo, ¿alguna de las sucesiones salió con más frecuencia que las demás?

c. Utilicen la siguiente tabla para concentrar los resultados obtenidos por todos los equipos del grupo�

d. En el grupo, ¿alguna de las sucesiones fue considerablemente más frecuente que las demás?

e. ¿Cree usted que alguna de las sucesiones tiene más posibilidades de salir que las otras? ¿Por qué?

ResultadoResultados de los equipos Suma

totalEquipo 1 Equipo 2 Equipo 3 Equipo 4 Equipo 5

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Actividad 2. Experimentando con dados1. Al lanzar dos dados y sumar los puntos que se obtienen en cada uno, ¿qué es más

probable: que la suma sea 4 o que sea 7?a. Reúnase con un compañero y lancen 50 veces dos dados� En la siguiente tabla,

anoten una marca (/) por cada vez que salga cada suma�

b. En su equipo, ¿alguna de las 11 sumas salió con más frecuencia que las demás? ¿Cuál?

c. ¿Qué suma fue más frecuente: la suma 4 o la suma 7?

Lanzamiento de dos dados

Suma de los puntos Marcas Totales

2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12

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d. Utilicen la siguiente tabla para concentrar los resultados obtenidos por todos los equipos del grupo�

e. En el grupo, ¿alguna de las sumas fue más frecuente que las demás? ¿Cuál?f. ¿Qué suma fue más frecuente: la suma 4 o la suma 7?g. ¿Cree usted que alguna de las sumas tenga una mayor probabilidad de salir que

las demás? ¿Cuál? Explique su respuesta�

2. ¿Cómo deben caer los dos dados para obtener cada una de las sumas: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12?a. Utilice la siguiente tabla para hallar, de manera sistemática, todas las formas

posibles de obtener cada suma�

b. ¿Cuál es el número total de formas diferentes en que pueden caer los dos dados?

Suma de los puntos

Resultados de los equiposSuma totalEquipo 1 Equipo 2 Equipo 3 Equipo 4 Equipo 5

2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12

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c. Del total de formas posibles en que pueden caer los dos dados, ¿en cuántas la suma de los puntos es 4? ¿Y 7?

d. Al lanzar dos dados, ¿qué es más probable: que la suma de los puntos sea 4 o que sea 7?

e. Complete la siguiente tabla de posibilidades de que salga cada suma de puntos al lanzar dos dados�

f. De acuerdo con esta tabla, ¿qué es más probable: que la suma de los puntos sea 5 o que sea 9? ¿Por qué?

g. Qué es más probable: que la suma sea 2 o que sea 12? ¿Por qué?

Suma de los puntos Posibilidades Total de

posibilidades2 3 (1, 2), (2, 1) 4 5 6 7 8 (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2) 9

10 11 12

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Actividad 3. Experimentando con el modelo de urnaLa siguiente situación se planteó en un problema de conteo de una actividad anterior;

ahora se propone en un problema de probabilidad:

1. En una caja hay 4 fichas de colores: 3 son azules y una blanca� Se toma una ficha al azar y se anota su color� Sin devolverla a la caja, se toma una segunda ficha y se anota su color� Se continúa de esta manera hasta agotar las cuatro fichas� ¿Qué es más posible: que la ficha blanca sea la primera en salir o que sea la última?a. ¿Cuáles son todas las formas posibles en que pueden salir las cuatro fichas? (Por

brevedad, designe con la letra A cada ficha azul, y con la letra B, la blanca)�b. Complete el siguiente diagrama de árbol para obtener todos los resultados

posibles�

c. ¿Cuántos resultados posibles hay?d. ¿En cuántos de esos resultados, la primera ficha en salir es la blanca?e. ¿En cuántos de esos resultados, la última ficha en salir es la blanca?f. ¿Qué es más probable: que la ficha blanca sea la primera en salir o que sea la

última? ¿Por qué?Llamaremos evento al resultado o conjunto de resultados de un experimento de azar�

Para encontrar la probabilidad de un evento, hay que realizar dos conteos:

• El número de resultados favorables al evento�• El número de resultados posibles�Al cociente de esos números se le llama fórmula de la probabilidad clásica�

Así, para calcular la probabilidad del evento “la ficha blanca es la primera en salir”, los conteos son:

• Número de resultados favorables al evento: 1�• Número de resultados posibles: 4�

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Y la probabilidad es:

P(la ficha blanca es la primera en salir) = =Número de resultados favorables 1Número de resultados posibles 4

g. ¿Cuál es la probabilidad del evento “la primera ficha en salir es azul”? Explique su respuesta�

2. Supongamos ahora que son 3 fichas azules y 2 blancas� ¿Cuál es la probabilidad de que las primeras dos fichas en salir sean azules?

a. ¿Cuáles son todos resultados posibles? ¿Cuántos son? Complete el siguiente diagrama de árbol para encontrarlos�

b. ¿En cuántos de estos resultados, las primeras dos fichas en salir son azules?c. ¿Cuál es la probabilidad del evento “las primeras dos fichas en salir son azules”?

3. Las siguientes son algunas preguntas relativas a los valores que puede tomar la probabilidad de un evento:a. ¿Se podría dar el caso de que el número de resultados favorables a un evento sea

mayor que el número de resultados posibles?b. ¿Cuál es el mayor valor que puede tener la probabilidad de un evento? ¿Y el

menor?c. ¿Qué significa que la probabilidad de que ocurra un evento sea cero? ¿Y qué

significa que su probabilidad sea 1?d. Si un fenómeno tiene probabilidad 1 de ocurrir, ¿se trata de una situación de

azar?

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Productos de trabajoPor equipos, reflexionen sobre la siguiente situación: supongan que ustedes han planteado

en su grupo un caso similar a los anteriores: son 2 fichas azules y 2 blancas las que están en la caja� ¿Cuál de las siguientes preguntas plantearían?

• ¿Cómo podrías probar que la probabilidad de que las primeras dos fichas en salir son azules, no es ?

• Como hay la misma cantidad de fichas azules que blancas, seguramente la probabi-lidad de que las dos primeras fichas en salir son azules, es 1

2� ¿Es cierta esta afirma-

ción? ¿Por qué?• Si creen que no es conveniente plantear ninguna de estas dos preguntas, ¿cuál

plantearían?

En cualquiera de los tres casos, ¿qué intervenciones habría que prever para ayudar a mejorar las estrategias de solución de los alumnos? Comenten su punto de vista con los demás compañeros del grupo�

12

28


Sesión 3. Gráficas estadísticasLeer los datos que contiene una gráfica no es algo trivial; la habilidad para hacerlo requiere

un desarrollo que la escuela debe cultivar� Aprender a leer gráficas que describen situaciones o fenómenos puede considerarse la base para que los estudiantes empiecen a efectuar predic-ciones acerca de tales datos y a descubrir sus tendencias�

El propósito de esta sesión es que los participantes reconozcan la necesidad de realizar investigaciones estadísticas para entender el comportamiento de fenómenos no deterministas, desarrollar habilidades para interpretar los resultados de esas investigaciones y comunicar de modo efectivo al momento de presentar o discutir la información estadística obtenida�

Actividad 1. Describir y representar datos estadísticos1. Se realizó una encuesta entre un grupo de amas de casa sobre la compra y consumo

de varios productos básicos� La siguiente gráfica muestra la información que se obtuvo sobre la cantidad de litros de leche que compran en una semana�

a. ¿Cuántas amas de casa contestaron que compran 5 litros de leche en una semana?b. ¿Cuántas contestaron cuántos litros de leche compran en una semana? Explique

su respuesta�c. Sume las cuatro frecuencias más altas que muestra la gráfica� Luego, explique

cómo identificó esas cantidades�d. Considerando esas cuatro cantidades, ¿cuál es la cantidad promedio de litros de

leche que compraron?

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e. Redacte otras tres preguntas que puedan contestarse con los datos que se muestran en la gráfica anterior�

2. En la siguiente gráfica se representan las respuestas que dieron las amas de casa a otra pregunta de la encuesta�

a. ¿Cuál cree usted que fue la pregunta que se planteó a las amas de casa? Explique su respuesta�

b. En este grupo de amas de casa, ¿qué cantidad de kilogramos de tortillas es más común que digan que consume su familia? Explique su respuesta�

c. Si usted le preguntara a una ama de casa, qué cantidad de litros de leche compra y qué cantidad de kilogramos de tortilla consume su familia en una semana, ¿cuáles podrían ser las respuestas?

d. ¿Por qué considera que responderían así? Compare sus respuestas con las de sus compañeros�

En esta actividad se han planteado tres niveles de preguntas: una de un nivel elemental, enfocada a la lectura de datos de la gráfica, o “leer la gráfica” (pregunta 1-a); otra de un nivel intermedio, que involucran la interpolación y extracción de información de los datos mostrados en la gráfica, o “leer dentro de la gráfica” (preguntas 1-b, 1-c, 1-d y 2-a), y otra más de un nivel general, que implican la extrapolación de los datos y la interpretación de las rela-ciones identificadas en la gráfica, es decir, “leer más allá de la gráfica” (preguntas 2-b y 2-c)�

3. Junto con sus compañeros, identifique el tipo de preguntas que anotaron en el inciso 1-e.

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Actividad 2. Representar datos estadísticosPara representar los datos en una gráfica, es necesario que los estudiantes tengan

habilidades de conteo, y que sepan reducir los datos y organizarlos, por ejemplo, en una tabla y trasladarlos de ésta a una gráfica� Un aspecto importante en la representación de los datos consiste en evaluar la eficacia de la gráfica, cuestión que se abordará en la siguiente actividad�

1. La siguiente tabla muestra cómo ha variado la población en las distintas regiones del mundo, durante la segunda mitad del siglo XX� (Actividad tomada de la lección 20, “La población del mundo”, del libro Matemáticas. Quinto grado, SEP, México, 2000�)

Para comparar la variación de la población de Estados Unidos y Canadá con respecto de la de América Latina, Rosa y Rodrigo elaboraron la siguiente gráfica:

Población del mundo (en millones de habitantes)

Año EUA y Canadá

América Latina Europa Asia África Oceanía Mundial

1950 166 164 392 1560 219 13 25141960 199 215 425 1897 275 16 30271970 226 283 460 2335 354 19 36771980 252 365 484 2884 472 23 44801990 276 442 501 3428 625 26 5298

FUENTE: Organización de las Naciones Unidas�

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a. Al ver la gráfica, Rodrigo se dio cuenta de que en 1950 la población de Estados Unidos y Canadá era ligeramente mayor que la de toda América Latina� Compare estas dos poblaciones en 1960� ¿Cómo eran? ¿Qué pasó después?

b. Comente con sus compañeros las posibles causas del crecimiento desigual de la población en estas dos regiones�

c. Elabore unas gráficas, como la de Rosa y Rodrigo, para comparar la población de las siguientes regiones:

• Estados Unidos y Canadá con Europa• América Latina con Asia• África con Oceanía

d. Compare sus gráficas con las de sus compañeros� Comenten qué cambios hubo qué hacer con respecto de las de Rosa y Rodrigo�

2. Con los datos de población de las seis regiones del mundo se construyó la siguiente gráfica circular:

a. En su opinión, ¿por qué este tipo de gráfica es adecuada para mostrar la distribu-ción de la población en el mundo?

b. ¿Cuál podría ser un título adecuado para esta gráfica?

3. Con los datos de la tabla de población del mundo, elabore dos gráficas diferentes que muestren los cambios de la población de Oceanía. Explique por qué es posible representar tal información con esas gráficas. Compare sus gráficas y respuestas con las de sus compañeros.

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Actividad 3. Representar datos. Tipos de gráficasUna situación puede describirse mediante gráficas distintas; para decidir cuál de ellas la

describe mejor, es necesario conocer las ventajas y desventajas que cada tipo de gráfica ofrece� En esta actividad se proporciona información importante sobre las gráficas que utilizan los estudiantes de educación básica�

1. La siguiente lista de datos son las calificaciones obtenidas en matemáticas por un grupo de 30 estudiantes:

8�0 9�1 7�9 8�5 7�9 8�3 8�6 9�1 8�5 8�1

8�9 9�0 8�7 8�5 8�4 8�7 8�5 8�4 9�0 9�4

8�6 8�8 8�5 8�7 8�9 8�7 8�8 8�2 8�7 8�1

a. Complete la tabla de frecuencia que se presenta a continuación y trace una gráfica en la que se muestren las calificaciones obtenidas:

b. Compare su trabajo con el de sus compañeros� Luego, respondan:• ¿Es necesario organizar los datos en intervalos? ¿Por qué?• ¿Cuál es el número de intervalos más conveniente?

Como dijimos antes, para cada situación hay varias gráficas que pueden representarla; cada una tiene sus ventajas y desventajas� Por ejemplo, algunas gráficas son útiles para repre-sentar pequeños conjuntos de datos, mientras que otras lo son para grandes conjuntos de datos� Algunas gráficas exhiben cada valor de los datos individualmente, pero otros “ocultan” valores individuales en barras u otros elementos visuales�

2. Las siguientes gráficas se refieren a situaciones distintas. Analícelas. Luego de leer la descripción que más adelante se da de los diferentes tipos de gráfica, anote el que conviene utilizar para cada situación.

Intervalos Conteo Frecuencia

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34


En un diagrama de línea, los valores de los datos se anotan en el eje horizontal y cada elemento del conjunto se representa mediante una “X”, la cual se anota sobre el valor corres-pondiente� Esta representación es más conveniente cuando el conjunto de datos es menor de 25 elementos y el rango de valores que puede presentar la variable es también pequeño� Un diagrama de punto es similar a un diagrama de línea, pero en él se utilizan puntos pequeños en lugar de “X”�

Una gráfica de barras muestra los valores específicos de los datos de un conjunto� Es la forma común de mostrar datos cualitativos, aunque también se usa para mostrar datos cuanti-tativos� La longitud de la barra dibujada para cada valor de los datos, representa la frecuencia de ese valor� Las barras pueden dibujarse vertical u horizontalmente� Para evitar confusiones, todas las barras deben tener la misma anchura�

Una gráfica circular, o de pastel, es un círculo dividido en piezas, llamadas sectores o cuñas� Cada parte, si se desea, puede mostrarse en forma de porcentaje (incluso cuando los datos están agrupados en intervalos)� Las piezas deben sumar 100 %� Por lo general, es compli-cado elaborar las gráficas circulares, puesto que debe convertirse cada porcentaje en un ángulo (es decir, la fracción apropiada de 360°), y a veces es difícil trazar los ángulos�

Una gráfica de línea se utiliza cuando se desea mostrar el cambio que ha tenido una variable en el tiempo� En el eje horizontal se marca el tiempo y en el eje vertical se marcan los valores de la variable� Cada par de valores se representa gráficamente por puntos, los cuales están conectados mediante segmentos de línea� Es importante observar con cuidado la escala marcada en el eje vertical, ya que si se modifica puede cambiar drásticamente la impresión visual de la gráfica�

Se utiliza un histograma cuando el conjunto de datos puede tomar cualquier valor, como, por ejemplo, cuando se representan estaturas o pesos de personas� Los datos podrían estar organizados en intervalos iguales o no� Los valores posibles de los datos se marcan en el eje horizontal; la anchura de las barras es la misma cuando los intervalos son iguales; la altura de cada barra representa el número de elementos o el porcentaje de elementos que hay en ese intervalo; el número o el porcentaje están marcados en el eje vertical� Las barras se dibujan sin ningún espacio entre ellas�

Un diagrama de caja (o gráfica de caja-brazos) sintetiza cinco valores importantes de un conjunto de datos: el valor menor, el mayor, la mediana, y los valores que representan el 25 % y el 75 % de los datos� En el cuerpo de la caja está representada la mitad de los datos (los que se encuentran entre las marcas de 25 % y 75 %)� El punto donde se ubica la mediana se representa mediante una raya vertical� En esta gráfica, los elementos de un conjunto de datos no se exhiben individualmente, lo que hace imposible determinar, por ejemplo, si hay huecos (es decir, valores que tienen frecuencia cero)� Los diagramas de caja son muy útiles, en especial, para comparar la distribución de varios conjuntos de datos, sobre todo cuando esos conjuntos están formados por una gran cantidad de datos�

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a. Compare sus respuestas con las de sus compañeros, y revise las gráficas que trazó en la actividad anterior y en el primer problema de esta actividad�

b. ¿Cuáles son los cambios o ajustes que necesita realizar? ¿Por qué?

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Actividad 4. Gráficas y medidas de tendencia central y dispersiónLa enseñanza de la estadística debe desarrollar la capacidad de leer, analizar y hacer

inferencias a partir de distribuciones de datos� Sin embargo, esto no es sencillo, ya que involucra otros conceptos, como dato, variable estadística, valor, frecuencias, promedio, dispersión y forma�

1. Analice la siguiente gráfica, que muestra las ventas de postres de la empresa Bocatta durante los primeros seis meses del año pasado:

a. Dé un valor aproximado del promedio de postres que se vendieron al mes�b. Dé un valor aproximado de la mediana del número de postres que se

vendieron al mes�

2. La siguiente gráfica muestra el tiempo que tarda en hacer efecto un medicamento que se administró a un grupo de pacientes de un hospital:

a. ¿Cuál es el número máximo de minutos en que el medicamento hizo efecto en alguno de los pacientes?

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Observe ahora las siguientes gráficas�

b. ¿Qué medicamento considera usted que tiene un efecto más rápido? ¿Por qué?c. ¿Qué otras preguntas pueden responderse con la lectura de estas gráficas?

Comparta sus respuestas con sus compañeros de equipo y luego con el grupo�

Productos de trabajoLa siguiente tabla muestra los resultados en matemáticas de los EXCALE aplicados, en

junio de 2005, a los alumnos de tercer grado de secundarias generales y técnicas de todo el país:

a. Construya las gráficas de caja-brazos, una al lado de la otra�b. ¿Cuál de los dos tipos de secundaria tuvo un mejor desempeño: las generales o

las técnicas?c. Comente en el grupo sus conclusiones aportando los argumentos estadísticos en

que basa sus aseveraciones�

Puntuación mínima 25% 50 %

(mediana) 75% Puntuación máxima

Secundarias generales 200 436 498 563 800

Secundarias técnicas 200 434 495 560 800

FUENTE: El aprendizaje del Español y las Matemáticas en la educación básica en México� Sexto de primaria y tercero de secundaria, INEE, 2006� (Nota: Los datos están redondeados�)

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Sesión 4. Representación de situaciones cotidianas mediante gráficas linealesEn muchas situaciones de la vida cotidiana, de las ciencias y aun de los negocios, aparecen

dos cantidades (o magnitudes) relacionadas, en las que el valor de una depende del valor de la otra� Una de las maneras de entender el comportamiento de tales situaciones consiste en estudiar la gráfica que las representa�

Esa gráfica puede ser de dos tipos: una recta o una curva� Las relaciones del primer tipo se llaman funciones lineales, y las del segundo, funciones no lineales� En una función (o relación funcional), a cada valor de una de las magnitudes le corresponde un valor de la otra magnitud�

El propósito de esta sesión es que los participantes profundicen sus conocimientos sobre el concepto de función, de modo que estén en condiciones de acercar a sus alumnos a la interpretación y uso de gráficas de situaciones cotidianas en las cuales subyace este concepto�

Actividad 1. Cuando hay una relación de dependencia

1. En los países de habla inglesa, la temperatura se mide en grados Fahrenheit (°F) y no en grados Celsius o centígrados (°C), como lo hacemos nosotros. La gráfica siguiente muestra la relación que existe entre ambas escalas:

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Los puntos señalados en ella indican que:

0 °C = 32 °F 10 °C = 50 °F 50 °C = 122 °F

¿Cómo puede usted determinar la equivalencia de 100 °C en grados Fahrenheit, sin tener que prolongar la gráfica?

a. Cuando el número de grados centígrados aumenta de 0 a 10, ¿de cuántos grados es el aumento en Fahrenheit?

b. De acuerdo con la gráfica, ¿ese aumento es el mismo cuando el número de grados centígrados aumenta de 10 a 20? ¿Y cuando el aumento en grados centí-grados es de 20 a 30? ¿Observa usted alguna regularidad? Coméntelo con un compañero�

c. De acuerdo con la observación que han hecho, ¿a cuántos grados Fahrenheit equivalen 100 °C? Prolonguen la gráfica para verificarlo�

d. ¿A cuántos grados Fahrenheit corresponde una temperatura de –10 °C?e. ¿A partir de cuántos grados centígrados, la escala Fahrenheit da los grados bajo

cero?

2. Una taza de café se calienta en un horno de microondas. Al sacarla del horno, se expone a la temperatura ambiente, que es de 20 °C. La siguiente gráfica es una representación aproximada del fenómeno de enfriamiento del café, conforme transcurre el tiempo.

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a. ¿Qué temperatura alcanzó la taza de café en el horno de microondas?b. ¿Cuál es la temperatura del café 10 minutos después de que se sacó del horno?c. ¿Cuántos grados por minuto disminuyó la temperatura del café?

3. La siguiente gráfica representa temperatura de una taza de café conforme transcurren 12 minutos:

a. Comente con un compañero y con el grupo el fenómeno que describe esta gráfica�

b. ¿Representa esta gráfica una función? Explique su respuesta�

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4. En el siguiente plano cartesiano, trace la gráfica de la temperatura del café al calentarlo en un horno, suponiendo que, al introducirlo en el horno, el café tenía una tempera-tura de 25 °C y que en los primeros 60 segundos se calienta uniformemente a razón de 15 °C cada 10 segundos.

5. Analicen las gráficas que elaboraron en esta actividad. ¿Existe una dependencia entre las variables que están relacionadas en cada caso? ¿Cómo se manifiesta tal depen-dencia? Discútanlo en el grupo.

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Actividad 2. Cuando todo se mantiene en proporción directaDos cantidades x e y son directamente proporcionales si el cociente

xy es igual a una

constante k� Por ejemplo, si el rendimiento anual es de $ 2 por cada $ 100, entonces el rendi-miento es directamente proporcional a la inversión, y la constante de proporcionalidad k es

2100 o 1

50 , o bien, 0�02� La expresión simbólica que representa esta relación es y = 0�02x, en donde y representa el rendimiento, y x, la inversión�

1. Luis se pasea en bicicleta. La siguiente gráfica representa la distancia que ha recorrido en cada minuto.

a. ¿Cuál es la longitud total del trayecto?b. ¿Cuánto duró en total el trayecto?c. ¿Qué distancia llevaba recorrida a los 25 minutos? ¿Y a los 35 minutos?d. ¿Qué distancia recorrió en una hora?e. Si dos cantidades varían en proporción directa, cada par de cantidades relacio-

nadas se representan con un solo punto del plano cartesiano� Los puntos de una gráfica de proporción directa están alineados con el origen del plano cartesiano� En la gráfica anterior, ¿hay algún punto que represente la distancia recorrida por Luis en el minuto 10�1? ¿Y en el minuto 10�01? ¿En qué basa usted su respuesta?

f. De acuerdo con la gráfica, ¿modifica Luis la velocidad en algún momento? Explique su respuesta�

g. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad en este caso? ¿Qué representa la cons-tante de proporcionalidad en este caso?

h. Si y representa la distancia recorrida, y x, el tiempo transcurrido, ¿cuál es la expre-sión simbólica que representa esta situación?

i. ¿Las relaciones de proporcionalidad son casos particulares de funciones lineales? ¿Por qué?

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2. Una cubeta cilíndrica tiene un radio de 10 cm. Se abre una llave de agua para llenarla. A la izquierda aparece la gráfica que muestra la relación entre el volumen de agua y el nivel que tiene el agua en cada momento.

a. ¿Qué volumen de agua tiene la cubeta cuando el agua tiene una altura de 10 cm? ¿Y cuando la altura es de 15 cm?

b. ¿Cuántos centímetros cúbicos aumenta el volumen del agua por cada centí-metro de altura?

c. ¿Con esta gráfica se puede determinar el volumen del agua que hay en la cubeta, cuando el agua tiene una altura de 250 milímetros?

d. ¿Hay una relación de proporcionalidad directa entre el volumen y la altura del agua en la cubeta? Explique su respuesta�

e. ¿Por qué la gráfica de la derecha no representa esta situación?

3. Las siguientes gráficas muestran la relación que existe entre la cantidad de dinero que recauda un vendedor de tacos y el número de tacos que vende.

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a. ¿Cuál de las dos gráficas representa mejor esta situación?b. De acuerdo con esa gráfica, ¿cuántos tacos se vendieron? ¿La venta fue de única-

mente seis tacos?c. ¿Qué indica el punto que está en el origen de la gráfica?d. ¿Cuánto cuesta cada taco?e. ¿La cantidad de dinero recaudado es directamente proporcional al número de

tacos vendidos?f. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad en este caso?g. Si y representa la cantidad de dinero recaudado y x es el número de tacos

vendidos, ¿cuál es la expresión simbólica de esta situación?h. Con la información que proporciona la gráfica complete la siguiente tabla�

Cantidadrecaudada ($)

Número de tacos vendidos 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

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Actividad 3. Cuando la relación es de proporción inversaDos cantidades x y y son inversamente proporcionales si su producto xy es igual a una

constante k, o bien, kyx

= �

1. Las siguientes gráficas muestran las dimensiones de dos conjuntos de rectángulos. ¿Qué relación existe entre las medidas de las bases y las alturas de los rectángulos en cada caso?

a. ¿Cuál es el perímetro de los rectángulos A, B, C, D y E?b. Si usted conociera la medida de una de las dimensiones de esos rectángulos,

¿cómo calcularía la otra?c. Si designa con la variable x la medida de la base, y con la variable y, la medida

de la altura, ¿cómo expresa simbólicamente el perímetro de los rectángulos A, B, C, D y E?

d. ¿Qué fórmula expresa la relación funcional entre la medida de la altura y la base de los rectángulos que tienen el mismo perímetro?

e. ¿Cuál es el área de los rectángulos P, Q, R, S y T?f. Si conociera la medida de una de las dimensiones de esos rectángulos, ¿cómo

calcularía la otra?g. Si usted designa con la variable x la medida de la base, y con la variable y, la

medida de la altura, ¿cómo expresa simbólicamente el perímetro de los rectán-gulos P, Q, R, S y T?

h. ¿Qué fórmula expresa la relación funcional entre la medida de la altura y la base de los rectángulos que tienen la misma área?

i. ¿En alguno de los dos casos, la relación entre la medida de la altura de los rectán-gulos es inversamente proporcional a la medida de la base? ¿En cuál? Explique su respuesta�

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j. Una con una línea continua los puntos A, B, C, D y E� Haga lo mismo con los puntos P, Q, R, S y T� ¿En cuál de los dos casos, la línea es recta? ¿En cuál es curva?

2. Hoy, Sarita recibirá en su casa a sus sobrinos, que en total son 12. Tiene 60 dulces para repartirlos equitativamente entre los que lleguen. Complete la siguiente gráfica, de modo que muestre la relación entre el número de sobrinos que lleguen y el número de dulces que le tocarán a cada uno.

a. ¿Existe una relación de proporcionalidad inversa entre el número de sobrinos que lleguen y el número de dulces que le toquen a cada uno? ¿Cuál es la constante de proporcionalidad en este caso?

b. ¿Habrá algún punto de esta gráfica que esté sobre alguno de los dos ejes del plano cartesiano? Explique su respuesta�

c. ¿Están alineados los puntos de esta gráfica?d. ¿La gráfica puede constar de más de 12 puntos? Explique su respuesta�

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3. Un depósito de agua tiene cinco llaves (suponemos que todas las llaves suministran la misma cantidad de agua por hora). Si se abren dos llaves, el depósito se llena en 12

2

horas. ¿Cuánto tarda en llenarse el depósito si se abre sólo una llave? ¿Y si se abren tres, cuatro o las cinco llaves? Registre esta situación en el siguiente plano cartesiano�

a. El tiempo que tarda en llenarse el depósito es inversamente proporcional al número de llaves que se abren� En este caso, ¿cuál es la constante de proporcionalidad?

b. ¿Cuáles son las variables x y y?c. ¿Cuál es la fórmula de esta relación de proporcionalidad?d. ¿Cuántos litros le caben al depósito? Explique su respuesta�

4. El tiempo que tarda un automovilista en recorrer una distancia de 240 km es inversa-mente proporcional a su velocidad. Complete la siguiente tabla de valores y trace la gráfica que muestra la relación entre estas magnitudes.

Velocidad (v), en kilómetros por hora Tiempo (t), en horas Distancia (d), en kilómetros d

= v x t = 240 2 3 4 5 6

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5. En la tabla siguiente, las cantidades del primer renglón son proporcionales a las del segundo. Usen la tabla para proponer, por equipo, una situación que puede plantearse en el nivel escolar en que laboran. Presenten sus resultados en el grupo.

Productos de trabajoConsidere el problema inicial de la actividad 2 y el problema 4 de la actividad 3 resueltos

en esta sesión, para contestar las siguientes preguntas:

a. ¿En qué grados de la educación básica es conveniente plantear problemas como éstos? Justifique su respuesta�

b. ¿De qué manera se complementan las representaciones tabular y gráfica para dar claridad a la situación que se plantea?

c. ¿Cuáles serían las posibles dificultades que enfrentarían los alumnos para resolver cada uno de esos problemas?

d. ¿Qué previsiones tomaría en el grupo con objeto de que los alumnos desarrollen las competencias de argumentación y comunicación?

4 5 6 7 812 15 18 21 24

49


Sesión 5. Representación de situaciones cotidianas mediante gráficas de segmentos rectos y curvos

La interpretación de las gráficas que describen la variación de situaciones o fenómenos cotidianos, y su uso para hacer predicciones, son habilidades que queremos que desarrollen todos los estudiantes�

El propósito de esta sesión es que los participantes desarrollen habilidades para inter-pretar gráficas de segmentos rectos y curvos que modelan situaciones ligadas a la vida real, algunas de las cuales es posible modelarlas con funciones conocidas y otras siguen comporta-mientos que no son fáciles de predecir�

Actividad 1. Gráficas con escalas en ambos ejes1. La siguiente gráfica muestra la temperatura de un enfermo durante tres días:

a. ¿Qué sucede entre las 8 y las 24 horas del primer día?

b. ¿Qué día se elevó más la temperatura?c. ¿Cuál fue el valor máximo que llegó a alcanzar?d. ¿Cuál fue el valor mínimo que llegó a alcanzar?e. ¿Hubo algún periodo en que la temperatura se mantuvo constante? ¿Cuánto

tiempo se mantuvo así?

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2. Lucía mecanografía a razón de 40 palabras por minuto durante tres minutos. Hace una pausa de dos minutos y luego continúa escribiendo a razón de 30 palabras por minuto. ¿Cuál de las tres gráficas representa esta situación?

3. En una zona de esquí hay un elevador que asciende a 100 metros por minuto, y hace un recorrido total de 600 metros. La siguiente gráfica registra la subida de un esquiador en el elevador a la cima de la montaña y su descenso esquiando.

a. ¿Se detiene el elevador antes de llegar a la cima? ¿Cómo puede saberse?b. ¿A los cuántos minutos de su salida de la base, el esquiador estaba en la cima de

la montaña?c. ¿Cuánto tiempo estuvo el esquiador en la cima?d. En algún momento, ¿la velocidad del elevador se reduce a cero? Explique su

respuesta�e. ¿Cuál es la velocidad del esquiador, en kilómetros por hora?f. Señale cinco puntos de la gráfica que relacionen el tiempo con la distancia reco-

rrida, y explique qué es lo que está ocurriendo en cada instante�

51


4. En el problema 2, por equipo, elijan una gráfica que no corresponde a la situación que se describe en el enunciado, y formulen otra situación que tenga esa gráfica como respuesta� Presenten al grupo su propuesta para su análisis y evaluación�

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Actividad 2. Graficando la relación distancia-tiempoReúnase con un compañero para analizar los problemas 1 a 4, y elijan la gráfica que

describe mejor cada situación� Presenten a sus compañeros del grupo los argumentos en que basan cada elección�

1. Una persona sube a una colina a paso regular y la baja más rápidamente.

2. Un niño sube a paso regular por la escalera de una resbaladilla, se detiene un rato y luego se desliza.

3. El metro sale de una estación a una velocidad regular, llega a la siguiente estación y deja a sus pasajeros.

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4. A continuación se describen dos situaciones. ¿Cuál de ellas se ajusta más a la información que proporciona la gráfica?

• Carolina fue a visitar a su amiga Rosario, caminó un rato subiendo una pendiente, luego caminó por un plano y después subió por otra pendiente menos pronunciada y tocó a la puerta de la casa de Rosario.

• Carolina conducía su coche a cierta velocidad. Un agente de tránsito le pidió que se detuviera y, después de recibir la infracción, continuó su camino, esta vez respetando el límite de velocidad.

5. En cada uno de los problemas anteriores, escoja una de las respuestas incorrectas y formule una situación que tenga esa gráfica como respuesta.

6. Trace la gráfica que describe la siguiente situación: “Carlitos camina de su casa a la tienda de la esquina. A medio camino se da cuenta de que olvidó el dinero. Regresa a su casa, toma el dinero y, ahora sí, llega hasta la tienda.” ¿Qué variable conviene asignar al eje horizontal: el tiempo o la distancia? ¿Y al eje vertical?

7. ¿Qué tienen en común todas las gráficas que se presentaron en esta actividad? Discutan sus respuestas en el grupo.

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Actividad 3. Graficando la relación velocidad-tiempoEn esta actividad se presentan los mismos tres primeros problemas que en la actividad

anterior, con la diferencia de que ahora se representa la velocidad en el eje vertical�

En los problemas 1 a 4, elija la gráfica que describe mejor cada situación� Presente a sus compañeros los argumentos en que basa cada elección�

1. Una persona sube a una colina a paso regular y la baja más rápidamente, pero también a velocidad regular.

2. Un niño sube a paso regular por la escalera de una resbaladilla, se detiene un rato y luego se desliza.

3. El metro sale de una estación a una velocidad regular, llega a la siguiente estación y deja a sus pasajeros.

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4. A continuación se describen dos situaciones. ¿Cuál de ellas se ajusta más a la información que proporciona la gráfica?

• Un auto en movimiento cae en un precipicio.• Un auto en movimiento choca contra una pared y se detiene.

5. Trace la gráfica velocidad-tiempo que describe la siguiente situación: “En una carrera de 100 metros planos, un participante empieza con una velocidad constante. En cierto momento, aumenta esa velocidad y también la mantiene constante; cerca de la meta, vuelve a acelerar.”

6. Las siguientes gráficas describen la situación de dos automovilistas en una carretera. Reúnase con un compañero para analizar e interpretar las gráficas. Presenten sus conclusiones al grupo.

Productos de trabajoConstruya una gráfica de segmentos que muestre la relación entre la distancia que usted

recorre al trasladarse de su casa a su centro de trabajo y el tiempo que tarda en hacer este recorrido� Tome en cuenta las distancias que recorre a pie y en vehículo� Muestre al grupo su gráfica y permita que sus compañeros la interpreten�

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Sesión 6. El desarrollo de competencias matemáticas y la evaluación del desempeño de los alumnos

¿Cuáles son los propósitos del estudio de las matemáticas en la educación básica? ¿Cómo saber que las tareas que se realizan cotidianamente en el aula se centran en el logro de esos propósitos? ¿Cómo saber en qué medida se han alcanzado esos propósitos?

El propósito de esta sesión es centrar a los participantes en la discusión y reflexión sobre los propósitos del estudio, aprendizaje y enseñanza de las matemáticas en la educación básica, y las formas en que puede orientarse el trabajo docente para lograrlos�

Actividad 1. El desarrollo de competencias matemáticasEl trabajo en equipo –un aspecto central de la reforma curricular de matemáticas– implica

compartir ideas y asumir la responsabilidad de que cualquiera de los integrantes pueda explicar el procedimiento que siguió para resolver el problema y verificar que el resultado sea correcto�

En esta actividad (como en todas las planteadas en las cinco sesiones anteriores) se seguirán las pautas establecidas en el enfoque didáctico para el estudio de las matemáticas en el Plan de estudios de educación básica; esto es:

• Planteamiento del problema (coordinador)� Mientras los profesores resuelven, el coordinador observa e interactúa con los equipos para entender lo que hacen y dicen; en caso de que un equipo lo requiera, lanzará alguna pregunta que lo induzca a reflexionar sobre la pertinencia de lo que hacen, sin que esto implique dar “pistas”�

• Confrontación de procedimientos y resultados (coordinador y profesores)� Cuando la mayoría de los equipos termina, se hace una puesta en común de los procedimientos y resultados�

• Recapitulación (coordinador y profesores)�Para llevar a cabo esta secuencia de trabajo, es necesario haber preparado el problema

que se va a plantear, tener claras las intenciones didácticas (es decir, para qué se plantea) y contar con elementos para ayudar a los alumnos� No se trata de resolverles el problema ni de dar la clase, sino de apoyar sus reflexiones�

1. Organizados en equipos, resolverán el siguiente problema�Problema:

Las placas de la mayoría de los automóviles particulares en el Distrito Federal se rotulan con tres números y tres letras, en ese orden� ¿Cuántas placas diferentes se pueden rotular con los números 3, 7 y 9, y las letras A, X y W?

57


2. De manera individual, lea el texto que se presenta en el Anexo 1 de este documento, “Introducción y Propósitos para la educación primaria del Plan de Estudios 2009”� (Cabe aclarar que estos propósitos generales son muy similares a los que se señalan para la educación secundaria�)

Cuando la mayoría haya terminado, nuevamente se integran en equipos para redactar un texto cuyo título sea: “¿De qué manera el enfoque didáctico utilizado en la resolución del problema de las placas, ayuda al logro de los propósitos generales del estudio de las matemá-ticas y al desarrollo de competencias matemáticas?”�

Una vez que la mayoría de los equipos concluye la redacción del texto, uno de los equipos lo lee y los demás añaden a su trabajo las ideas que no haya considerado�

Actividad 2. Evaluación del desempeño de los alumnos1. De manera individual, lea el texto que se presenta en el Anexo 2, “Principio peda-

gógico No� 7”, Secretaría de Educación Pública� Plan de estudios 2011� Educación Básica� SEP� México� Pp� 52-53� �

Cuando la mayoría haya terminado la lectura, el coordinador pide a algunos profesores sus comentarios sobre los dos aspectos que deben considerarse al evaluar el desempeño de los alumnos: por una parte, los conocimientos y habilidades, y por otra, la consideración de las líneas de progreso en cuanto al desarrollo de las competencias matemáticas�

2. Enseguida, el coordinador entrega una “Lista de control de los aprendizajes espe-rados”, relativa al problema planteado (número de placas diferentes)� Para ello, el coordinador deberá llenar previamente esta lista con los nombres de los integrantes del grupo�

Cada profesor deberá llenar el renglón que le corresponde, considerando que:

• Un aprendizaje logrado (L) significa que lo usaron de manera espontánea en el problema de las placas de automóviles; es decir, que lo tienen disponible�

• Un aprendizaje en proceso (EP) significa que algo tuvieron que hacer para recordarlo o reconstruirlo, o bien, que utilizaron un procedimiento similar, más rudimentario�

• Un aprendizaje insuficiente (I) significa que no tuvieron idea de qué hacer y que les faltan bases para lograr el aprendizaje esperado�

De igual manera deberá procederse para las competencias implicadas en la resolución de este problema�

3. Después de que cada equipo llena las listas, se recogen y se pasa la información a una lista, de modo que pueda verse en la pantalla� Se analizan las ventajas de que, al término de cada bloque, los profesores utilicen listas de control de los aprendizajes esperados y de las competencias consideradas; esto da mucho más información que una calificación numérica�

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Productos de trabajoEl texto: “De qué manera el enfoque didáctico utilizado en la resolución del problema

de las placas, ayuda al logro de los propósitos generales del estudio de las matemáticas y al desarrollo de competencias”�

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ANEXO

Anexo 1

Campo de formación: Pensamiento matemático

El mundo contemporáneo obliga a construir diversas visiones sobre la realidad y proponer formas diferenciadas para la solución de problemas usando el razonamiento como herramienta fundamental� Representar una solución implica establecer simbolismos y correlaciones mediante el lenguaje matemático� El campo Pensamiento matemático articula y organiza el tránsito de la aritmética y la geometría y de la interpretación de información y procesos de medición, al lenguaje algebraico; del razonamiento intuitivo al deductivo, y de la búsqueda de información a los recursos que se utilizan para presentarla�

El conocimiento de reglas, algoritmos, fórmulas y definiciones sólo es importante en la medida en que los alumnos puedan utilizarlo de manera flexible para solucionar problemas� De ahí que los procesos de estudio van de lo informal a lo convencional, tanto en términos de lenguaje como de representaciones y procedimientos� La actividad intelectual fundamental en estos procesos se apoya más en el razonamiento que en la memorización�

El énfasis de este campo se plantea con base en la solución de problemas, en la formulación de argumentos para explicar sus resultados y en el diseño de estrategias y sus procesos para la toma de decisiones� En síntesis, se trata de pasar de la aplicación mecánica de un algoritmo a la representación algebraica�

Esta visión curricular del pensamiento matemático busca despertar el interés de los alumnos, desde la escuela y a edades tempranas, hasta las carreras ingenieriles, fenómeno que contribuye a la producción de conocimientos que requieren las nuevas condiciones de intercambio y competencia a nivel mundial�

Campo formativo: Pensamiento matemático en preescolar

El desarrollo del pensamiento matemático inicia en preescolar y su finalidad es que los niños usen los principios del conteo; reconozcan la importancia y utilidad de los números en la vida cotidiana, y se inicien en la resolución de problemas y en la aplicación de estrategias que impliquen agregar, reunir, quitar, igualar y comparar colecciones� Estas acciones crean nociones del algoritmo para sumar o restar�

Este campo formativo favorece el desarrollo de nociones espaciales, como un proceso en el cual se establecen relaciones entre los niños y el espacio, y con los objetos y entre los objetos� Relaciones que dan lugar al reconocimiento de atributos y a la comparación�

Matemáticas en primaria y secundaria

64


Para avanzar en el desarrollo del pensamiento matemático en la primaria y secundaria, su estudio se orienta a aprender a resolver y formular preguntas en que sea útil la herramienta matemática� Adicionalmente, se enfatiza la necesidad de que los propios alumnos justifiquen la validez de los procedimientos y resultados que encuentren, mediante el uso de este lenguaje�

En la educación primaria, el estudio de la matemática considera el conocimiento y uso del lenguaje aritmético, algebraico y geométrico, así como la interpretación de información y de los procesos de medición� El nivel de secundaria atiende el tránsito del razonamiento intuitivo al deductivo, y de la búsqueda de información al análisis de los recursos que se utilizan para presentarla�

A lo largo de la Educación Básica se busca que los alumnos sean responsables de construir nuevos conocimientos a partir de sus saberes previos, lo que implica:

• Formular y validar conjeturas.

• Plantearse nuevas preguntas.

• Comunicar, analizar e interpretar procedimientos de resolución.

• Buscar argumentos para validar procedimientos y resultados.

• Encontrar diferentes formas de resolver los problemas.

• Manejar técnicas de manera eficiente.

65

ANEXO

Anexo 21�7� Evaluar para aprender

El docente es el encargado de la evaluación de los aprendizajes de los alumnos y quien realiza el seguimiento, crea oportunidades de aprendizaje y hace modificaciones en su práctica para que éstos logren los aprendizajes establecidos en el Plan y los programas de estudio�

La evaluación de los aprendizajes es el proceso que permite obtener evidencias, elaborar juicios y brindar retroalimentación sobre los logros de aprendizaje de los alumnos a lo largo de su formación; por tanto, es parte constitutiva de la enseñanza y del aprendizaje�

Los juicios sobre los aprendizajes logrados durante el proceso de evaluación buscan que estudiantes, docentes, madres y padres de familia o tutores, autoridades escolares y educa-tivas, en sus distintos niveles, tomen decisiones que permitan mejorar el desempeño de los estudiantes� Por tanto, en la Educación Básica el enfoque formativo deberá prevalecer en todas las acciones de evaluación que se realicen�

Desde este enfoque se sugiere obtener evidencias y brindar retroalimentación a los alumnos a lo largo de su formación, ya que la que reciban sobre su aprendizaje, les permitirá participar en el mejoramiento de su desempeño y ampliar sus posibilidades de aprender�

Para que cumpla sus propósitos, requiere comprender cómo potenciar los logros y cómo enfrentar las dificultades� Por ello, el docente habrá de explicitar a los estudiantes formas en que pueden superar sus dificultades� En este sentido, una calificación o una descripción sin propuestas de mejora resultan insuficientes e inapropiadas para mejorar su desempeño�

Para que el enfoque formativo de la evaluación sea parte del proceso de aprendizaje, el docente debe compartir con los alumnos y sus madres, padres de familia o tutores lo que se espera que aprendan, así como los criterios de evaluación� Esto brinda una comprensión y apropiación compartida sobre la meta de aprendizaje, los instrumentos que se utilizarán para conocer su logro, y posibilita que todos valoren los resultados de las evaluaciones y las conviertan en insumos para el aprendizaje; en consecuencia, es necesario que los esfuerzos se concentren en cómo apoyar y mejorar el desempeño de los alumnos y la práctica docente�

En educación preescolar, los referentes para la evaluación son los aprendizajes esperados establecidos en cada campo formativo, que constituyen la expresión concreta de las compe-tencias; los aprendizajes esperados orientan a las educadoras para saber en qué centrar su observación y qué registrar en relación con lo que los niños hacen�

Para la educación primaria y secundaria, en cada bloque se establecen los aprendizajes esperados para las asignaturas, lo que significa que los docentes contarán con referentes de evaluación que les permitirán dar seguimiento y apoyo cercano a los logros de aprendizaje de sus estudiantes�

66


Durante un ciclo escolar, el docente realiza o promueve distintos tipos de evaluación, tanto por el momento en que se realizan, como por quienes intervienen en ella�

En primer término están las evaluaciones diagnósticas, que ayudan a conocer los saberes previos de los estudiantes; las formativas, que se realizan durante los procesos de aprendizaje y son para valorar los avances, y las sumativas, para el caso de la educación primaria y secun-daria, cuyo fin es tomar decisiones relacionadas con la acreditación, no así en el nivel de prees-colar, donde la acreditación se obtendrá sólo por el hecho de haberlo cursado�

En segundo término se encuentra la autoevaluación y la coevaluación entre los estudiantes�

La primera busca que conozcan y valoren sus procesos de aprendizaje y sus actuaciones, y cuenten con bases para mejorar su desempeño; mientras que la coevaluación es un proceso que les permite aprender a valorar los procesos y actuaciones de sus compañeros, con la responsabilidad que esto conlleva, además de que representa una oportunidad para compartir estrategias de aprendizaje y aprender juntos� Tanto en la autovaluación como en la coevalua-ción es necesario brindar a los alumnos criterios sobre lo que deben aplicar durante el proceso, con el fin de que éste se convierta en una experiencia formativa y no sólo sea la emisión de juicios sin fundamento

La heteroevaluación, dirigida y aplicada por el docente, contribuye al mejoramiento de los aprendizajes de los estudiantes mediante la creación de oportunidades de aprendizaje y la mejora de la práctica docente�

De esta manera, desde el enfoque formativo de la evaluación, independientemente de cuándo se lleve a cabo –al inicio, durante o al final del proceso–, de su finalidad –acreditativa o no acredita-tiva–, o de quiénes intervengan en ella –docente, alumno o grupo de estudiantes–, toda evaluación debe conducir al mejoramiento del aprendizaje y a un mejor desempeño del docente�

Cuando los resultados no sean los esperados, el sistema educativo creará oportunidades de aprendizaje diseñando estrategias diferenciadas, tutorías u otros apoyos educativos que se adecuen a las necesidades de los estudiantes�

Asimismo, cuando un estudiante muestre un desempeño que se adelante significativamente a lo esperado para su edad y grado escolar, la evaluación será el instrumento normativo y pedagógico que determine si una estrategia de promoción anticipada es la mejor opción para él� En todo caso, el sistema educativo proveerá los elementos para potenciar el desempeño sobresaliente del estudiante� La escuela regular no será suficiente ni para un caso ni para el otro, y la norma escolar establecerá rutas y esquemas de apoyo en consonancia con cada caso comentado�

Para ello, es necesario identificar las estrategias y los instrumentos adecuados para el nivel de desarrollo y aprendizaje de los estudiantes� Algunos instrumentos que deberán usarse para la obtención de evidencias son:

67

ANEXO

• Rúbrica o matriz de verificación.

• Listas de cotejo o control.

• Registro anecdótico o anecdotario.

• Observación directa.

• Producciones escritas y gráficas.

• Proyectos colectivos de búsqueda de información, identificación de problemáticas y formulación de alternativas de solución�

• Esquemas y mapas conceptuales.

• Registros y cuadros de actitudes observadas en los estudiantes en actividades colectivas.

• Portafolios y carpetas de los trabajos.

• Pruebas escritas u orales.

Asimismo, y con el fin de dar a conocer los logros en el aprendizaje de los estudiantes y en congruencia con el enfoque formativo de la evaluación, se requiere transitar de la actual boleta de calificaciones, a una Cartilla de Educación Básica en la que se consigne el progreso de los estudiantes obtenido en cada periodo escolar, considerando una visión cuantitativa y cualitativa�

En 2009, en el marco de la RIEB, la SEP integró un grupo de trabajo con la participación del Instituto Nacional de Evaluación para la Educación (INEE) con la finalidad de diseñar una propuesta para evaluar y reportar el proceso de desarrollo de competencias de los alumnos de Educación Básica, en congruencia con los planes y programas de estudio� Así inició la transi-ción a la Cartilla de Educación Básica con una etapa de prueba en 132 escuelas primarias� Sus resultados apuntaron a la necesidad de revisar y ajustar los parámetros referidos a los aprendi-zajes esperados, al tiempo que el docente deberá invertir para su llenado, y a la importancia de que cuente con documentos que le orienten para el proceso de evaluación formativa�

Derivado de esto, se realizaron ajustes a la propuesta, por lo que durante el ciclo escolar 2011-2012 la boleta de evaluación para la educación primaria y secundaria incorpora Están-dares de Habilidad Lectora y el criterio Aprobado con condiciones� La aplicación de esta boleta reconoce la necesidad de realizar registros que permitan trazar trayectos de atención personalizada para los estudiantes�

Paralelamente, se llevará a cabo una segunda etapa de prueba de la Cartilla de Educación Básica en 1 000 planteles de educación preescolar, 5 000 de educación primaria y 1 000 de educación secundaria, para consolidarla y generalizarla en el ciclo escolar 2012-2013�

Además, y como resultado de la primera etapa de prueba, durante el proceso de imple-mentación de la cartilla en apoyo a los maestros, los padres de familia y los autores de mate-riales educativos, se diseñarán manuales y guías para el uso de la cartilla� En la asignatura Lengua Indígena es importante que el docente considere aspectos específicos relacionados con las particularidades culturales y lingüísticas de las lenguas indígenas al llevar a la práctica la evaluación, como:

1� Los instrumentos que se utilicen deben expresarse en la lengua materna de los niños de acuerdo con las normas socio-lingüísticas que rigen este tipo de discurso�

2� Los estilos lingüísticos, el código utilizado y el vocabulario expresado en los formatos o reactivos de evaluación que se utilicen, deben ser claros para los niños, tomando en cuenta las normas socio lingüísticas de sus lenguas de origen que operan en relación con la infancia y/o en función de parámetros relativos a jerarquías sociales o género�

3� La evaluación contemplará los tipos textuales producidos o interpretados durante el año escolar de los estudiantes, de acuerdo con los programas de estudio de lengua indígena, así como las normas socio-lingüísticas que rigen su estructura u organización de la información� Por ejemplo, no es posible pedir a un niño que responda a cierto tipo de preguntas típicas en el tratamiento del texto “noticia” (cuándo, cómo, dónde) con base en la estructura que se rige por normas propias del género periodístico, ya que en las comunidades indígenas la práctica de relatar un suceso actual parte de una estructura y una función social distinta a la que este tipo de texto tiene en el mundo hispánico�

4� La evaluación debe contemplar o respetar los sistemas de creencias o cosmovisión de los estudiantes indígenas, considerando que sus interpretaciones o respuestas se enmarcan en los hori-zontes o contextos de sentido propio de sus culturas originarias� Asimismo, es importante contem-plar el conocimiento del mundo que tienen, ya que muchos, al pertenecer a culturas en resistencia, aisladas del mundo occidental u otras regiones, tienen poco acceso a contenidos culturales distintos de los propios, lo que dificulta la comprensión de los textos que leen�

Para que la evaluación se realice desde este enfoque, es necesario impulsar la creación de institutos de evaluación en cada entidad, que modifiquen el marco institucional de los órganos evaluadores y el sistema dé apertura a futuras evaluaciones externas que contribuyan al diseño y a la aplicación de instrumentos que potencien la evaluación universal de docentes como una actividad de mejora continua del sistema educativo en su conjunto y, así, la acción de evaluación alcance plena vigencia en México�

2

Índice Presentación 3

Introducción 3

Sesión 1. Razonamiento combinatorio 4

Sesión 2. Experimentos sobre probabilidad 6

Sesión 3. Gráficas estadísticas 7

Sesión 4. Representación de situaciones cotidianas mediante gráficas lineales 9

Sesión 5. Representación de situaciones cotidianas mediante gráficas de segmentos rectos y curvos 10

Sesión 6. Propósitos del estudio de las matemáticas y evaluación del desempeño de los alumnos 12

3

Presentación El presente cuaderno de trabajo ha sido elaborado con base en el enfoque de

resolución de problemas propuesto por la Secretaría de Educación Pública en los Planes y Programas de matemáticas de educación básica.

La metodología didáctica que se ha utilizado es la que conforma el planteamiento central de este enfoque, y que consiste en proponer en el aula actividades de estudio que “despierten el interés de los alumnos y los inviten a reflexionar, a encontrar diferentes formas de solucionar los problemas y a formular los argumentos que validen sus resultados”.

Hemos procedido de esta manera porque pensamos que los cursos de formación continua (y los materiales que les sirven de apoyo), dirigidos a los maestros que desempeñan el cargo de apoyo técnico pedagógico y a los propios maestros de grupo, deben sustentarse en los planteamientos teóricos y conceptuales que sirven de base a los documentos normativos de la reforma curricular de matemáticas, a la vez que deben tener una orientación práctica.

Para la elaboración del cuaderno se han seleccionado contenidos de combinatoria, probabilidad, estadística y representaciones gráficas porque pensamos que estos temas deben ser referencias obligadas en los nuevos cursos de formación continua que se impartan a los profesores. En primer lugar, por el hecho de que constituyen cuatro aspectos formativos en los programas de matemáticas. En segundo lugar, porque son una fuente de errores tanto de los jóvenes como de los adultos, entre los que se incluyen los profesores, que se sustentan en una serie de creencias falsas (principalmente sobre la idea de probabilidad) que es preciso corregir desde la escuela.

Por otra parte, se ha insistido en que, en cada sesión de clase, el coordinador y los profesores participantes tengan presentes los propósitos del estudio de las matemáticas, así como la manera en que los alumnos pueden desarrollar competencias a través del estudio de los temas antes señalados.

Introducción Aunque los propósitos y el enfoque del estudio de las matemáticas en educación

básica se analizarán en el sexto tema (sexta sesión), conviene que el coordinador los tenga presentes durante el desarrollo del curso, de modo que su trabajo con los profesores en la resolución de las actividades de cada sesión se ajuste a las pautas que, al respecto, están establecidas en el Plan de Estudios de la reforma de la educación básica.

En cuanto a los propósitos, dicho Plan señala que lo que se pretende es que los niños y jóvenes desarrollen:

• Una forma de pensamiento que les permita expresar matemáticamente situaciones que se presentan en diversos entornos socioculturales.

• Técnicas adecuadas para reconocer, plantear y resolver problemas.

• Una actitud positiva hacia el estudio de esta disciplina, y de colaboración y

4

crítica, tanto en el ámbito social y cultural en que se desempeñen, como en otros diferentes.

Con respecto al enfoque didáctico para el estudio de esta disciplina, las pautas que establece son las siguientes:

• Planteamiento del problema (coordinador). Mientras los profesores resuelven, el coordinador observa e interactúa con los equipos para entender la línea de razonamiento que sigue cada equipo en la resolución de las actividades. Cuando lo juzgue necesario, hará preguntas para entender tal razonamiento, de modo que los induzca a reflexionar sobre la pertinencia de lo que hacen, sin que esto implique dar “pistas”.

• Confrontación de procedimientos y resultados (coordinador y profesores). Cuando la mayoría de los equipos termina, se hace una puesta en común de los procedimientos y resultados.

• Recapitulación (coordinador y profesores). Se ha procurado incluir, al final de la última actividad de cada sesión, un trabajo de recapitulación, en el que todo el grupo interviene en la formulación de conclusiones.

Esta metodología didáctica que acompaña a los programas está orientada al desarrollo de las siguientes competencias matemáticas:

Resolver problemas de manera autónoma. Implica que los alumnos sepan identificar, plantear y resolver diferentes tipos de problemas o situaciones.

Validar procedimientos y resultados. Se trata de que los alumnos vean la necesidad de formular argumentos que den sustento al procedimiento y/o solución encontrados, con base en las reglas del debate matemático.

Comunicar información matemática. Comprende la posibilidad de expresar y representar información matemática contenida en una situación o en un fenómeno, así como la de interpretarla.

Manejar técnicas y recursos tecnológicos. Esta competencia se refiere al uso eficiente de procedimientos y formas de representación al efectuar cálculos, con el apoyo de tecnología o sin él. No se limita a hacer un uso mecánico de las operaciones aritméticas, sino que apunta al desarrollo del significado y uso de los números, de las literales o variables y de las operaciones, que se manifiesta en la capacidad de elegir adecuadamente la operación u operaciones para resolver un problema, en la utilización del cálculo mental y la estimación, y en evaluar la pertinencia de los resultados.

Sesión 1. Razonamiento combinatorio La diversidad de problemas de conteo es tan amplia (véase, por ejemplo, el libro

De cuántas formas, de N. Vilenkin, de Editorial MIR, reeditado en 1996 por la Facultad de Ciencias de la UNAM) que se hace necesario conocer una clasificación basada en los tipos de situaciones que modelan, haciendo a un lado en este nivel las operaciones combinatorias, propias de libros especializados: permutaciones, combinaciones y variaciones. Esta clasificación de los problemas de combinatoria de acuerdo con los tipos de situaciones que modelan, se debe al equipo de la investigadora Carmen

5

Batanero, de la Universidad de Granada, y la han utilizado para investigar la capacidad combinatoria de los estudiantes y en el diseño de unidades didácticas.

El propósito de la primera actividad de la sesión es que los profesores se familiaricen con los problemas de conteo a través de su clasificación y no en su resolución, cuestión que se verá en las actividades 2, 3 y 4 de esta sesión.

Una manera de evaluar esta actividad podría consistir en pedir a los profesores que clasifiquen el siguiente problema de conteo, que aparece en varios libros de texto de secundaria y de primaria:

El menú de un restaurante es:

– Sopa de pasta o crema de calabaza o consomé

– Arroz o espagueti

– Cerdo en Guajillo o pollo en salsa verde o tortas de papa

¿De cuántas maneras es posible elegir una comida completa? (Una comida completa consta de sopa, arroz o espagueti y platillo fuerte).

Las tres actividades restantes de esta sesión se destinan a la resolución de los tipos de problemas combinatorios enunciados en la primera.

La segunda actividad de la sesión aborda los problemas de colocación. En particular, con el primer problema se trata de que los profesores generalicen un procedimiento para encontrar cuántos números diferentes se pueden formar con tres, cuatro, cinco y más dígitos.

Una vez que los profesores hayan resuelto el primer problema, quizás utilizando un procedimiento de búsqueda sistemática (por ejemplo, en el primer caso, escribiendo 246, 264, 426, 462, 624 y 642), se sugiere pedir a los profesores que resuelvan el problema con material concreto, como puede ser una bolsa no transparente y tres fichas numeradas con las cifras 2, 4 y 6, con objeto de empezar a conectar las ideas de combinatoria con las de probabilidad.

En el inciso f del problema 3 se trata de que los profesores reconozcan que tanto el sistema Morse (con sus signos punto y raya) como el sistema binario (con sus cifras 0 y 1) requieren de la combinatoria para representar letras o números; que reconozcan también que mediante un signo (punto o raya) o la combinación de dos, tres, cuatro y cinco signos, pueden representarse los números del 0 al 31 (y, por tanto, las 27 letras del alfabeto.

También es conveniente pedir a los profesores que expliquen de qué manera el sistema de numeración decimal usa la combinatoria para formar, por ejemplo, números de cuatro cifras con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. ¿Cuántos números distintos puede formar? ¿De qué manera es más fácil hacer una lista de ellos?

En la tercera actividad de esta sesión se recomienda atender la sugerencia de realizar la simulación de las tres situaciones que se plantean, con objeto de fortalecer la noción de aleatoriedad. Por ejemplo, usar cuatro fichas numeradas para representar las cuatro novelas y otras tres fichas para representar los diccionarios; introducir las

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primeras cuatro fichas en una bolsa no transparente y las otras tres fichas en otra, y extraer una a una las fichas.

La sesión se cierra con una reflexión de los profesores sobre las estrategias didácticas que podrían aplicarse para abordar este tema en los grados escolares que atienden.

Sesión 2. Experimentos sobre probabilidad En el desarrollo de las actividades correspondientes a este tema, deberá

privilegiarse el lado experimental de la probabilidad, e introducir la fórmula clásica una vez que se ha insistido en el carácter aleatorio de las situaciones y fenómenos que aborda esta parte de las matemáticas.

La situación que se plantea en la primera actividad quizás dé lugar a que algunos profesores elijan alguna de las cinco primeras opciones de respuesta, manifestando así creencias no sustentadas en la noción de probabilidad. No es el momento de justificar que las cinco son igual de probables, sino de realizar el experimento que se propone. Esto es, se parte del análisis de los resultados que obtiene cada equipo al realizar los 50 ensayos de lanzar cuatro veces, para luego analizar los que se obtienen en todo el grupo, con objeto de posibilitar la observación de las tendencias de los resultados.

Una de las principales dificultades de los alumnos y de muchos profesores es la determinación del inventario de resultados posibles de un experimento aleatorio (o espacio muestral). La pregunta que se plantea en el inciso e de esta actividad tiene la intención de aclarar esta cuestión. En total, hay 16 formas diferentes en que pueden caer sucesivamente las cuatro monedas (éste es el inventario de posibilidades), y todas tienen la misma probabilidad de salir, esto es, los 16 resultados son equiprobables. Sería interesante verificar si el grupo obtuvo esos 16 resultados diferentes al realizar el experimento.

La segunda actividad es muy similar a la anterior, sólo que ahora el experimento se realiza con dos dados. El experimento de lanzar dos dados tiene 36 resultados posibles, como se observará al completar la tabla del inciso a; éste es el inventario de posibilidades, y todas tienen la misma probabilidad de salir; es decir, hay 36 resultados equiprobables. Sin embargo, unas sumas tienen mayor probabilidad de salir que otras; esto quedará claro al completar las tablas de los incisos a y e.

La tercera actividad de esta sesión tiene la intención de que los profesores interpreten la escala de la probabilidad entre 0 y 1. Aunque en el material para el participante no se insiste en expresar de diferentes maneras la probabilidad de un evento (en forma decimal, de fracción o de porcentaje), es conveniente que sí lo haga el coordinador.

La sesión se cierra con una reflexión de los profesores acerca del tipo de preguntas que conviene plantear a los alumnos para desarrollar sus competencias en resolución de problemas de probabilidad.

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Sesión 3. Gráficas estadísticas En general, las actividades que se desarrollarán en este tema tratan cuatro

aspectos que, en el manejo o tratamiento de datos, son indispensables para el desarrollo del razonamiento estadístico.

La dinámica de organización de los participantes para efectuar las actividades será de la siguiente manera:

Individual. Se pide una revisión o lectura individual del problema inicial, momento en el que el participante podrá dirigirse al coordinador para aclarar o manifestar alguna duda. En caso necesario, el instructor puede plantearle preguntas más sencillas que le permitan identificar la información que se le está solicitando.

En equipo. Se pregunta sobre la opinión del equipo, con la intención de promover el intercambio de ideas y llegar a acuerdos, con lo cual podrían identificarse dificultades e interpretaciones erróneas comunes. Si fuera el caso, el coordinador podría evaluar la conveniencia de replantear la pregunta o el problema.

Grupal. Tiene la finalidad de institucionalizar aquellos conocimientos y procedimientos eficientes que se han obtenido. Se enriquece la discusión y se espera que se desarrollen las habilidades de comunicación y argumentación.

Los problemas que se presentan en la primera actividad están planteados en una serie de preguntas relativas a los contenidos de Tratamiento de la información (en el programa de secundaria corresponde al eje Manejo de la información). Dichas preguntas están encaminadas a hacer reflexionar y hurgar entre los datos a partir de la lectura de gráficas. Se espera que, al realizar esta reflexión, algunos de los profesores inicien sus frases diciendo: “Al ver la gráfica se observa fácilmente (o claramente) que la barra que corresponde a…”, “Tuve que buscar y revisar detenidamente…”, “Fue necesario identificar en cada eje...”. Estas frases pueden ayudarles a identificar aquellas respuestas que, de manera directa, se obtienen al leer la gráfica; por ejemplo, la respuesta de la pregunta 1-a o la de la pregunta 2-a, o aquellas respuestas en que es necesario leer entre los datos.

En el caso de la pregunta 1-a, algunos participantes podrían considerar al 5 que aparecen en el eje horizontal como la cantidad de litros de leche, y anotar como respuesta el 6, debido a que no leen los rótulos que corresponden a cada eje.

Para el caso de la pregunta 1-c, se refiere a identificar y, luego, sumar las cuatro cantidades mayores de litros de leche que se consumen en una semana. En la gráfica se ve que la cantidad mayor de litros de leche que puede representarse es 12 y presenta una frecuencia de 2; es decir, dos amas de casa contestaron que consumen 12 litros de leche a la semana.

Algunas de las situaciones erróneas que pueden ocurrir, son: que los participantes identifiquen las cuatro barras más altas y sumen las frecuencias que les corresponden 8 + 5 + 4 + 3 (frecuencias mayores) o que sumen las cantidades de litros de leche que le corresponden a dichas frecuencias (7 + 6 + 2 + 5). Si se presenta alguna de estas situaciones, el coordinador pedirá a los participantes que traten de interpretar esos datos.

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La pregunta 2-b no tiene una respuesta única; es decir, no solamente se refiere a la mayor frecuencia (moda), sino que podría darse un intervalo de valores, por ejemplo, de 5 a 7 kilogramos. Para contestar las preguntas 2-c y 2-d se requiere inferir la respuesta.

La actividad cierra con la indicación que aparece en la tarea 3, en donde se podría pedir, además, que analicen las preguntas de dos o tres equipos que considere son interesantes, y que traten de identificar si se necesita leer entre los datos, más allá de ellos o directamente de la gráfica. También, puede servir para analizar otros aspectos, como la claridad de la pregunta, si tiene respuesta única o no, etcétera.

La segunda actividad inicia con la presentación de una tabla que muestra la población de habitantes en el mundo en diferentes décadas. La primera tarea se trata de leer la gráfica que se elaboró a partir de algunos datos de la tabla. En el caso de la pregunta 1-c, se pide construir tres gráficas, la primera es muy parecida a la que elaboraron Rosa y Rodrigo; mientras que para elaborar la segunda gráfica, se requiere reconsiderar la escala con la cual se rotulará el eje vertical, debido a las grandes diferencias entre la población de las regiones que se pide graficar. Una vez que se ha pensado y decidido cuál es la escala más conveniente, la tercera gráfica se hace más sencilla. Es importante reflexionar sobre los aspectos que se destacan en una representación tabular y los que destacan en una gráfica.

Para contestar la pregunta 2-a se requiere comparar con respecto al total de personas, y para la pregunta 2-b, es necesario identificar cuál es el año al que corresponden los datos.

En la última tarea, tal vez la mayoría de los participantes nuevamente elaboren una gráfica de barras y una circular. Si ocurre así, el coordinador puede proponer una gráfica de línea y decirles que también es posible utilizar este tipo de gráficas, debido a que se está mostrando el comportamiento que ha tenido la población en el transcurso de algunas décadas.

Al trabajar en la tercera actividad, un elemento importante para decidir cuál es la gráfica más conveniente es el tipo de datos que se van a mostrar en ella; por ejemplo, en la primera tarea de esta actividad los datos son números decimales. Podría presentarse cierta dificultad al momento de organizar las calificaciones y decidir si se agrupan o no. Se recomienda que se aborde este asunto en una discusión grupal, sobre todo si nadie agrupa los datos; será conveniente que lo hagan juntos y vean de qué manera cambia o se acentúan otros valores.

Se debe hacer hincapié en el hecho de que agrupar los datos implica trabajar con valores aproximados, en lugar de hacerlo con los datos originales. Si el coordinador lo considera conveniente, puede sugerir a los participantes el uso de algún programa de hoja electrónica de cálculo para construir la gráfica; luego podrá pedir que comparen las diferentes formas de representar y agrupar los datos que realicen.

En la segunda tarea se trata de relacionar las imágenes de las gráficas con su nombre y descripción. Quizá sea una tarea relativamente sencilla para los participantes, pero se pretende que aclaren y afiancen sus conocimientos sobre el tema.

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Si los participantes tienen dificultades para responder las preguntas de la primera tarea de la última actividad, el coordinador podría recomendar el uso de una tabla de frecuencias. Se sugiere reflexionar sobre lo compleja que puede resultar la obtención de estas medidas, y que va más allá de aplicar una formula o un procedimiento: están en juego definiciones, significados, propiedades y la manera en que se calculan, por lo que sería conveniente analizar y buscar diferentes estrategias para dar respuesta a las preguntas planteadas.

En la segunda tarea se utiliza una gráfica de caja-brazos. Esta gráfica nos proporciona, en primer lugar, la posición relativa de la mediana, el 25 % y 75 % de los datos y los datos extremos. En segundo lugar, nos proporciona información sobre los valores aislados (atípicos). En tercer lugar, nos informa sobre la simetría o asimetría de la distribución de los datos.

La gráfica caja-brazos también puede utilizarse para comparar la misma variable en dos muestras distintas, como se muestra en la tercera tarea de la actividad.

La sesión se cierra con la elaboración de una gráfica que muestra los resultados de los EXCALE aplicados en 2005. La intención de incluir esta actividad es doble: por una parte, que los profesores se familiaricen con un tipo de gráfica (gráfica de caja-brazos) quizá desconocida para algunos de ellos, y que la SEP utiliza con frecuencia para establecer comparaciones de resultados educativos. Por otra parte, que tomen conciencia del estado en que se halla la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en educación básica.

Sesión 4. Representación de situaciones cotidianas mediante gráficas lineales

En este tema, la atención se centra en la interpretación de la gráfica de una función. Se dejan de lado cuestiones importantes como el propio concepto de función (una relación entre dos conjuntos de cantidades, en la que a cada elemento del primer conjunto le corresponde sólo uno del otro conjunto), y la relación de proporcionalidad directa e inversa como casos particulares de funciones. Esto se debe quizás a la orientación “dinámica” que se les da a estos conceptos en los nuevos programas, en los que se pone énfasis en la relación de dependencia de una variable con respecto de la otra, y se descuida el aspecto conceptual de estas cuestiones.

En el primer caso (el concepto de función), la forma de la gráfica permite determinar si la relación entre las variables es una función. En el segundo, es conveniente que el coordinador asigne un momento a la comparación de relaciones de proporcionalidad con relaciones que no lo son; en el caso de la proporcionalidad directa, puede hacerlo mediante la identificación de sus propiedades:

– Los factores internos se conservan (al doble le corresponde el doble, etcétera).

– Se verifica la propiedad de aditividad (en una tabla de valores, a la suma de dos cantidades cualesquiera de una columna le corresponde la suma de sus correspondientes en la otra columna).

– El valor unitario que se desprende de cualquier par de valores que están en correspondencia es siempre el mismo.

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– Existe un número que al multiplicarse por cualquier valor del primer conjunto, arroja el valor correspondiente del segundo conjunto. Ese número es la constante de proporcionalidad.

– Los productos cruzados entre pares de cantidades correspondientes son iguales.

La sesión se cierra con una reflexión de los profesores sobre los niveles de dificultad de dos tipos de problemas de proporcionalidad (directa e inversa) que aparentemente son iguales.

Sesión 5. Representación de situaciones cotidianas mediante gráficas de segmentos rectos y curvos

En la interpretación de gráficas de segmentos rectos es muy común que los alumnos confundan la forma de la gráfica con la trayectoria que sigue el objeto que se mueve. Creen que la línea de la gráfica es el camino por el que transita el objeto. Por tal razón, en los problemas que se proponen en este tema, se insiste en que el profesor elija cuál de varias representaciones gráficas muestra mejor un enunciado.

Son tres los propósitos que se persiguen: que los profesores vinculen una gráfica adecuada con un enunciado verbal, que tracen una gráfica para vincularla con un enunciado verbal, y que interpreten la información contenida en una gráfica.

En las tres actividades de este tema se pide interpretar gráficas de línea, esto es, gráficas de situaciones o fenómenos que varían con el tiempo. Se proponen algunas preguntas para ayudar a la interpretación de las situaciones, pero no son las únicas que pueden plantearse; se sugiere pedir a los profesores que propongan algunas preguntas más que sean pertinentes en cada situación.

En la primera actividad, los ejes de los planos cartesianos están graduados, en las dos restantes no. En los tres casos que se plantean en esta actividad existe la posibilidad de interpretar las pendientes de los segmentos que conforman la gráfica en términos de la situación a que aluden, y se sugiere que así se haga. Por ejemplo, en la situación del esquiador, qué interpretación puede darse a los segmentos cuya pendiente es positiva o negativa o cero.

Los problemas de la segunda actividad tratan de situaciones que relacionan las magnitudes distancia y tiempo. Todas exigen una reflexión profunda acerca de la situación o fenómeno de que se trata. Por ejemplo, en el primer problema, algunos profesores podrían elegir erróneamente la tercera gráfica porque su forma parece una colina o la trayectoria de la subida y bajada del caminante. La elección de la segunda gráfica (respuesta correcta) supone una comprensión plena del fenómeno: el tiempo requerido para recorrer el camino de subida es mayor que el requerido para recorrerlo de bajada.

El segundo problema de la segunda actividad podría ofrecer dificultades a algunos profesores porque el tipo de movimiento del niño no es el mismo cuando sube por la escalera (con movimiento uniforme) que cuando se desliza por la resbaladilla (movimiento cambiante, acelerado). En el primer caso, avanza la misma distancia por cada unidad de tiempo, y esto se representa mediante una recta; en el segundo caso,

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su velocidad es mayor conforme avanza el tiempo, lo cual se representa mediante una curva ascendente.

En el tercer problema quizás algunos profesores elijan la segunda opción en vez de la primera, que es la correcta, porque confunden la distancia con velocidad. Efectivamente, al detenerse el metro, su velocidad se reduce a cero, pero no se reduce a cero la distancia que lleva recorrida. La gráfica que representa la solución correcta está formada por tres segmentos: el segundo con menor pendiente que el primero para indicar que recorre menor distancia en la misma unidad de tiempo; el tercer segmento es horizontal para indicar que no hay avance conforme transcurre el tiempo: el metro permanece inmóvil para que los pasajeros bajen.

En el cuarto problema, la forma de la gráfica semeja el camino que Carolina recorre a pie; pero lo que indican las distintas pendientes de los segmentos es la rapidez o lentitud con que avanza Carolina, por lo que la gráfica corresponde a la segunda situación: Carolina se desplaza en automóvil.

En la tercera actividad se retoman las situaciones de la segunda, pero ahora el eje vertical es la velocidad y no la distancia. Se decidió hacerlo de esta manera para que los profesores comparen los significados de estos dos tipos de gráfica; seguramente éste será un ejercicio de reflexión desafiante, pero a la vez interesante.

En el primer problema de esta actividad se incluye nuevamente, como opción de respuesta, una gráfica en forma de colina; se espera esta vez que los profesores, en vez de tomarla como correcta, la utilicen para imaginar cómo sería la caminata del niño en la subida y bajada a la colina, si ésta fuera la gráfica que la describe. La opción correcta es, por supuesto, la primera gráfica: su caminar a paso regular se representa con un segmento horizontal porque su velocidad es constante; luego, baja la velocidad a cero al llegar a la cima; al correr hacia abajo, su velocidad es cada vez mayor, y se representa mediante una curva ascendente; finalmente, va disminuyendo su velocidad hasta llegar a la base de la colina y detenerse: allí su velocidad es cero.

Si se hace una reflexión similar en el segundo problema, se verá que la gráfica es la misma que la del problema anterior.

En el tercer problema, el desplazamiento del metro de una estación a otra, con una velocidad regular, se representa en la gráfica mediante un segmento horizontal, y la disminución de la velocidad hasta detenerse en la estación se representa con un segmento cuya pendiente es negativa, como se ve en la primera gráfica.

En el cuarto problema, se espera que los profesores no piensen que la gráfica corresponde a la caída de un automóvil a un precipicio, aunque se da esta opción errónea para corregir esa concepción. La gráfica corresponde a la situación de un automóvil que se detiene abruptamente.

Finalmente, se plantean dos problemas para realizar la puesta en común de la sesión.

La sesión se cierra con una actividad cuya intención es que los profesores se familiaricen con un tipo de gráfica que por primera vez se incorpora en los programas de matemáticas de educación básica: la formada por segmentos rectos y curvos. Dicha gráfica permite modelar situaciones de movimiento de objetos animados e inanimados,

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que cotidianamente percibimos en nuestro entorno.

Sesión 6. Propósitos del estudio de las matemáticas y evaluación del desempeño de los alumnos

Hasta este momento, a través del trabajo grupal en las cinco sesiones anteriores, los profesores han experimentado vivencias acerca de los propósitos y el enfoque de la enseñanza de las matemáticas de la nueva propuesta curricular. Se trata ahora de centrarse en el análisis y discusión de tales propósitos y enfoque, para lo cual tomaremos como referentes el papel que desempeñan los profesores (como alumnos) y el coordinador en la resolución de un problema (número de placas de automóviles) y la lectura de pasajes centrales de los Planes de Estudio de educación primaria y secundaria (Anexo 1).

La sesión constará de dos partes. En la primera, cuando los profesores hayan terminado de resolver el problema, de leer el documento y de redactar el texto que se solicita en el material para el participante, el coordinador deberá dejar la palabra a los profesores para que lleguen por sí mismos a las conclusiones del caso. El coordinador procurará que tales conclusiones expresen con claridad y precisión lo que en la práctica real el profesor puede y debe hacer para orientar su trabajo hacia el logro de los propósitos del estudio de las matemáticas que propone la reforma curricular.

Es oportuno recordar aquí que el texto solicitado a los profesores será uno de los productos de trabajo que servirán para determinar en qué medida el participante ha alcanzado los propósitos del curso.

En la segunda parte de la sesión, después de que los profesores hayan terminado la lectura del documento que se presenta en el Anexo 2, autoevaluarán su participación en las actividades llevadas a cabo durante el curso, para lo cual llenarán las Listas de control de aprendizajes esperados incluidas en el material para el participante. Esta autoevaluación constituye para los profesores (y para los alumnos) una herramienta indispensable para reflexionar sobre lo que saben y lo que les falta por saber con respecto de los aprendizajes esperados, y tomar las medidas remediales adecuadas.

La elaboración de una “Lista de control de aprendizajes esperados” implica un conocimiento profundo de los recursos matemáticos (saberes) a los que puede recurrirse para resolver un problema. Por ejemplo, si somos capaces de resolver problemas de conteo, suponemos que podemos identificar el modelo combinatorio a que corresponde el problema; utilizar códigos para representar los objetos que se enumerarán; utilizar recursos sistemáticos (diagramas de árbol, cuadros de doble entrada, tablas, etc.) para obtener el inventario de resultados, y generalizar procedimientos de solución, entre otros.

Una última actividad del curso podría consistir en que los profesores sugieran ideas para mejorar las “Listas de control de aprendizajes esperados” que se les dio a conocer. Seguramente habrá recursos o saberes que no han sido considerados en tales listas, por lo que será interesante aprovechar la experiencia de los profesores para enriquecer dichos documentos; además, el ejercicio les servirá para que en el futuro puedan elaborar sus propias listas.

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La sesión se cierra con una reflexión de los profesores sobre su quehacer cotidiano en el aula: el cómo y el para qué enseñar matemáticas en la educación básica.

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