SEPARATA Nº 4 ARITMÉTICA 2010-I Fracciones Continuas Simples

ADMISIÓN 2010-I FRACCIONES CONTINUAS SIMPLES (FCS)

CEPRE-UNI ARITMÉTICA 1

CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

CCEEPPRREE--UUNNII

FRACCIONES CONTINUAS SIMPLES (FCS)

Aplicación del algoritmo de Euclides en la representación de un número racional mediante una FCS.

0

1

2

3

n-1

1a +

1

1

1

. .

. .

1 a

a

a

a

na

0

1 2 3

1 1 1 1a + .....

na a a a

Y también: [a0; a1, a2, a3, · · · , an]

Ejemplo: 29

67=

12

13

14

2

= [2; 3, 4, 2] = 2

1

4

1

3

12

Uso del algoritmo de Euclides para hallar la FCS del racional a

b. ( a y b )

De la tabla del algoritmo de Euclides para el calculo del MCD(a, b), se obtienen los enteros x, y, z, ... v, w.

6729

= [2; 3, 4, 2] , 67 1 1 1

2 29 3 4 2

x y z . . v w

a b _ _ . . _ d

_ _ _ . . d 0

2 3 4 2

67 29 9 2 1

9 2 1 0

Definición: Se define a una fracción continua simple finita por la expresión

donde a0 es entero, los números a1, a2, a3,· · · · an son enteros positivos y n es finito. Se puede expresar como:

1= +

1

1

.

. .

1

ax

by

z

vw

Ejm: 6729

67

29=

12

13

14

2



Ejm: 29

67

29

67= [0;2 , 3, 4, 2 ]

1 1 1 10

2 3 4 2

Ejm: 29

11

29

11= [-3; 2, 1, 3]

1 1 13

2 1 3

Ejm: 7

12

7

12= [-1; 2, 2, 2]

1 1 11

2 2 2

Propiedades:

1) Todo número racional puede ser representado mediante una fracción continua simple finita y tal representación es básicamente única.

2) Toda fracción continua simple finita representa a un número racional. 3) Las fracciones continuas se utilizan para obtener aproximaciones racionales de los

números reales por medio de los convergentes o reducidos de la FCS. Definición: Se denomina convergente o aproximadamente de orden i, a la expresión: Ci = [a0; a1,. . . , ai ] , i = 0,1,2,3,…...

000 aac 1

0101

1;

aaaac

2102 ,; aaac

2

1

0 1

1

aa

a

3

2

1

032103

1

1

1,,,

aa

a

aaaaac

Proposición: (i) Los convergentes pares C2i forman una sucesión creciente y los impares C2i+1 una

sucesión decreciente. (ii) Cada convergente impar es mayor que cada convergente par y el valor de la fracción continua está entre los convergentes pares y los impares.

Observación: Para C = [a0; a1, · · · an] es evidente que Cn coincide con el valor de C y es un

número racional.

0 2 3 4 2

29 67 29 9 2 1

29 9 2 1 0

–3 2 1 3

–29 11 4 3 1

4 3 1 0

–1 2 2 2

–7 12 5 2 1

5 2 1 0

29

67=

10

12

13

14

2

7

12=

11

12

12

2

29

11=

13

12

11

3



Ejemplo: 37 7 1 1 1 1

1 1 1 1 130 30 30 2 1 1

4 4 47 7 7 1

32 2

Entonces 37

1,4,3,230

Convergentes: C0 = 1

C1 = 1 5

14 4

= 1,25

C2 = 1 1 3 16

1 1 11 13 13 13

43 3

= 1,230769... ;

C3 = 1 1 1 1 7 37

1 1 1 1 11 1 2 30 30 30

4 4 41 7 7 7

32 2

= 1,2333.....

Observación:

CONSTRUCCIÓN DE LOS NÚMEROS RACIONALES

Las Fracciones.

Se define a la fracción como el par ordenado (a, b) , *a y b , donde * 0

Se define al conjunto de las fracciones como *F x , esto es *( , ) / ,F a b a b .

por ejemplo (1,2), (2,4), (6,2) y (-3,5) pertenecen a F.

Por razones practicas en vez de (a, b) se escribe a

b , entonces

1 2 3,

2 4 5y pertenecen a F .

Observación:

(1,2) y (2,4) son diferentes porque son pares ordenados diferentes, luego: 1 2y

2 4son

fracciones diferentes.

Relación de equivalencia Clase de Equivalencia.

Se define en F la relación :

(a, b) (c, d) a.d = b.c

a c

yb d

son equivalentes si a.d = b.c

Notación: (a, b) (c, d) ó b

a

d

c

(1,2) (2,4) ó 1 2

2 4 porque 1.4 = 2.2

Sea ( , )a b F , se define la clase de

equivalencia de a

b como:

a a/

b b

x x

y y

Ejm: 1 1 2 3 -1 -2 -3

, , , , , .......2 2 4 6 -2 -4 -6

es una clase de equivalencia.

C0 < C2 < C4 <….. C …..< C5 < C3 < C1



Desde que a

b= [( , )] ( , ) /( , ) ,( , ) ( , )a b x y x y F x y a b

podemos escribir: 1

(1,2) (1,2),(2,4),(3,6),(-1,-2),(-2,-4),(-3,-6),.......2

Definición: p

qes el representante canónico de

a

b si

p a

q b, p y q PESI y q>0

Propiedades: 1. El representante canónico es único. Por ejemplo:

El representante canónico de

0 0 0 0 0 0, , , , , , .......

3 2 1 1 2 3es

0

1.

2. Si u a u a

,v b v b

entonces ,

Ejem ,2 1 2 1

=4 2 4 2

entonces ; 1 2 3 1 2

2 4 6 2 4

3. Si u a

,v b

entoncesu a

v b ,

Las clases de equivalencia son conjuntos disjuntos: ,3 1

4 2entonces

3 1

4 2

4. La relación de equivalencia particiona al

conjunto de las fracciones F en subconjuntos disjuntos cuya unión es F. Es decir:

/ = –2 1 3 –1 0 –3

...., , , , , , ,.....3 2 4 1 1 4

F

( Partición de F)

...... .......–2 1 3 –1 0 –3

3 2 4 1 1 4F

Propiedades de la relación

de equivalencia :

es reflexiva: a a

b b

es simétrica: si a c

b d entonces

c a

d b

es transitiva: si a c

b d y

c e

d f , entonces

a e

b f

el de 1 2 3 1 2 3

, , , , , .......2 4 6 2 4 6

es 1

2

el de 3 6 9 3 6 9

, , , , , .......4 8 12 4 8 12

es 3

4

el de 3 2 1 1 2 3

, , , , , ,.......3 2 1 1 2 3

es 1

1

1 2 3, , ,.....

2 4 6

1

2

2 4 4, , , .....

3 6 6

2

3

F



Observación: La relación es de equivalencia sobre F , porque cumple las tres propiedades anteriores.

Definición: A los elementos de la partición de F se les llama números racionales y al

conjunto F / se le llama el conjunto de los números racionales

= F / = *( )x / = 1 2 0 3

......, , , , ,.......2 3 1 4

Operaciones y Relación de orden en Q

Adición (+) a

b+

c

d=

a d bc

b d

Multiplicación ( ) a

b

c

d=

a c

b d

Sustracción (-). c

d existe el número

racional –c

d tal que

0

1

c c

d d.

Se define la sustracción de a

b y

c

d:

a

b –

c

d= –

a c

b d

División( ). Para cada racionalc

d

0

1

existe el racional 1

c

dtal que

c

d

–1c

d=

1

1

Se define: a

b

c

d=

a

b

1c

d, siempre

quec

d

0

1, con

1c

d=

d

c

Relación de orden (<)

Sean b y d enteros positivos,

luego a

b<

c

d si y sólo si a d < b c

Nota: El conjunto 3 2 1 0 1 2 3

....., , , , , , , ,.....1 1 1 1 1 1 1

B

tiene una relación uno a uno con los enteros

....,-3,-2,-1,0,1,2,3,.... , es decir para z :

Las operaciones de suma, producto y la relación de orden en el conjunto B tiene su análogo en y se preservan dichas operaciones.

a 1

z le corresponde z , esto nos índica que

1

z

se relaciona con .

B



EL CONJUNTO Q ES DENSO EN LOS REALES

Entre dos números racionales diferentes siempre existe otro racional.

Ejm: entre 9

7

7

4y , basta con calcular

1 4 7 85( )

2 7 9 126

que en la recta numérica se ubica entre 4 7

y 7 9

. 47

86

126

79

PROPIEDAD DE LA DENSIDAD. El conjunto Q es denso porque entre dos números racionales diferentes siempre existe otro

racional. Dados dos números racionales distintos α < β, siempre existe otro número racional

tal que α< <β. Si α = ab

y β = cd

, con b y d positivos, basta con tomar como la semisuma de

α y β o también = db

ca

2

1.

Ahora bien, reiterando el proceso de introducir un racional entre cada dos racionales distintos es claro que entre dos racionales distintos existen infinitos racionales distintos.

Por ejemplo, entre 14

y 1 se encuentra 58

.

Ahora entre 14

y 58

se encuentra 7

16, entre

14

y 7

16 se encuentra

1132

, etc., tenemos así

14

< ...... < 1132

< 7

16 <

58

< 1, por eso se dice que el conjunto de los racionales es un conjunto

denso.

La propiedad de la densidad de los racionales en los reales implica que para todo número real existe una sucesión de números racionales que converge a dicho número racional. Esto quiere decir que para todo número real r ya sea racional ó irracional siempre existe una sucesión de números racionales an que converge a dicho número real. Esto es, siempre se puede encontrar un an tan cerca de r como se quiera. Ejm.: Se define la siguiente sucesión de números racionales a0, a1, a2, ….. en forma recursiva.

a0 = 1 , nn 1

n

a 1a

2 apara n = 0, 1, 2,…..

Sabiendo que dicha sucesión converge a 2 = 1,414213562……., hallar el primer

término de la sucesión que aproxima a 2 en menos de 410

Rpta: a3 (se deja al lector el procedimiento de la solución)

CLASES DE FRACCIONES:

Sean a y b , con b 0, la fracción a

b es:

1.- Propia si a b Ejm: 2 5

,5 7

2.- Impropia si a b Ejm: 5 7

,2 5

3.- Unitaria si a b Ejm: 2 7 1

, ,2 7 1



4.- Irreductible o irreducible cuando sus términos son primos entre sí. Ejm: 2 6

, 9 7

5.- Decimal cuando el denominador es potencia de 10. Ejm: 2 5 3

, , 1 10 100

6.- Ordinaria ó común cuando no es decimal. Ejm: 5

25,

214

Un grupo de Fracciones son: a) Fracciones Homogéneas, cuando los valores absolutos de los denominadores son iguales.

Ejm: 2 5 3

, ,4 4 4

b) Fracciones Heterogéneas, cuando no son homogéneas. Ejm 8

10,

35

, 25

Sean a c

yb d

y k tal que a c

kb d

entonces se dirá que a

bes un divisor de

c

d y que

c

d es un múltiplo de

a

b.

Ejm: 4 4 4 4 4 4

3 , y 9 3 9 3 3 9

entonces es un divisor de es un múltiplo de

Sean , ,.....,a b c

p q rfracciones irreductibles, entonces:

( , ,...., ), ,.....,

( , ,...., )

a b c MCD a b cMCD

p q r MCM p q r y

( , ,...., ), ,.....,

( , ,...., )

a b c MCM a b cMCM

p q r MCD p q r

Propiedad

Sean a

by

c

d fracciones irreductibles tales que

a

b+

c

d es un entero, entones –b d ó b d

CONVERSIONES

1. De fracción ordinaria a decimal. Sea a

b , este número racional tiene un punto

que lo representa en la recta real y se dirá que dicho punto es su valor numérico, este es aquel número originado al efectuar el cociente de a entre b se presentan los siguientes casos:

a) 3

0,75 Decimal exacto4

b) 30,2727.... 0,27 Decimal periódico puro.

11

c) 7

0,583 Decimal periódico mixto.12



2. De decimal a fracción ordinaria. En este caso tener en cuenta las siguientes consideraciones

NOMBRE FORMA GENERATRIZ DENOMINADOR DE LA GENERATRIZ (EN SU FORMA IRREDUCTIBLE)

CANTIDAD DE CIFRAS DECIMALES

Decimal exacto o terminante

0,abcd abcdf

10000

2 ; 5 ó 2 . 5 Numéricamente igual al mayor exponente del factor 2 y/ó 5 que contiene el denominador.

Decimal periódico puro

0,xyz xyzf

999

p (p: no contiene ni factor cinco ni factor dos)

Numéricamente igual al menor número de nueves que es necesario escribir tal que contenga al denominador.

Decimal periódico mixto

0,abxyz abxyz abf

99900

2 p ; 5 p;

2 5 p

(p: no contiene ni factor dos ni cinco)

En este caso se aplican los casos anteriores tanto para la parte periódica como para la parte no periódica.

NOTA: Como un número decimal inexacto es originado por una fracción que en su forma equivalente tiene a un número formado por cifras nueve, es importante tener en cuenta para el análisis la siguiente descomposición:

9 = 32

9 9 = 32 11

9 9 9 = 33 37

9 9 9 9 = 32 11 101

9 9 9 9 9 = 32 41 271

9 9 9 9 9 9 = 33 7 11 13 37

Propiedad

Sean A, B,C,..…enteros positivos PESI 2 a 2, donde ninguno es múltiplo de 2 ni de 5. Si dichos números generan a, b, c;…, cifras periódicas, entonces el producto de ellos ( A .·B . C… ) genera m cifras periódicas donde m es el mínimo común múltiplo de a, b, c., ..

Ejemplo: 101 y 7 generan 4 y 6 cifras periódicas respectivamente y como el mínimo común múltiplo de 4 y 6 es 12, entonces 707 genera 12 cifras periódicas (707 = 101 7 ).

Ejemplo: 2

120,

5xy

3

1010,

2 5 11xyzuv

3

100001N,xyzabcdef

5 7

1 2 12

20, ....

101 7x x x

Propiedad



Sean p y q dos números enteros positivos PESI tal que q no es múltiplo de 2 ni de 5,

entonces la cantidad de cifras periódicas que genera p

q es un divisor del indicador de

Euler de q.

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