Serie #1 Arturo Zentella Dehesa (Teorema del Valor Medio, Regla de la Cadena, Ecuaciones Diferenciales Regla de Leibniz y Método Gráfico)

1. Determine el orden y grado de las siguientes ecuaciones diferenciales:

a) x2 y′′ + x y′ + y = sen x

b) y(4) + y(3) + y(2) + y = 1

c) (y′)7 − y(21) − 73 = 0

d) (y(8))2

+ (y′′)43 = 5ex

e) y´ = 5x + 6

f) y´´ − y´ + 9 = 0

g) y´´´ = 78xe8

h) (y´)2 = 5x + 6

i) (y´´)7 − (y)20 + 9 = 0

j) (y´´´)2 = 78xe8

2. Mediante el método del Teorema del Valor Medio (Teorema Fundamental del Cálculo),

obtenga una expresión para la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales:

a) y′ = 3x + 8

b) x y′ = y2

c) y′′ − sen 2x + 4e2x − 15π = 12x

d) y′′′ = 12eπx + 62 + 60x4 + 4 cos 2x

e) y(4) = 0

f) y′′ = −12 x3 − cos x

g) y′′ + 16 sen 2x = 27 e3x + 4

h) y′ = 765x4 − 30x2 + 120x4 + 22x + 1

i) y′ − 3e−x = 2

j) y′ − ln 2x − sen x + x−2 + tan x = 0

k) y´´´ + 5 cos 2x = 3 sin x + 12

l) y(7) = ex

m) y´ + e2x – x sin x2 = 2

n) y(5) + cos x = cos x

o) y´ + (cos x)(ln(sin x)) − 8x = 4x sin 2x2

3. Mediante el método de la Regla de la Cadena o Regla de Leibniz (dependiendo del caso),

obtenga una expresión para la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales:

a) x y′ − 3y = 2

b) y′ + 4 x3 y = 24 x3

c) x y′ + 4 x2 y = 12 x2

d) 2 y′ + 4 x y = 2 x e−x2

e) 2 y′ + y = 3 x

f) y′ − 2 y = x2 e2x

g) y′ + y = sen 2x

h) 4 y′ + 2 y = 6 x2

i) x y′ − y = x2e−x

Serie #1 Arturo Zentella Dehesa (Teorema del Valor Medio, Regla de la Cadena, Ecuaciones Diferenciales Regla de Leibniz y Método Gráfico)

j) x y′ + 5y = 1

k) (3x2 + y′) eeee(x3+y)

eee(x3+y)

ee(x3+ y)e(x3+ y) = 1

l) y´ +2𝑦

𝑥=

sin 𝑥

𝑥2

m) y´ −𝑦

𝑥= −xe−x

n) y´ + 2xy = x

o) y´ −2𝑦

𝑥= 3𝑥3

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales por método gráfico:

a) y′ = x − y

b) y′ = y

c) y′ =x

y

d) y′ =y

x

e) y′ = −(x + y)

f) y′ = −y

x

Soluciones

1. Grado y orden:

a) segundo orden; primer grado

b) cuarto orden; primer grado

c) vigésimo primer orden; primer grado

d) octavo orden; segundo grado

e) primer orden; primer grado

f) segundo orden, primer grado

g) tercer orden, primer grado

h) primer orden, segundo grado

i) segundo orden, séptimo grado

j) tercer orden, segundo grado

2. Teorema del Valor Medio:

a) y = C +3x2

2+ 8x

b) y = −1

ln(x)+C

c) y = D x + C + 2 x3 +15 π x2

2− e2 x −

1

4sin(2x)

d) y =1

2Ex2 + Dx + C +

2 x7

7+ 6 x3 +

12 eπ x

π3 −1

2sin(2x)

e) y =1

6Fx3 +

1

2Ex2 + Dx + C

f) y = D x + C −3 x5

5+ cos(x)

g) y = D x + C + 2 x2 + 3 e3 x + 4 sin(2 x)

h) y = C + 177 x5 − 10 x3 + 11 x2 + x

i) y = C + 2 x − 3 e−x

Serie #1 Arturo Zentella Dehesa (Teorema del Valor Medio, Regla de la Cadena, Ecuaciones Diferenciales Regla de Leibniz y Método Gráfico)

j) y = C − x +1

x+ x ln(2 x) − cos(x) + ln(cos(x))

k) 𝑦 = 𝐶𝑥2 + 𝐷𝑥 + 𝐸 + 2𝑥3 + (5

8) sin 2𝑥 + 3 cos 𝑥

l) 𝑦 = 𝐶𝑥6 + 𝐷𝑥5 + 𝐸𝑥4 + 𝐹𝑥3 + 𝐺𝑥2 + 𝐻𝑥 + 𝐼 + 𝑒𝑥

m) 𝑦 = 𝐶 –1

2cos 𝑥2 + 2𝑥 −

1

2𝑒2𝑥

n) 𝑦 = 𝐶𝑥4 + 𝐷𝑥3 + 𝐸𝑥2 + 𝐹𝑥 + 𝐺

o) 𝑦 = 𝐶 + 4𝑥2 – cos 2𝑥2 + sin 𝑥 – (sin 𝑥)(ln(sin 𝑥))

3. Regla de la Cadena y Regla de Leibniz:

a) y = C x3 −2

3

b) y = 6 + C e−x4

c) y = 3 + C e−2x2

d) y = C e−x2+

1

2 x2 e−x2

e) y = 3 x − 6 + C e− x

2

f) y = C e2x +1

3 e2x x3

g) y = C e−x +1

5 sen (2x) −

2

5 cos (2x)

h) y = 3 x2 − 12x + 24 + C e− x

2

i) y = C x − x e−x

j) y = C x−5 +1

5

k) y = ln(ln(ln(ln(x + c)))) − x3

l) y =𝑐−cos 𝑥

𝑥2

m) y = x(e−x + 𝑐)

n) y =1

2+ 𝑐𝑒−𝑥2

o) y =3

2𝑥4 + 𝑐𝑥2

Serie #1 Arturo Zentella Dehesa (Teorema del Valor Medio, Regla de la Cadena, Ecuaciones Diferenciales Regla de Leibniz y Método Gráfico)

4. Método Gráfico

a) y′ = x − y

b) y′ = y

c) y′ =x

y

d) y′ =y

x

e) y′ = −(x + y)

f) y′ = −y

x

Serie #2 Arturo Zentella Dehesa (Bernoulli, Homogéneas de grado cero, Ecuaciones Diferenciales Forma diferencial exacta e inexacta)

1. Obtenga la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales de Bernoulli:

a) 1

x y′ +

8y

x2 = −16y2

b) 2xy′ + 6y = 12y3

4

c) y′ +3

x y = (

3

x) y

2

3

d) y´ +1

3y = ex𝑦4

e) y´ +𝑦

𝑥= 𝑦2

f) xy´ + y = 𝑦2𝑥2 ln 𝑥

2. Obtenga la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales homogéneas de

grado cero:

a) 2y′

y

x

= 2 (1 +y

x)

b) y′ =y−x

y+x+

y

x

c) y′ =y2−xy

xy

d) y´ = y/x + (𝑥/𝑦)2

e) y´ =4𝑥2+3𝑦2

2x𝑦

f) y´ =𝑥𝑦+𝑥2 𝑒𝑦/𝑥

𝑥2

3. Mediante el método de formas diferenciales, verifique si son exactas las siguientes

ecuaciones diferenciales. De ser necesario, obtenga un factor integrante y obtenga la

solución general:

a) (6xy − 2y2)dx + (3x2 − 4xy)dy = 0

b) dy

dx= −

y+8x2

x+y3

c) (y −y

x2 ey

x) dx + (x +1

x e

y

x) dy = 0

d) ydx − (x + y)dy = 0

e) (3x2 + 2𝑦2)dx + (4xy + 6𝑦2)dy = 0

f) (𝑥3 +𝑦

𝑥)dx + (𝑦2 + ln 𝑥)dy = 0

Serie #2 Arturo Zentella Dehesa (Bernoulli, Homogéneas de grado cero, Ecuaciones Diferenciales Forma diferencial exacta e inexacta)

Soluciones:

1. Bernoulli:

a) y = (−8x2

3+ cx8)

−1

b) y = (2 + cx−3

4)4

c) y = (1 + cx−1)3

d) y =1

√𝑐𝑒𝑥−3𝑒𝑥𝑥3

e) y =1

𝑥(𝑐−𝑙𝑛𝑥)

f) y =−1

𝑥(𝑐+𝑥(𝑙𝑛𝑥−1))

2. Homogéneas grado cero:

a) y = −x

ln x+c

b) y

x+ ln (

y

x− 1)

2= ln cx

c) y = x ln cx−1

d) 𝑦 = x √𝑐 + 3 ln 𝑥3

e) 𝑦 = x √𝐷𝑥 − 4

f) y = −x ln(c − ln 𝑥)

3. Exactas/Inexactas:

a) 3x2y − 2xy2 = c

b) yx +8

3x3 +

1

4y4 = c

c) yx + ey

x = c

d) x

y+ ln y−1 = c

e) x3 + 2x𝑦2 + 2𝑦3 = c

f) 3𝑥4 + 4𝑦3 + 12 y ln 𝑥 = c

Serie #3 Arturo Zentella Dehesa (Homogéneas de Coeficientes Constantes, Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones de Euler-Cauchy)

1. Obtenga el polinomio característico, sus raíces, las funciones base del espacio solución

y la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales. Exprese sus resultados

en una base real.

a) 2y′′′ − 2y′′ − 2y′ + 2y = 0

b) y′′ + 2y′ + 2y = 0

c) y(5) − 3y(4) + 3y(3) − 3y(2) + 2y(1) = 0

d) x3y′′′ + 5x2y′′ − 5xy′ = 0

e) x3y′′′ + 3x2y′′ + xy′ − 8y = 0

f) y′′ − 2y′ − 2y = 0

g) y(7) − 4y(6) + 20y(5) = 0

h) y(4) + 4y´´´ + 7y′′ + 16y´ + 12y = 0

i) 2x2y′′ + 3xy′ − y = 0

j) Y’’’ + 3y’’ + 3y’ + y = 0

k) y(IV) + 5y’’ + 4y = 0

l) 4y’’’ + 12y’’ + 13y’ + 10y = 0

m) 4yV – 23y’’’ – 33y’’ – 17y’ – 3y = 0

n) 𝑥2y’’ + 3xy’ + 2y = 0

o) 𝑥2y’’ + 2xy’ – 12y = 0

Torito

a) y(8) + 8y(4) + 16y = 0

Soluciones

1. Homogéneas de coeficientes contantes y Euler-Cauchy:

a) Φgeneral = Ae−x + Bex + Cxex

b) Φgeneral = Ae−x cos x + Be−xsen x

c) Φgeneral = A + Bex + Ce2x + D cos x + E sen x

d) Φgeneral = A + Bx2 + cx−4

e) Φgeneral = Ax2 + Be− ln x cos(√3 ln x) + Ce− ln x sen(√3 ln x) =

= Ax2 + B x−1 cos(√3 ln x) + C x−1 sen(√3 ln x)

f) Φgeneral = Ae(1+√3)x + Be(1−√3)x

g) Φgeneral = A + Bx + cx2 + Dx3 + Ex4 + Fe2x cos 4x + Ge2xsen 4x

h) Φgeneral = A e−x + B e−3x + C sen 2x + D cos 2x

i) Φgeneral = A x−1 + B √x

j) Φgeneral = A𝑒−𝑥 + B xe−𝑥 + Cx2e−𝑥

k) Φgeneral = A sen 2x + B cos 2𝑥 + C sen x + D cos 𝑥

Serie #3 Arturo Zentella Dehesa (Homogéneas de Coeficientes Constantes, Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones de Euler-Cauchy)

l) Φgeneral = Ae −2𝑥 + Be−1/2𝑥 sen x + Ce−1/2𝑥 cos 𝑥

m) Φgeneral = Ae −𝑥 + Bxe−𝑥 + Ce3𝑥 + D𝑒−1/2𝑥 + Ex𝑒−1/2𝑥

n) Φgeneral = Ax−1 sen (lnx) + Bx−1 cos(𝑙𝑛𝑥)

o) Φgeneral = Ax−4 + Bx3

2. Torito

a) Φgeneral = Aex cos x + Be−x cos x + Ce−xsen x + Dexsen x + Exex cos x + Fxe−x cos x +

Gxe−xsen x + Hxexsen x

Serie #4 Arturo Zentella Dehesa (Operador Aniquilador, Método de Coeficientes Indeterminados, Método de Variación de Parámetros)

1. Presente el operador aniquilador de la siguientes funciones:

a) 415ex

b) 74πx5ex

c) 98 sen (3x)

d) π sen (3x)e6x

e) 74 π x4 cos(3x) e6x

f) 98 cos(2x)

g) 8174 e−3x − 6534 e−7x

2. Método de Coeficientes Indeterminados: Obtenga la solución general de la ecuación

diferencial no homogénea correspondiente. Indique la ecuación homogénea asociada y

su solución general, operador aniquilador, ecuación homogénea extendida, función de

desplazamiento y solución general de la ecuación no homogénea.

a) y(4) − y = 3x + cos x

b) y(6) + y′′′ = x

c) y′′′ − y′′ − y′ + y = 2e−x + 3

d) y’’ + 4y’ + 3y = 15e 2x + e−x

e) y’’ – y’ – 2y = 6x + 6e−x

f) y’’ + 2y’ + y = 7 + 75 sen 2x

3. Método de Variación de Parámetros: Obtenga la solución general de la ecuación

diferencial no homogénea correspondiente. Indique la ecuación homogénea asociada y

su solución general, sistema wronskiano, coeficientes de las funciones base, función de

desplazamiento y solución general de la ecuación no homogénea.

a) x2y′′ − 7xy′ + 15y = x4

b) x2y′′ + 3xy′ − 3y = x6

c) x2y’’ – 6y’ + 10y = −8x3

d) x2y’’ + 8xy’ + 12y = 6x−2

e) x2y’’ – 6xy’ + 10y = 4x ln x – 5x

Soluciones:

1. Operador aniquilador:

a) 𝔻 − 1 ∙ 𝕀

b) (𝔻 − 1 ∙ 𝕀)6

c) 𝔻2 + 9 ∙ 𝕀

d) 𝔻2 − 12 ∙ 𝔻 + 45 ∙ 𝕀

e) (𝔻2 − 12 ∙ 𝔻 + 45 ∙ 𝕀)5

f) 𝔻2 + 4 ∙ 𝕀

g) (𝔻 + 3 ∙ 𝕀)(𝔻 + 7 ∙ 𝕀)

Serie #4 Arturo Zentella Dehesa (Operador Aniquilador, Método de Coeficientes Indeterminados, Método de Variación de Parámetros)

2. Método de Coeficientes Indeterminados:

a) Φgeneral = C1 ex + C2 e−x + C3 cos x + C4 sen x − 3x −1

4 x sen x

b) Φgeneral = C1 + C2 x + C3x2 + C4 e−x + C5 e1

2x cos (

√3

2x) + C6 e

1

2x sen (

√3

2x) +

1

24x4

c) Φgeneral = 3 +1

2x e−x + C1ex + C2 x ex + C3 e−x

d) Φgeneral = Ae−x + Be−3x + ½ xe −x + e2x

e) Φgeneral = Ae2x + Be −x +3

2– 3x – 2 xe−x

f) Φgeneral = Ae−x + Bxe−x + 7 – 12 cos 2x – 9 sen 2x

3. Método de Variación de Parámetros:

a) Φgeneral = C1 x5 + C2 x3 − x4

b) Φgeneral = C1x + C2x−3 +1

45x6

c) Φgeneral = Ax5 + Bx2 + 4x3

d) Φgeneral = Ax−3 + Bx−4 + 3x−2

e) Φgeneral = Ax5 + Bx2 + x ln x

Serie #5 Arturo Zentella Dehesa (Transformada de Laplace)

1. Obtenga la Transformada de Laplace de las siguientes funciones:

a) 2 𝑡2

b) 3 𝑠𝑒𝑛 2𝑡

c) 3 𝑒−3𝑡

d) 𝑡2 − 3𝑡 + 4

e) 2 cos 𝑡 + 3 𝑠𝑒𝑛 2𝑡

f) 1 − 4 𝑠𝑒𝑛 𝑡

g) 𝑒𝑡 𝑠𝑒𝑛 4𝑡

h) 𝑡 𝑒−𝑡

i) 𝑡 𝑒−2𝑡𝑠𝑒𝑛 𝑡

j) 𝑡2 𝑒−3𝑡 cos 𝑡

2. Obtenga la Transformada Inversa de Laplace de las siguientes funciones:

a) 3

𝑠2+4

b) 4

(𝑠−1)3

c) 2

𝑠2+3𝑠−4

d) 3𝑠

𝑠2−𝑠−6

e) 2𝑠−3

𝑠2−4

f) 2𝑠+1

𝑠2−2𝑠+2

g) 8𝑠2−4𝑠+2

𝑠(𝑠2+4)

h) 1−2𝑠

𝑠2+4𝑠+5

i) 2𝑠−3

𝑠2+2𝑠+10

3. Mediante Transformada de Laplace, resuelva los siguientes problemas diferenciales:

a) 𝑦′′ − 𝑦′ − 6𝑦 = 0 ; 𝑦0′ = −1, 𝑦0 = 1

b) 𝑦′′ − 2𝑦′ + 2𝑦 = 0 ; 𝑦0′ = 1, 𝑦0 = 0

c) 𝑦′′ + 9𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 ; 𝑦0′ = 3, 𝑦0 = 1

d) 𝑦′′ + 4𝑦′ + 5𝑦 = 𝑒𝑡 ; 𝑦0′ = 2, 𝑦0 = 1

Soluciones:

1. Transformada de Laplace:

a) 4

𝑠3

b) 6

𝑠2+4

c) 3

𝑠+3

d) 2

𝑠3 −3

𝑠2 +4

𝑠

e) 2𝑠

𝑠2+1+

6

𝑠2+4

f) 1

𝑠−

4

𝑠2+1

g) 4

(𝑠−1)2+16

h) 1

(𝑠+1)2

Serie #5 Arturo Zentella Dehesa (Transformada de Laplace)

i) 2(𝑠+2)

[(𝑠+2)2+1]2

j) 2𝑠3+18𝑠2+48𝑠+36

[(𝑠+3)2+1]3

2. Transformada Inversa de Laplace:

a) 3

2 𝑠𝑒𝑛 2𝑡

b) 2 𝑡2𝑒−𝑡

c) 2

5 𝑒𝑡 −

2

5𝑒−4𝑡

d) 9

5 𝑒3𝑡 +

6

5𝑒−2𝑡

e) 7

4 𝑒−2𝑡 +

1

4 𝑒2𝑡

f) 2 𝑒𝑡 cos 𝑡 + 3 𝑒𝑡𝑠𝑒𝑛 𝑡

g) 3 + 5 cos 2𝑡 − 𝑠𝑒𝑛 2𝑡

h) −2𝑒−2𝑡 cos 𝑡 + 5 𝑒−2𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡

i) 2 𝑒−𝑡 cos 3𝑡 −5

3𝑒−𝑡𝑠𝑒𝑛 3𝑡

3. Problemas diferenciales:

a) 𝑦 =1

5𝑒3𝑡 +

4

5𝑒−2𝑡

b) 𝑦 = 𝑒𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡

c) 𝑦 = cos 3𝑡 +13

15 𝑠𝑒𝑛 3𝑡 +

1

5 𝑠𝑒𝑛 2𝑡

d) 𝑦 =1

10 𝑒𝑡 +

9

10𝑒−2𝑡 cos 𝑡 +

37

10𝑒−2𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡