Series de fourier

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    18-Nov-2014
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    Science

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1.4 Series trigonométricas de Fourier As séries trigonométricas de Fourier de uma função são indispensáveis na análise e modelação de fenómenos periódicos como as vibrações, movimentos ondulatórios, etc. Muitas das equações diferenciais em derivadas parciais que se apresentam na prática em conexão com estes fenómenos, são resolvidos mediante o uso de séries trigonométricas de Fourier. Função periódica:

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  • 1. 11.4 Series trigonomtricas de FourierLas series trigonomtricas de Fourier de una funcin ) ( x f son indispensables en elanlisis y modelacin de fenmenos peridicos como las vibraciones, movimientosondulatorios, etc. Muchas de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales que sepresentan en la prctica en conexin con estos fenmenos, son resueltos mediante eluso de las series trigonomtricas de Fourier.Funcin peridica:Una funcin ) ( x f se dice que es peridica con perodo 0 T si se cumple que:) ( ) ( x f Tx f para todos los valores de ).(x f DomxEjemplos:(1)(a) La funcin ; ) ( Kx f donde K es un nmero real es peridica, cuyo perodo escualquier nmero real 0T pues ; ) ( ) ( K x f T x f para todos los valores dex Dom f (x).(b) Las funciones x sen x f ) ( y x x g cos ) ( son peridicas de perodo , 2T yaque ) ( ) 2 ( ) 2 ( x f x Sen x sen x f para todo . x(2) Representemos grficamente lafuncin f (x) que es peridica deperodo 2 T definida por:para x1 0 2 0( )para xf xFuncin seccionalmente continua.Se dice que la funcin f (x) es seccionalmente continua en el intervalo a; b, sif (x) es continua en todos los puntos del intervalo con la excepcin, quizs, de un

2. nmero finito de puntos en los cuales tiene discontinuidades finitas, es decir, en dichospuntos existen los limites laterales.Series TrigonomtricasUna serie trigonomtrica es una serie de la forma:20 ( an cos nx bnsen nx);2 n1adonde n n b y a a ; 0 para ;...., 3; 2; 1n son nmerosreales, llamados coeficientes de Fourier de la serie trigonomtrica.Supongamos que dada la funcin ) ( x f es seccionalmente continua en el intervalo , ; y peridica con perodo , 2T es la suma de la serie trigonomtrica:0 ( cos );2 n1an nx bnsen nxaen el intervalo , ; es decir:0 ( cos );2 1( )nan nx bnsen nxaf x entonces resulta que: ( ) ;11a0 f x dx an f (x)cos nxdx y ( ) .1an f x sen nxdxQu condiciones debe cumplir la funcin f (x) para poder asegurar que su seriede Fourier es convergente y que su suma es precisamente dicha funcin?Condiciones de Dirichlet:Supongamos que la funcin ) (x f es peridica con perodo 2T . Adems ) (x f esseccionalmente continua, al igual que su derivada f (x) en el intervalo ; , entonces:La serie trigonomtrica de Fourier de f (x) converge hacia:a) ) ( 0 x f si 0x es un punto de continuidad de ) (x f .b) f x f x( 0 ) ( 0 )2si 0x es un punto de discontinuidad finita de ), (x f dondef x Lim f x y( 0 ) ( ) 0x xf x Lim f x( 0 ) ( ) 0x xEjemplo: 3. O lo3Sea la funcin ) ( x f que es peridica deperodo T 2 definida por:x para x 00( )para xf x Esta funcin es seccionalmente continua en el intervalo , ; ya que solo presentadiscontinuidades finitas en los puntos . y 0 ; x x x Adems )(xf es peridicacon perodo 2 T .Determinemos los coeficientes de Fourier..2)1 0 22 00( .1 ( )1( ) 00 xa f x dx dx xdx xan f (x)cos nxdx 1.ncos 1.1nxdx x nxdx( .cos .cos )1200 n Como( 1) 1.1cos n ( 1) n , se concluye que ( )cos,12 na f x nxdxnn paran 1;2;3;...De forma similar:bn f (x)sen nxdx 1 sen nxdx x sen nxdx .(1 2cos ).11 0( . . )0 nnque es lo mismo:.1 2( 1) ,1 1nb f ( x )sen nxdx nn n 1;2;3;....Adems, su derivada 4. 4para x1 0 0 0( )para xf xtambin es seccionalmente continua en el intervalo ; , pues tambin presenta solo discontinuidades finitas en los puntosx ; x 0 y x .Del anlisis anterior se concluye que la funcin analizada cumple las condiciones deDirichlet, por tanto en todos los puntos de continuidad de ) ( x f se tendr que.0 ( cos )2 1( )nan nx bnsen nxaf x ( 1) 1 121 2( 1)cos.4 nn nsen nxnnx nEn los puntos de discontinuidad x0 ; x0 0 y x0 la serie de Fourier converge f x f x( 0 ) ( 0 )hacia: ;2por ejemplo para x0 0.( 0 ) ( 0 ) 2 202 f x f xDesarrollo Trigonomtrico de Fourier para funciones pares e imparesSea la funcin f (x) peridica con perodo T 2 y seccionalmente continua, en elintervalo , ; entonces:(a) Si f (x) es una funcin par en ese intervalo, es decir f (x) f (x) para todox ; ,0f (x) ~ cos ;2 1nan nxa2 0a f x dx ( )cos .con 0 ( ) ;2an f x nxdx n 1;2;3;....0(b) Si f (x) es una funcin impar en ese intervalo, es decir f (x) f (x) para todox ; , 5. 5nxdx sen x f bn ;....3; 2; 1nnnxsenb donde . ) (f ( x ) ~ ; n12 0Ejemplo:Sea la funcin , ) ( x x f para x y peridica con perodo . 2 TNotemos quef (x) x x f (x) paratodo x , ; luego la funcines par.x x 0 0x x xf x0,( )0f (x) ~ cos ;2 1nan nxa 2 22a f x dx xdx xdx ( ) 0 . 0 0 0( 1) 1.2 ..cos2cos2( )cos220 0 0nnna f x nxdx x nxdx x nxdx Por lo tanto:2x ~ 0 ( 1) 1.cos121.2cos2 nnnn nxna nxaDesarrollo de Fourier para series de cualquier perodoMuchas aplicaciones de las series trigonomtricas de Fourier en la ciencia y la tcnica,requieren determinar el desarrollo de una funcin peridica con perodo T 0, siendoT 2 .El desarrollo en serie de Fourier de una funcin peridica con perodo T 0 yseccionalmente continua en cualquier intervalo de la forma c; c T se expresa de laforma siguiente. 6. 60 ( cos );21( ) ~nan n x bnsen n xax f donde T2frecuencia.2a ( ) ;2a ( )cos n f x n xdx0 c Tcf x dxTc TcTc T2b ( ) n f x sen n xdxy cT-Si )(xf es una funcin par en el intervalo Tc c ; entonces,0f (x) ~ cos ,2 1nan n xa2T donde; ;2 0 ( ) ;04Tdxx fTaa ;.... 3; 2; 1 nn f x n xdx( )cos ;T4 2 0T-Si f (x) es una funcin impar en el intervalo c; c T entoncesb .bnsen nx en este caso f (x) ~ ;n120( )4Tn f x sen n xdxTEjemplo:Sea la funcin x x f ) ( en el intervalo 1; 1 y peridica con perodo . 2TEsta funcin es seccionalmente continua en el intervalo 1 ; 1 ya que es continua entodos los puntos de este intervalo excepto en los puntos 1 x y 1 x donde tienediscontinuidades finitas. Adems, como ) ( ) ( x f x f para todo valor de x de dichointervalo, la funcin es impar.2 2Tbnsen n x donde: Entonces f (x) ~ ;n1 2.cos 10senn x ( ). 242( )42102x n x0 nnf x sen n xdx x sen xdxTbTnsen n cos( ) nnn22 7. 7Teniendo en cuenta que 0 n sen yn n ) 1 ( cos para ;.... 3; 2; 1 n) 1 ( 2 1Concluimos que ,nbnn para ;.... 3; 2; 1 n , luego. .2( 1)~1n 1sen n xnxnComo adems la derivada de la funcin f (x) 1 es seccionalmente continua en elintervalo 1 ; 1 se cumplen las condiciones de Dirichlet por lo que podemos escribir.sen n xnxn.2 ( 1) 1n 1 para todo punto de continuidad de x x f ) (Desarrollo Trigonomtrico de Fourier para funciones no peridicasEn la prctica tambin aparece la necesidad de representar en series de Fourierfunciones que no so peridicas.Sea ) (x f una funcin seccionalmente continua en el intervalo . ; ba Llamaremosextensin peridica de ) (x f con perodo a b T a la funcin ),(x f p definida por:) ( ) ( x f x f p para bx a y tal que ) ( ) ( x f KT x f p para todo ,x donde. * KPara determinar el desarrollo trigonomtrico de Fourier de una funcin seccionalmentecontinua en el intervalo . ; ba pero de forma tal que el perodo del desarrollo seaT b a; debemos realizar sobre f (x) una prolongacin de tal manera que la funcinprolongada F(x) coincida con f (x) en el intervalo a; b. y que adems su intervalode definicin tenga una amplitud igual al perodo que se desea. La funcin construidadebe satisfacer las condiciones de Dirichlet en su intervalo de definicin para garantizarla convergencia de su serie de Fourier.Ejemplo:Dada la funcin f (x) x para 1 x 2; obtener su desarrollo trigonomtrico deFourier con perodo T 2. 8. Solucin.La prolongacin de la funcin se puede realizar de muchas maneras, escogeremos lams sencilla:8x1 para 1 2 0 para 2 3( )xF xConsiderando la extensin peridica ) (x Fp de )(xF con perodo 2T tendremos que0 ( cos ).2p an n x bnsen n x) (x Fp engendra una serie de Fourier 1( ) ~naF x ,2 22 Tc T32 22a . cFp x dx Fp x dx xdx dxT4( ) 0.2( )132310a pn 3( )cos ( )cos .cos 0.cos 221312f x n xdx F x n xdx x n xdx n xdxTc Tc n. 2x sen n x n ncos nn x1 ( 1)1( )1( )2 2 De forma similar:( 1) 21( )2c Tn cnnb f x sen n xdx,Entonces: 1F x 12( 1) 2 .11 ( 1) cos( )34( ) ~nn np sen n xnn xnComo la funcin Fp (x) cumple las condiciones de Dirichlet en el intervalo 1; 3; laserie determinada, converge en todo punto del intervalo 1; 2 hacia la funcinFp (x) f (x) ya que en dichos puntos f (x) es continua. Fuera de ese intervalo, laserie converge hacia la extensin peridica de F(x) con perodo T 2; es decir haciaFp (x) . En los puntos de discontinuidad de Fp (x) ; o sea, en los puntos x0 0 2K y 9. 1 0 x K2 la serie converge hacia la semisuma de los lmites laterales de ) (x Fp en9esos puntos.Desarrollo Trigonomtrico de Fourier para funciones de medio recorridoSea )(xf una funcin seccionalmente continua en el intervalo . ; 0a Para estafuncin podemos determinar diferentes desarrollos trigonomtricos en series de Fourier.(a) Desarrollo de Fourier en serie de senos solamente:En este caso debemos hacer una prolongacin de manera impar a la funcin ) ( x f .Denotemos por ) ( x F a la prolongacin de ) ( x ff ( x ) para 0 x a ( ) para 0( )f x a xF x(b) Desarrollo de Fourier en serie de cosenos solamente:En este caso debemos hacer una prolongacin de manera par a la funcin f (x) .Denotemos por ) (x F a la prolongacin de ) (x ff ( x ) para 0 x a ( ) para 0( )f x a xF x(c) Desarrollo en serie de Fourier de senos y cosenosDenotemos por ) (x F a la prolongacin de ) (x ff ( x ) para 0 x a 0 para 0( )a xF xEjercicios.(1) Dada la funcin peridica de perodo 2 T definida por:para x1 0 0 0( )para xf x(a) Dibuje su grfico.(b) Analice si es seccionalmente continua en el intervalo ; .(c) Determine su desarrollo trigonomtrico de Fourier.(d) Verifique que cumple las condiciones de Dirichlet y analice la convergencia deldesarrollo obtenido. 10. 10(e) Hacia qu valor converge el desarrollo para . ? 3x(2) Si( ) y f (x 2 ) f (x) para todo x.x x, 0x x 2 0xf x2(a) Determine su desarrollo trigonomtrico de Fourier.1 2(b) Demuestre que .(2 1) 812n n(3) Para la funcin2 ) ( x x f en el intervalo , 1; 1 peridica con perodo . 2TDetermine su desarrollo trigonomtrico de Fou