Series de Tiempo (1)
-
Upload
daniela-camacho-zambrana -
Category
Documents
-
view
151 -
download
14
Transcript of Series de Tiempo (1)
Econometría II
Series de Tiempo
Facultad de Economía - UNMSM
Mg. Beatriz Castañeda S.
2010
Mg. Beatriz Castañeda S. 2Econometría II
Una serie de tiempo es una secuencia de datos numéricos, cada uno de los cuales se asocia con un instante específico del tiempo. Podemos citar como ejemplos de series de tiempo al índice mensual de inflación, al tipo de cambio diario, al producto bruto interno trimestral, al índice de desempleo anual, etc. Estas series poseen como característica que los lapsos de tiempo, para la observación cada una de ellas son homogéneos, es decir, la frecuencia de observación es semanal, mensual, trimestral, etc.
20
40
60
80
100
120
140
60 65 70 75 80 85 90 95
IP
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
60 65 70 75 80 85 90 95
D1IP
Indice de Productividad (IP)
Variación del IP respecto al mes anterior
Serie de tiempo
Mg. Beatriz Castañeda S. 3Econometría II
Series de tiempo estacionarias y no estacionarias
Teóricamente una serie de tiempo puede ser vista como una colección de variables aleatorias Yt. Es por este motivo que a una colección de este tipo de datos se le denomina proceso estocástico. Cada una de estas observaciones se asume como una realización del proceso estocástico subyacente. Es una tarea de la teoría económica el desarrollar modelos que capturen el verdadero proceso generador de datos (PGD).
-40
0
40
80
120
160
1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985
D1PBI
Serie no Estacionaria
Mg. Beatriz Castañeda S. 4Econometría II
Series de tiempo estacionarias
Estacionariedad estricta
Es aquel proceso cuya distribución de probabilidad conjunta es invariante respecto a los desplazamientos en el tiempo, es decir:
kmYYYfYYYf ktmktkttmtt ,),...,,(),...,,( 2121
Si m=1, entonces
)()( 11 ktt YfYf 2
11
11
)()(
)()(
ktt
ktt
YVYV
YEYE
La distribución marginal de yt en cualquier punto del tiempo es la misma, no cambia
Mg. Beatriz Castañeda S. 5Econometría II
Estacionariedad estricta
Si m = j, entonces ),(),( 1111 kjtktjtt YYfYYf
jkjtktjtt YYCYYC ),(),( 1111
La covarianza de variables separadas por j periodos es constante, sin importar en que momento del tiempo se encuentran
A j se denomina autocovarianza a j periodos, ya que indica la covarianza entre
observaciones de la misma serie
Estos resultados nos informan acerca del patrón de comportamiento de la serie
Como E(Yt)= y V(Yt) =2
Nos permite localizar a la serie alrededor de su media con una variabilidad constante (al 95% a ± 2)
Mg. Beatriz Castañeda S. 6Econometría II
La covarianza nos informa cual es el patrón de variación alrededor de su media
)])([(),( jttjttj YYEYYC
Para observaciones separadas por j periodos
0jYt > hay tendencia a que Yt+j >
Yt < hay tendencia a que Yt+j <
0jYt > hay tendencia a que Yt+j <
Yt < hay tendencia a que Yt+j >
La autocovarianza determina la apariencia de la serie, sugiere que el proceso tendrá un patrón general sin importar cuando se observa
Para eliminar el efecto de la unidad de medida, analizamos la autocorrelación, la que nos indicará el patrón de la serie
0)(
),(
j
t
jttj YV
YYC
Mg. Beatriz Castañeda S. 7Econometría II
1
-1
j
j
t
Yt
Correlograma
La definición estricta de estacionariedad es demasiado rigurosa como para que realmente se pueda comprobar en la práctica. La misma implica que la distribución de Yt y de cualquier combinación de éstas, involucrados todos sus momentos, es independiente del tiempo. Si se relaja un poco los supuestos y se limita esta independencia al primer (media) y segundo momento (varianza y autocovarianza), entonces estamos definiendo débilmente la estacionariedad. Este tipo de estacionariedad también es denominado estacionariedad de segundo orden, estacionariedad en sentido amplio, estacionariedad de covarianza.
Estacionariedad débil o de segundo orden
Mg. Beatriz Castañeda S. 8Econometría II
Una serie se define como estacionaria cuando no presenta tendencia y su desarrollo corriente se encuentra alrededor de su media. Cualquier shock que sufra en cualquier momento en el tiempo no tendrá efectos permanentes y sólo la alejará temporalmente de su equilibrio. En caso de que la serie sea no estacionaria, el camino que recorre a través del tiempo está determinado por los shocks que percibe durante su trayectoria y son estos los que determinan íntegramente su recorrido. No presentan una media determinada.
Series estacionarias y no estacionarias
Mg. Beatriz Castañeda S. 9Econometría II
MODELOS PARA SERIES DE TIEMPO ESTACIONARIAS
PGD yt
PGDyt
y , y , j
fac, fap
Datosy1, y2, …., yT
ttt ,,...., 12
Mg. Beatriz Castañeda S. 10Econometría II
MODELOS PARA SERIES DE TIEMPO ESTACIONARIAS
Serie Ruido blanco: tEs la serie perturbación aleatoria, en la que:
0),(;)(;0)( 2 jtttt CVE
t
t
0
Modelos
1. Proceso Media Móvil: MA(q) qtqttttY ....2211
2. Proceso Autorregresivo: AR(p) ptptttt YYYY ....2211
3. Proceso Mixto Autorregresivo de Media Móvil: ARMA(p,q)
qtqtttptpttt YYYY ....... 22112211
Mg. Beatriz Castañeda S. 11Econometría II
Proceso Media Móvil: MA(q)
qtqttttY ....2211 0),(;)(;0)( 2 jtttt CVE ;
Momentos:
)( tYE
)....1(
]....[
])....[()()(
22220
2222222
22211
2
21
2211
q
qtqttt jtitji
qtqttttt
E
EYEYV
)....(
)]....)(....[(
)])([(
1322112
1322112211
11
qtqtttqtqttt
tt
E
YYE
Mg. Beatriz Castañeda S. 12Econometría II
Proceso Media Móvil: MA(q)
;
)....(
)]....)(....[(
)])([(
2423122
2423122211
22
qtqtttqtqttt
tt
E
YYE
)....( 22112
qjqjjjj
Función de autocorrelación
0)(
),(
j
t
jttj YV
YYC
1;0
;....1
....222
2211
21
qjsi
qjsiq
qjqjjj
Mg. Beatriz Castañeda S. 13Econometría II
1. Sea un proceso MA(1): Yt = 3 + t + 0.5 t-1; 2 = 0.09
Luego E(Yt) = 3 ; V(Yt) = 0.09(1+0.52) = 0.1125 = 0
Función de autocorrelación:
4.025.1
5.01
1;0 jsij
j
1
-1
j
Y1 Mean 3.009049 Median 3.022499 Maximum 3.790389 Minimum 2.101897 Std. Dev. 0.337565 Skewness 0.021909 Kurtosis 2.720795
Jarque-Bera 0.329485
Probability 0.84811
Serie autogenerada con números aleatorios de la distribución normal
2.0
2.4
2.8
3.2
3.6
4.0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 00
Y1
Mg. Beatriz Castañeda S. 14Econometría II
2. Sea un proceso MA(1): Yt = 3 + t - 0.5 t-1; 2 = 0.09
Luego E(Yt) = 3 ; V(Yt) = 0.09(1+0.52) = 0.1125 = 0
Función de autocorrelación:
4.025.1
5.01
1;0 jsij
j
1
-1
j
Serie autogenerada con números aleatorios de la distribución normal
Y2 Mean 2.996661 Median 2.952678 Maximum 3.787612 Minimum 2.219883 Std. Dev. 0.323060 Skewness 0.300947 Kurtosis 2.881188
Jarque-Bera 1.552619 Probability 0.460101
2.0
2.4
2.8
3.2
3.6
4.0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 00
Y2
Mg. Beatriz Castañeda S. 15Econometría II
3. Sea un proceso MA(2): Yt = 15 + t + 0.7 t-1 - 0.2 t-2 ; 2 = 0.09
E(Yt) = 15
366.053.1
14.07.01
2;0 jsij
Serie autogenerada con números aleatorios de la distribución normal
0 = 0.09(1+0.72+0.22) = 0.1377
13.053.1
2.02
j
1
-1
j
14.0
14.4
14.8
15.2
15.6
16.0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 00
Y3
Y3 Mean 14.99908 Median 14.99159 Maximum 15.88596 Minimum 14.12380 Std. Dev. 0.365650 Skewness 0.139397 Kurtosis 2.579241
Jarque-Bera 1.040289 Probability 0.594435
Mg. Beatriz Castañeda S. 16Econometría II
Proceso Autorregresivo: AR(p)
ptptttt YYYY ....2211 0),(;)(;0)( 2 jtttt CVE ;
Proceso AR(1): 11 ttt YY
ioestacionaresprocesoelsiYEYE tt );()( 11 11
)(
tYE
)(11
~11
1
111
111
tttttttt YYYYY
022
112222
110 111]
~2
~[])
~[( tttt YYEYE
tt
012
111111 ]~~
[]~)
~[(
1
tYYEYYE ttttt
2
2
0
11
;
Mg. Beatriz Castañeda S. 17Econometría II
1121122112 ]~~~
[]~)
~[( ttttttt YYYEYYE
………
11 jj
Función de autocorrelación
10
011
2112 1
jjj 111
………
1
-1
j
j
1
-1
j
j
Mg. Beatriz Castañeda S. 18Econometría II
28.8
29.2
29.6
30.0
30.4
30.8
31.2
10 20 30 40 50 60 70 80 90 00
Y4
1. Sea un proceso AR(1): Yt = 6 + t + 0.8 Yt-1; 2 = 0.09
308.01
6
1)(
1
tYE 25.08.01
09.0
1 22
2
0
1
Mean 30.04767 Median 30.05618 Maximum 31.15199 Minimum 28.86924
Std. Dev. 0.485857
Skewness 0.114342 Kurtosis 2.556619 Jarque-Bera 1.026640 Probability 0.598505
Serie autogenerada con números aleatorios de la distribución normal
1
-1
j
j
jj 8.0
Mg. Beatriz Castañeda S. 19Econometría II
2. Sea un proceso AR(1): Yt = 6 + t - 0.8 Yt-1; 2 = 0.09
33.38.01
6
1)(
1
tYE 25.08.01
09.0
1 22
2
0
1
Serie autogenerada con números aleatorios de la distribución normal
2.4
2.8
3.2
3.6
4.0
4.4
10 20 30 40 50 60 70 80 90 00
Y5
Mean 3.335832 Median 3.295432 Maximum 4.361877 Minimum 2.449680 Std. Dev. 0.427777
Skewness 0.215050 Kurtosis 2.519992 Jarque-Bera 1.713500
Probability 0.424540
1
-1
j
j
jj 8.0
Mg. Beatriz Castañeda S. 20Econometría II
Condición de Estacionariedad
11 ttt YY Proceso AR(1):
Operador de rezagos: L
cLcYYLYYLYLY pttp
tttt ;....;;; 22
1
ttYL )1( 1
Para que un proceso AR(1) sea estacionario, es decir, que tenga media, varianza y covarianzas constantes y que no dependan del tiempo, se debe cumplir que:
11 La raíz de la ecuación característica 01 1 Ldebe caer fuera del círculo unitario, es decir
11
1
L
(constante)
Mg. Beatriz Castañeda S. 21Econometría II
11 ttt YY ttYL )1( 1
Reescribimos el modelo AR(1) en su forma MA
Por sustitución
)( 2111 tttt YY
221111 ttt Y
………
NtN
tttt YY 111
.......)1( 22
112
1
Mg. Beatriz Castañeda S. 22Econometría II
11 ttt YY ttYL )1( 1
Reescribimos el modelo AR(1) en su forma MA
)1()1( 11 LLY t
t
Utilizando el polinomio de rezagos
11 .....1)(1
1 33221
01
111
LLLLL i
i
Aplicando en (1) tenemos:
Nttttt YY .......)1( 22
112
1 11
(1)
Un AR(1) es un MA()
Mg. Beatriz Castañeda S. 23Econometría II
Proceso Autorregresivo: AR(2)
2211 tttt YYY
0),(;)(;0)( 2 jtttt CVE
)()()( 2211 ttt YEYEYE 211
)(
tYE
Condición de Estacionariedad
ttYLL )1( 221
Si las raíces de la ecuación característica
toman valores fuera del círculo unitario complejo01)( 221 LLL
Si se cumplen las condiciones de estacionariedad
Mg. Beatriz Castañeda S. 24Econometría II
2211
~~~ tttt YYY
]~~
[]~~
[]~[)]
~~(~[ 221122110 tttttttttt YYEYYEYEYYYE
22112
0
1201221111 )]~~
(~[ tttt YYYE
0211221122 )]~~
(~[ tttt YYYE
Forma un sistema de ecuaciones
22112
0
12011
02112
22112211 )]~~
(~[ jjtttjtj YYYE
……….
Se despeja
)1]()1[(
)1(
221
22
22
0
Mg. Beatriz Castañeda S. 25Econometría II
1211
2112
Función de autocorrelación
12213
2211 jjj ……….
Ecuaciones de Yule Walker para 1 y 2 2
11 1
22
2
2 11
1
-1
j
j
1
-1
j
j
1
-1
j
j j
1
-1
j
Mg. Beatriz Castañeda S. 26Econometría II
1. Sea un proceso AR(2): Yt = 6 + t + 0.4 Yt-1 + 0.5Yt-2; 2 = 0.09
605.04.01
6
1)(
21
tYE
Serie autogenerada con números aleatorios de la distribución normal
1
-1
j
j
333.0)1]()1[(
)1(
221
22
22
0
59.0
59.5
60.0
60.5
61.0
61.5
10 20 30 40 50 60 70 80 90 00
Y6
8.05.0
4.0
1 2
11
82.05.05.0
4.0
1
2
22
2
21
728.0)8.0(5.0)82.0(4.03
70.0)82.0(5.0)728.0(4.04
644.0)728.0(5.0)70.0(4.05
Mg. Beatriz Castañeda S. 27Econometría II
0),(;)(;0)( 2 jtttt CVE
ptYE
...1)(
21
Condición de Estacionariedad
ttp
p YLLL )....1( 221
Si las raíces de la ecuación característica
toman valores fuera del círculo unitario complejo0...1 221 p
pLLL
ptptttt YYYY ....2211
Proceso Autorregresivo: AR(p)
pjjjjj ...2211
Si se cumplen las condiciones de estacionariedad
ttYL )(
Mg. Beatriz Castañeda S. 28Econometría II
Proceso Autorregresivo: AR(p)
1231211 ... pp
2122112 ... pj
pppp ....2211
Ecuaciones de Yule Walker
……….
pjjjjj ...2211
1
-1
j
j
1
-1
j
j
Función de autocorrelación
Mg. Beatriz Castañeda S. 29Econometría II
Condición de Invertibilidad
La condición de invertibilidad es análoga al concepto de estacionariedad, se aplica a los procesos de media móvil (MA) y está relacionada con la coherencia del modelo para explicar al valor actual de Y en función de su pasado más reciente, cuando reescribimos al modelo en su forma AR
qtqttttY ....2211
Un proceso MA(q) es invertible si las raíces de la ecuación característica
MA(q):
tq
qt LLLY )....1( 221
0....1)( 221 q
qLLLL
toman valores fuera del círculo unitario complejo
Mg. Beatriz Castañeda S. 30Econometría II
Condición de Invertibilidad
11 tttY
Sea el proceso MA(1):
Aplicando y despejando obtenemos
.......)1( 33
22
1132
1 1111 ttttt YYYY
11 .....1)(11 33
122
110
11
LLLL
L i
i
tt LY
L
)1()1(1
11
tt LY )1( 1
Un MA(1) es un AR()
Mg. Beatriz Castañeda S. 31Econometría II
qtqtttptpttt YYYY ....... 22112211
Proceso Mixto autorregresivo de media móvil: ARMA(p,q)
tq
qtp
p LLLYLLL )...1()....1( 221
221
Un proceso ARMA(p,q) es invertible si las raíces de la ecuación característica
0....1 221 q
qLLL toman valores fuera del círculo unitario complejo
Condición de Invertibilidad
Condición de Estacionariedad
Un proceso ARMA(p,q) es estacionario si las raíces de la ecuación característica
toman valores fuera del círculo unitario complejo0...1 221 p
pLLL
Mg. Beatriz Castañeda S. 32Econometría II
Proceso ARMA(1,1)
1111 tttt YY tt LYL )1()1( 11
Modelo en su forma AR() tt LY
L
L
)1()1(
)1(
11
1
011
1
1 )()1()1(
)1()( iLL
L
LL
....)()()(1)( 3
1122
11111 1 LLLL
....)()()(1 311
22111111
11
ttttt YYYY
Modelo en su forma MA() tt L
L
LY
)1(
)1(
)1( 1
1
1
011
1
1 )()1()1(
)1()( iLL
L
LL
....)()()(1)( 3
1122
11111 1 LLLL
....)()()(1 311
22111111
11
tttttY
Mg. Beatriz Castañeda S. 33Econometría II
Proceso ARMA(1,1) 1111 tttt YY
11)(
tYE 1111
~~ tttt YY
22211
2111111
20 1
]~)
~[()
~( tttt YYEYE
t
21011111111 ]
~)
~[()
~~( tttttt YYEYYE
112111122 ]~)
~[()
~~( tttttt YYEYYE
2;]~)
~[()
~~( 111111 jYYEYYE jjttttjttj
21
2111
2
0 1
)21(
2
11112
1
11
))(1(
Mg. Beatriz Castañeda S. 34Econometría II
1121
11111 21
))(1(
Función de autocorrelación
2;11 jjj
1
-1
j
j
1
-1
j
j
j
1
-1
j
1
-1
j
j
Mg. Beatriz Castañeda S. 35Econometría II
qtqtttptpttt YYYY ....... 22112211
Proceso Mixto autorregresivo de media móvil: ARMA(p,q)
tq
qtp
p LLLYLLL )...1()....1( 221
221
ptYE
...1)(
21 222
21
221122
12
0 ...1
)2...22...1(
p
hhq
Siendo h = mín(p,q)
En las primeras q autocovarianzas intervienen los coeficientes de la parte AR, de la parte MA y la varianza de las perturbaciones.Para j > q la estructura de la autocovarianza se mantiene según la parte AR
Función de autocorrelación: Si j q intervienen los coeficientes de la parte AR, de la parte MA Si j > q la forma permanente sigue la estructura de un proceso AR(p)
Mg. Beatriz Castañeda S. 36Econometría II
Series estacionarias y no estacionarias
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985
PBI
-40
0
40
80
120
160
1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985
D1PBI
5.5
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
8.5
1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985
LNPBI
-.02
-.01
.00
.01
.02
.03
.04
.05
.06
.07
1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985
D1LNPBI
-.04
-.03
-.02
-.01
.00
.01
.02
.03
.04
1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985
D2LNPBI
No estacionaria en media ni varianzaNo estacionaria en media
Estacionaria en media y varianzaNo estacionaria en media
Mg. Beatriz Castañeda S. 37Econometría II
Transformaciones para alcanzar estacionariedad
1. Serie no estacionaria en media: Transformación diferencia: D= (1-L)
ttd
ttttt
ttttt
YdeddiferenciaYD
diferenciasegundaYDWLWWX
diferenciaprimeraDYYLYYW2
1
1
)1(
)1(
2. Serie no estacionaria en varianza: Transformación logaritmo: Zt = lnYt
3. Serie no estacionaria en media ni en varianza:
Transformación diferencia de los logaritmos o el logaritmo de la diferencia
EviewsutilizandoYDW
YDYLYYW
tt
ttttt
)(log
lnln)1(lnln 1
Mg. Beatriz Castañeda S. 38Econometría II
Proceso ARIMA(p,d,q)
0
21
1
1
jtt
tttt
ttt
ttt
WY
YWWY
YWY
YYWSi
Yt es una serie integrada de sus primeras diferencias, es decir, Yt es I(1)
Si Wt = Dd Yt es un proceso ARMA(p,q): tqtp LWL )()(
entonces Yt es un proceso ARIMA(p,d,q): tqt
dp LYLL )()1)((
(autorregresivo, integrado de media móvil)
tq
qtdp
p LLLYLLLL )...1()1)(....1( 221
221
Mg. Beatriz Castañeda S. 39Econometría II
Formas de un proceso ARIMA(p,d,q)
qtqtttdptdpttt YYYY ....... 2211)(2211
1. Forma ecuación diferencia: Expresa a la variable en función de sus p+d rezagos y de los rezagos de las perturbaciones, se utiliza para obtener predicciones puntuales de Yt+h
tq
qtdp
pt LLLYLLLLYL )...1()1)(....1()( 221
221
2. Forma MA() o forma impulso o innovación aleatoria: Expresa a la variable en función de los rezagos de las perturbaciones, se utiliza para obtener la varianza de los errores y calcular las predicciones interválicas de Yt+h.
ttdp
qttqt
dp L
LL
LYLYLL
)()1)((
)()()1)((
3. Forma AR() o forma invertida: Expresa a la variable en función de sus rezagos y de la perturbación ocurrente, se utiliza para obtener predicciones puntuales de Yt+h.
ttq
dp
ttqtd
p YL
LLYLLYLL
)(
)1)(()()()1)((
Mg. Beatriz Castañeda S. 40Econometría II
Fases de elaboración de un modelo ARIMA
Predicción y cálculo de estadísticas
Datos de la serie
Cálculo de estadísticos de la serie
¿Es la serie estacionaria?
Selección de p,q y decisión sobre la inclusión de
Estimación del modelo
Es adecuado el modelo
¿predice correctamente
Selección de d y
Transformación de la serie
No
No
No
Si
Si
Identificación
Estimación
Validación
Predicción
Mg. Beatriz Castañeda S. 41Econometría II
Proceso No estacionario en media
La no estacionariedad en media puede ocurrir, básicamente, en dos circunstancias:
(i) Cuando la media se comporta como un polinomio de orden d en el tiempo, de forma tal que:
es decir, se observa una tendencia determinística en la serie.
Esta tendencia puede ser removida diferenciando la serie tantas veces como sea el orden del polinomio temporal.
Mg. Beatriz Castañeda S. 42Econometría II
Proceso No estacionario en media
Por ejemplo, en el caso en que d =1
si restamos la tendencia (trabajamos con los errores de una regresión de yt contra una tendencia lineal).
0
10
20
30
40
50
10 20 30 40 50 60 70 80 90 00
Y7
-0.8
-0.4
0.0
0.4
0.8
1.2
10 20 30 40 50 60 70 80 90 00
DY7
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 00
Y7 Residuals
Estacionario pero no invertible
Mg. Beatriz Castañeda S. 43Econometría II
(ii) Cuando se tenga un proceso autorregresivo que no cumpla con las condiciones de estacionariedad: raíces características del polinomio de rezagos no son todas mayores que uno en valor absoluto.
El número de raíces unitarias indica las veces que debe ser diferenciada la serie para tener un proceso estacionario. De esta forma, se conocerá como una serie ARIMA(p,d,q) a aquella que tiene que ser diferenciada d veces antes de poder ser modelada como una serie ARMA(p,q).
Mg. Beatriz Castañeda S. 44Econometría II
Serie camino aleatorio:ttttt YLYY )1(1
Tiene raíz unitaria
t
tt YY
YY
YY
YY
YinicialvalorunAsumamos
10
32103
2102
101
0
.....
tiempodeldependetjt
jtE
tEYV
YYE
j
jt
t
t
tj
t
tt
t
2
11
2
1
2
0
)(
)(
)( 10.5
11.0
11.5
12.0
12.5
13.0
13.5
14.0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 00
Y8
1
-1
j
j
Mg. Beatriz Castañeda S. 45Econometría II
Serie camino aleatorio con tendencia (drift):
ttttt YLYY )1(1
t
tt YtY
YY
YY
YY
YinicialvalorunAsumamos
10
32103
2102
101
0
.....
3
2
tiempodeldependetjt
jtE
tEYV
tYYE
j
jt
t
t
tj
t
tt
t
2
11
2
1
2
0
)(
)(
)(
0
100
200
300
400
500
10 20 30 40 50 60 70 80 90 00
Y9
12;4 01 YYY ttt
1
-1
j
j
Mg. Beatriz Castañeda S. 46Econometría II
Procesos con Raíz unitaria
ttp
ptt uLLLutY )....1(; 221
ttttt YLYY )1(1
ttttt YLYY )1(1
tq
qtdp
p LLLYLLLL )...1()1)(....1( 221
221
1. Camino aleatorio
2. Camino aleatorio con deriva
3. Proceso ARIMA(p,d,q)
Proceso estacionario en tendencia (TS) o con tendencia determinística
Proceso estacionario en diferencia (DS) o con tendencia estocástica
Si t no es estacionariott
pptt uLLLuY )....1(; 2
21
ttp
ptt uLLLutY )....1(; 221
Si t es estacionario
Mg. Beatriz Castañeda S. 47Econometría II
ttp
ptt uLLLuY )....1(; 221
ttp
ptt uLLLutY )....1(; 221
Equivalencias
tptpttt YYYY ....* 2211
tptpttt YYYtY ....** 2211
tttt YYY 221121 )1(
Equivale al proceso
1)
2)
Equivale al proceso
tttt uLLuY )1(; 221
tt LLY 1221 )1(
tt LLYLL )1()1( 221
221
Ejemplo
tttt YYY 2211*
Mg. Beatriz Castañeda S. 48Econometría II
Prueba aumentada de raíz unitaria de Dickey -Fuller
Fase de Identificación
I. Análisis de la estacionariedad de la serie
Para analizar si la serie es estacionaria en tendencia o estacionaria en diferencia aplicamos la prueba de raíz unitaria
tptpttt YYYtY ....221110
ttptpptpptpptp
ttttt
ttt
tttt
YYYYY
YYYYY
YYY
YYtYY
11)1()1(
1313232333
121222
111101
....
.......
tptptttt YYYYtY )1(12211110 ....
11
p
i
p
ijji
1
donde:
Mg. Beatriz Castañeda S. 49Econometría II
tptptttt YYYYtY )1(12211110 ....
t
p
iititt YYtY
1
1110
Prueba aumentada de raíz unitaria de Dickey -Fuller
..
..
0:
;00:
..
;0:0:)1
96.1
96.1
0
1
1ˆ
10
ˆ
10
URtieneYSi
URtienenoYSi
HSi
dadoHSi
URtienenoYSi
HH
tT
tT
critTT
STMackTcritT
tMackTcritT
ST
)2 critTTSi
Mg. Beatriz Castañeda S. 50Econometría II
..
..
0:
;00:
..
;0:0:
)2
96.1
96.1
0
0
0ˆ
00
10
10
URtieneYSi
URtienenoYSi
HSi
dadoHSi
URtienenoYSi
HH
YYYEstimar
tT
tT
critTT
STMackTcritT
tMackTcritT
tititt
)3 critTTSi
..
..
;0:0:
)3
10
1
URtieneYSi
URtienenoYSi
HH
YYYEstimar
tMackTcritT
tMackTcritT
tititt
Mg. Beatriz Castañeda S. 51Econometría II
II. Determinación del orden de un proceso MA
Si un proceso es MA(q), según los estudios de Anderson y Bartlet
q
qkskksjj
j
kkjj
jj
rrT
rrC
rT
rVrE
NormalrqjSi
1),(
211
)(;0)(
ˆ
1
1
2
Tkr
j
jj
r
siHrechazaSe
qjparaHH
221
0
10
96.1
10:0: Se analiza la función de autocorrelación: FAC probando las hipótesis
Mg. Beatriz Castañeda S. 52Econometría II
III. Determinación del orden de un proceso AR
Función de autocorrelación parcial (FAP): jj
11:)1( ttt YYAR
2211:)2( tttt YYYAR
ptptttt YYYYpAR ....:)( 2211
1231211 ... pp
2122112 ... pj
pppp ....2211
Ecuaciones de Yule Walker
……….
111 )1( esARde
………222 )2( esARde
ppp espARde )(
11:)1( jj
jAR
2112
1211:)2(
AR
2
1
1
1
2
1
1
1
Mg. Beatriz Castañeda S. 53Econometría II
III. Determinación del orden de un proceso AR
Según los estudios de Quenoulli si un proceso es AR(p)
TVE
NormalpjSi
jjjj
jj
1)ˆ(;0)ˆ(
ˆ
T
siHrechazaSe
pjparaHH
jj
jjjj
2
10:0:
0
10
Se analiza la función de autocorrelación parcial: FAP probando las hipótesis
IV. Determinación del orden de un proceso ARMA
Un proceso ARMA(p,q) tiene función de autocorrelación FAC y FAP con infinitos términos que decaen a cero oscilando en signo en forma sinusoidal, recordando que la parte MA interviene hasta la correlación q, pero luego la FAC sigue la estructura de un AR(p). Se sugiere proponer orden bajo e ir ajustando el modelo con el análisis de los residuos.
Mg. Beatriz Castañeda S. 54Econometría II
Análisis de la validez del modelo
El propósito de esta etapa es analizar si el modelo estimado es adecuado para representar el comportamiento de la serie temporal, es decir, analizar que se cumplan los siguientes requisitos:
1. Los residuos del modelo se aproximan al comportamiento de un ruido blanco.
2. Los coeficientes estimados cumplen con la condición estacionariedad e invertibilidad, según corresponda.
3. Los coeficientes estimados son suficientes para representar a la serie, son estadísticamente significativos y están poco correlacionados.
4. El grado de ajuste es elevado en comparación al de otros modelos alternativos. Analizar los coeficientes de Akaike y Schwarz.
Mg. Beatriz Castañeda S. 55Econometría II
Análisis de los residuos
Media 0: Se aplica una prueba Z para la media de los residuos
Residuos Incorrelacionados: Se analiza la significancia individual de los coeficientes de correlación y se aplica la prueba de correlación serial de Ljung y Box
júnaparaHjH jMj lg,0::0: 1,10
2)(
1
2
)2( qpM
M
jjT
jrTTLBQ
es asintóticamente
De manera complementaria se puede analizar también a la función de autocorrelación FAC y FAP de la serie primera diferencia de los residuos, para la que se espera:
1111
cone
e
ttt
tt
20
5.01
jparar
r
edeFAC
j
t
.....
250.0ˆ
333.0ˆ
5.0ˆ
33
22
11
tedeFAP
Mg. Beatriz Castañeda S. 56Econometría II
Análisis de los residuos
Varianza constante: Se analiza la gráfica de los residuos para apreciar la evolución de la dispersión de los residuos a lo largo del tiempo.También se analiza la significancia indvidual de los coeficientes de correlación y se aplica la prueba de correlación serial de Ljung y Box a la serie de los residuos al cuadrado e2
t
júnaparaHjH jMj lg,0::0: 1,10
2)(
1
2
)2( qpM
M
jjT
jrTTLBQ
es asintóticamente
Con este análisis, en caso de rechazar la H0, se busca de detectar una estructura autorregresiva para la heterocedasticidad
Distribución Normal: Aplicar la prueba de Jarque - Bera
Mg. Beatriz Castañeda S. 57Econometría II
Análisis de los coeficientes
EViews ofrece los coeficientes estimados y las raíces invertidas del polinomio de rezagos
Significancia de los coeficientes :
)ˆ1)....(ˆ1)(ˆ1()ˆ....ˆˆ1( 212
21 LLLLLL pp
p
)ˆ1(...)ˆ1)(ˆ1()ˆ...ˆˆ1( 212
21 LLLLLL qq
q
si existe alguna próxima a 1 se aconseja tomar una diferencia adicional.
Por ser muestra grande, a los coeficientes T se compara con la Normal
Estacionariedad e invertibilidad:
1ˆ iLa raíz invertida debe tener
si existe alguna próxima a 1 indica que hay una sobrediferenciación1ˆ iLa raíz invertida debe tener
Mg. Beatriz Castañeda S. 58Econometría II
Análisis de los coeficientes
Para detectar posible multicolinealidad se analiza la matriz de correlación de los coeficientes estimados, en este caso se sugiere reducir el orden MA o AR, pero cuidando de que la reducción de parámetros no conlleve a residuos autocorrelacionados.
Sobreparametrización:
En un proceso ARMA analizar que las raíces invertidas de la parte AR y MA no sean próximas
Mg. Beatriz Castañeda S. 59Econometría II
Reformulación del modelo
Si no se cumple alguno de los requisitos se debe reformular el modelo.
1. Si una raíz invertidad de la parte AR está próxima a 1 se aconseja tomar una diferencia adicional.
2. Si una raíz invertidad de la parte MA está próxima a 1 indica que se ha tomado más diferencias de las necesarias.
3. Si los residuos del modelo no cumplen con ser incorrelacionados, indican que estos contienen información de la estructura de autocorrelación de la serie, la cual debe ser utilizada para reformular el modelo
tt
tt
ueresiduos
uYL
ˆ
ˆ)ˆ1( 1
Sea el modelo estimado
tt Le )1( 11.
tteL )1( *
12.
Modelo para residuos Modelo reformulado
tt LYL )1()1( 11
ttYLL )1)(1( *1 1
Mg. Beatriz Castañeda S. 60Econometría II
Predicción de un Proceso ARIMA(p,d,q)
qtqtttdptdpttt YYYY ....... 2211)(2211
tqtd
p LYLL )()1)((
Predicción puntual: Se utiliza la forma ecuación diferencia
)(ˆ)/(ˆ hYTYEY ThthT
La predicción de horizonte h se obtiene como el valor esperado condicionado a la información hasta el último periodo de observación
qhydphYYYY dphTdphThThT ;ˆˆ...ˆˆˆˆˆ)(2211
Para las predicciones de horizonte h < q, intervienen los rezagos de las perturbaciones.
Para las predicciones de horizonte h < p+d, intervienen los valores observados de Y hasta el periodo T.
Mg. Beatriz Castañeda S. 61Econometría II
Predicción por intervalo
Se utiliza la forma MA(): .....)( 332211 tttttt LY
hThThT YYe ˆ
.....)....(ˆ11112211 ThThThhThThThT EY
.....ˆˆˆ11 ThThhTY
Error del pronóstico
112211 .... ThhThThThTe
0)( hTeE )....1()( 2222
121 hhTeV
Asumiendo perturbaciones normales los límites de la predicción por intervalo son calculados como:
2222/1 121
....1ˆˆ
hZYL hT
Mg. Beatriz Castañeda S. 62Econometría II
Perfiles de pronóstico
2211 ttttY MA(2):
1211ˆ
TTTY TTY 22ˆ hTY h >2; ;
11 ttt YY
....1 2
211
11
ttttY
AR(1): TT YY 11ˆ
2;ˆˆ11 hYY hThT
....1
ˆ1
21
11 1
TTTY
0111
ˆj
jThj
hTY
h
Y hT
11ˆ
Th
h
j
jhT YY 1
01
ˆ
Mg. Beatriz Castañeda S. 63Econometría II
1111 tttt YY Proceso ARMA(1,1)
....)()()(1 311
22111111
11
tttttY
Forma MA():
.....ˆˆ1
ˆ11
1
ThThhTY
TTT YY 111ˆ
112 TT YY
11ˆˆ
hThT YY
h
Y hT11
ˆ
)( 111
1 hh
Como
Proceso estacionario ARMA(p,q)
.....332211 tttttY
hh 0
h
Y hT ˆ
Mg. Beatriz Castañeda S. 64Econometría II
ttttttt WYYYY 1112111 )1(Proceso ARIMA(1,1,0)
111111ˆ)1(ˆ TTTTTTT WYWYYYY
211112ˆˆˆ)1(ˆ TTTTTT WWYYYY
hTTTThThThT WWWYYYY ˆ...ˆˆˆˆ)1(ˆ212111
……..
01111
ˆj
jTjh
hTW
0 111
11ˆ
jjT
jh
i
iThT hYY
hTY
h
ˆ
11
m
Sigue una tendencia
decae a lineal con pendiente
Mg. Beatriz Castañeda S. 65Econometría II
Series de tiempo estacionales
Tienen un patrón con oscilaciones periódicas, donde el periodo es igual o inferior a un año, en las que el patrón de autocorrelación se observa para las observaciones entre periodo estacional
0
4
8
12
16
20
72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04
VENTAS3
0
100
200
300
400
500
600
700
79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92
PASAJEROS
Mg. Beatriz Castañeda S. 66Econometría II
Modelo AR(1) estacional: ststt YY
0222
0 ])~
[( sstst YE 2
2
0 1 s
stYE
1
)(
,....,,;
;0
32 sssj
sj
sjs ]
~)
~[( jtststj YYE
,..,,;
;0
32 sssj
sjjs
j
1
-1
j
j
Mg. Beatriz Castañeda S. 67Econometría II
Modelo AR(1) estacional:
ststt YY
0
4
8
12
16
20
72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04
VENTAS3
,..,,;
;0
32 sssj
sjjs
j 1
-1
j
j
Mg. Beatriz Castañeda S. 68Econometría II
Modelo MA(1) estacional ststtY
)( tYE )1( 220 s
sj
sjs
s
j
;0
;1 2
1
-1
j
j
-10
0
10
20
30
72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04
VENTAS2
Mg. Beatriz Castañeda S. 69Econometría II
Modelos estacionales multiplicativos
La series generadas por modelos ARMA estacionales puros tienen características análogas a los modelos ARMA ordinarios sólo que referidas a los periodos estacionales.
Las series generadas por un modelo ARMA estacional multiplicativo presentan u un patrón con oscilaciones periódicas, en las que el patrón de autocorrelación se observa para las observaciones entre periodo estacional y dentro del periodo estacional.
Modelos estacionales puros
Modelos estacionales multiplicativos
0
100
200
300
400
500
600
700
79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92
PASAJEROS
tqs
qsss
stps
pss
ss
s LLLYLLL )...1()....1( 22
22
ts
ts LYL )()(
ts
ts LLYLL )()()()(
Mg. Beatriz Castañeda S. 70Econometría II
Modelo MA(1) SMA(1): Periodo estacional s=12
ttt LLLLLY )1()1)(1( 13121
12121
12121 Es un MA(13) con
restricciones
j
1;0
;....1
....222
2211
21
qjsi
qjsiq
qjqjjj
21
1
1
212
12
1
)1)(1( 212
21
121
j
; j=1
; j=12
; j=11,13
1
-1
j
j1 11 12 13
1
-1
j1 11
12
13
j
Mg. Beatriz Castañeda S. 71Econometría II
Modelo MA(1) SAR(1): Periodo estacional s=12
tt LYL )1()1( 112
12 Es un ARMA(12,1) con restricciones
0.....;1 10322
1
11
0...;;)1( 22151412122
1
1211311
111212 tttt YY
)1(
)1(212
22
0
s
2111121
10122
1212 jj
Resolvemos las ecuaciones de Yule Walker y obtenemos
0...;;)1( 312726
2242
1
21
2523 12
12
…………
1
-1
j
j1 11 12 13
1
-1
j1 11
12
13
j
Mg. Beatriz Castañeda S. 72Econometría II
1. Inspección gráfica de la serie
2. Análisis del correlograma (FAS, FAP)
(i) FAS: velocidad de convergencia. Evidencia de no estacionariedad si la FAS no es convergente.
(ii) FAP: orden del proceso autorregresivo (p).
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
25 50 75 100
Y1
-10
0
10
20
30
40
50
60
25 50 75 100
Y2
0
5
10
15
20
25
30
35
25 50 75 100
Y3
(a) Serie con tendencia determinística (estacionaria en tendencia).
(b) Random walk con drift (estacionaria en diferencias)
(c) Serie con tendencia determinística y quiebre (estacionaria en tendencia).
3. Prueba de Dickey Fuller aumentada (ADF)
Con los elementos determinísticos identificados en 1. y el número de rezagos identificado en 2. (p-1)
Rechazo Ho. Acepto Ho.
Serie no tiene RU. Trabajo con sus niveles luego de removerle la tendencia (si ésta es significativa).
Mejoro especificación de la prueba.
Rechazo Ho. Acepto Ho.
4. Prueba de Zivot & Andrews
Evaluamos la presencia de RU en la fecha más probable de quiebre (en media, tendencia o ambos).
Rechazo Ho.
Serie no tiene RU. Trabajo con sus niveles luego de removerle el quiebre.
Acepto Ho.
Serie tiene RU. Trabajo con su primera diferencia / en niveles es candidata para un análisis de cointegración.
(i) Prueba tiene baja potencia. (ii) Correcta especificación permitirá diferenciar entre (a) y (b) pero no entre (b) y (c).
Diagrama elaborado por Juan F. Castro
Mg. Beatriz Castañeda S. 73Econometría II
FUNCIONES DE AUTOCORRELACION DE PROCESOS ESTACIONARIOS
FAC FAP
AR(1)
1
-1
j
1
-1
j
1
-1
j
1
-1
j
1
-1
j
FAC FAP
1
-1
j
1
-1
j
1
-1
j
MA1)
Mg. Beatriz Castañeda S. 74Econometría II
-1
1
-1
j
1
-1
j
1
-1
j
1
-1
j
1
j
1
-1
j
j
1
-1
1
-1
j
FAC FAP FAC FAP
AR(2)
Mg. Beatriz Castañeda S. 75Econometría II
-1.00
-0.80
-0.60
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
-1.00
-0.80
-0.60
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
-1.00
-0.80
-0.60
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
-1.00
-0.80
-0.60
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
-1
-0.5
0
0.5
1
-1.00
-0.50
0.00
0.50
1.00
-1
-0.5
0
0.5
1
-1.00
-0.50
0.00
0.50
1.00
-1.00
-0.80
-0.60
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-1.00
-0.80
-0.60
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
FUNCIONES DE AUTOCORRELACION DE PROCESOS ESTACIONARIOS
AR(1)FAC FAP FAC FAP
AR(2)FAC FAP FAC FAP
Mg. Beatriz Castañeda S. 76Econometría II
-1.00
-0.80
-0.60
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
-1.00
-0.80
-0.60
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
-1.00
-0.80
-0.60
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
-1.00
-0.50
0.00
0.50
1.00
-1.00
-0.50
0.00
0.50
1.00
-1.00
-0.80
-0.60
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
-1.00
-0.80
-0.60
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
FUNCIONES DE AUTOCORRELACION DE PROCESOS ESTACIONARIOS
MA(1)FAC FAP FAC FAP
MA(2)FAC FAP FAC FAP
-1.00
-0.80
-0.60
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
-1.00
-0.80
-0.60
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-1
-0.5
0
0.5
1
Mg. Beatriz Castañeda S. 77Econometría II
FUNCIONES DE AUTOCORRELACION MODELO MULTIPLICATIVO
AR(1) SAR(1) S=12
FAC
-1
-0.5
0
0.5
1
FAC
-1
-0.5
0
0.5
1
FAC
-1
-0.5
0
0.5
1
FAC
-1
-0.5
0
0.5
1