Series Temporales (Filtros)

7/21/2019 Series Temporales (Filtros)

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Series Temporales: Dominio de las frecuencias

Series de Fourier

Supongamos quex(t)representa una funcin continua en el intervalo temporal [0, T]. Dicha

funcin puede ser expresada como una serie o desarrollo de ourier de la forma

=

=

k

k tTkictx !exp"# #$"

o

=

+

+=

$

0 !sin!

cos!

"#

k

kk tT

kBt

T

kA

Atx

#!"

dondeT

kk

!= son lasfrecuencias#harmnicas" % en particular

T

!0 = es la

frecuencia fundamental#correspondiente al per&odo T". 'n consecuencia kk 0 = .(ara o)tener los coeficientes de ourier nos valdremos de ciertas relaciones trigonom*tricas

a" ,....+,!,$0!

cos!

00

==

=

ksidtt

T

kdtt

T

ksen

TT

ueda como e-ercicio para el alumno el pro)arlo

)"

=

=

=

=

T

TT

dttT

ntT

m

nmsiT

nmsidtt

T

nt

T

mdtt

T

nt

T

m

0

00

0!sin!cos

!.

0!sin

!sin

!cos

!cos

ueda como e-ercicio para el alumno el pro)arlo

/a transformada de ourier de x(t)puede ser o)tenida multiplicando #!" por

tT

kot

T

k !sin

!cos ,e integrando so)re el intervalo [0, T]. (or e-emplo:

ultiplicando #!" por

t

T

k1!cos

e integrando se o)tiene

"0#!

1!cos

!1!cos

!cos

!cos

!

!cos"#

$ 0 0

00

0

=

=

+

+

+

=

=

ksiT

A

dttT

kt

T

ksenBdtt

T

kt

T

kA

dttT

kAdtt

T

ktx

k

k

T T

kk

TT

$


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's decir:T

Ak!

=

T

dttT

ktx

0

!cos"#

#+"

% en forma similar multiplicando #!" por

tT

k1!sin

o)tendremos

TBk!

=

T

dttT

k

tx0

!

sin"#

#2"

'n forma exponencial

dttT

kitx

Tc

T

k

=

0

!exp"#

$ #3"

donde


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puntos= peridica con periodo T= % que tanto "#tx como "#> tx sean continuas en el

intervalo [0,T]"= entonces se verifica que

[ ] [ ]=

++=N

k

kk

T

BAA

dttxT

$

!!!0

!

0 !"#

$ #$$"

/a energ&a promedio es la mismo en el espacio temporal que en el de las frecuencias.

Ejemplo: Supongamos una serie de valores medios mensuales #caudales, temperaturamedia, etc." so)re la que reali?amos promedios so)re todos los a;os para cada mes del a;o,555

nx#n=1,@,12

555

$xes el valor promedio para enero,

555

!xpara fe)rero, etc.". 's decir que

podemos o)tener una serie que represen te al ciclo anual con una longitud N=12 % un

intervalo t igual a un mes. T&picamente podemos representar el ciclo anual con al menosdos armnicas, que nos posi)ilite mostrar la falta de simetr&a entre invierno % verano:

+

+

+

+= nBnAnBnA

Ax nA! !

$!

!sin!

$!

!cos$

$!

!sin$

$!

!cos

! !!$$

0"#

'l t*rmino 0A representa el promedio anual #correspondiente a la armnica de frecuencia

cero", los t*rminos $A % $B representan la componente peridica con un per&odo igual a

$! meses #frecuencia fundamental"= mientras que los t*rminos !A % !B representan la

componente peridica con per&odo igual a 4 meses #primera armnica".

/os coeficientes !$!$0 ,,, ByBAAA pueden ser o)tenidos de acuerdo a #


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N

kt

T

ktkk

!!=== cu%a variacin es entre 0 %

9ote el lector que para el caso de la m8xima frecuencia detecta)lett

Ny =

=

!

!

tenemos que =Ny . 9ote tam)i*n el lector que a la frecuencia de 9%quist # =Ny " slo

el coseno puede ser detectado, el seno es invisi)leE. Blaramente la onda con un per&odot! estar8 po)remente representada. Ftras ondas cortas #con per&odos entre t! % t2

" estar8n tam)i*n distorsionadas para un muestreo a intervalos t . (or e-emplo, sitenemos datos dos veces por d&a, el ciclo diurno estar8 po)remente representado,

necesitaremos datos cuatro veces por d&a o m8s para representar adecuadamente el ciclo

diurno. 'n consecuencia es )astante frecuente el filtrar #suavi?ar" las series temporales para

que las altas frecuencias #no resolu)les" no est*n presentes.De forma introductoria para entender la respuesta de diferentes filtros temporales,

consideraremos algunos e-emplos so)re una serie temporal simple, consistente en una se;al

pura de una determinada frecuencia,N

kk

!= , longitud Ne intervalo de muestreo t .

's decir:

( )nictntN

ikctnxx kkkn

exp

!exp"# =

== #$!"

Geempla?aremos la serie temporal dada en #$!" por una nueva, filtrada de acuerdo alpromedio que se indica a continuacin

2

!

!!!

$ $$$$555

++ ++=

++

+== nnnnnnnnn

xxxxxxxxy #$+"

(ara entender la respuesta dada por el filtro #$+", aplicamos el mismo a la se;al dada por

#$!" en la forma

!

"cos#$

2

! "#"#

"#555

kn

iini

knn xee

ecxykk

k

+=++

==

#$2"

'ntonces la respuesta del filtro para cada frecuencia k #ver igura $", est8 dada por:

!

"#cos$"# k

n

n

kespx

y#

+== #$3"

igura $

2


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/a igura $ muestra "# kesp# dada por #$3", que suavi?a las altas frecuencias, eliminando

completamente la onda con per&odo tT = ! .Ftro e-emplo es el conocido filtro denominado de medias mvilesE o promedios

mvilesE. Sea el caso particular del filtro en el que promediamos cinco puntos, que

aplicamos a nuestra se;al dada por #$!"

3

"!#cos!"#cos!$

3

"!#cos!"#cos!$

3

$

3

"#

"!#"#"#"!#"#

!$$!

5555

"3#

kk

n

kkni

k

iiiini

k

nnnnn

nn

xec

eeeeec

xxxxxxy

k

kkkk

k

++=

++=

=++++

=

=++++==

++

#$4"

's decir que la respuesta del filtro para cada frecuencia k es #ver igura !":

3

"!#cos!"#cos!$"# kk

n

n

kesp x

y#

++==

#$6"Heamos un poco m8s formalmente como se introduce la teor&a de filtros en series digitales.

'l filtrado digital transforma una funcin temporal "#tx #se;al de entrada" definida en el

intervalo ",# , en una se;al de filtrada de salida "#ty en la forma:

= >">#">#"# dtttxt$ty #$"

igura !

en donde "#t$ es la funcin de pesos o funcin de filtro que opera so)re "#tx . 'l efecto

de la accin del filtrado so)re los datos de entrada es me-or o)servado en el dominio de las

frecuencias.

Sea "#% la transformada de ourier de la funcin de peso "#t$ :

dttit$% "exp#"#"# =

#$


6/18

donde es la frecuencia .

/a relacin entre el espectro de potencia de la se;al de entrada, que denominaremos "#&

% el espectro de potencia de la se;al de salida que denominaremos "#' , ser8 entonces"#"#"#

! &%' = #!$"

donde "#"#"# I!

%%% = es denominada la entana espectral#la estrella #I" indica el

comple-o con-ugado de "#% ". Bomo por lo general "#% es una funcin comple-a de , tendremos que

"#"#"# )# %i%% += #!!"donde "#"# )# %y% son funciones reales de . 'n algunas circunstancias es 7til

definir "#% en t*rminos de su amplitud % del corrimiento de fase. 'sto es:

"exp#"#"# i%% = #!+"

donde la amplitud #respuesta del filtro" se define como

[ ] !$!! "#"#"# )# %%% += #!2"% el corrimiento de fase , para cada frecuencia , como:

"]#"#[$

#) %%t* =

#!3"

Si "#t$ representa un filtro reali?a)le f&sicamente #mediante un dispositivo tal como uncircuito", entonces el mismo ser8 un filtro denominado oneJside, es decir, que slo act7a

so)re la se;al en el rango ",# t . 'l mismo no puede actuar so)re la se;al en el futuro,es decir para tt >> . 'ntonces para un filtro f&sicamente reali?a)le "#% ser8necesariamente comple-a % tendr8 un corrimiento de fase noJnulo.

(or el contrario si "#t$ no representa un filtro reali?a)le f&sicamente, pero si es un filtro

computacional, entonces el mismo puede operar so)re am)as partes del pasadoE % el

futuroE en cualquier instante de "#tx . (or lo tanto "#t$ puede ser sim*trica o antiJ

sim*trica alrededor de 0=t . S i "#t$ es sim*trica alrededor de t=0 # "#"# t$t$ = "entonces el corrimiento de fase es nulo= esto implica que "#% es real.

(or e-emplo:

a)J Sea el caso de un filtro promedio reali?a)le f&sicamente.

'ste ser8 el caso de un filtro oneJside cu%o se;al se promedia so)re un intervalo de tiempo

0t . (ara este filtro

=

=

(alorotrocual+uierpara

ttt

t$A

0

0$

"# 00 #!4"

Sustitu%endo "#t$ por #!4" en la ecuacin #$


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o

=

=

"!.#

"!.#

"!.sin#"#

0

0

0

t

t

t%

A

A

#!"

ientras que la ventana espectral es

!0

0

!!

"!#

"!#sin"#

t

t%A

= #!>t son fuertemente atenuadas en comparacin con las )a-as frecuencias"$# 0


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=

=

(alorotrocual+uierpara

tttt

t$A

0

!.!.$

"# 000 #+0"

/levando a ca)o la integracin de #$


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tiene una pendiente m8s a)rupta que el filtro promedio. /a frecuencia para la cual la

amplitud es !$"# =t%/ corresponde a

0!.$

t $.6!2

igura 2d)- iltro Laussiano #computacional"inalmente consideremos otro filtro computacional del tipo pasa-a.os, que se denomina

filtro Laussiano.

"!

#exp!

$"#

!

0

!

!

0t

t

tt$0 =

#+


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igura 3

Algunos filtros Ideales

'n la pr8ctica se priori?a la forma de la funcin de respuesta % entonces se determinan la

funcin de peso, donde la principal limitante es el n7mero de estos 7ltimos #n7mero depesos" con respecto a la longitud de la serie que se desea filtrar.

(or e-emplo, el filtropasa-a.os ideal, puede definirse como aquel, que con una respuesta

espectral #amplitud " lo m8s aguda posi)le #similar a un escaln", permite, sin corrimiento

de fase, que todas las frecuencias por de)a-o de una determinada frecuencia de corte c

pasen sin cam)io= mientras que todas las c> son removidas. (or lo tanto el filtropasa-a.os idealno puede ser un filtro f&sicamente reali?a)le, de)er8 ser computacional. /osfiltros ideales % en general todos los filtros, son m8s f8ciles de especificar en el dominio de

las frecuencias, que en el temporal. 's decir, que especificamos cual es el comportamiento

que deseamos para "#% , % posteriormente utili?ando la definicin de "#% como

transformada de ourier de "#t$ #$


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12/18

'xisten dos pro)lemas fundamentales cuando queremos aplicar las funciones de los filtros

ideales al caso de series discretas.

!- /as funciones esta)an definidas para todo t en ",# , pero eran conocidas7nicamente dentro de un rango finito de t "!,!# TT"!- Sin em)argo al tener una serie digitali?ada las funciones ahora no son conocidas para

todo valor de t en el rango "!,!# TT = solamente a intervalos t . 's decir.,$,...,!,$,0,$,!.....,,$,",# NNNNnparatnx = 9ote el lector que!TtN = .

Bonsideremos el c8lculo de la ecuacin #$", donde suponemos que aproximamos la

integral por una sumatoria

ttmtnxtm$tnyN

Nm

= =

"#"#"#

#3+"Supongamos que $=n . 'ntonces cuando Nm = , el t*rmino de la derecha en #3+" es ]"$[#"# tNxtN$ +pero ]"$[# tNx + es desconocido= pues slo conocemos "# tnx hasta Nn= ./a solucin a este pro)lema es el truncar "#tx para 00 Tt2Tt . 's decir queesta)lecemos una "#tx igual a la "#tx Jidealen el intervalo ",# 00 TT e igual a cerofuera de *l. 'ntonces elegimos 0T tal que

entero3con3t

T=

0 #32"

por simplicidad./a aproximacin para el filtro ser8 entonces

=

=3

3m

mnmn xay

#33"donde

"#

]"[#

"#

tm$ta

tmnxx

tnyy

m

mn

n

#34"

'ligiendo un $apropiado para un filtropasa-a.o, unpasaaltoo unpasa-andapodemos

generar los { }ma #pesos" que nos aproximaran al filtropasa-a.o,pasaaltoo pasa-andaideal4De)emos se;alar que los { }ma solamente generaran una aproximacin al filtro ideal,%a serian necesarios un n7mero infinito de pesos para o)tener una exacta reali?acin de un

filtro digital ideal.

/a pregunta que surge es la siguiente: NBu8n aproximadamente nos acerca un dado

con-unto de pesos al filtro idealO

Sea "#3% una aproximacin de la funcin de filtro, en el dominio de las frecuencias,

generada por un con-unto de "$!# +3 pesos { }ma en el dominio temporal. (odemoscalcular "#

3% tomando la ecuacin #$


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{ }

=

==

+=

===

3

3m

m

3

3m

3

3m

3

tmitma

tmittm$ttmitm$%

"#sin[]#cos[

"exp#]"#["exp#"#"#

#36"

Heamos a continuacin la reali?acin digital de los diferentes filtros ideales comentadosanteriormente

a)- Filtropasa-bajos

'l filtropasa-a.os ideal, con una frecuencia de corte c , esta)a dado por la #26"

t

tt$ c1

"#sin"# = (56)

Dada una serie con intervalo de muestreo t , los correspondientes pesos para dicho filtro,

estar8n dados por

c

c

m

a

mtm

tma

=

=

0

0"sin#

#3"

De acuerdo a la #36"

"]#cos["sin#

!"#$

0 =

+=3

m

c3

tmm

tma%

#3"

/a igura 4 muestra "# t%3

1 , para una frecuencia de corte


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Filtro pasa-bajos

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5frecuencias (nDt)

Pesos=2M+1=5Pesos=2M+1=15

Pesos=2M+1=21

Pesos=2M+1=41

igura 4

/os resultados para "# t% 3

71 muestran en la igura 6, donde se perci)e la disminucindelfenmeno de i--s.

b)- Filtropasa-altos

'l filtropasaaltos ideal, para una frecuencia de corte c esta)a dado por la #30"

t

ttt$ c% "#sin"#"# = (80)

'sto puede ser interpretado seg7n la #$" como

>"#>

">sin#"#>">#">#"# > dtttx

t

ttxdtttxt$ty c% ==

#4$"

/a #4$" significa que la funcin filtrada por elpasaaltosconsiste en la funcin original

menos la funcin filtrada por un pasa-a.os#ver ecuacin #26"". /os pesos para elfiltropasaaltosser8n

c

cm

a

mpara

m

mta

=

=

$

0"sin#

0

#4!"

mientras que los pesos suavi?ados tomar8n la forma

mm a3

mc

= $ #4+"

$2


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Filtro pasa-bajos suai!a"o

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5frecuencias # nDt $

Pesos=2M+1=5

Pesos=2M+1=15

Pesos=2M+1=21

Pesos=2M+1=41

igura 6

c)- Elfiltro pasa-banda

'lfiltro pasa-andacentrado en la frecuencia c % con un ancho de )anda $! est8 dado

por la #3!"

"cos#"sin#!

"# 0$ t

t

tt$B

= (82)

'n consecuencia los pesos del filtro estar8n dados por

$0

$

!

0"cos#"sin#

!

(a

mparamtt

mta cm

=

=

#42"

% los pesos suavi?ados como

mm a3

mc

= $ #43"

(or otra parte

"]#cos["#cos"sin#2"#$

$0

=

+= 3m

c

3

B tmmttmtmat%

#44"

/a igura muestra la respuesta del filtro pasa-anda con !.$=tc % un ancho de)anda $! con 3.0$ =t % $=t = utili?ando los pesos mm cya para un n7merototal de pesos 3$$! =+3 .

$3


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Filtro pasa-ban"a

#%&'ero total "e pesos=2M+1=51$

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.(

0.8

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5Frecuencias #nDt $

)in suai!ar

)uai!a"os

igura

Filtro de #anczos

igura

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