SERIES UNIFORMES

1. CONCEPTOS BÁSICOS

Las series uniformes son conjuntos de pagos o cuotas iguales efectuados a intervalos iguales de pago. Las series uniformes deben tener dos condiciones necesarias: pagos o cuotas iguales, efectuados con la misma periodicidad.

Valor presente, P: El valor presente de una serie uniforme equivale a un pago único ahora, el cual es equivalente a N cuotas o pagos de valor R cada uno efectuado al principio o al final de cada intervalo de pago. Si los pagos ocurren al final de cada intervalo de pago se llama la serie, serie uniforme ordinaria o vencida y si ocurren al principio de cada intervalo, serie uniforme anticipada o debida.

Tasa de interés periódica, i: A cada intervalo de pago le corresponde una tasa de interés. Es la misma tasa periódica de enteres a la cual nos hemos referido en los temas anteriores.

Valor de los pagos o cuotas iguales, R: La característica de las series uniformes es la ocurrencia de los pagos iguales en cada intervalo de pago.

Numero de cuotas o pagos iguales durante el plazo o termino de la serie uniforme, N: En el esquema de los pagos únicos de valor presente y valor futuro, N se refiere a los periodos de conversión. En las series uniformes, N hace alusión al numero de pagos o cuotas iguales.

Valor futuro, F: Constituye un pago único futuro al final del plazo de la serie y el cual es equivalente a las N cuotas o pagos que ocurren en cada intervalo de pago.

6.2 FORMA GENERAL DE LA SERIE UNIFORME ORDINARIA

En el siguiente diagrama de flujo de caja representaremos los conceptos básicos y fundamentales para el estudio de la serie uniforme, en la cual los pagos ocurren al final de cada intervalo por ser ordinaria o vencida.

 

3. VALOR PRESENTE DE LA SERIE UNIFORME ORDINARIA

Ya se definió el valor presente como un pago único de valor P que esta precisamente en el momento 0, exactamente un periodo antes de que ocurra el primer pago de valor R y el cual es equivalente a los N pagos o cuotas.

Para hallar el valor presente se debe establecer una ecuación de valor con fecha focal 0 por facilidad, aunque podría haberse escogido cualquiera y el resultado seria exactamente el mismo.

P= R(1+i)-1+………………………..+R(1+i)-n.

Si factorizamos el valor de R, tenemos que:

P= R((1+i)-1+…………………………(1+i)-n)

La expresión entre los paréntesis, constituye una suma de los términos de una progresión geométrica de la siguiente forma:

Suma = a + ar +ar2 + ar3 + .... + arN-1

En donde

a = Primer término

r = razón de la progresión 

N = Número de términos

En nuestra suma a = (1+i)-1 y r = (1 + i)-1 Además tenemos N términos. Si reemplazamos en la ecuación de valor:

Simplificando:

Esta fórmula sirve para hallar el valor presente de una serie uniforme.

NOTA: Hay que tener presente en esta fórmula que tanto R, i y N deben estar expresados para el mismo período de tiempo.

6.4 VALOR FUTURO DE LA SERIE UNIFORME ORDINARIA

El valor futuro de la serie uniforme ordinaria es un pago único futuro, el cual está ubicado al final del plazo o termino de la serie, exactamente donde ocurre el último pago y además es equivalente a las N cuotas de valor R cada una y situadas al final de cada intervalo de pago.

Para determinar el valor futuro F, se establece una ecuación de valor con fecha focal N, por facilidad, de la siguiente forma:

F = R + R (1+i) + R(1+i)2 + ... + R(1+i)N-1

Factorizamos R:

La suma de los términos dentro del corchete, conforman otra progresión geométrica donde a = 1, r = (1+i) y tiene N términos. 

Reemplazando en la ecuación de valor:

Simplificando:

Esta fórmula sirve para hallar el valor futuro de la serie uniforme ordinaria.

6.5 EQUIVALENCIA ENTRE EL VALOR PRESENTE Y EL VALOR FUTURO DE UNA SERIE UNIFORME ORDINARIA

Si se tiene que el valor presente P de una serie uniforme es equivalente a las N cuotas o pagos de valor R y si el valor futuro F es equivalente a la misma serie uniforme de cuotas, concluimos entonces que el valor presente y el valor futuro de la serie uniforme son equivalentes entre sí.

Demostremos la anterior afirmación. Si tenemos que:

De P despejamos R: 

Reemplazamos el valor de R en F:.

Simplificando:

F = P (1+i)N

F = P(1+i)N : Es la expresión que demuestra la equivalencia entre el valor presente y el valor futuro de la serie uniforme ordinaria.

Nota: En todos los sistemas de amortización equivalentes de pago, ocurre la equivalencia entre el valor presente y el valor futuro. Esto significa, que independientemente cómo se amortice una deuda, el valor presente de los pagos debe ser igual a P y el valor futuro de esos mismos pagos igual a F. Lo anterior ya lo mencionamos y más adelante también lo enfatizaremos.

ILUSTRACIÓN DEL CONCEPTO DE SERIE UNIFORME ORDINARIA

A continuación, ilustraremos a través de un ejercicio todas las posibles preguntas o dudas que puedan surgir en la comprensión del esquema de series uniformes.

Ejemplo.

Supongamos un préstamo para adquirir vivienda (estimaremos todas las preguntas para cada millón de pesos), contratado a una tasa nominal del 24% mes vencida, para ser amortizado en cuotas mensuales iguales vencidas y durante un plazo de 15 años.

* 1. Determinar el valor de las cuotas mensuales iguales:

Despejamos el valor de la cuota de la ecuación para hallar el valor presente:

R = $20.582.74

1 millón de pesos ahora, equivale a 180 cuotas mensuales iguales y vencidas de $20.582.74 cada una.

* 2. Determinar contenido de interés y amortización a capital de cada una de las cuotas. Plan de pagos.

Para hallar el plan de pagos. Elaboramos una tabla de amortización, como se ilustra a continuación

Para hallar por ejemplo, el contenido de interés de la primera cuota se calculó los intereses devengados por la deuda inicial a una tasa periódica mensual del 2% y el contenido de amortización, estableciendo la diferencia entre el valor de la cuota y el monto de los intereses. El saldo adeudado después de pagar esta cuota, simplemente se le resta al saldo anterior el contenido de amortización y así sucesivamente. Es bueno resaltar, que los intereses se calculan sobre el saldo anterior.

A continuación haremos una tabla de amortización genérica, que la explique y que permita elaborarla en una hoja de cálculo.

La tabla se explica por si sola, pero es pertinente aclarar algunos elementos en ella:Hemos denominado por K cualquier cuota, entre la primera y la ultima.Ik= Contenido de interés de la cuota K.Ak= Contenido de amortización a capital de la cuota K.Pk= Saldo adeudado inmediatamente después de pagar la cuota K.PN= Saldo adeudado inmediatamente después de pagar la ultima cuota, la N. El valor de PN debe ser igual a cero, para cumplir con la condición necesaria de los sistemas de amortización equivalentes de pago.

Si se observa las anteriores tablas, se deduce que el monto de los intereses siempre desciende, el del capital asciende y esto siempre sucederá en las series uniformes.

∑(sumatoria) de capital: Si se establece la suma de la columna del contenido de amortización, esta siempre deberá ser igual a P, el valor del préstamo. Por lo tanto, ?A=P. Otra condición necesaria del sistema de amortización equivalente de pago.

∑intereses:La suma de los intereses pagados en las N cuotas de valor R, corresponde a la suma de las N cuotas de valor R menos lo que se ha destinado a cancelar totalmente el préstamo que es P. Por lo tanto, ?I=R*N-P. No nos preocupemos por la cantidad, a veces asombrosa, de los intereses pagados, porque debemos recordar que la forma como se amortice el crédito no afecta la tasa. 

En un sistema de amortización puede que paguemos mas intereses que otro o lo contrario, pues el monto de los intereses se ve afectado por lo rápido o lento del sistema de

amortización escogido. Naturalmente, si la amortización a capital es lenta la suma de los intereses es mayor y si la amortización es rápida el monto de estos es menor.

La razón valida para la escogencia del sistema de amortización, depende de la aceptación de la tasa de interés, del flujo de caja o tesorería y de las condiciones de pago de la entidad de crédito. Mas adelante, en la evaluación de alternativas de inversión, veremos como también la tasa de interés de oportunidad afectara la decisión en la escogencia del sistema de amortización. Por ahora digamos, que si el interés de oportunidad es alto (mayor que la tasa del crédito) es preferible escoger un sistema en el cual la amortización a capital sea lenta, para tener entonces la oportunidad de invertir a una tasa alta y lógicamente no invertir a una tasa menor aunque el monto de los intereses sean relativamente mas altos. En casi todos los casos, se toma de decisión de endeudarse, cuando la alternativa de inversión identificada obtenga una tasa mayor de rendimiento.

* 3. Hallar el valor futuro de las cuotas:

El valor futuro de las 180 cuotas de R = 20.582,74. corresponde a un pago único futuro de valor F, el cual se determina con la ecuación del valor futuro de la serie uniforme.

Este valor es un pago único futuro, que equivale a los 180 pagos de valor R cada uno. Se puede interpretar, como el valor a pagar al final del plazo N, en este caso al final del mes 180, si no efectúan los aludidos pagos. Naturalmente, no habrá ninguna entidad de crédito que permita pagar el crédito únicamente con un pago único futuro, pero este concepto permite, teóricamente, demostrar las equivalencias de los sistemas de amortización, en donde estos deberán tener siempre como frontera superior este pago único futuro.

Ya demostramos la equivalencia entre el valor presente y el valor futuro de la serie uniforme y concluimos que

F = P*(1+i)N. 

Comprobemos la equivalencia con nuestro ejemplo que estamos realizando:

Si hayamos el valor futuro del préstamo de $1 millón, encontraremos que es equivalente a $35.320.831.36. Este pago único futuro, contiene la amortización a capital de $1 millón y la diferencia son los intereses máximos posibles, sin importar el sistema con el cual se amortice el crédito, de $34.320.831.36. Por lo tanto es una falacia, suponer que el número de veces que se paga el crédito es oneroso, lo que definitivamente conduce a la decisión es la tasa de interés y el flujo de caja y en ningún evento la suma de los intereses. Sobre este tema habrá oportunidad mas adelante de profundizar.

* 4. Determinar el contenido de interés y amortización a capital comprendido entre la cuota numero 1 y la cuota número 180.

El contenido de amortización a capital, como ya se menciono es el valor total del préstamo, en este caso P = 1.000.000. 

Además porque es un sistema de amortización equivalente de pago, en el cual al cancelar todas los pagos se extingue totalmente la deuda. También se pudo determinar así:

∑Capital (1..180) = P0 - P180 = 1.000.000-0 = 1.000.000

La sumatoria de capital comprendida entre la cuota 1 (la primera) y la 180 (la ultima), corresponde a la diferencia entre el saldo adeudado a capital inicialmente y el saldo adeudado después de cancelar la ultima cuota, que es exactamente igual a cero.

El contenido de intereses comprendido entre la primera y la ultima es igual a la suma del valor de las 180 cuotas menos el valor amortizado por concepto de amortización a capital.

Lo anterior lo podemos generalizar así:

∑ Interés (1..N)= N*R- Capital(1..N).

∑ Intereses(1..180)= 180*20.582.74-1.000.000= $2.704.887.32.

Cuando efectuamos la amortización en serie uniforme se pagaron $2704.887.32 por concepto de intereses y cuando definimos la frontera superior de los sistemas de amortización equivalentes, se cancela $34.320.831.36 por concepto de interés. Lo anterior no es motivo de alegría ni de terror, simplemente son sistemas equivalentes en los cuales, en uno se amortiza capital relativamente rápido y en el otro ocurre muy tarde. La sugerencia cuando el monto de los intereses preocupan es comprar de contado, no endeudarse, pero se requiere disponer del dinero y además a veces conduce a decisiones erradas.

* 5. Determinar el saldo adeudado después de pagar la cuota 100.

En este caso se desea hallar el saldo adeudado después de pagar cualquier cuota, que para nuestra ilustración es el correspondiente a la cuota 100. Llamaremos Pk= El saldo adeudado inmediatamente después de pagar la cuota K. Pk será el valor presente de las cuotas que aun faltan por pagar y como se han cancelado K cuotas, las que hacen falta por pagar son N-K cuotas.

Veámoslo en diagrama de flujo de caja:

De la ecuación de valor presente de la serie uniforme y análogamente se pueden establecer:

También el valor de la PK se puede determinar de la siguiente forma:

Realmente se ha establecido una ecuación de valor, con fecha focal en K, en donde: Po (1+i)K: Es el valor futuro del préstamo inicial en el período K. Sería el valor adeudado si no se hubiera efectuado el pago de ninguna cuota.

Corresponde al valor futuro de las K cuotas que ya han sido canceladas.

Por lo tanto el saldo adeudado PK, es la diferencia entre lo que se debiera y lo efectivamente pagado.

* 6. Determinar el contenido de amortización a capital e interés comprendido entre las primeras doce, entre las siguientes doce y así sucesivamente hasta las ultimas doce cuotas:

Por analogía con lo calculado anteriormente, se puede determinar así:

∑ Capital(1..12)= P0-P12 ∑Intereses(1.:.12)=12* R-∑Capital(1..12).

∑ Capital(13..24)= P12-P24 ∑Intereses(13..24)=12* R-∑Capital(13..24).

∑ Capital(25..36)= P24-P36 ∑Intereses(25..26)=12* R-∑Capital(25..36).

Y así sucesivamente hasta las ultimas doce cuotas:

∑ Capital(169..180)=P168-P180, Intereses(169..180)=12*R-∑Capital(169..180)

Si se establece la suma de todos los contenidos de amortización a capital deberá ascender al valor de P = 1.000.000. La suma de los contenidos de intereses la misma cantidad hallada anteriormente de $2.704.887.32.

* 7. Determinar el contenido de amortización a capital e intereses contenidos entre las cuotas, por ejemplo, 70 y 120.

Este ejercicio es similar al anterior, solamente esperamos que análogamente se pueda resolver muy fácilmente.

∑ Capital(70..120)=P69-P120.

No podríamos haber seleccionado P70, porque estaríamos excluyendo el contenido de capital de la cuota 70 y por lo tanto sería un error.

∑Intereses(70..120)=51* R-?Capital(70..120).

No hay que olvidar que entre 50 y 120 hay 51 cuotas.

* 8. Hallar el contenido de capital e intereses de solamente una sola cuota, por ejemplo de la cuota 100.

En este caso se quiere determinar el contenido de capital e intereses de la cuota K, cualquier cuota.Observando la tabla de amortización, se deduce que:

Ak=Pk-1-Pk.

Ak es el contenido de amortización a capital de la cuota K

PK-1 Por analogía con PK:

Factorizando y simplificando:

Como todas las cuotas o pagos contienen capital e intereses:

IK es el contenido de interés de la cuota K. Por lo tanto, en nuestro ejercicio propuesto: 

* 9. Para amortizar el préstamo de la ilustración, adicionalmente a la serie uniforme, se desea efectuar abonos extras uniformes. Al final de cada semestre se desea pagar, por ejemplo $50.000, adicional a los pagos mensuales uniformes.

El diagrama de flujo de caja, sería el siguiente:

El préstamo realmente se cancelará con dos series uniformes: una serie de pagos ordinarios mensuales y la otra con pagos uniformes semestrales extraordinarios.

Definamos algunos conceptos: 

P = Valor presente del préstamo

R = Valor de cada uno de los pagos iguales mensuales ordinarios

i = Tasa de interés periódica correspondiente a los pagos ordinarios de valor R

N = Número total de pagos ordinarios

B = Valor de cada uno de los pagos iguales semestrales extraordinarios.

IB = Tasa de interés periódica correspondiente a los pagos extraordinarios de valor B.

M = Número total de pagos extraordinarios

Para hallar la solución, se establece una ecuación de valor, con fecha focal 0: 

De nuestro ejemplo, se conocen todas las variables excepto el valor R, el cual se despeja de la anterior ecuación:

P = 1.000.000 

R = ?

B = 50.000

i = 2% Mensual 

N = 180 pagos mensuales

M = 30 pagos semestrales en 15 años

R = 12.656.45

El anterior resultado, indica que el préstamo se cancela con cuotas mensuales iguales de $12.656.45 durante los 15 años y al final de cada semestre y durante los 15 años se cancelan adicionalmente $50.000.

El valor presente de ambas series uniformes, la mensual y la semestral en este caso, debe ser de $1.000.000 valor del préstamo inicial y el valor futuro debe ascender a la suma de $35.320.831,36. Lo anterior obedece a las condiciones de los sistemas de amortización equivalentes de pago, en donde el valor presente y el valor futuro deben ser equivalentes.

La ecuación anterior, permite estimar también el pago ordinario a realizar, conociendo el valor de los abonos extraordinarios. En cualquiera de los posibles eventos en los cuales se aplique la anterior ecuación, la equivalencia entre el valor presente y el valor futuro se dará, lo que cambiara será el monto de los intereses pagado tal como se ha indicado.

* 10. Similar al caso anterior, pero supóngase que en vez de efectuar abonos extras semestrales, precisamente el pago al final de cada semestre sea de $50.000.

El diagrama de flujo de caja, de la situación planteada es el siguiente:

Para aplicar la ecuación enunciada en el caso 9, descomponemos el flujo de caja anterior en la suma de dos series uniformes: una serie corresponde a la de N pagos ordinarios iguales de valor R cada uno y la otra serie de los M pagos extraordinarios iguales de valor B-R. la serie de los pagos extras es de B-R, porque a la serie de los pagos ordinarios se le agregó el pago R, exactamente donde ocurre el pago B-R y como B-R+R = B, entonces queda el pago B como se había enunciado.

La ecuación del valor presente se puede definir en este caso así:

R = 15.040.80

Todos los meses se deben cancelar la suma de 15.040.80 y al final de cada semestre la suma de $50.000. este es el otro sistema de amortización en donde el valor presente y el valor futuro son equivalentes.

* 11. El préstamo con el cual se ha venido trabajando se desea cancelar en cuotas iguales uniformes, pero con abonos extraordinarios programados pero de diferente valor y que ocurren en periodos no uniformes. Por ejemplo, supóngase que se desea seguir cancelando con cuotas mensuales iguales durante el plazo convenido, pero con abonos extras predeterminados de $200.000 al final del año 4 y de $150.000 al final del décimo año.

Para la solución del caso, como ha sido la regla general, se elabora el diagrama de flujo de caja y luego se establece la ecuación de valor.

Diagrama de flujo de caja:

En el flujo de caja se trató de representar la forma general y denominando: K1 = el período donde ocurre el primer abono 

AE1 = El valor del primer abono extra 

K2 = El período donde ocurre el 2° abono.

AE2 = El valor del segundo abono extra.

Se pueden generalizar los abonos extras, siguiendo la nomenclatura elegida si se desea.Ecuación de valor: por facilidad se escoge como fecha focal en 0.

R = $18.704.74

El valor de la cuota mensual es de $18.704.74 realizando adicionalmente los abonos pactados. Este es otro ejemplo de un sistema de amortización equivalente de pago, como los anteriores, donde obligatoriamente la equivalencia entre valor presente y el valor futuro de las cuotas o pagos se tiene que dar.

* 12. A veces, es frecuente realizar abonos a la deuda, con pagos no programados inicialmente. En este ejemplo, supóngase que se realiza un pago extra no pactado previamente por la suma de $200.000, conjuntamente con la cuota numero 100.

Cuando ocurre este evento hay dos alternativas: a) Aplicar el valor pagado a reducir el valor de las cuotas, pero continuar con el número de cuotas convenidas previamente. b) destinar el valor del pago extra a reducir el número de cuotas que aun quedarían faltando.

De todas maneras, hay necesidad primero de definir si se efectúa el pago adicional. Considero trivialmente, que si el interés de oportunidad es mayor que la tasa del crédito no se debe efectuar el pago y en este caso seria mas atractivo invertir a una tasa más alta que a una tasa menor, como seria invertir cancelando la deuda.

Resolvamos la primera alternativa: Reducir el valor de las cuotas.

Se necesita determinar el saldo adeudado después de pagar la cuota 100, es un valor de Pk.

Al valor adeudado después de pagar la cuota 100 de $818.049.79, se le resta el valor del pago extra de $200.000 y se conforma un valor presente ahora, de P = 618.079.78 para ser amortizado en 80 cuotas iguales, las que aún hacen falta del plazo fijado, de valor R cada una a la tasa periódica i = 2% mensual.

R = 15.550.57

En resumen, el crédito por $1 millón se cancela con 100 cuotas de $20.582.74, un abono extra de $200.000 al final del mes 100 y con 80 cuotas adicionales de $15.550.57 mensuales iguales hasta el final del mes 180. A continuación se ilustra en un flujo de caja.

Este es otro caso más de los sistemas de amortización equivalentes de pago.

Ahora solucionemos la segunda alternativa: Reducir el número de cuotas faltantes, pagando la misma cuota calculada inicialmente sin considerar el pago adicional.

Para encontrar la solución, es necesario determinar la formula para hallar de numero de pagos N, conocidos los valores del valor presente P, de la tasa de interés i y del valor del pago uniforme R

Volvamos a nuestro ejercicio de ilustración: 

P = P100 = 618.049.78

R = 20.582.74 mensual

i = 2% mensual

El anterior resultado no tiene sentido. Por la definición de serie uniforme, pagos iguales efectuados a intervalos iguales de pago, el valor del numero de pagos N, debe ser un numero entero. A continuación, en otro ejercicio, solucionaremos el conflicto, por ahora aproximemos el resultado a 46 cuotas mensuales faltantes de $20.582.74 iguales para cancelar completamente el préstamo del millón de pesos. El plazo inicial se ha reducido en 34 cuotas, el resultado de la diferencia entre las 80 cuotas faltantes después de efectuar el abono de $200.000 y las 46 cuotas que aun se deben.

Las dos alternativas diseñadas son equivalentes. El valor presente P de ambas es de $1 millón, pero si queremos demostrar la equivalencia del valor futuro F, el flujo de caja de la segunda alternativa debe ser trasladado al final del plazo, mes 180, para que sean comparables siempre en la misma fecha. Recordemos que estamos trabajando con un supuesto, puede ser errado o ilógico pero será lo que tendremos que demostrar y es que la reinversion siempre se realiza a la misma tasa de interés.

Hemos realizado la solución a eventos relativamente comunes en las series uniformes ordinarias, a través de un ejercicio ilustración. En otros capítulos de este documento lo retomaremos. A continuación enfatizaremos en la solución de otras variables y temas de las series uniformes ordinarias.

7 DETERMINACIÓN DEL NUMERO DE PAGOS O CUOTAS N, EN UNA SERIE UNIFORME ORDINARIA

En una serie uniforme, siempre N debe ser numero entero. Comúnmente este valor es decimal y por lo tanto debemos solucionar el conflicto. Veámoslo con un ejemplo:

Un crédito por la suma de $1 millón, se desea cancelar con cuotas mensuales iguales de $200.000 cada una. Si la tasa de interés es del 36% nominal mes vencido, determinar el número de cuotas que cancela este crédito.

Hallamos el valor de N, con la ecuación vista anteriormente:

P = $1.000.000 R = $200.000 mensuales i = 3% mensual. N = 5.50 pagos mensuales.

Esta no es una solución adecuada para una serie uniforme. La respuesta decimal induce a concluir que si solamente se efectúan 5 pagos de $200.000 no se alcanza a pagar la totalidad adeudada, pero si se realizan 6 pagos iguales de este valor, la cantidad pagada excede lo adeudado.

Se sugieren dos alternativas de solución:

a) Efectuar 5 pagos iguales de $200.000 cada uno y el saldo adeudado todavía, cancelarlo conjuntamente con el ultimo pago.

b) Realizar 5 pagos iguales de $200.000 cada uno y otro pago por el saldo que aun se adeuda al final del siguiente periodo.

Solución a). Veámosla en un diagrama de flujo de caja:

Hemos denominado el saldo a realizar conjuntamente con el último pago S5. Para calcular este valor debemos de establecer una ecuación de valor.

Con fecha local en el período 0:

Aprovechemos la oportunidad y recordemos que en la ecuación de valor, independientemente de la fecha local elegida, el resultado siempre será el mismo.

Con fecha focal en el período 5:

Al despejar S5 :

S5 = $97.446.91

El valor de $97.446.91 será la cantidad que se debe cancelar con el último pago de la serie uniforme de $200.000 para extinguir totalmente la deuda.

Comprobemos el cálculo anterior, a través de la tabla de amortización:

 

Conociendo el resultado del saldo al final del período 5, simplemente lo podríamos trasladar al período 6, multiplicando por el factor (1+0.03).

S6 = S5 (1+0.03) = 97.446.91 (1+0.03) ) $100.370.92

8. DETERMINACIÓN DE LA TASA DE INTERÉS i, EN UNA SERIE UNIFORME ORDINARIA

Conocidos los valores de P, R y N deseamos calcular la tasa de interés periódica cobrada en el crédito.

De la ecuación del valor presente de la serie uniforme: P= R*[(1-(1+i) -n)/i], se conocen los valores de P, N, R y se desea establecer el valor de i que satisface esta ecuación. Analíticamente es imposible, por lo cual debemos de efectuar un proceso iterativo que nos acerque a la solución. Pero lo anterior no es necesario y es preferible acudir a una calculadora financiera o una hoja electrónica.

Ejemplo.

Un crédito a 3 años, debe ser cancelado en cuotas mensuales iguales de $40.000 por cada millón. Determinar la tasa de interés efectiva anual.

De la ecuación del valor presente de la serie uniforme, en donde:

P= 1.000.000, N= 36 y R = 40.000 calculamos la tasa de interés periódica, la cual es i=2.12% mensual. La tasa periódica resultante esta referida al periodo mensual, ya que los pagos ocurren cada mes. Para calcular la tasa efectiva, debemos de aplicar la ecuación: ie=(1+ip)p-1. En el ejemplo la tasa efectiva es del 28.64% anual.

Ejemplo.

En Colombia, en algunos establecimientos es usual la existencia de dos precios para los artículos: el precio a crédito y el precio de contado.

Una propaganda exhibía mas o menos el siguiente mensaje: adquiera el articulo, sin financiación. El objeto vale $70.000, desembolse hoy $10.000 de cuota inicial y cancele 6 cuotas mensuales por este mismo valor. Pero si lo adquiere de contado se le otorga un descuento del 25%, para un valor neto de $52.500.

La pregunta obvia es si se estará pagando financiación cuando se adquiere a crédito. El establecimiento comercial presta dos servicios en el evento de vender a crédito, por un lado la actividad comercial y por otro la actividad de financiación. Cuando se acude a la entidad bancaria en búsqueda de crédito, se solicita $52.500 para adquirir el artículo, pero si esta exige un pago inmediato de $10.000, realmente el préstamo es de $42.500 que se debe cancelar con 6 cuotas mensuales iguales de $10.000 cada una. Por lo tanto calculemos la tasa de interés periódica mensual y la tasa efectiva anual equivalente.

De la ecuación del valor presente de la serie uniforme:

P=$42.500, N=6, R=10.000.

ip=10.84% mensual; ie= 243.87% efectiva anual.

9 UNIDAD DE VALOR REAL U.V.R.: SISTEMA DE AMORTIZACIÓN EN SERIE UNIFORME ORDINARIA

Uno de los sistemas actualmente vigentes para amortización de crédito hipotecario en la adquisición de vivienda en Colombia, es en serie uniforme ordinaria, cuotas iguales, en U.V.R. Veamos esta aplicación de la serie con un ejercicio practico.

Ejemplo.

Calcular el valor de las cuotas iguales (serie uniforme) en UVR y en pesos por cada millón, de un crédito hipotecario contratado a 15 años y a una tasa de interés del 14% y suponiendo tasa de inflación del 10% anual.

El sistema de crédito hipotecario, internamente solo conoce la existencia de U.V.R, por lo tanto, debemos de convertir el crédito en U.V.R, de acuerdo a la cotización de la unidad en el momento del desembolso. Para nuestro ejemplo, supongamos que el valor sea de $120 y así podemos estimar el valor presente del préstamo en unidades UVR (Pu). Luego de establecer el valor de Pu, determinamos el valor de la serie uniforme en U.V.R, teniendo en cuenta la tasa de interés a la cual se contrato el crédito.

El préstamo del 8.33.33 UVR (equivalentes a $1 millón) se amortizan en 180 cuotas mensuales de 106.40 UVR. Elaboraremos sendas tablas de amortización en UVR y en pesos, para observar el comportamiento de las cuotas:

En la tabla de amortización en U.V.R, podemos destacar que se trata de una similar a las que ya se han realizado, con la única diferencia que esta elaborada en unidades de valor real.

Para la elaboración de la tabla en pesos, hemos agregado una nueva columna al final, correspondiente al calculo del valor de la U.V.R (o tasa de cambio de la unidad

frente a los pesos) a partir de la fecha y la hemos proyectado bajo el supuesto de que la tasa de inflación permanecerá en los niveles del 10% anual durante toda la vigencia del crédito. Recordemos que la tasa de inflación anual, se comporta en forma análoga a la tasa efectiva anual y para realizar la proyección, requerimos encontrar la tasa de inflación periódica mensual.

Ip= (1+ie)1/p-1=(1+.10)1/12-1=.80% periódica mensual.

Para efectuar la estimación del valor de la unidad en los siguientes meses, encontramos los valores futuros respectivamente para el mes que se quiera calcular:

Si queremos calcular el valor de la unidad para el mes 3, por citar el ejemplo para cualquier mes, hallamos el valor futuro del valor presente de $120, en tres meses, a una tasa del .80% mensual.

F=P(1+i)N = 120(1+.008)3=$122.89.

Devolvámonos a la tabla en pesos y observemos que el saldo en pesos asciende, pero no nos preocupemos, que en algún momento descenderá hasta llegar a cero. Nuestra preocupación debe estar focalizada en las tasas de interés, independientemente de la forma como se amortice la deuda. Si queremos encontrar la tasa de interés, tenemos que construir el flujo de caja de la decisión de endeudamiento y calcularla. Sin embargo este procedimiento no se requiere, porque este es un caso de tasas múltiples, en el cual simplemente calculando la tasa con la formula respectiva la determinaremos:

Tasa efectiva = Tasa de inflación + Tasa en U.V.R + Tasa de inflación x Tasa en UVR =0.10 + 0.14 + 0.10 ? 0.14 = 25.40% Efectiva anual.

Para tomar realmente la decisión de endeudamiento nos debemos de preocupar por la tasa de interés primordialmente. Si se encuentran tasas más baratas, por ejemplo en pesos, esta debe ser nuestra decisión. Para sorpresa de muchos, la tasa mas baja ha sido históricamente la del sistema de unidad de poder adquisitivo constante (UPAC) y actualmente el sistema de unida de valor real (U.V.R). Tomar la decisión por otros motivos, seria totalmente ilógico.

10 SERIE UNIFORME ANTICIPADA: FORMA GENERAL

La característica de la serie uniforme anticipada es la ocurrencia de los pagos al principio de cada intervalo de pago. El primer pago ocurre al principio de cada intervalo de pago, el segundo pago ocurre al principio del segundo pago y así sucesivamente hasta el último pago que ocurre al principio del ultimo intervalo de pago.Veamos la forma general de esta serie en un diagrama de flujo de caja:

En esta forma general hay que destacar algunos detalles útiles para la comprensión de esta serie: El valor presente esta en 0, exactamente donde ocurre el primer

pago. El valor futuro esta en N, un periodo después de efectuar el último pago. El plazo o termino de la serie abarca desde el principio del primer intervalo de pago, hasta el final del ultimo intervalo de pago. La tasa de interés periódica i, siempre debe corresponde a la tasa de interés periódica vencida y en ningún evento se debe considerar la tasa de interés periódica anticipada, la serie anticipada se refiere a la ocurrencia de los pagos y no a la periodicidad de ocurrencia de la tasa. La equivalencia entre el valor presente y el valor futuro de la serie uniforme anticipada, como en todos los sistemas de amortización equivalentes de pago, también se da.

6.11 VALOR PRESENTE DE LA SERIE UNIFORME ANTICIPADA

El valor presente de la serie uniforme anticipada es un pago único presente de valor P, el cual esta en 0, exactamente donde ocurre el primer pago y el cual es equivalente a N cuotas de valor R cada una y efectuadas al principio de cada intervalo de pago. Para hallar el valor presente, se debe entonces establecer una ecuación de valor como lo hemos venido realizado. Seleccionemos como fecha de comparación el periodo –1 y observemos como la serie se asemeja a una serie vencida u ordinaria.

A la ecuación de valor presente de la serie anticipada, también podríamos llegar, convirtiendo la serie anticipada en serie ordinaria, simplemente multiplicando el valor del pago de la serie anticipada por el factor (1+i), así los pagos tendrían el valor de R?(1+i) pero estos ocurrirían al final del intervalo de pago, la cual es la característica de la serie ordinaria. Lo que realmente hemos realizado, es convertir la serie anticipada en ordinaria, de la siguiente forma:

Para hallar el valor presente de esta serie, multiplicamos el valor del pago R*(1+i) por el factor que convierte una serie ordinaria en un pago único presente [(1-(1+i)-

N÷i].

P=R*(1+I)*[(1-(1+i)-N)÷i]. Esta es la misma ecuación a la cual se había llegado, para hallar el valor presente de la serie anticipada.

12 VALOR FUTURO DE LA SERIE UNIFORME ANTICIPADA

El valor futuro de la serie uniforme anticipada es un pago único de valor F, el cual se encuentra en N exactamente un periodo después de ocurrir el último y el cual es equivalente a N pagos de valor R cada uno, efectuados al principio de cada intervalo de pago.

Para hallar el valor futuro de la serie, multiplicamos el valor equivalente del pago vencido R*(1+i), por el factor que convierte una serie ordinaria en un pago único futuro [((1+i)N-1)÷i].

F= R*(1+i)*[((1+i)N-1)÷i].

13 SERIE UNIFORME ORDINARIA VERSUS SERIE UNIFORME ANTICIPADA

Realicemos un ejercicio, donde se puedan observar similitudes y diferencias entre ambas series.

Ejemplo.

En el siguiente diagrama de flujo de caja, estimar el valor presente y el valor futuro de la serie de pagos, con enfoque de serie ordinaria y serie anticipada.

La intención es hallar un pago único presente, P0, y un pago único futuro en el período 12, F12, equivalente a la serie uniforme de cuotas de valor R.

Hallemos estos pagos únicos con los enfoques de series ordinarias y series anticipadas.

SERIE UNIFORME ORDINARIA

El término de la serie ordinaria está definido entre el período 4 y el período 9 (un período antes del primero pago y el final del período donde ocurre el último pago).

Con el valor futuro de la serie, el proceso es similar al que se utilizó para el valor presente. La serie de pagos se traslada con el factor serie uniforme valor futuro hasta cuando ocurre el último pago (periodo 9) y luego se debe ubicar al final del período 12, con el factor pago único valor futuro (1+i)3.

SERIE UNIFORME ANTICIPADA

Tal como lo hicimos para la serie ordinaria, el término de la serie anticipada está contemplado entre el periodo 5 y el período 10. El inicio del término coincide con el primer pago y el final de éste ocurre un período después de haber realizado el último pago.

En forma análoga, determinaremos los valores Po y F12:

Observamos que los valores de Po y F12 son iguales, indiscutible y necesariamente, independiente del enfoque con el que se trabajen. Lo importante entonces, es definir exactamente el término de la serie y aplicar los factores correspondientes.

14 SERIE UNIFORME INFINITA O RENTA PERPETUA

Podemos definir la serie uniforme infinita, como el conjunto de pagos iguales efectuados a intervalos iguales que tiende a infinito. La anterior definición, esta indicando que en esta serie el número de pagos N tiende a infinito ∞.

La aplicación inmediata de esta serie aparece en los fondos de pensiones, en los cuales se puede garantizar a perpetuidad el cubrimiento de los pagos con la condición de tener constituido un fondo o bono pensional.

6.14.1 Valor presente de la Renta Perpetua

El valor presente de la renta perpetua, se puede definir como un pago único ahora de valor P, el cual es equivalente a infinitas cuotas de valor R cada una. El valor presente es un pago único de valor P que al multiplicarlo por la tasa de interés periódica i, da como resultado el valor del pago periódico R: P*i= R.

Despejando el valor de P: P= R*[1÷i].

El factor [1÷i] convierte infinitas cuotas de valor R en un pago único presente de valor P equivalente. Además debe ser igual al factor [(1-(1+i)-n)÷i] que convierte N finitas cuotas o pagos de valor R, en un pago único presente cuando N tiende a ∞.

Ejemplo.

Se desea establecer un fondo (valor del bono pensional) que atienda a perpetuidad la pensión de $1.000.0000 al final de cada mes. El fondo reconoce una tasa del 19.56% efectiva anual.

En el ejemplo los pagos ocurren cada mes, por lo tanto se debe convertir la tasa efectiva anual en la periódica mensual de la forma enunciada anteriormente.

Ip= (1+ie)1÷p-1=(1+.1956)1/12-1=1.5% mensual.

Ahora aplicamos la ecuación de valor presente de la serie uniforme infinita:

P= 1.000.000*[1÷0.015]=$66.666.667.

La anterior respuesta significa que un fondo ahora por la suma de $66.666.667, equivale a una serie garantizada a perpetuidad de $1.000.000 mensuales. Si el caso anterior fuera real, sería ilógico que alguien trate de poder atender sus necesidades a perpetuidad con pagos iguales del mismo monto. Por lo tanto hay necesidad de pensar en fondos que atiendan las pensiones con incrementos periódicos, que contrarresten la pérdida del poder adquisitivo.