SESIÓN: PROPORCIONES Y POLINOMIOS

Proporciones

Objetivo general Resolver situaciones problemáticas en contextos diversos y significativos que involucren proporciones y polinomios y la aplicación práctica de sus propiedades, enfatizando el análisis crítico. No olvidar

Expresiones numéricas reconocidas y asociadas a sistemas como Números Enteros y Racionales

¿Qué es una razón, en matemática?

Es una comparación, que se hace de dos cantidades, por medio de división o cuociente.

Así por ejemplo , la razón entre los números simbolizados por a y b donde b es un número

distinto de cero , es b

a o bien ba : y se lee “ a es a b ” así la razón de 7 es a 3 se escribe

3

7

En la razón b

a, el número asignado por a se llama antecedente en cambio el número

asignado por b se llama consecuente y debe ser distinto de cero. Consideremos el ejemplo que señala que Pedro tiene 5000 pesos y Claudio tiene 20000 pesos, Por lo tanto, se

deduce que la razón que se obtiene es 20000

5000que es equivalente a

4

1lo que podemos

deducir que :

“Pedro tiene la cuarta parte de lo que tiene Claudio o bien decir que Claudio tiene 4 veces más que la cantidad que tiene Pedro”

Esto es 5000

20000 que es equivalente a 4

Ejercicio:

Se tiene un tambor que contiene 2 litros de agua y otro tambor que contiene 4 litros de agua, los tiempos de llenado del tambor de 2 litros, se hizo en 30 segundos y el de 4 litros en 60 segundos

Las razones que se pueden determinar a partir de la lectura son:

a) Razón de los contenidos 4

2 o

2

1

b) Razón de los tiempos 60

30 o

2

1

¿Qué es una proporción?

Corresponde a la igualdad de dos razones, esto es si consideramos las expresiones

numéricas dcba ,,, tal que d

c

b

a con 0,0 db se tiene la proporción

Si consideramos el ejemplo anterior la proporción que se forma es la igualdad de las razones de los contenidos y los tiempos:

60

30

4

2 y su lectura es “2 es a 4 como 30 es a 60”

De acá se deduce que la razón de la proporción es 4

1

En una proporción como d

c

b

a se debe cumplir cbda

Por ejemplo:

a) 42426721221

6

7

2

b) 12520320

12

5

3

A partir de una proporción se pueden establecer diversas ecuaciones, cuya solución se determina por la igualdad que la define

Consideremos , la proporción 84

3 x para calcular el valor asociado a x bastará, realizar

un despeje simple como 64

24244834 xxx de este modo se determina la

proporción 8

6

4

3

Para la siguiente proporción 416282

8 22 xxxx

x

Analicemos algunos problemas que requieren de una proporción, para su solución

a) Para tejer 2 chalecos de niño se utilizarán 240 gramos de lana. Si queremos tejer 5 chalecos, ¿cuántos gramos de lana necesitaremos?

Primero debemos distinguir las variables: gramos de lana y número de chalecos.

Luego debemos preguntarnos: Si aumentamos los gramos de lana, ¿aumentarán los chalecos que podremos tejer? La respuesta es sí. Como al aumentar una variable, también aumentará la otra, entonces se dice que la proporción es directa.

La proporción sería la siguiente:

6002

52405240)(2

5

240

2

lanadeGramoslanadeGramos

lanadeGramos

b) Dos trabajadores construyen una muralla en 9 horas. Si se contratan 4 trabajadores más en cuantas horas podrán terminar la muralla?

En este caso, las variables son: número de trabajadores y horas.

Si aumentamos el número de trabajadores, disminuirán las horas que demoraremos en construir la cerca. Como al aumentar una variable, la otra disminuyó, entonces la proporción es inversa.

La proporción sería la siguiente:

36

92

96

2

horas

horas es lo que demoran los seis trabajadores

Porcentaje

El porcentaje es una proporcionalidad directa en que el total se considera como 100%

Así si se dice que un artículo sube 5% es que se ha incrementado 5 partes de términos

fraccionarios es decir ha subido la 100

5 parte.

Por ejemplo, si luego de una encuesta se concluye que uno de cada 4 alumnos tiene

notebook, tenemos la razón 4

1, esto significa que por cada 25 alumnos de un total de 100

tienen notebook

La explicación se interpreta así 100

25

254

251

4

1

concluyendo que el porcentaje es 25%

Las siguientes razones expresadas en porcentajes:

a) 5

4 es el 80%

b) 25

3es el 12%

c) 3

2 es el 33,3% acá sucede que aprox%66.0

100

66,66

100

3

200

3

1003

3

1002

3

2

¿Qué significa extraer un porcentaje de una cifra?

Por ejemplo, se quiere determinar el 25% de 350 en efecto:

100

25%25 luego 5,87

100

35025

350100

25350

100

25

x

xx

Ejercicios propuestos:

a) Un artículo cuyo precio original es 35 750 pesos se rebaja un 20% ¿en cuánto queda?

b) Una persona pagaba por el arriendo de un departamento 450 mil pesos, al tiempo se le incrementa en un 2,9% ¿cuál es su precio actual?

c) Los habitantes de un poblado son 1550 , luego de un tiempo aumentó el 2,3% y mucho más tarde el aumento fue aproximado de un 1,5%¿cuál fue el incremento total?

Polinomios No olvidar P es un polinomio en el conjunto de los números reales si y sólo si P es una función de números reales que, en x, admite una representación de la forma:

01

12

21

1)( axaxaxaxaxP nn

nn

nn

P(x)=

Donde:

• 01,...,, aaa nn son números reales llamados “coeficientes”.

• n es un número natural {1, 2, 3, 4……}.

Por ejemplo, son polinomios en x, las siguientes expresiones:

¿Qué debo saber para realizar operaciones con polinomios?

• Operatoria con números enteros (suma, resta, multiplicación y división). • Reducción de términos semejantes. • Factorización de expresiones algebraicas.

Operatoria en polinomios

i.Evaluar un polinomio

Evaluar un polinomio , consiste en determinar qué valor toma el polinomio cuando x se sustituye por un número real. Si al evaluar x en el polinomio da como resultado cero ( P(x)=0 ), se dice que x es una raíz o cero del polinomio. Ejemplo:

Evaluar el polinomio en Solución:

Sustituyendo en tenemos:

Entonces, el valor que toma , cuando es -29.

ii. Suma de polinomios Consiste en sumar aquellos términos algebraicos que son semejantes, esto es, mismo exponente y mismo factor literal. Ejemplo:

Se tiene y . Obtener Solución:

iii. Resta de polinomios Consiste en restar aquellos términos algebraicos que son semejantes, pero debemos considerar que, si existe un signo negativo delante de un paréntesis, éste cambia el signo de los elementos al interior. Ejemplo:

Sean los polinomios y .

Obtener Solución:

iv. Producto de polinomios El producto de dos polinomios se obtiene aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma en forma reiterada. En caso de ser necesario se deben reducir términos semejantes. Ejemplo:

Sean los polinomios y . Calcular P(x)∙Q(x) Solución:

SESIÓN: POTENCIAS, RAÍCES Y LOGARITMOS

Potencias

Objetivo general Resolver situaciones problemáticas en contextos diversos y significativos que involucren potencias, raíces y logaritmos y la aplicación práctica de sus propiedades, enfatizando el análisis crítico.

No olvidar

Una potencia es una expresión del algebra que representa el producto sucesivo de números y expresiones y es utilizadas en contextos diversos

Una potencia es una expresión de la forma

Donde n es un número entero

El número b , es el resultado de la expresión na que para Zn , corresponde a ),( vecesnaaaaaaa (el producto de a , ,n veces)

Por ejemplo: )5,2(2222225 vecesdeproducto , es decir, 3225

Para la potencia 81

16

3

2

3

2

3

2

3

2

3

24

Del mismo modo para )3,)5()(5()5()5()5( 3 vecesdeproducto es decir,

125)5( 3

Algunas propiedades de las potencias son

Propiedad Ejemplo

0

bquesiempre

b

a

b

an

nn

21666663

nnn baba )( 2433333335

ban

mnmn aaa 655364444 85353

nm

n

m

aa

a 422222

2 235

3

5

nmnm aa )( 409622)2( 124343

n

n

aa

1 con 0a Zn

32

1

22222

1

2

12

5

5

Expresiones Algebraicas y las potencias

Cuando las bases son expresiones literales, se pueden conformar otras que, por propiedades de potencias pueden ser reducidas a una mínima expresión y ser equivalente, veamos unos ejemplos:

I) Solucionar

4

12

97

3

9

x

y

y

x

4

12

97

3

9

x

y

y

x= Aplicamos, propiedad, potencia de un cociente

412

49

73

79

)(

)(

)(

)(

x

y

y

x Aplicamos, potencia de una potencia

48

36

21

63

x

y

y

x= Aplicamos ordenamiento de potencias con base igual

Aplicamos reducción por cuociente de potencias

igual base

15111

21

36

48

63

yx

y

y

x

x

II) Solucionar 376535 baba

376535 baba = Aplicamos propiedad de potencia de un producto

)( 21181525 baba Aplicamos asociación de expresiones en el producto

6721151825 )( babbaa Aplicamos propiedad potencias de igual base

III) 2732

36

))8(16(

)(2

nm

nm

2732

36

))8(16(

)(2

nm

nm Aplicamos potencia de un producto al denominador

27232

36

)8()16(

)(2

nm

nm Aplicamos potencia de un producto

2722322

36

)(8)()16(

)(2

nm

nm Aplicamos nuevamente potencia a un producto y

transformación de constantes a potencias de base común

146648

36

22

)(2

nm

nm Aplicamos ordenamiento de potencias de base común

)(2 115815 nm Aplicamos reducción por cuociente de potencias

igual base

Potencias base 10

Una de las potencias de vital importancia en el desarrollo de las Ciencias, es la potencia cuya base es 10, esto es:

1000010

100010

10010

1010

)(110

4

3

2

1

0

convenciónpor

Potencias con exponente positivo, en cambio al tener exponente negativo se obtienen expresiones decimales que se detallan a continuación:

0001,010000

1

10

110

001,01000

1

10

110

01,0100

1

10

110

1,010

110

4

4

3

3

2

2

1

Por ejemplo: I)

6

2

5

100

10 Aplicamos reducción a potencias base 10

6

2

5

100

10

6

22

5

))10((

10 Aplicamos potencia de una potencia

22

5

))10((

10

6

4

5

10

10 Aplicamos potencia de un cuociente

61645 )10()10( Aplicamos potencia de una potencia

000001,01000000

1

10

110

6

6

Ejemplo II)

25

7

64

001,0

10

)0001,0(

)1000(

25

7

64

001,0

10

)0001,0(

)1000(

=

2

3

5

74

643

10

10

)10((

))10((

Aplicamos potencia de una

potencia

2

3

5

28

72

10

10

10

10 Aplicamos potencia de un cuociente

18429228100 10)10(1010

Una de las aplicaciones que tienen estas potencias , es la Notación Científica , donde se

puede representar una expresión decimal (E.D.)en otra , donde una constante A queda

en producto con una potencia base 10, esto es : ZnAdondeADE n ,9110..

Por ejemplo:

i) 10350,250,23

ii) 110563,77563,0

iii) 21035589,1589,135

Ejercicios Propuestos

I) Para cada una de las siguientes potencias, reduzca por aplicación de propiedades:

a)

7

34

93

yx

yx

b) 1226938 ))(125()25( cbacba

c)

16

1

6313

32

27

81

4

2

3

d)

70

8189

258

)( pnm

pnm

e)

1064

64

6

)()( yxyx

xy

II) Exprese en notación científica:

a) 0,0000235 b) 3287,567 c) 1980000 d) 230000000

Raíces

No olvidar Una raíz corresponde a un número que, al multiplicarse por sí mismo la cantidad de veces que indique el índice, se obtiene la cantidad subradical. Elementos de una raíz: Una raíz está formada por dos elementos: un índice representado por n y una cantidad subradical representada por a . Se lee “raíz n -ésima de a ”, y representa el valor de un número que si se multiplica n veces por sí mismo, se obtiene la cantidad subradical a

. Restricciones:

Índice

Cantidad subradical

n a Raíz

1/ nNn

Condiciones: Radicando mayor que cero

Sí 0a entonces n a existe siempre

Si n par: Dos soluciones. Ejemplo: 24

Si n impar: Una solución positiva. Ejemplo: 51253

Radicando menor que cero

Sí 0a , n a se cumple que:

Si n par: No existe en R . Ejemplo: R4 81 .

Si n impar: Tiene una solución, y es negativa. Ejemplo: 3273

Algunas propiedades de las raíces Ejemplos

Cuando la cantidad subradical es la unidad

11 n

11 ; 113 ; 1127

Cuando la cantidad subradical es cero

00 n

00 ; 003 ; 0039

Multiplicación de raíces de igual índice nnn baba

282424 3333

División de raíces de igual índice

nn

n

b

a

b

a donde 0b

53

15

3

15

Raíz de una raíz

nmm n aa .

12266 2 444 •

Raíz como potencia con exponente racional

n

m

n m aa

5

2

5 2 33

Incorporación de un elemento a una raíz n nn baba

333 33 24383232

Álgebra de radicales: Desarrollar las siguientes operaciones

434 Se identifican raíces iguales: 4 (Dos raíces son iguales si tienen el mismo índice y la misma cantidad subradical)

4)31(

44

Se suman los coeficientes y se conserva la raíz semejante.

24 Se calcula la raíz de 4 y se resuelve la multiplicación.

8

51052258 Se identifican raíces iguales: 5

5)10228(

520

Se suman o restan los coeficientes, según sea el caso, y se conserva la raíz igual.

Multiplicación de raíces 44 635

4 635 4 185

Como los índices son iguales, se conserva la raíz con el mismo índice y se multiplican las cantidades subradicales.

53 22

mcm .. entre 3 y 155 Se calcula el mínimo común múltiplo entre todos los índices

15 315 5 22 El mcm .. se convierte en el nuevo índice de las raíces; luego este índice se divide entre cada uno de los índices de las raíces y su resultado se multiplica por el exponente de la cantidad subradical.

15 35 22 Se aplica propiedad de multiplicación de potencia de igual base

15 82 15 256

Se resuelve la potencia.

División de raíces

3

3

6

12

33 26

12

Como las raíces tienen el mismo índice, se conserva la raíz y se dividen las cantidades subradicales.

4 6

6

mcm .. entre 2 y 44 Se calcula el mínimo común múltiplo entre todos los índices

4

2

4

4 2

6

24

6

24

El nuevo índice se divide entre cada uno de los índices de las raíces y su resultado se multiplica por el exponente de la cantidad subradical.

4

6

576

Se resuelve la potencia.

4 96 Se resuelve la división.

4 44 62616 Se descompone 96.

4 62 Se aplican propiedades para sacar el 2 de la raíz.

Racionalización de raíces: Racionalización de raíces: Consiste en eliminar las raíces que se encuentran en el denominado de una fracción. Para ello, se multiplica tanto el numerador como el denominado de la fracción por raíz que se encuentra en el denominador.

23

8

Caso 1: Caso en que el denominador contenga una raíz cuadrada, sin adiciones ni sustracciones.

2

2

23

8

Se multiplica tanto el numerador como el denominador por la raíz del denominador de la fracción.

23

28

)2(3

282

3

24

Se resuelven los productos tanto del numerador como del denominador. Se aplican propiedades de potencias de igual base y luego se simplifica el exponente con el índice de la raíz. Se simplifican los valores correspondientes.

22

10

Caso 2: Caso en que el denominador contenga una raíz cuadrada, con adiciones o sustracciones.

22

22

22

10

22 2)2(

2210

Se multiplica tanto el numerador como el denominador, por el denominador de la fracción, pero en este caso, el signo que separa los términos

del denominador cambia de )( a )( para formar

en el denominador una suma por su diferencia.

2

)22(10

24

)22(10

)22(5

Se realizan las operaciones indicadas tanto en el numerador como en el denominador. Se simplifican los valores correspondientes.

3 2

6

Caso 3:

3 2

3 2

32

2

2

6

Como hay una raíz cúbica en el denominador, sin adiciones o sustracciones, se multiplica tanto el numerador como el denominador por el denominador de la fracción, pero en este caso, el exponente de la cantidad subradical será la diferencia entre el índice de la raíz y el exponente inicial de dicha cantidad subradical.

3 2

3 2

3 23

3 2

3 23

3 2

22

26

22

26

)2()2(

26

3 23 2

3 3

3 2

232

26

2

26

Se aplica propiedades de raíces en el denominador. Se aplica propiedades de raíces en el denominador y se simplifican los valores correspondientes

Ejercicios resueltos: Calcular

a) 2

3

36

32

3

3636 Se aplica la propiedad que permite transformar una base con exponente fraccionario en raíz.

632 6)6

Se descompone la cantidad subradical en y se aplica la propiedad de potencia de una potencia.

21663

Se simplifica el exponente de la cantidad subradical con el índice de la raíz y se aplica operatoria básica.

b) 3 3168 752

3 2523 31526 5275275522

Se descomponen las cantidades subradicales de tal manera que los exponentes sean múltiplos de 3 (índice de la raíz).

3 54)7()3125()4(

3 20500.87

Se resuelven las potencias y se plantea resultado.

c) Una habitación tiene de largo 16 metros y de ancho 9 metros. Construirse otra habitación,

pero cuadrada de igual área. ¿Cuánto mide el lado de la nueva habitación?

Largo: 16 m Ancho: 9 m Área inicial: Rectangular Área a calcular: Cuadrada

Se identifican y asocian datos

Área inicial: Rectangular hbA

144

)16()9(

A

A

Área a calcular: Cuadrado 2lA

Al

12144 l

Se relacionan los datos Se relacionan los datos Se calcula el lado de la habitación

Resultado: El lado de la habitación cuadrada es de 12 metros.

Se entrega la respuesta

d) La suma de dos números es 540, y la raíz cuadrada de uno de ellos es igual a la raíz

cuadrada del otro aumentada en 36 ¿Cuáles son los números? 1er número: x 2do número y

xy

yx

540

540

Se identifican los datos del problema

36)540(36 xyx

xx 576

Se modela la expresión del problema considerando que la raíz cuadrada de uno de los números es igual a la raíz

cuadrada del otro, aumentada en .36 22 )576(()( xx Se elevan las igualdades al cuadrado para eliminar las

raíces.

2882

5765762 xxx

Se despeja x para conocer el valor del 1er número.

252288540

540

y

xy

Se reemplaza valor de x en la expresión xy 540

para conocer el segundo número.

Los números buscados son 288 y 525. Se entrega la respuesta

Ejercicios propuestos:

1. Resolver y reducir aplicando las propiedades de radicación.

12

24

33426

)(x

xxx

2. La hipotenusa de un triangulo rectángulo mide 29 cm y uno de sus catetos mide 12cm. ¿Cuál es la medida del otro cateto?

3. Un colegio tiene 529 estudiantes. Se sabe que hay tantos estudiantes por aulas, como aulas tiene el colegio. ¿Cuántas aulas hay en el colegio?

4. El área de un terreno rectangular es de 23136m . Sí se sabe que e l terreno es cuadrado, determine el perímetro del terreno.

5. Sabiendo que el volumen de un cubo es a 3512m , determine las dimensiones de dicho cubo.

6. Una caja en forma cúbica tiene un volumen de 3125000cm . Si se corta la mitad superior. ¿Cuáles serán las dimensiones del recipiente resultante?

Ecuación Exponencial y Logarítmica

No olvidar

¿Cómo se define una ecuación exponencial?

Estas expresiones son potencias, en las cuales, la incógnita se encuentra en el exponente de esta, cuya forma es

ba x

Un ejemplo de estos es la siguiente pregunta: ¿Tres elevado a qué número es igual a nueve? El planteamiento de esta ecuación es:

93 x

Estas ecuaciones tienen directa relación con las potencias, dado que conservan las mismas propiedades, véase algunos ejemplos:

1- xxxx 12)34(34

2- 223131 5555 xxxxx

3- xxxxxx 3333)3( 22

Continuando con la ecuación anterior, para poder encontrar el valor de 𝑥, es posible solucionarla mediante intuición, de tal manera que reconocemos visualmente, o con un

ejercicio mental que las respuesta es 2, ya que 932 . Sin embargo, existen ecuaciones donde es muy poco posible encontrar el valor de la incógnita mediante intuición.

Para poder resolver ecuaciones de ese estilo, se hace uso de la herramienta matemática llamada logaritmo.

¿Qué es una expresión logarítmica?

Está expresión nace de la necesidad de responder de solucionar ecuaciones exponenciales, dando respuesta a la pregunta con que se inició.

La forma de una expresión logarítmica es

cba log

Sus elementos son:

• a es la base del logaritmo.

• b es el argumento del logaritmo.

• c es el valor del logaritmo.

Respondiendo a la interrogante: ¿a elevado a qué número es igual a b?, el resultado de esta pregunta es c.

Por lo tanto, cada ecuación logarítmica tiene asociada una ecuación exponencial. En los siguientes ejemplos, se muestra una ecuación logarítmica, su forma narrada, y la ecuación exponencial asociada.

Condiciones de un logaritmo

La expresión logarítmica, debe cumplir ciertas condiciones para poder ser calculada o aplicada, entre ellas están:

1) La base del logaritmo debe ser estrictamente mayor a cero ( 0base ) y distinto de 1.

2) El argumento del logaritmo debe ser estrictamente mayor a cero.

Se debe tener en consideración que cuando se escribe un logaritmo, que no lleva un número en la base, se asume que dicho argumento es de valor 10, ejemplo:

14log14log10 .

Ejemplos

Expresión logarítmica Forma narrada Ecuación exponencial

correspondiente

x16log4 ¿Cuatro elevado a qué número es igual 16? 164 x

x10log7 ¿Siete elevado a qué número es igual 10?

107 x

Las expresiones logarítmicas también poseen propiedades de operación, son las siguientes:

1) bcb ac

a loglog

Ejemplo: 4log34log 23

2

2) cbcb aaa loglog)(log

Ejemplo: 7log3log)73(log 666

3) cbc

baaa logloglog

, con 𝑐 ≠ 0

Ejemplo: 4log3log4

3log 555

4) baba

log

Ejemplo: 13813log8

5) ab ba log

Ejemplo: 612 12log6

6) bc

bc

a

a loglog

log , con 0log ca (logaritmo cambio de base)

Esta propiedad, es más compleja que las anteriores, aunque, solo basta visualizar que

si las bases de los logaritmos que se están dividiendo son iguales, entonces se pueden

agrupar, tal como se muestra a continuación.

Ejemplo: 5log2log

5log2

4

4

7) El valor de un logaritmo es nulo, si solo si, el argumento es igual a 1

Ejemplo: 01log34 , 01log6

Relación de las expresiones exponencial y logarítmica en una ecuación

Se desea resolver la siguiente ecuación exponencial: 43 x . Esta ecuación no es posible resolver por intuición, para ello usaremos la operación logarítmica de la siguiente manera.

43 x

Aplicamos logaritmo de base 10 a ambos lados de la ecuación (normalmente por la comodidad al trabajar, se elige el logaritmo en base 10, sin embargo, queda a criterio personal, que base es más adecuada en cada caso)

4log3log x

Utilizando la propiedad 1 de logaritmos y despejando 𝑥 se tiene:

4log3log x

Dividiendo por log 3 (de valor no nulo) a ambos lados de la ecuación

3log

4log

3log

3log

x

Simplificando

3log

4logx

Finalmente utilizando la propiedad 6 de logaritmos (cambio de base)

4log3x

Ejercicios Resueltos

1) Encontrar el valor de x en las siguientes ecuaciones

a. xx 45 1

Solución:

xx 4log5log 1

Se aplica la operación de logaritmo a ambos lados

de la ecuación.

4log5log)1( xx

Se aplica la propiedad de 1 de logaritmos, la cuales

el exponente del argumento, este se traslada como

factor frente al logaritmo.

4log5log5log xx

Se distribuye bajo multiplicación respecto a la

suma, en el lado izquierdo de la ecuación.

5log4log5log xx

Se agrupan términos semejantes.

5log)4log5(log x

Se factoriza por el término común x en el lado

izquierdo de la ecuación.

5log4

5log

x

la propiedad 3 de logaritmos, en la expresión

4log5log , identificando que 04log

4

5log

5logx

Se divide a ambos lados de la ecuación por

4

5log

,

cuyo valor es no nulo.

5log

4

5x

Se utiliza la propiedad de cambio de base en el lado

derecho de la ecuación.

b. 24)log( 2 x

Solución:

24log2 x

Se aplica la propiedad 1 en el lado izquierdo de la ecuación, el exponente del argumento, se traslada como factor frente al logaritmo.

12log x Se divide por 2 a ambos lados de la ecuación.

1210loglog x

Se aplica la propiedad 5 en el lado derecho de la ecuación, eligiendo la misma base del logaritmo correspondiente al lado izquierdo de la ecuación.

1210x

Se cancela el operador de logaritmo a ambos lados de la ecuación (sólo es posible, si fuera del logaritmo no hay otras operaciones).

Ejercicios Propuestos

1) Reducir las siguientes expresiones utilizando las propiedades antes mencionadas.

Expresión Reducción

2)3( x

xxx 16:24 13

210log

92 2log

4log5log

3log27log 44

6log

144log

5

5

2) Resolver las siguientes ecuaciones

a. 22 x

b. 43 1 x

c. 5log3 x

d. 164 xx

3) Resolver las siguientes ecuaciones

a. 164 x

b. 175 4 x

c. 31 73 xx

d. xlog2log16log2

13log2

4) Resolver los siguientes problemas

a. La magnitud de un terremoto se relaciona con cuánta energía libera. Instrumentos

llamados sismógrafos detectan el movimiento de la tierra; el movimiento más

pequeño que puede detectarse en un sismógrafo se denomina 0A . La letra para

analizar la amplitud de una onda del terremoto es A .

La medida en escala de Richter de la magnitud de un terremoto, lleva la siguiente

fórmula:

0

logA

AR

Entonces, si un terremoto se mide con una amplitud 392 veces más grande que 0A

¿Cuál es la magnitud de este terremoto usando la escala Richter?

b. La medida de acidez de un líquido se llama pH del líquido. Está basada en la

concentración de iones de hidrógeno (H+) en el líquido. La fórmula del pH es:

]log[ HpH

El pH tiene una escala de 0 a 14, donde el 0 significa un ácido fuerte y el 14 una base fuerte, mientras que un valor igual a 7 representa una acidez neutra, es decir ni ácido ni base.

Entonces, si el jugo de limón tiene un pH de 1.7, ¿cuál es la concentración de iones de hidrógeno en el jugo de limón, en centésimas?

c. El sonido se mide en una escala logarítmica usando una unidad que se llama decibel

( d ).

0

log10P

Pd

Donde P es la potencia del sonido y 0P es el sonido más débil que puede captar el

humano.

Entonces, si una bomba de agua caliente tiene un índice de ruido de 50 decibeles. Una lavadora de platos, tiene un índice de ruido de 62 decibeles. ¿Qué tan intenso es el ruido de la lavadora comparado con el ruido de la bomba?

Sesión: Algebra Objetivo: Resolver problemas en contextos diversos y significativos que involucran la reducción de expresiones algebraicas, productos notables y factorización de expresiones algebraicas enfatizando en el análisis crítico de los procedimientos de resolución y de los resultados obtenidos.

Expresiones algebraicas

Se denomina término algebraico a aquella expresión que está conformada por: Factor literal y/o Coeficiente numérico. Factor literal: son expresiones que están conformadas por letras y potencias de éstas. Coeficiente numérico: son expresiones que están conformadas por números.

LiteralFactor

nk

nnn

numéricoCoef

kxxxx 321321

.

Ejemplos:

• 25

3

5zxy , aquí

3

5 es el coeficiente numérico y 25zxy es el factor literal.

• 11

4, aquí

11

4 es el coeficiente numérico y NO posee factor literal.

• rst , aquí el coeficiente numérico es 1 y el factor literal es 11

4

Se denomina expresión algebraica a aquella combinación de términos algebraicos que pueden estar conectados mediante las operaciones aritméticas de la adición y la sustracción. Ejemplos:

• yx3

3

4

• accabbca 4367 3 Clasificación de Expresiones Algebraicas Las expresiones algebraicas se pueden clasificar de acuerdo a la cantidad de términos algebraicos que tengan.

Monomios: son expresiones algebraicas que poseen un término algebraico. Polinomios: son expresiones algebraicas que poseen dos o más términos algebraicos. Dentro de los polinomios se pueden distinguir dos casos particulares:

• Binomios: son expresiones algebraicas que poseen dos términos algebraicos • Trinomios: son expresiones algebraicas que poseen tres términos algebraicos

Productos notables No olvidar Los productos notables corresponden a multiplicaciones de expresiones algebraicas reconocibles, y que para determinar su desarrollo es necesario aplicar algunas fórmulas. Se emplea en la matemática para nombrar a determinadas expresiones algebraicas que pueden factorizarse de manera directa, sin recurrir a un proceso de varios pasos.

Productos notables más conocidos Ejemplos

Cuadrado de un binomio

222 2)( bababa 222 2)( bababa

En suma o resta: Es igual al cuadrado del primer término, más o menos según sea el caso, el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado segundo término.

442)2(2)2( 2222 xxxxx

442)2(2)2( 2222 xxxxx

Suma por su diferencia

22)()( bababa

Una suma por diferencia es igual al cuadrado del primero menos el cuadrado del segundo.

259)5()3()53()53( 222 xxxx

Productos de binomios con un término común

El producto de dos binomios con un término común es igual al cuadrado del primer término, más el producto de la suma de los dos segundos términos por el primer término, más el producto de los segundos términos.

Monomios Binomios Trinomios Polinomios

yx3

4

3yx 522 334 xayx 23 32 str

x leslgh 6534

7

23 caabc 22510

23 23 xzy

625

abcp25 3 qp pvnm

baxbaxbxax )()()( 2 65)32()32()3()2( 22 xxxxxx

Cubo de un binomio

32233 33)( bbabaaba

32233 33)( bbabaaba

Cubo de un binomio (suma) es igual al cubo del primer término, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término.

32233 22323)2( xxxx

8126 23 xxx Cubo de un binomio (resta) es igual al cubo del primer término, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo término.

812622323)2( 2332233 xxxxxxx

Ejercicios Resueltos: 1. Resolver las siguientes expresiones aplicando productos notables

a) 2)5( x Se identifica el producto notable: 2)( ba 22 5)5(2 xx Se aplica el desarrollo del producto notable

25102 xx Se resuelven las operaciones indicadas

b) 243 )22( x Se identifica el producto notable: 2)( ba 244323 )2()22(2)2( xx Se aplica el desarrollo del producto notable

836

2443232

2644

2)22(22

••

xx

xx

Se aplica la propiedad de potencia de una potencia

256644 36 xx Se resuelve la potenciación y se obtiene resultado

c) 3)32( x Se identifica el producto notable: 3)( ba

3223 33233)2(3)2( xxx Se aplica el desarrollo del producto notable

27)96()343(8 23 xxx

2754368 23 xxx

Se resuelven las operaciones indicadas y se obtiene la respuesta

2. Reduzca y racionalice la siguiente expresión 3223

3223

)3223(

)3223(

)3223(

)3223(

Multiplicamos tanto el numerador como el denominador de la fracción, por el denominador cambiando el signo entre sus términos (conjugado), a fin de generar una expresión que permita reducirse con productos notables

22

2

)32()23(

)3223(

Se expresa el numerador como el cuadrado de un binomio

Se expresa el denominador la suma por su diferencia

)34()29(

)32()32()23(2)23( 22

Se resuelve el numerador como cuadrado de un binomio Se resuelven las potencias del denominador

6

1261218

1218

)34(612)29(

Se desarrollan las operaciones indicadas

6

61230

Se reducen términos

6

6256

Se factoriza el numerador

625 Se simplifica expresión

3. Sabiendo que 5ba y que 3ab . Calcular el valor de 22 ba 222 2)( bababa Tener en cuenta el producto notable cuadrado de un

binomio, ya que en él aparecen todos los términos involucrados en el problema

222 )3(25 ba Se reemplazan los datos identificados en el problema.

22 625 ba Se desarrollarlas operaciones indicadas

22625 ba Se despeja 22 ba

1922 ba Se obtiene valor buscado

4. Suponga que se tiene una región de forma cuadrada cuyo lado mide 7x unidades. Determine el área de la región.

Se representa la región cuadrada para identificar sus dimensiones.

22 )7( xlA Considerando que, para calcular el área de un cuadrado, se debe elevar su lado al cuadrado.

222 7)72()7( xxx Se aplica el producto notable de cuadrado de un binomio.

49142 xxA Se expresa el área de la región cuadrada.

7x

7x

Ejercicios propuestos: Solucione cada uno de los siguientes ejercicios.

7. 22 )2( yxy

8. 21 )1( ax

9. 332 )32( ba

10. Racionalice 32

32

11. En un club se desea crear una cancha para la práctica individual de tenis y se

dispone de una pared cuadrada de lado x metros. Los especialistas en ese deporte solicitan que sea más grande, por lo que se le añadieron 3m a cada lado. ¿Cuál es el área de la nueva pared?

12. Se tiene una región de forma rectangular como se muestra en la siguiente imagen. Determine el área el perímetro de la región.

De acuerdo con la expresión obtenida, analiza y responde:

• ¿Qué restricciones tiene el problema anterior?

• ¿Qué valores puede tomar x para que tenga solución el problema anterior?

13. Hallar la suma de: El doble del cuadrado de la diferencia entre x y 2 , con el triple del producto de la suma de x y 1 por su diferencia.

14. Daniel tiene un terreno cuadrado de lados a y planea construir una casa utilizando el terreno de lados b , como se muestra en la siguiente figura. ¿Cuál es la expresión algebraica que denota el área del terreno sobrante?

6x

4x

a

a a

a

b b

b

b

Factorización No olvidar

Factorizar: Consiste en escribir una suma de términos algebraicos como un producto de factores.

La factorización es el proceso inverso del producto notable, es decir, permite expresar un polinomio como un producto de factores simples de tal manera que, al multiplicarlos entre sí, se obtenga el mismo polinomio. La factorización se basa en el Axioma distributivo.

b c

a

cbaacab

;, Rcba

acbcabacbaacab

“Para todo número a , b y c que pertenecen a los números reales; la expresión acab

representa el mismo número que la expresión cba ”

Algunos tipos de factorización:

Factor común: es el factor que está presente en cada

término de la suma de términos algebraicos. cbaacab

Diferencia de cuadrados: sólo se aplica en el caso que

aparezcan dos términos cuadráticos separados por la

operación diferencia.

bababa 22

Trinomio cuadrado perfecto: solo se aplica en el caso

que aparezcan 3 términos de la forma 22 2 baba 222 2 bababa

Trinomio de la forma qpxx 2 : En esta factorización

se aplica la siguiente fórmula

baqybapdonde

bxaxqpxx

:

,2

bxaxabxbax 2

Suma y diferencia de cubos: La factorización suma o

diferencia de cubos solo se aplica en el caso que

aparezcan 2 términos de la forma: 3333 baoba

2233 babababa

2233 babababa

Suma de términos (polinomio)

Producto de Factores FACTORIZACIÓN

Responde:

• ¿Cuál es la relación que existe entre los productos notables y la factorización?

• ¿Las expresiones algebraicas solo se pueden factorizar si corresponden a un producto notable?

• ¿Un trinomio se podría factorizar como una suma por diferencia?

• ¿Un binomio se podría factorizar como un cuadrado de binomio?

• ¿Qué posibles factorizaciones podrían corresponder a un trinomio? ¿Y a un binomio?

• ¿Por qué es posible factorizar una suma de cubos y no es posible factorizar una suma de cuadrados?

Ejercicios

1. Factoriza la expresión xx 36 2

Desarrollo Reconocer que la expresión corresponde a la forma de factor común: cbaacab

MCD entre 6 y 3 = 3

MCD entre xxyx 2

Encontrar el coeficiente numérico y literal

común

xxx 236 2 Descomponer en factores el término 26x

xxx 323 Reemplazar estos factores en la expresión

original y determinar el factor común.

)12(3323 xxxxx La expresión original se expresa en término del

factor común.

2. Factoriza la expresión 36122 xx

Desarrollo Reconocer que la expresión corresponde a un trinomio cuadrado perfecto )baba( 22 2 , ya

que 362 yx tienen raices cuadradas exactas

636

2

xx

Encontrar las raíces de 362 yx

1262 x Multiplicar por 2 las raíces encontradas para

obtener el segundo término de la expresión.

22 63612 xxx Sumas ambas raíces con el signo del segundo

término de la expresión original y elevas al

cuadrado el binomio resultante.

3. Factoriza la expresión 302 xx

Desarrollo

Reconocer que la expresión no corresponde a un trinomio cuadrado perfecto, ya que el tercer término 30 no tiene raíz exacta. Se debe usar la forma

baqybapdondebxaxqpxx ,2

xx Descomponer en dos factores. El signo “+” del

primer binomio corresponde al signo del

segundo término de la expresión original y el

signo “-” del segundo binomio, es el que resulta

de multiplicar los signos del segundo y tercer

término de la expresión original.

)()()(

156 3056

Identificar los números que sumados den por

resultado el coeficiente del segundo término

del trinomio, y que al multiplicarse su resultado

sea igual al tercer término del trinomio.

56 xx Completar los binomios con los números

identificados.

56302 xxxx La expresión original es igual al producto de

dos binomios.

4. Simplifica la siguiente expresión:

x

x:x

x

x 24

2

2 2

Desarrollo

x

xxx

x

x 2:22

2

2 , 2x , 0x ,

2x

Factorizar )4( 2 x y determinar sus

restricciones.

222

2

2

x

xxx

x

x ; 2x Multiplicar por el inverso multiplicativo del

divisor y determinar sus restricciones.

2

22

2

2

x

xxx

x

x

Se simplifica )2( x dentro del paréntesis y se

multiplican los demás factores.

2

22

x

xxx Se simplifica )2( x y se obtiene el resultado

final.

20;;2;2 xxxxx Expresar el resultado final con sus respectivas restricciones.

5. Nuestro grupo de trabajo necesita un marco para colocar una foto de la fiesta de navidad. Esta foto tiene forma rectangular, un área de

362 x y un ancho de 6x . ¿Cómo podemos encontrar la medida de la altura?

Desarrollo

alA

ancholagoÁrea

Recordar fórmula del área de un rectángulo

a

Al Despejar el largo, ya que se conoce el área y el

ancho.

6

362

x

xl

Reemplazar la medida del área y ancho

6

66

x

xxl Factorizar la expresión 362 x

6

66

x

xxl Simplificar por el término común 6x

6 xl El largo de la foto mide 6x

6. Si la altura y la base de un triángulo miden

1

42

x

xcm y

2

12

x

xcm respectivamente, ¿Cuál

es su área?

2

baseaturaÁrea

Recordar fórmula del área de un triángulo

2

2

1

1

42 2

x

x

x

x

Área

Reemplazar la medida de la altura y base

2

2

11

1

22

x

xx

x

x

Área

Factorizar las expresiones algebraicas que sean posibles y simplificar.

12

12

2

1

12

xx

x

Área

Realizar la división en el denominador y

simplificar.

1 xÁrea El área del triángulo es 1x

Responde:

• ¿Qué restricciones tiene el problema anterior?

• ¿Qué diferencias y similitudes existen entre la multiplicación y división de fracciones numéricas y algebraicas?

• ¿Qué dificultades observas en la multiplicación y división de fracciones algebraicas?

Ejercicios Propuestos 1. Factoriza las siguientes expresiones:

1) xxzx 2763

2) 11109 aaa

3) 222 yxyxx

4) bxaybzazbyax 859958

5) 36122 xx

2. Resuelva las siguientes operaciones:

1) 324

109

100

8022

2

2

2

xx

xx

x

xx

2) yx

x

yx

xy

2:

422

3) 22

22

22 22

66:

2

33

yxyx

yx

yx

yx

yxyx

yx

3. Si se define

bab

baabba

, ¿Cuál es el resultado de

5

32 ?

4. Calcular el área de un cuadrado de lado 22 x cm

5. Si los lados de un rectángulo son 𝒙 + 𝟓 y 𝒙 − 𝟑, y si el valor de su área es 𝟒𝟖𝒄𝒎𝟐, ¿cuánto miden sus lados?

6. El cuadrado 𝑨𝑩𝑪𝑫, de lado 8 cm, tiene en sus esquinas cuatro cuadrados de lado 𝒙 cm cada uno. ¿Cuál es el valor del área sombreada?

𝑫 𝒙 𝒙 𝑪

𝒙

𝒙

𝒙

𝒙

𝑨 𝒙 𝒙 𝑩