Sesion 08 Calculo de Areas Volumenes
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CÁLCULO 3
Departamento de Ciencias
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¿Te parece familiar el siguiente edificio?
¿cómo podríamos aproximar el volumen de concreto necesario para
construir el edificio mostrado?
Palacio de la juventud - Los Olivos
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Usando integrales dobles ¿cómo calcular el volumen del sólido
mostrado?
Sea Q el sólido limitado por las superficies z =1 − x2, y x + y = 1
en el primer octante.
http://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/3D-Web/2012_cap5solido1.html
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LOGRO DE SESIÓN
Al finalizar la sesión, el
estudiante resuelve
problemas de áreas y
volúmenes vinculados a
gestión e ingeniería
utilizando las integrales
dobles, de forma
coherente.
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• Sea 𝑫 una región tal que 𝑫 ⊂ ℝ2. Entonces el área de la región 𝑫 es:
ÁREA DE UNA FIGURA PLANA
D
dADA )(
Región de tipo I Región de tipo II
D
dxdyA D
dydxA
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VOLÚMENES DE SÓLIDOS EN EL ESOPACIO
Y se supone primero que 𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 0.
La gráfica de f es una superficie con
ecuación z = 𝑓(𝑥, 𝑦).
Considere la función f (x,y) definida en sobre la región.
Sea S el sólido que yace arriba de R y
debajo de la gráfica de f , es decir:
𝑺 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑓 𝑥, 𝑦 ; (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2
𝑫 = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2 z = 𝑓(𝑥, 𝑦)
D
S
z = 𝑓(𝑥, 𝑦)
El volumen de S, es: dAyxfVD ),(
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VOLUMEN DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO
• Sean y dos funciones reales de dos variables
reales, continuas en una región D, tales que.
Sea V el volumen del sólido acotado superiormente por la gráfica de la
función f e inferiormente por la gráfica de la función g, entonces:
RRf 2: RRg 2:
Dyxyxfyxg ),(,),(),(
dAyxgyxfVD ),(),(
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• Calcule el volumen de sólido S, mostrado en la figura adjunta.
Example 1
2 212
1 (1) 4 2R
x dA
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Ejemplo 2
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Reflexión sobre lo Aprendido
¿Qué tipo de problemas cotidianos se podrían
resolver mediante las integrales dobles?
¿Qué dificultades se presentaron en la
resolución de ejercicios?
¿De qué manera resolvieron las dificultades
encontradas?
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# CÓDIGO AUTOR TÍTULO EDITORIAL
1 515.33 PURC
PURCELL, EDWIN J.
Cálculo Diferencial E Integral
Pearson Educación
2 515
STEW/M 2002
STEWART, JAMES
Cálculo Multivariable
Cuarta edición, Mexico 2001, Edit. Thomson
3 515 HOFF/C
2006
HOFFMANN, LAURENCE D.
Cálculo Aplicado Para Administración,
Economía Y Ciencias Sociales
Octava edición, México
2007,.Mcgrawhill
BIBLIOGRAFÍA