Sesion-1 CINEMATICA-DE-LA-PARTICULA
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Un automóvil se mueve en línea recta sobre una carretera, donde
X = 0,4t3 + 8t + 10 (m), a partir de su estado inicia en t = 0, determine:
a.- El tiempo que le toma al vehículo alcanzar la velocidad de 88i (m/s)
b.- Cual es el recorrido durante este tiempo.
c.- Cual es la aceleración cuando el vehículo alcanza la rapidez de 88 m/s.
En el movimiento rectilíneo de un vehículo se sabe que a = -2x + 1, siendo sus
condiciones de frontera V0 = 4 m/s, x0 = 5 m, t0 = 0 s; determine:
a.- La rapidez cuando x = 0,5 m.
b.- El tiempo cuando x = 0,5 m
c.- La posición X cuando t = 1 s
• En este capitulo explicaremos como se
puede localizar un punto en el espacio a
partir de un sistema de referencia.
• Determinaremos la Posicion, velocidad y
aceleracion de una particula en el espacio,
em forma absoluta.
• Una posicion esta determinada por un
conjunto de coordenadas, sean
rectangulares, cilindricas o esfericas.
CINEMATICA DE LA
PARTICULA EN EL ESPACIO
MOVIMIENTO CURVILINEO DE UNA PARTICULA
Cuando una partícula no se desplaza en línea recta, se dice que la
partícula describe un movimiento curvilíneo. Tanto en el plano como en
el espacio, existen tres procedimientos de descripción del movimiento
de una partícula:
Procedimiento vectorial
Procedimiento natural
Procedimiento de coordenadas
( )r r t
Procedimiento vectorial
Vector posición:
(en el plano)
( )R R t (en el espacio)
Velocidad Media:
2 1
2 1
m
r r rv
t t t
(para t pequeños)
0t
r drv Lim r
t dt
Rapidez instantánea (v) dS
v Sdt
m
va
t
Magnitud de la aceleración tangencial instantánea (at )
2
2
dv d ra v r
dt dt
2
2
dv d Sa v S
dt dt (Donde S es el arco recorrido)
2
ˆ ˆt n t n
va a a ve e
Queremos demostrar que:
MOVIMIENTO DE LA PARTICULA EN COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL
Se utiliza en el plano y en el espacio, pero es de mas utilidad practica en problemas
de movimiento plano.
t̂v veVelocidad de la partícula:
Donde es el radio de curvatura
ˆˆ .tt
de dsa ve v
dt ds
2 ˆˆ tt
dea ve v
ds
dS d
Del grafico tenemos que:
d
d
dS
ˆ ˆ 1t te e También de:
ˆ ˆˆ ˆ 0t tt t
de dee e
dS dS
Lo que indica que:
ˆ ˆ/ ˆˆ / n
t tt
de dee
dS dSe
t̂e
ˆ ˆt te de
ˆ ˆt te de
t̂e
t̂de
ˆ ˆt tde e d d
ˆ ˆ ˆ ˆ.t t n nde de e d e También:
1ddS d
dS
Como:
Por L.A.:
ˆˆ
ˆˆt
nt
n
dee
dS
de de
dS dS
ˆˆ 1ˆ ˆˆt
nt
n n
de de e
dS d
dee
dS S
Entonces:
2 ˆˆ tt
dea ve v
ds En:
2
ˆ ˆt n
va ve e
ˆne
/ /ˆ ˆntde e
ˆˆˆ ˆ2 0 0t
ttt
de
dSe
dee
dS
ˆ ˆrv re r e Vector Velocidad:
Vector Aceleración:
2 ˆ ˆ( ) ( 2 )ra r r e r r e
Donde:
2( )ra r r
( 2 )a r r
MOVIMIENTO DE LA PARTICULA EN COMPONENTES
RADIAL Y TRANSVERSAL
Es útil para aplicaciones en problemas de movimiento plano:
Vector posición: r̂r re
Donde:
rv r v r
a
ra
a
De la figura tenemos algunas propiedades importantes:
t
v aa
v
n
v aa
v
3v
v a
2 2
t na a a
3/2
2
2
2
1 ( )dy
dx
d y
dx
MOVIMIENTO ABSOLUTO DE LA PARTICULA EN EL ESPACIO
EN COORDENADAS CILINDRICAS (r, , Z)
La posición de la partícula P se define utilizando las
coordenadas cilíndricas (a)
Descomponiéndose en términos de sus vectores unitarios: ˆˆ ˆ, ,re e k
Siendo R el vector posición: ˆr̂R re zk
ˆˆ ˆr
dRv re r e zk
dt
22
2ˆˆ ˆ( ) ( 2 )r
dv d Ra r r e r r e zk
dt dt
rv r v r zv z
2
ra r r 2a r r Za z
2 2 2
r zv v v v
2 2 2
r za a a a
Primero determinaremos las
variaciones de respecto del
tiempo:
4rad
8 /rad s
0
Con h = 4 m = cte. lo
reemplazamos en Z y
determinamos las variaciones
de z respecto del tiempo:
2 2 2z Cos Para = /4
4 2 ( )z Sen Para = /4 32 /z m s
28 2 ( ) 4 2 ( )z Cos Sen
2z m
0z Para = /4
r
264r z
De la figura obtenemos:
8 .R m cte
Para z = 2m: 7,7459r m
1/2
264r z
1/2
2
2
1 ( )64 .( 2 . )
2 64
z zr z z z
z
8,2623 /r m s
: 2 32 /Para z m z m s
2 2
2
2
{ ( )}64 [( ( ) (z) ] [ ( )]
64
64
z zz z z z z
zr
z
2 2 2
3/22 2
( ) (z) ( )
64 64
z z z zr
z z
0z Con:
Obtenemos:
2141,011 /r m s
La velocidad en coordenadas cilíndricas es:
ˆˆ ˆrv re r e zk
8,2623 /rv r m s
(7,7459)(8) 61,9672 /v r m s
32 /zv z m s
Ordenando la información:
2
7,7459
8,2623 /
141,011 /
r m
r m s
r m s
4
8 /
0
rad
rad s
2
32 /
0
z m
z m s
z
Luego determinamos cada componente de esta velocidad:
De igual manera calcularemos las componentes de la aceleración en coordenadas
cilíndricas:
2
7,7459
8,2623 /
141,011 /
r m
r m s
r m s
4
8 /
0
rad
rad s
2
32 /
0
z m
z m s
z
2 ˆˆ ˆ( ) (2 )ra r r e r r e zk 2 2( ) ( 141,011 7,7459(8)ra r r
2636,7486 /ra m s
2 2( 8,2623)(8) (7,7459)(0)a r r
2132,1968 /a m s
0za z
0za
MOVIMIENTO ABSOLUTO DE LA PARTICULA EN EL ESPACIO
EN COORDENADAS ESFERICAS (R, , )
Las expresiones de la posición y velocidad son fáciles; pero de la aceleración es mas
complicada a causa de la geometría adicional necesaria. Obsérvese que el sentido
del vector eR es el que tendría el movimiento del punto B, si R aumentara, pero
manteniendo constantes y . Asimismo, el sentido de eθ, es el que tendría B si θ
aumentara, pero manteniéndose constantes R y . Finalmente, el sentido de e es el
que tendría el movimiento de B si aumentara pero manteniéndose constantes R y
θ.
ˆRR Re
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆR R R
dRv v e v e v e Re R Cos e R e
dt
Donde:
Rv R v R Cos v R
EXPRESIONES MATEMATICAS DE LA POSICION, VELOCIDAD Y ACELERACION
DE LA PARTICULA EN COORDENADAS ESFERICAS
2
2ˆ ˆ ˆ
R R
dv d Ra a e a e a e
dt dt
22 2
Rv v v v
Donde: 2 2 2
Ra R R R Cos
2( )2
Cos d Ra R Sen
R dt
221 ( )d R
a R Sen CosR dt
2 2a R Cos R Cos R Sen
22a R R R Sen Cos
22 2
Ra a a a
Rv R
v R Cos
v R
Transformacion de Coordenadas
]][[][ ),,(),,( zyxzr vTv
100
0cos
0cos
Sen
sen
T
Nos sirven para determinar velocidades y aceleraciones en un sistema,en base a
otros conocidos.
Considerando que las ecuaciones de transformacion son lineales, utilizando el
algebra matricial, definiremos los 6 casos de transformacion:
Caso I.- De coordenadas rectangulares a coordenadas cilindricas:
]][[][ ),,(),,( zyxzr aTa
Transformacion de Coordenadas
]][[][ ),,(
1
),,( zrzyx vTv
Caso II.- De coordenadas cilindricas a coordenadas rectangulares:
]][[][ ),,(
1
),,( zrzyx aTa
100
0
01
CosSen
SenCos
T
Transformacion de Coordenadas
]][[][ ),,(),,( zrR vTv
CosSen
SenCos
T
0
010
0
Caso III.- De coordenadas cilindricas a coordenadas esfericas:
]][[][ ),,(),,( zrR aTa
Transformacion de Coordenadas
]][[][ ),,(
1
),,( Rzr vTv
CosSen
SenCos
T
0
010
01
Caso IV.- De coordenadas esfericas a coordenadas cilindricas:
]][[][ ),,(
1
),,( Rzr aTa
Transformacion de Coordenadas
Caso V.- De coordenadas rectangulares a coordenadas esfericas:
CosSenSenCosSen
CosSen
SenSenCos
TT 0
coscos
]][][[][ ),,(),,( zyxR vTTv
]][][[][ ),,(),,( zyxR aTTa
Transformacion de Coordenadas
Caso VI.- De coordenadas esfericas a coordenadas rectangulares:
CosSen
SenSenCosCosSen
SenCosSenCosCos
TT
0
11
]][][[][ ),,(
11
),,( Rzyx aTTa
]][][[][ ),,(
11
),,( Rzyx vTTv
Un niño se desliza por un tobogán acuático AB. La descripción del movimiento en
coordenadas cilíndricas es R = 4m, = at2 y z = h(1 - t2); cuando el niño se encuentra
en B, calcule:
a.- La magnitud de la velocidad vR.(m/s)
b.- La magnitud de la aceleración aR.(m/s2)
c.- La magnitud de la aceleración a.(m/s2)
d.- La magnitud de la aceleración a.(m/s2)
Luego z derivando y reemplazando:
1.- Observamos que la trayectoria de la
partícula se hace a través de un cilindro:
23 3z t
4
0
0
r m cte
r
r
2.- De la expresión:
2
0
3(2) 6 /
6 /
z
z t m s
z m s
Para z = 0 determinamos el tiempo t
20 3 3 1t t s
3.- De la expresión: 2at En B: = rad
2at
2(1)a a 2t
2 2 /t rad s
22 2 /rad s 2
2 /
2 /
rad
rad s
rad s
0rv r
6 /zv z m s
26 /Za z m s
4
0
0
r m
r
r
2
0
6 /
6 /
z
z m s
z m s
2
2 /
2 /
rad
rad s
rad s
4(2)(3,1416) 25,1328 /v r m s
2 2 24(2 ) 157,9144 /ra r r m s
22 4(2 ) 25,1328 /a r r m s
Determinando las expresiones de la velocidad y
aceleración en coordenadas cilíndricas:
Ahora en velocidades realizaremos la transformación de
coordenadas cilíndricas a esféricas donde en B: = 0
0
0 1 0
0
R r
z
v Cos Sen v
v v
v Sen Cos v
0 0 0 0
0 1 0 25,1328
0 0 0 6
Rv Cos Sen
v
v Sen Cos
1 0 0 0
0 1 0 25,1328
0 0 1 6
Rv
v
v
0Rv 6 /v m s 25,1328 /v m s
Ahora en aceleraciones realizaremos la transformación de
coordenadas cilíndricas a esféricas donde en B: = 0
0
0 1 0
0
R r
z
a Cos Sen a
a a
a Sen Cos a
0 0 0 157,9144
0 1 0 25,1328
0 0 0 6
Ra Cos Sen
a
a Sen Cos
1 0 0 157,9144
0 1 0 25,1328
0 0 1 6
Ra
a
a
2157,9144 /Ra m s 26 /a m s
225,1328 /a m s
Las barquillas del Tiovivo del Parque de Atracciones se mueven con una
frecuencia angular N = 11,2 RPM constante para β = (π/6)t, para t = 1 s
Calcule en coordenadas esféricas:
1.- La velocidad radial.(m/s)
2.- La velocidad transversal en θ.(m/s)
3.- La velocidad transversal en .(m/s)
4.- La aceleración radial.(m/s2)
5.- La aceleración transversal en θ.(m/s2)
6.- La aceleración transversal en .(m/s2)
El problema se puede resolver por dos métodos:
1.- Coordenadas cilíndricas
2.- Coordenadas esféricas
1 Forma de Solución: Coordenadas esféricas:
4,6m
R
2 2 2(4,6) (9,2) 2(4,6)(9,2) (90 )oR Cos
De la figura utilizando la Ley de Cosenos:
1,1728 /N rad s
0
2 105,8 84,64R Sen Para t = 1 s 6
rad
R = 12,17 m (1)
2 84,646 6
RR Cos t
1,5768 /R m s
Derivando (1) respecto de t:
2 84,646 6
RR Cos t
Nuevamente derivando (2):
(2):
2 22( . ) ( ) (84,64)6 6
R R R Sen t
Para t = 1 s:
20,6809 /R m s
Ahora determinaremos
el ángulo y
4,6m
R
9,2Sen(/6)t
9,2Cos(/6)t Z
r
9,26
4,6 9,26
Cos tZ
tgr
Sen t
40,8932
Para t = 1 s:
Derivando la tg:
2
2
(4,6 (9,2 ))(9,2( ) ) ( 9,2 )(9,2( ) )6 6 6 6 6 6
(4,6 (9,2 ))6
Sen t Sen t Cos t Cos t
Sec
Sen t
0,37588 /ra s
1,5768 /Rv R m s
12,17(1,1728) ( 40,8932 )v R Cos Cos
12,17(0,37588)v R
10,7893 /v m s
4,5744 /v m s
Reemplazando datos para el calculo de las aceleraciones tenemos:
2 2 2
Ra R R R Cos
2 2a R Cos R Cos R Sen
22a R R R Sen Cos
2 2 2( 0,6809) (12,17)(0,37588) (12,17)(1,1728) ( 40,8932)Ra Cos
211,9657 /Ra m s
2(1,5768)(1,1728) ( 40,8932 ) 12,17(0) ( 40,8932 ) 2(12,17)(1,1728)(0,37588) ( 40,8932 )a Cos Cos Sen
215,8917 /a m s
22a R R R Sen Cos COMPLICADO CALCULAR:
2 Forma de Solución: Coordenadas Cilíndricas:
4,6m
R
9,2Sen(/6)t
Z
9,2Cos(/6)t
ˆr̂R re zk
4,6 9,26
r Sen t
( )9,26 6
r Cos t
2( ) 9,26 6
r Sen t
Para t = 1 s
9,2r m
4,17171 /r m s
21,2611 /r m s
9,26
z Cos t
( )9,26 6
z Sen t
2( ) 9,26 6
z Cos t
Para t = 1 s 7,9674z m
2,4085 /z m s22,1843 /z m s
También: 2
rad
1,1728 /N rad s cte 0
2 21,2611 (9,2)(1,1728) 13,9153 /ra m s
2(9,2)(0) 2(4,1717)(1,1728) 9,7851 /a m s
2,4085 /Zv m s4,1717 /rv m s 10,7897 /v m s
22,1843 /Za m s
Z
rR
v
v
v
CosSen
SenCos
v
v
v
0
010
0
Análisis de velocidades:
4085,2
7897,10
1717,4
7559,006546,0
010
6546,007559,0
v
v
vR
0,7559(4,17171) ( 0,6546)(2,4085) 1,5767 /Rv m s
10,7897 /v m s
0,6546(4,17171) (0,7559)(2,4085) 4,5513 /v m s
Z
rR
a
a
a
CosSen
SenCos
a
a
a
0
010
0
Análisis de aceleraciones:
1843,2
7851,9
9153,13
7559,006546,0
010
6546,007559,0
a
a
aR
20,7559( 13,9153) ( 0,6546)(2,1843) 11,9484 /Ra m s 29,7851 /a m s
20,6546( 13,9153) (0,7559)(2,1843) 7,4578 /a m s
12 m
10 m
Z
Y
X
Un vehículo se desplaza con rapidez constante de 1,5m/s.
La distancia entre crestas consecutivas es de 12m.
1.- Determinar la rapidez VR.
2.- Determinar la magnitud de la aceleración aR.
3.- Determinar la magnitud de la aceleración ax.
4:- Determinar la magnitud de la aceleración ay.
5.- Determinar la magnitud de la aceleración az
Nº Cantidad
Escalar
Valor
Numérico
Unidades
1.- VR 0,2814 m/s
2.- aR 0,21709 m/s2
3.- ax 0 m/ s2
4.- ay 0,21709 m/ s2
5.- az 0 m/ s2
RESPUESTAS
En el instante mostrado el rociador de agua está
girando con =2 rad/s = 3 rad/s2 . Si la tobera se
halla en el plano vertical y el agua fluye por ella a razón
constante de 3 m/s y la tobera gira con respecto al eje
Z con = 5 rad/s y =8 rad/s2
Calcular:
1.- La magnitud de la velocidad del agua en la salida. (m/s)
2.- La magnitud de la aceleración del agua en la salida ,en el eje X. (m/s2)
3.- La magnitud de la aceleración del agua en la salida ,en el eje Y. (m/s2)
4.- La magnitud de la aceleración del agua en la salida ,en el eje Z. (m/s2)
CALCULO DE LA VELOCIDAD
smxRV 4.0)2(2.0
smRrV 3
smxCosxV
xRxV
7071.0)º45()5(2.0
cos
evevevVrr
En coordenadas esféricas, la velocidad
está dada por:
CALCULO DE
ACELERACIONES
eaeaeaarr
CosRRRar
22
SenRCosRCosRa 22
º4552.022.00 222 xCosxxar
En coordenadas esféricas la aceleración está
dada por:
2/3.3 smar
2/5161.19 sma
2/1.15 sma
CosSenRRRa 22
º45º4552.032.0232 2 CosxSenxxxxa
º45252.02
º4582.0º45532
xSenxxx
xCosxxCosxxa
Aplicamos transformación de
coordenadas esféricas a
coordenadas cartesianas según la
ecuación:
en donde:
]][][[][ ),,(
11
),,( rzyx aTTa
cos0
coscos
coscoscos11
sen
sensensen
sensen
TT
…(1)
1.15
5161.19
3.3
7071.007071.0
7071.007071.0
010
z
y
x
a
a
a
resolviendo:
3438.8
0106.13
5161.19
z
y
x
a
a
a
reemplazando datos en (1):
Finalmente
N Variable Cantidad Unidades
01. VA = 3.1080 m/s
02. aAx = 19.5161 m/s²
03. aAy = 13.0106 m/s²
04. aAz = 8.3438 m/s²