SESION 10
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ondas
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Ondas y calor
Unidad 3: Movimiento Oscilatorio
Unidad de formación: Movimiento Armónico Simple (M.A.S.),
Movimiento Amortiguado y Forzado
Objetivo de aprendizaje
• Modelar matemáticamente el comportamiento del M.A.S.
• Identificar las aplicaciones del M.A.S. en procesos técnicos.
• Evaluar los conceptos que rigen el comportamiento de la energía almacenada en un M.A.S.
• Analizar los efectos reales del movimiento amortiguado y forzado.
Capacidad terminal
• Los estudiantes aplican conocimientos actuales y emergentes de ciencia, matemática y tecnología.
• Los estudiantes trabajan eficazmente en equipo.
• Los estudiantes identifican y analizan problemas, proponen y desarrollan soluciones.
Contenidos
• M.A.S.: ley de Hooke
• Péndulo simple
• Péndulo físico
• Movimiento amortiguado
• Movimiento forzado
• Resonancia mecánica
Ley de Hooke
En 1676 Robert Hooke descubrió y estableció la ley que lleva su nombre y que se utiliza para definir las propiedades elásticas de un cuerpo. En el estudio de los efectos de las fuerzas de tensión, y compresión, observó que había un aumento en la longitud del resorte, o cuerpo elástico, que era proporcional a la fuerza aplicada.
F k x
Movimiento Armónico Simple (M.A.S.)
Al movimiento de un objeto que se repite a intervalos regulares, se le denomina movimiento periódico. (Ejemplo: las oscilaciones de un péndulo simple). Si consideramos una masa m, sujeta a un resorte, que oscila en la dirección x sobre una superficie horizontal, sin fricción.
Movimiento Armónico Simple (M.A.S.)
k x m a
2
2
d xa
dt
2
2
d xm kx
dt
2
20
d xm kx
dt
2
20
d x kx
dt m
22
20
d xx
dt
2 k
m
:
( ) ( )
Solución
x t Asen t
k
m
2T
12
mT
f k
2 f
Energía en el M.A.S.
La energía cinética del cuerpo es:
21
2K mv
La energía potencial del resorte es:
21
2U kx
La energía mecánica total es:
2 21 1
2 2E K U mv kx
Masa del resorte despreciable
Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) La energía mecánica total (E) está relacionada directamente con la amplitud A del movimiento. Cuando x = A, su desplazamiento es máximo con respecto al equilibrio, se detiene momentáneamente antes de volver hacia la posición de equilibrio. Es decir, cuando x = A (o bien, -A), vx= 0. Aquí, la energía es sólo potencial.
Péndulo simple
En el caso de un péndulo ideal o simple, se cuelga una partícula material de una cuerda inextensible de masa despreciable. La posición de dicho péndulo se describe mediante su distancia angular respecto a la vertical. El momento de la fuerza gravitatoria sobre la bolita del péndulo respecto al punto de suspensión es , que tiende a restaurarlo a su posición vertical de equilibrio.
mglsen
Péndulo simple
Como el momento de inercia del péndulo es: la ecuación del movimiento se convierte en
2I ml
I
22
2
dml mglsen
dt
2
20
d gsen
dt l
Péndulo simple
Si es pequeño, podemos utilizar la aproximación sen (radianes)
2
20
d gsen
dt l
22
20n
d
dt
2
n
g
l 2
lT
g
,
En el límite de las oscilaciones pequeñas la solución general (t) tiene la forma: ( ) ( )
m nt sen t
Péndulo físico
Un péndulo físico está formado por un cuerpo rígido cualquiera suspendido de un eje horizontal, que sirve de soporte, y que se encuentra en libertad de oscilar alrededor de su posición de equilibrio bajo la acción de su propio peso y de la reacción del eje de soporte. Un reloj de pared ordinario es un buen ejemplo.
C
L
mg
O
Péndulo físico
La figura muestra una sección vertical de un péndulo físico, que está suspendido por un eje que pasa por O y tiene un centro de masas en el punto C. El momento debido a la gravedad puede considerarse como si estuviese aplicado en el centro de masas en sentido opuesto al del movimiento del péndulo, La ecuación general del movimiento correspondiente al péndulo físico es:
C
L
mg
O
mgLsen
2
20
d mgLsen
dt I
Péndulo físico
En el caso de valores pequeños de , esto equivale a una oscilación armónica simple de periodo:
C
L
mg
O
2I
TmgL
Movimiento amortiguado
Las fuerzas amortiguadoras reducen la energía mecánica total del sistema, normalmente mediante una transformación en calor. Un péndulo puede estar oscilando durante un tiempo considerable; sin embargo, si no se le suministra energía para compensar la resistencia del aire y el rozamiento en el pivote de giro, la amplitud de oscilaciones irá disminuyendo gradualmente.
2E A
Movimiento amortiguado
Como la fuerza de amortiguamiento se opone siempre a la velocidad podemos expresarla como Donde b es una constante llamada coeficiente de amortiguamiento. En el caso del movimiento unidimensional, la ecuación del movimiento es: En donde A es la amplitud sin amortiguar, d es la frecuencia angular amortiguada y es una constante positiva denominada constante de amortiguamiento.
F bv
:
( ) ( )t
d
Solución
x t Ae sen t
2
2
d x dxm b kx
dt dt
22
20n
d x dxx
dt dt
/b m 2 / .n k m
1
2 2 21
4d n
Movimiento amortiguado
Gráfica de desplazamiento contra tiempo para un oscilador con amortiguamiento
Movimiento forzado
Algunas veces el oscilador amortiguado se encuentra sometido también a una fuerza impulsora periódica externa que impide la disminución de las oscilaciones, o incluso actúa incrementando su amplitud. Ejemplos: relojes accionados eléctricamente, juguetes y relojes accionados por una cuerda mecánica, los impulsos que se dan en un columpio
Movimiento forzado
Si representamos la fuerza impulsadora por: Luego la ecuación del movimiento oscilatorio se puede escribir así: AF es la amplitud de las oscilaciones estacionarias forzadas
/2
:
( ) ( ) ( )t
d F F F
Solución
x t Ae sen t A sen t
0 FF F sen t
22
02 n F
d x dxx F sen t
dt dt
0F 2 2 2 2
n F n
fA
( )
Resonancia mecánica
La respuesta del oscilador es un máximo cuando la amplitud AF(F) posee su valor más grande. Este fenómeno, conocido como resonancia, aparece a frecuencias 2 21
2F res n
Aplicación en aula
En grupos de 5 estudiantes dar ejemplos de M.A.S., FORZADO, AMORTIGUADO y RESONANCIA MECÁNICA
Actividades de extensión
En el siguiente enlace encontrarás un video RESONANCIA. Analízalo y has un pequeño comentario para debatir en la próxima sesión.
https://youtu.be/2JIX71OYpz0
