EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO: INTERES COMPUESTO.

EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO: INTERES COMPUESTO.Lic. Admn. Mario O. Paredes Snchez.INTERES COMPUESTOEs el proceso mediante el cual el inters generado por un capital en una unidad de tiempo, se capitaliza, es decir se adiciona al capital anterior, formando un nuevo capital, el mismo que genera un nuevo inters en la siguiente unidad de tiempo y as sucesivamente durante el plazo pactado, experimentando al final de cada unidad de tiempo un crecimiento geomtrico.El inters compuesto es una sucesin de operaciones a inters simple, en la que despus de la primera, su monto constituye el capital inicial de la siguiente.

Para el clculo del inters compuesto es necesario tener en consideracin:La tasa nominal anual (j).La tasa efectiva del perodo capitalizable (i=j/m).El nmero de das del perodo capitalizable (f).El nmero de perodos de capitalizacin en el ao (m), el cual se halla dividiendo el nmero de das del ao bancario entre f; m = 360/fEl horizonte de tiempo (H): nmero de das de la operacin. Generalmente un prstamo se amortiza en cuotas. Al vencimiento de cada cuota procede el cobro del inters moratorio en adicin al inters compensatorio.El nmero de perodos de capitalizacin en el horizonte temporal (n), el cual est dado por el cociente (H/f), n = H/f

INTERES COMPUESTOAl final del primer perodo de capitalizacin, el monto de una operacin a inters compuesto coincide con el monto de una operacin a inters simple, si son iguales las tasas y los capitales iniciales.

INTERES COMPUESTOI.- CLCULO DEL MONTO, CAPITAL FINAL O VALOR FUTURO (S): Si tenemos un Capital Inicial (P), que gana una tasa efectiva (i) por el perodo de tiempo durante (n) perodos capitalizables, tendramos al final del horizonte temporal el monto (S) siguiente. S1 S2 S3 Sn 1 Sn 0 i 1 i 2 i 3 n-1 i n P

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.(13)Donde: El factor (1 + i)n de la frmula anterior es el factor simple de capitalizacin compuesto (FSC).

INTERES COMPUESTOEl Monto Compuesto (S) aplicando una tasa nominal (j) capitalizable (m) veces en un plazo determinado durante (n) periodos, se calcula con la siguiente formula:INTERES COMPUESTO

..(14)Problemas Prcticos:

1.- Hallar el Monto que se obtiene con un capital de S/. 74,000 colocado al 42% anual convertible mensualmente durante 1 ao y 3 meses? Rpta: S/. 123,976.

INTERES COMPUESTO2.- Una persona abre un cuenta bancaria el 14 de Abril con S/. 1,000 Nuevos Soles percibiendo una Tasa Nominal Mensual del 4% con capitalizacin diaria. El 02 de Mayo retira S/. 400 soles; el 15 de Mayo retira S/. 200 soles y el 03 de Junio deposita S/. 100 soles. Qu Monto habr acumulado desde la fecha de su depsito inicial hasta el 24 de Junio, fecha en que cancela dicha cuenta? Rpta: S/. 561.84

INTERES COMPUESTO3.- Una empresa abre una cuenta corriente bancaria por la cual gana una tasa de inters efectivo mensual del 3% sobre sus saldos acreedores y paga una tasa nominal mensual del 3% con capitalizacin diaria sobre sus saldos deudores (sobregiros bancarios). Calcule el monto de la cuenta al 31 de agosto, cuyo movimiento fue el siguiente:

INTERES COMPUESTOFecha04/0806/0809/0812/0813/0815/0831/08Depsito10,0005,0003,00030,0009,00015,000Retiro2,00037,000Rpta: S/. 33,390.49II.- Monto con Variaciones en la Tasa de Inters:

S = P (1+i1)n1 . (1+i2)n2 . (1+i3)n3 Xx(1+im)n.m (15)

INTERES COMPUESTOEjercicio Prctico:

1.- Se ha suscrito un contrato de crdito por S/. 80,000 soles para cancelarlo dentro de 120 das a la tasa efectiva mensual de mercado. Al vencimiento del plazo, la tasa efectiva mensual ha sufrido las siguientes variaciones: 5% durante 46 das; 4.5% durante 10 das y 4% durante 64 das. Cul es el importe a cancelar al vencimiento del crdito? Rpta: 95,124.III.- Clculo del Capital Inicial (P):

De la ecuacin (13) despejamos P:

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.(16)Donde: El factor (1 + i)-n es el factor simple de actualizacin compuesto FSA. 1.- Cunto debo invertir hoy para acumular S/. 20,000 soles dentro de 120 das en una institucin financiera que paga una tasa nominal anual del 24% con capitalizacin diaria? Rpta: S/. 18,462.822.- Cual es el precio de contado de un Juego de Muebles de Cedro ofertado al crdito con una cuota inicial de S/. 2,000 soles y 4 cuotas de S/. 500 soles cada una pagadera cada fin de mes, si se requiere ganar una tasa efectiva mensual del 3%? Rpta: S/. 3,858.553.- En el proceso de adquisicin de un Maquina, se tienen las siguientes alternativas: a).- Inicial de S/. 2,000 soles y dos cuotas mensuales de S/. 2,000. b).- Inicial de S/. 1,520 soles y tres cuotas mensuales del mismo importe que la cuota inicial.Cul es la mejor alternativa considerando un costo de oportunidad del 3% efectivo mensual? Rpta: (b), con un P = S/. 5,819.49INTERES COMPUESTOIV.- Calculo del Capital Inicial con Variaciones en la Tasa de Inters:

P = S (1+i1)-n1. (1+i2)-n2. (1+i3)-n3 Xx(1+im)-n.m (17)INTERES COMPUESTOEjercicios Prcticos:1.- El 24 de Setiembre se efectu un depsito en un banco percibiendo una tasa efectiva mensual del 4%, la cual vario el 16 de Octubre al 4.2% y al 4.5% el 11 de Noviembre. El da de hoy, 25 de Noviembre el saldo de la cuenta es de S/. 6,500 soles. Qu importe se deposito originalmente? Rpta: S/. 5,970.572.- Calcular el valor presente de un Monto de S/. 15,000 soles que se recibir dentro de 30 das, si la vigencia de la tasa efectiva mensual ser 8 das al 2% y 22 das al 1.5%? Rpta. S/. 14,758.97

INTERES COMPUESTOV.- Clculo de la Tasa de Inters (i):

De la ecuacin (13) despejamos i:

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. (18)Donde: i corresponde al perodo de capitalizacin en el que se haya expresado n.1.- Calcule la tasa de rentabilidad efectiva mensual de un bono comprado en S/. 2,000 soles y vendido al cabo de 90 das en S/. 2,315.25 soles? Rpta: TEM = 5%.

2.- La poblacin de la Ciudad de Cajamarca se triplica cada 25 aos. Asumiendo un crecimiento exponencial. Qu tasa de crecimiento promedio anual tiene? Rpta: 4.49%

INTERES COMPUESTOVI.- Clculo del nmero de perodos de capitalizacin (n):

De la ecuacin (13) despejamos n:INTERES COMPUESTO

(19)Donde: n es el nmero de unidades de tiempo a la que hace referencia i.Ejercicios Prcticos:

1.- En cuntos das podre cuadruplicar mi capital a una tasa efectiva anual del 50%? Rpta: 3.419 aos = 41 meses = 1,231 das.

2.- Cunto tiempo (aos) debe transcurrir para que la relacin entre un capital de S/. 8,000 soles colocado a una tasa de inters del 4% efectivo mensual y su monto sea de 4 a 10? Rpta: 1.9468 aos.INTERES COMPUESTO3.- Qu tiempo (aos) debe transcurrir para que un capital de S/. 5,000 soles colocado a una tasa efectiva mensual del 6% iguale al monto producido por otro capital de S/. 8,000 soles colocado a una tasa efectiva mensual del 4%? Rpta: 2.0562 aos.INTERES COMPUESTOVII.- Clculo del Inters Compuesto (I):

I = S P I = P(1 + i)n P

I = P[(1+i)n - 1] ..(20)INTERES COMPUESTO De la ecuacin (20) despejamos P, i y n.

.(21).(22).(23)1.- Calcule el inters que ha producido un capital de S/. 7,000 soles a una tasa efectiva mensual del 1% por el periodo comprendido entre el 03 de Abril y el 06 de Junio del mismo ao? Rpta: I = 150.182.- Calcule el inters compuesto bimestral que habr ganado un deposito de ahorros de S/. 5,000 soles colocado a una tasa nominal anual del 24% con capitalizacin trimestral? Rpta: I = 198.053.- Calcule el inters compuesto ganado en un trimestre por una inversin de S/. 20,000 soles colocado a una tasa nominal anual del 18% con capitalizacin bimestral? Rpta: I = 906.716INTERES COMPUESTO4.- La rentabilidad en 23 das de un paquete de acciones adquirido en Bolsa fue de S/. 500 soles. Dicho paquete accionario acumulo en 30 das una tasa de rentabilidad del 3.9% Cul fue su precio de adquisicin? Rpta: P =16,797.635.- A qu tasa de inters efectiva anual debe colocarse un capital para que se duplique en 42 meses? Rpta: TEA = 21.9%6.- En cuntos trimestres un capital de S/. 5,000 soles habr ganado un inters de S/. 306.04 soles colocado a una tasa nominal anual del 24% con capitalizacin mensual? Rpta: 1 Trimestre.

INTERES COMPUESTO ECUACIONES DE VALOR EQUIVALENTE A INTERS COMPUESTO:

En el inters compuesto dos capitales ubicados en diferentes momentos de un horizonte temporal son equivalentes si a una fecha determinada sus respectivos valores (descontados, capitalizados; o uno capitalizado y otro descontado, etc.), aplicando en todos los casos la misma tasa de inters, son iguales.

INTERES COMPUESTOINTERES COMPUESTOTEM = 5%S1 = 1,050S2 = 1,102.50S3 = 1,157.63P = 1,0000123 Meses1,050 (1.05)-1 = 1,0001,102.50 (1.05)-2 = 1,0001,050 (1.05)2 = 1,157.631,102.50 (1.05)1 = 1,157.631,000 (1.05)2 = 1,102.501,157.63 (1.05)-1 = 1,102.50cabbbaaccSi dos capitales son equivalentes en una determinada fecha focal o de evaluacin, tambin lo sern en cualquier otra fecha focal.

Si dos capitales no son equivalentes en una determinada fecha focal, no lo sern en cualquier otra fecha focal.INTERES COMPUESTOPara el calculo de equivalencia de capitales a Inters Compuesto, al igual que en el Inters Simple, es necesario fijar una fecha focal y plantear una ecuacin de equivalencia donde se pongan en igualdad de condiciones originales y las nuevas condiciones, y luego despejar la incgnita planteada.INTERES COMPUESTOProblemas Prcticos:

1.- En una negociacin sostenida por la empresa Lnea. SA. con el Banco de Crdito, se aprob un contrato para sustituir sus deudas de: S/. 8,000 y S/. 9,000 soles con vencimientos dentro de 2 y 4 meses respectivamente, por un nico pago con vencimientos a 3 meses a una tasa anual del 48% con capitalizacin mensual. Cul ser el importe del pago que deber realizar la empresa Lnea en esa fecha? Rpta: S/. 16,973.85INTERES COMPUESTO2.- La Empresa Caxagas debe pagar a mi Caja Cajamarca dos deudas de S/. 8,000 y S/. 10,000 soles, la primera a 30 das y la segunda a 60 das. La Gerencia Financiera de Caxagas, analizando su flujo de caja proyectado conoce de la futura falta de efectivo para esas fechas, por lo que negociando con el banco, se difieren los pagos para el da 120 a una tasa efectiva mensual del 5% (incluye la mora). Qu importe debe pagar Caxagas el da 120? Rpta: S/. 20,286.INTERES COMPUESTO3.- En la fecha se depositan S/. 10,000 soles con el objeto de acumular S/. 20,000 soles dentro de 8 meses. El banco paga una tasa nominal anual del 36% con capitalizacin mensual. Qu importe se deber depositar al segundo mes para cumplir con el objetivo propuesto? Rpta: S/. 6,140.69

INTERES COMPUESTO Mediante un ejemplo, podremos visualizar y comprender mejor la diferencia entre los dos regmenes financieros: Inters Simple e Inters Compuesto. Ejemplo: Se deposita la cantidad de $. 10,000 dlares en una entidad financiera durante 5 aos al 18% anual. Elabore una Tabla en la que se pueda visualizar la diferencia de los intereses generados, el monto de los retiros al final de cada periodo y los montos retirados al final de todo el horizonte temporal, bajo los dos regmenes financieros.INTERES SIMPLE VS. INTERES COMPUESTOINTERES SIMPLE VS. INTERES COMPUESTOINTERES SIMPLEINTERES COMPUESTOCAPITAL INICIAL$. 10,000$. 10,000Inters en el ao 110,000x0.18x1 = 1,80010,000[(1+0.18)1 1] = 1,800Monto al final del ao 110,000(1+0.18x1) = 11,80010,000(1+0.18)1 = 11,800Inters al final del ao 210,000x0.18x1 = 1,80011,800[(1+0.18)1 1] = 2,124Monto al final del ao 210,000(1+0.18x2) = 13,60010,000(1+0.18)2 = 13,924Inters al final del ao 310,000x0.18x1 = 1,80013,924[(1+0.18)1 1] = 2,506.32Monto al final del ao 310,000(1+0.18x3) = 15,40010,000(1+0.18)3 = 16,430.32Inters al final del ao 410,000x0.18x1 = 1,80016,430.32[(1+0.18)1 1] = 2,957.46Monto al final del ao 410,000(1+0.18x4) = 17,20010,000(1+0.18)4 = 19,387.78Inters al final del ao 510,000x0.18x1 = 1,80019,387.78[(1+0.18)1 1] = 3,489.80Monto al final del ao 510,000(1+0.18x1) = 19,00010,000(1+0.18)5 = 22,877.58Como se puede observar en la Tabla anterior, se cumplen las siguientes condiciones:Los intereses generados durante el primer periodo y el monto al final del mismo en ambos regmenes, son los mismos.Los intereses generados durante todo el periodo a inters simple son de: $. 9,000 y a inters compuesto son de: $. 12,877.58Al final de los 5 aos, el monto por retirar a inters simple es de: $. 19,000 y a inters compuesto es de: $. 22,877.58INTERES SIMPLE VS. INTERES COMPUESTO

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