Mecánica.

Universidad Madero

Dr. Miguel Angel Del Valle Diego.

2013

Salón C 411 Martes de 11:00 a 13:00 hrs.

Salón C 410 Jueves de 11:00 a 13:00 hrs.

Video

Centro de masa.

http://www.youtube.com/watch?v=ouymky631ta

http://www.youtube.com/watch?v=RDQukP3H6p8

Actividad

De manera individual plantear en una hoja

escrita a mano una cuartilla completa, tu

opinión sobre los videos que acabas de

ver.

Tiempo : 15 minutos

Momento de una fuerza

o momento de torsión.

Momento de torsión.

• Momento de una fuerza, momento de torsión,

torque o torca.

• Capacidad que tiene una fuerza para hacer

girar un cuerpo

• Intensidad con que la fuerza, actuando sobre

un cuerpo tiende a comunicarle un

movimiento de rotación.

• M= Fr

• Donde:

• M= momento de una fuerza

• F= Valor de la fuerza aplicada

• r = brazo de la palanca

F = 20 N A

5 m

F = 20 N

A

5 m

Momento (-)

Momento (+)

M = Fr=(- 20N )* 5 m

= -100 Nm

M = Fr= 20N * 5 m

=100 Nm

F = 20 N A

2.5 m

Momento (-)

M = Fr= (-20N) *

2.5 m = -50 Nm

A F = 20 N

2.5 m

M = Fr= (-20N) * 0

m = 0

Consideraciones.

• Momento de una fuerza es positivo cuando su

tendencia es hacer girar a un cuerpo en sentido

contrario a las manecillas del reloj.

• Es negativo cuando la tendencia de la fuerza

aplicada es hacer girar al cuerpo en sentido de

las manecillas del reloj.

Momento de una fuerza.

• El momento de una fuerza es una magnitud

vectorial cuya dirección es perpendicular al

plano donde se realiza la rotación del cuerpo y

su sentido dependerá de cómo se realice ésta.

• Las unidades del momento de torsión son las

unidades de fuerza por distancia, por ejemplo

Newton-metro N.m (joule) y libra-pie (lb.ft).

• El momento de una fuerza cuando dicha

fuerza es aplicada a un objeto también puede

calcularse con la siguiente ecuación:

• M = F r sen . Ó τ = F r sen .

• Se utiliza el seno del ángulo, puesto que

la componente vertical de la fuerza (Fy) es la

componente por la cual el objeto tiende a

girar.

• Primera condición de equilibrio

(traslacional). Un cuerpo se encuentra en

equilibrio traslacional si y solo si la suma

vectorial de las fuerzas que actúan sobre el es

igual a cero. ΣFx= 0 y ΣFy= 0.

• Segunda condición de equilibrio: para que un

cuerpo esté en equilibrio de rotación, la suma de

los momentos o torcas de las fuerzas que

actúan sobre él respecto a cualquier punto debe

ser igual a cero.

• ΣM = 0. ó Σ τ = 0.

• La línea de acción de una fuerza es una línea

imaginaria que se extiende indefinidamente a lo largo

del vector en ambas direcciones. Cuando las líneas de

acción de las fuerzas no se intersectan en un mismo

punto, puede haber rotación respecto a un punto

llamado eje de rotación.

• La distancia perpendicular del eje de rotación a la línea

de la fuerza se llama brazo de palanca de la fuerza, el

cual determina la eficacia de una fuerza dada para

provocar el movimiento rotacional. Si se ejerce una

fuerza F a distancias cada vez mayores del centro de

una gran rueda, gradualmente será más fácil hacer girar

la rueda en relación con su centro.

• Isaías quiere reparar su bicicleta con la ayuda

de una llave de perico aplicándole una fuerza de

850 Newton y un ángulo de 60° para hacer girar

a la tuerca. Calcular el momento de la fuerza si

la llave mide 35 cm y se aplica en el sentido

contrario a las manecillas del reloj.

60º

850 N

Datos

F = 850 N

= 60°

r = 35 cm =0.35 m

M = ?

M = F r sen

M = (850 N) (0.35 m) (sen 60°)

M = (850 N) (0.35 m) (0.8660).

M = 257.64 N. m ó 257.64

Joules.

Tarea 1:

• Se aplica una fuerza de 50 Newtons sobre la

barra que se muestra en la figura siguiente.

Calcule el momento de la fuerza respecto al

punto A.

•

A

5 m

Tarea 2:

• Se aplica una fuerza de 70 Newtons sobre la

barra que se muestra en la figura siguiente.

Calcule el momento de la fuerza respecto al

punto A.

A

2.5 m 2.5 m

70 N

Tarea 3:

• Se aplica una fuerza de 200 Newtons sobre

la barra que se muestra en la figura

siguiente. Calcule el momento de la fuerza

respecto al punto A.

A

5 m

200 N

MOMENTO DE UNA FUERZA.

MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO

A UN PUNTO.

• Un cuerpo puede encontrarse en equilibrio de traslación, sin embargo puede estar girando sobre su propio eje debido a 2 o más fuerzas. Así por ejemplo, la rotación del volante de un automóvil se debe a la capacidad que tiene cada fuerza para hacerlo girar.

• Para que un cuerpo esté en equilibrio de rotación, debe cumplirse la segunda condición de equilibrio que dice: “para que un cuerpo esté en equilibrio de rotación, la suma de los momentos o torcas de las fuerzas que actúan sobre él respecto a cualquier punto debe ser igual a cero”. Matemáticamente esta ley se expresa con la ecuación:

• ΣM=0.

• ΣM= M1 + M2 + M3 + …. Mn = 0.

• Cuando se aplica una sola fuerza en forma perpendicular a un objeto, el momento de torsión o torca se calcula con la siguiente fórmula:

• M = F . r

• Donde M = momento de torsión o torca en Newton-metro (Joule).

• F = fuerza aplicada al objeto en Newtons.

• r = brazo de palanca o longitud del punto donde se aplica la fuerza respecto al punto considerado en metros.

• Cuando la fuerza se aplica con un cierto

ángulo, el momento de torsión se calcula con

la fórmula:

• M = F . r sen θ.

• Donde sen θ, es la componente de la fuerza

que tendería a girar al objeto.

• Antes de proceder a resolver problemas en los que se aplica la primera y segunda condición del equilibrio, veamos algunos conceptos básicos relacionados con el:

• Cuando sobre un cuerpo actúan fuerzas que no tienen una línea de acción común, tal vez exista equilibrio traslacional pero no necesariamente equilibrio rotacional. En otras palabras, quizá no se mueva ni a la derecha ni a la izquierda, tampoco hacia arriba ni hacia abajo, pero puede seguir girando.

• La línea de acción de una fuerza es una línea imaginaria que se extiende indefinidamente a lo largo del vector en ambas direcciones. Cuando las líneas de acción de las fuerzas no se intersectan en un mismo punto, puede haber rotación respecto a un punto llamado eje de rotación.

• La distancia perpendicular del eje de rotación a la línea de la fuerza se llama brazo de palanca de la fuerza, el cual determina la eficacia de una fuerza dada para provocar el movimiento rotacional. Por ejemplo, si se ejerce una fuerza F a distancias cada vez mayores del centro de una gran rueda, gradualmente será más fácil hacer girar la rueda en relación con su centro.

• Cuando la fuerza aplicada no tenga brazo de palanca, es decir que se aplica en el mismo punto considerado, no habrá momento de torsión.

• Por convención, cuando la fuerza aplicada tiende a girar al cuerpo en el sentido de las manecillas del reloj, al momento de torsión se le asigna el signo negativo, y cuando la fuerza tiende a girar al objeto en el sentido contrario a las manecillas del reloj, se le asigna el signo positivo.

PROBLEMAS DE MOMENTO DE UNA

FUERZA RESPECTO A UN PUNTO.

• 1.- Se ejerce una fuerza de 20 Newtons

sobre un cable enrollado alrededor de un

tambor de 120 mm de diámetro. ¿Cuál es el

momento de torsión producido

aproximadamente al centro del tambor, si la

fuerza se aplica en el sentido de las

manecillas del reloj?.

F = 20 N

• Datos: Fórmula Sustitución

• F = -20 N M = F.r M = -20 N x 0.06 m.

• r = 0.06 m

M = -1.20 N.m = -1.20 Joules

• M=?

• 2.- Calcular el momento de torsión de la

siguiente barra, respecto al punto A, si se le

aplica una fuerza de 50 Newtons y el brazo

de palanca es de 5 metros.

A

50 N

5 m

• Datos Fórmula Sustitución

• M = ? M = F . R M = 50 N x 5 m

• F = 50 N M = 250 N . m

• r = 5 m M = 250 Joules.

• 3.- Calcular el momento de torsión aplicado

en el punto A de la viga si se le aplica una

fuerza de 150 N, y su longitud es de 4

metros:

4 m

150 N

• Datos Fórmula Sustitución.

• M = ? M = F . r M = - 150 N x 4 m

• F = - 150 N M = - 600 N . m

• r = 4 m M = - 600 Joules.

• 4. Calcule el momento de torsión en el punto

A de la siguiente viga, si se le aplica una

fuerza de 1000 N en el punto A.

A

1000 N

4 m

• Datos Fórmula Sustitución.

• M = ? M = F . r M = 1000 N x 0.

• F = 1000 N M = 0.

• r = 0

• No hay momento de torsión puesto que la fuerza de 1000 N se aplica en el punto A, por lo cual no hay brazo de palanca y la fuerza no tiene la capacidad de hacer girar a la viga, cuando se aplica en el punto A.

• 5.- Isaías quiere reparar su bicicleta con la

ayuda de una llave de perico aplicándole una

fuerza de 850 Newton y un ángulo de 60°

para hacer girar a la tuerca. Calcular el

momento de la fuerza si la llave mide 35 cm

y se aplica en el sentido contrario a las

manecillas del reloj.

• Datos

• F = 850 N

• = 60°

• r = 35 cm = .35 m

• M = ?

• M = F. r sen

• M = (850 N) (0.35 m) (sen 60°)

• M = (850 N) (0.35 m) (0.8660)

• M = 257.64 N. m

MOMENTO DE UN PAR

DE FUERZAS.

DEFINICION DEL MOMENTO DE UN

PAR DE FUERZAS.

• MOMENTO DE UN PAR DE FUERZAS

• Se dice que dos fuerzas F y -F que tienen

la misma magnitud, líneas de acción

paralelas y sentidos opuestos forman un par.

F

- F

• Obviamente, la suma de las componentes de las dos fuerzas en cualquier dirección es igual a cero. Sin embargo, la suma de los momentos de las dos fuerzas con respecto a un punto dado no es cero. Aunque las dos fuerzas no originarán una traslación del cuerpo sobre el que están actuando, éstas sí tenderán a hacerlo rotar.

•

• Representando con rA y rB, respectivamente, a los vectores de posición de los puntos de aplicación de F y -F , se encuentra que la suma de los momentos de las dos fuerzas con respecto a O es.

• rA X F + rB X (-F ) = (rA - rB) X F

• Definiendo rA - rB = r, donde r es el vector que une los puntos de aplicación de las dos fuerzas, se concluye que la suma de los momentos de F y –F, con respecto a O, está representada por el vector.

M = r X F

El vector M se conoce como el momento del par; se trata de un vector perpendicular al plano que contiene las dos fuerzas y su magnitud está dad por

M = rF Sen Ø = Fd

Donde d es la distancia perpendicular entre las líneas de acción de F y –F.

• Como el vector r en es independiente de la elección del origen O de los ejes coordenados, se observa que se obtendría el mismo resultado si los momentos de F y –F se hubieran calculado con respecto a un punto O’. Por lo tanto, el momento M de un par es un vector libre que ser aplicado en cualquier punto.

• A partir de la definición del momento de un par también se concluye que dos pares, uno constituido por las fuerzas F1 y –F1 y el otro constituido por las fuerzas F2 y –F2 tendrán momentos iguales si

• F1d1 = F2d2

• y si los dos pares se encuentran en planos paralelos ( o en el mismo plano) y tienen el mismo sentido.

Referencia

• http://www.itescam.com