CONJUNTOS.Las matemticas modernas estn basadas en ideas sobre conjuntos. Es por esto, que apropiadamente nosotros empezamos con conjuntos. Tambin podremos encontrar que algunas de los problemas de nuestra vida cotidiana estn asociadas con las ideas de los conjuntos.

La palabra conjunto es usada para referir sobre algo muy arbitrario pero como una coleccin bien definida de objetos, estos objetos son llamados elementos de un conjunto. Un grupo se determina cuando tenemos una regla que nos dice si es o no un objeto dado es un elemento o miembro del conjunto. Por ejemplo, las letras del abecedario forman un conjunto, de igual manera, podemos hablar del conjunto de todos los tringulos equilteros o grupo de hermanos de Yaneth. Un conjunto de particular importancia puede ser el de enteros positivos.1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13

Donde los puntos seguidos se leen: y as sucesivamente el conjunto de enteros negativos se obtiene colocando el signo menos antes de cada elemento en el conjunto de los enteros positivos. El entero positivo y cero forman el conjunto de enteros no negativos,0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,

Un conjunto con un pequeo nmero de elementos es a menudo especificado por escuchar los elementos. Las llaves son usados cuando los elementos de un conjuntos estn enumerados, as por ejemplo {1, 2, 3, 4, 5} este conjunto consiste en los cinco primeros nmeros enteros. La disposicin o el orden de sucesin de los elementos son irrelevantes si no se dice nada de manera contraria. Por ejemplo, {1, 2, 3, 4, 5} y {3, 1, 5, 4, 2}. De igual manera, cuando A es el conjunto de las letras del abecedario que precede E, luego A puede ser representado por {b, d, a, c} de igual modo como {a, b, c, d}, o diciendo que A es el conjunto de letras que no sean r en la palabra abracadabra

Un conjunto se construye generalmente dando una propiedad que es poseda por aquellos y slo aquellos elementos que se desean considerar. Sin embargo, la nica obvia propiedad que puede ser la que todos los elementos pertenecen a un mismo conjunto.Considerar que el conjunto consistente de la segunda letra del alfabeto, el presidente de los Estados Unidos quien inmediatamente precede a James Madison, y que el mayor entero positivo menor que diez. No parece haber ninguna coherencia entre estos conjuntos. {b, Thomas Jefferson, 9}Si a es un elemento del conjunto A, escribiremos a (A. Si a no es un elemento del conjunto A entonces escribiremos a (A, por ejemplo 5 ({3, 5, 7, 9} y 6 ({3, 5, 7, 9}. Si a y b son letras del mismo elemento, entonces escribimos, a ( b (a es igual a b).Si a y b son elementos distintos (que es diferente) entonces escribiremos a ( b (a es diferente de b). Si a es Daniel Webster, b es James Buchanan, c es el presidente de los Estados Unidos quien nunca se ha casado, y A es el conjunto de todos los hombres que han sido presidentes de los Estados Unidos, luego tenemos:

a ( A, b ( A, a(b

Debe existir un criterio para determinar si un elemento pertenece o no a un conjunto, es posible que tengamos que dar informacin adicional al hablar de las jirafas altas, los hombres ahorrativos, elefantes pequeos, bebes con ojos marrones, etc.Cuando hablamos sobre un equipo de beisbol debemos considerar al entrenador, auspiciadores, y la mascota? ya que los elementos de un conjunto deben ser distinguibles unos de otros, debemos tener cuidado, por ejemplo, no debemos confundir John Smith con John White cuando hablamos del elemento John. Observamos que los elementos de un conjunto pueden tener otras propiedades muy diferentes de las propiedades que los unen en un conjunto. El conjunto puede tener propiedades que no posee sus elementos y los elementos de un conjunto no pueden tener propiedades posedas por el conjunto.El conjunto de enteros positivos es infinito, pero que no es cierto de cualquier miembro del conjunto no es un cuadrado perfecto.

Ejercicios:

Coloca llaves {} para listar los elementos de los siguientes conjuntos:1. El conjunto de las letras de la palabra contador

2. El conjunto de los nmeros pares entre el 7 y 23.

3. El conjunto de meses que no contengan la letra r.

4. El conjunto de das de la semana que no empiecen con M.

5. El conjunto de ex presidentes de EEUU aun vivos.

6. El conjunto de los colores primarios.

7. El conjunto de estados que bordean Tennessee.

8. El conjunto de letras de la palabra inequvoca

Escribe la descripcin de los siguientes conjuntos.

9. {1, 3, 5, 7, 9, 8, 6, 4, 2}

10. {Me., Md., Mass., Mich., Minn., Mo., Mont.}

11. {Superior, Michigan, Huron, Erie, Ontario}

12. {Boise, Springfield, Indianapolis, Des Moines}

13. {Pa., Ohio., Ky., Va., Md.}

14. {a, c, e, h, i, m , s, t}

SUBCONJUNTOS.

Si A es el conjunto de hombres que han sido presidentes de los EEUU, B es el conjunto de nmeros enteros positivos, y C es el conjunto de los Nuevos Estados de Inglaterra, entonces determinamos, cules de los siguientes son verdaderos y cuales son falsos.15. 5 (B

16. Andrew Jackson ( A

17. Virginia ( C

18. -6 ( B

19. Robert E. Lee ( A

20. Connecticut ( C

21. (2 (B

22. 0 ( B

23. 12345678 ( B

24. Uno-ocho ( B

1.2 SUBCONJUNTOS.

Un elemento de un conjunto puede ser elemento de otro conjunto.

Definicin: si cada elemento de un conjunto A es tambin un elemento del conjunto B, escribiremos A ( B y diremos que A es subconjunto de B.

Si A ( B y B ( A, escribiremos A ( B y decimos A es igual a B.Entonces 2 conjuntos son iguales siempre y cuando tengan los mismos elementos, por ejemplos, si G es el conjunto {5, 7, 9} y H es el conjunto {9, 5, 7} luego, G ( H, H ( G, H ( G, y G ( H. si A no es igual de B, entonces ser A ( B.

Definicin: si A ( B pero A( B, escribiremos A ( B y decimos que A es subconjunto propio de B.Le definicin de arriba es equivalente, por supuesto, para decir que A es conjunto propio de B si cada elemento de A es un elemento de B pero por lo menos un elemento de B no es elemento de A, por ejemplo, si G es el conjunto {5, 7, 9} y K es el conjunto {2, 5, 7, 8, 9}, luego G ( K y G ( K.

Definicin: el conjunto nulo o vacio es un conjunto donde no encontramos elementos.Claramente, slo hay un conjunto nulo y se denota por(. Si A y B son conjuntos nulos luego ellos tienen el mismo elemento y A( B ((, por ejemplo: si S es el conjunto de hombres con 7 piernas y E es el conjunto de nmeros enteros que finalizan en 5, luego S ( E ( ( A ( ( significa que A no contiene elementos por tanto A ( ( significa que A contiene por lo menos un elemento.Teorema: el conjunto nulo es un subconjunto de cada conjunto.

Prueba: sea A un conjunto arbitrario. Podremos mostrar que ( ( A A y ( son conjuntos y a menos que ( ( A luego por definicin de un subconjunto, ( contiene por lo menos un elemento que no es elemento de A. Esto es imposible, ya que ( no contiene elemento en lo absoluto.

Por lo tanto ( ( A como mostraremos, podremos notar que si A ( (, luego ((A y ( es un subconjunto propio de A.

En el trabajo matemtico seleccionamos un conjunto no vaco definitivo asignado previamente con U (conjunto universal) que est suficientemente decidido a ser el tema del discurso.

Cada conjunto A que consideremos es un subconjunto bien definido de U. Los elementos de U so nos elementos de A constituidos a un conjunto el cual es llamado el complemento de A y es denotado por A.

As, cuando a (U, podemos reemplazar convenientemente a (A por a(A por ejemplo, si U es el conjunto de los ciudadanos americanos pasados y presentes y A es el conjunto de los presidentes de los Estados Unidos, y si a es el elemento Thomas Edison, luego a ( U y a ( A; pero si U es el conjunto de personas quienes han sido generales de las fuerzas armadas de America, luego a tampoco es un elemento de A no un elemento de A porque a ( U. Por lo tanto, U debe ser explcitamente indicado cuando no es suficientemente evidente por el contexto.Ejercicios:Si U es el conjunto de nmeros distintos a cero, A ( {1, 3, 4, 6, 9}, B ({ 3, 6, 9}, C ( {1, 2, 5} y D ( { 2, 5, 7, 8} luego determinar cul de los siguientes son verdaderos y cuales son falsos:

1. B ( A

2. C ( A

3. C ( B

4. A ( D

5. A ( D

6. B ( C

7. D ( A

8. C ( B

9. ( ( C

10. A ( B

11. B ( C

12. 5 (C

13. {2} ( C

14. {8} ( A

15. 8 ( A

16. {7, 8} ( B

17. 0 ( A

18. ( ( ACONJUNTOS COMBINADOS

Definicin: la interseccin de A y B se denotan por A ( B, es el conjunto de elementos en ambos Ay B, por ejemplo, si M ({2, 3, 5, 7, 8} y N ({2, 3, 4, 6, 7, 9} luego (M ( N) ( {2, 3, 7}. Si A es no es ningn conjunto, luego A ( ( ( ( si ( A( B) ( ( luego A y B son conjuntos disjuntos , eso es, dos conjuntos desunidos si no tienen elementos en comn, por ejemplo: {2, 3, 5} y {4, 6, 7} son conjuntos disjuntos.Definicin: la unin de A y B se denotan por A ( B, es el conjunto de elementos de A o B o ambos. Si C ( {2, 3, 4, 5} y D ( {3, 5, 7} luego ( C ( D) ( {2, 3, 4, 5. 7} si A no es ningn conjunto luego ( A ( () ( A, notamos que el conjunto de enteros es la unin de 3 conjuntos disjuntos: enteros positivos, enteros negativos y cero.Cuando varios conjuntos son combinados, la interseccin podra estar hecha antes de la unin de combinaciones hechas. Como sea, si los signos de agregacin, como los parntesis (), corchetes [] y llaves {} son usadas las combinaciones dentro de los signos ms ntimos de agregacin debe hacerse antes de las combinaciones que se hagan otros.De tal modo a ( [M ( (S ( T)] significa que a esta en ambos en S o T. Si M ({1, 3, 5, 7, 9}, S {3, 4, 5, 6} y T ( {2, 4, 7} luego [M ( S ( T] ( {2, 3, 4, 5, 7} y [M( (S ( T) ( {3, 5, 7}Cierta informacin acerca de los conjuntos A y B podran mostrar grficamente en el diagrama de Venn en dos conjuntos donde son dadas en la figura 1.3. Podemos representar en el diagrama: A por regiones 1, 2; A en regiones 3, 4; B en regiones 1, 2, 3 y U en regiones 1, 2, 3, 4. En la figura 1.3b [A ( (B ( C)] es representado en regiones 1, 4, 5

Ejercicios:

1. Sea S el conjunto de los estados de EEUU y sea N y C los subconjuntos de los Nuevos Estados de Inglaterra y Estados Costeos de Atlanta respectivamente, nombra un elemento de S sea N ( C.

2. Sea S el conjunto de los estados de EEUU, sea A el conjunto de los Estados del esye del rio Misisipi y sea B el conjunto de los estados donde hayan nacido los presidentes de EEUU. Nombra un elemento de S donde A ( B A( B( A( C

B ( C( A

A ( B ( C

A ( B ( C

(B ( C)( A

(A ( B)

[( A( B)( C]

(C ( A)( A ( C

Si la igualdad es definida como una designacion de la misma porcion del diagrama de Venn de fig 1.3b entonces diga cuales son verdaderas.

(A (B)( C ( A ( (B ( C)

(A( B)( C( A( (B ( C)

A( ( B ( C) ( A ( B( A ( C

A (B( C( (A ( U)( ( A ( C) (A( B) ( A ( B

[( A( B)( C ( A] ( ( A ( B( C) ( ASI Q = {A, 2, 3}, R ={ 5, 6, 2, 7, 8}, S = {a, b, 3, 2} y T = {1, 3, 5, 9}, luego determine cual de los siguientes son verdaderos y falsos.

3( (R (Q ( S)

2 ( (Q ( R ( S)

5 ( (Q ( T)

B ( (S ( T)

(S ( T) ( (S ( Q)

(S ( Q) = S

[R ( ( T ( Q)] = {2,3}

[( Q ( T) ( R] ( ( [ (Q ( R) ( (S ( T)] = {2,3}

[( Q ( T) ( S] ( Q

S y T son conjuntos disjuntos.

(R ( Q) y (R ( S) son conjuntos disjuntos.

[ A ( C ( D ( (A ( B) ( D ( C ( B] ( C

en un cierto grupo de 100 hombres que han perdido un brazo o una pierna, hay 40 que han perdido una pierna y 10 que han perdido a un brazo y una pierna. Cuntos han perdido un brazo? en un cuarto hay 13 personas que no estn casadas y 19 que no tienen el pelo rojo. Si 7 de los casados tienen el pelo rojo, busque el nmero mximo de personas que pueden estar en la habitacin y el nmero mnimo de personas que pueden estar en la habitacin. en una reciente reunin haba 150 personas, entre ellas 80 mujeres, 50 metodistas y 45 de las mujeres no eran ni demcrata ni metodista. Si el 50% de las personas no eran ni demcrata ni Metodista, entonces Qu por ciento de las personas que no eran mujeres metodistas?CONSTRUCCION DE CONJUNTOSDefinicin:

Una variable en un smbolo (escrito generalmente como una de las ltimas letras del alfabeto) que representa un elemento no especificado de un cierto conjunto; el propio conjunto es el rango de la variable, y un elemento particular del conjunto se denomina un valor de la variable.Si la gama se compone de un nico elemento, el smbolo (escrito generalmente como una de las primeras cartas del alfabeto) se llama una constante cuyo valor es igual al elemento nico.La notacin {x (A(x ( B} significa el conjunto de todos los elemntos X de A de tal manera que x es un elemento de B, y es otra manera de designar el conjunto (A ( B). Cualquier otra letra se puede usar en un lugar de x.

Por ejemplo: {y ( A (y (B} es el mismo conjunto que { x ( A ( x ( B} cuando escribimos K = {x( A ( x ( B} hacemos hincapi en el hecho de que K es un subconjunto de A, y decimos que K est escrito en la notacin de la construccin de conjuntos.A menudo es conveniente para sustituir x ( B por alguna descripcin escrita del mtodo de seleccin de los elementos de A que estn en K.

Por lo tanto, si L es el conjunto de letras del alfabeto y Q = {a, d, e, r}, luego Q= {x ( L (x es en la palabra lector} si Q = {x ( L (x esta en la palabra, agregado}. Si E es el conjunto de nmeros impares menores de 20, luego {x ( E (x es divisible por 3} = {3, 9, 15}

EJERCICIOS 1.4

Si M ( {3, 4, 7, 9, 13} lista los elementos de:

1. {x ( M ( x es mejor que 5}

2. {x ( M ( x es un numer par}

3. {x ( M ( x (4= 13}

4. {x ( M ( x ( 7 = 13}

5. {x ( M ( x es un numero con digito 2}

6. {x ( M ( x es la suma de dos numeros de M}

7. {x ( M ( x es la resta de dos numeros de M}

Si M es el conjunto de meses, da una descripcion de w sea que {x( M( w} represnta cada una de las siguientes:

8. {enero, junio, julio}

9. { enero, marzo, may }

10. { setiembre, abril, junio, noviembre, febrero }11. { setiembre, octubre, noviembre, diciembre }

12. {setiembre, noviembre, diciembre, febrero}

Si w es el conjunto de palabras halla en ejercicio 1.1, lista los elementos de:13. { x ( M ( x contiene tres letras dobles n succession }14. { x ( M ( x contiene e tres veces }

PRODUCTO CARTESIANO.

Si a ( A y b ( B, entonces el par ordenado (a,b) puede ser considerado como un nico elemento del conjunto S.El conjunto de todos los pares ordenados cuya primera entrada es un elemento de A y cuya segunda entrada es un elemento de B es el conjunto A x B, llamado un producto cartesiano de A y B.

Si a ( A, b ( B y c ( C, luego hay un triple ordenado (a, b, c) puede considerarse como nico elemento del conjunto A x B x C.

Del mismo modo, podemos tener una ordenada n-tuple como un elemento del producto cartesiano de conjunto n. note que A x B= B x A s y solo s A=B.Si a ( A, luego a ( (A x A) y ordinariamente, (a, a) ( A.

Cuando los elementos de A x B y B x A son tabulados a menudo es deseable utilizar una matriz rectangular en donde cada elemento en la misma fila se obtiene a partir del mismo elemento f elemento A y cada uno en la misma columna se obtiene a partir del mismo elemento de B.

En una matriz rectangular es habitual para reemplazar cada llave {} por un par de lneas verticales.

Cuando los elementos de A son organizados con puntos en una lnea horizontal los elementos de B son organizados en una lnea vertical, correspondientemente cada elemento de (A x B) hay un punto en comn.

Suponiendo que x ( A y que y (B, tenemos (x, y)((A x B).

Luego el punto en comn que corresponde para (x, y), es el punto donde la lnea vertical atraviesa el punto que corresponde para X interseccin con la lnea horizontal que corresponde a y.

El producto cartesiano se llama as porque Ren Descartes, matemtico y filsofo francs del siglo XVII sent las bases de la geometra analtica moderna.

Hacer una matriz rectangular y una cuadrcula que muestra los elementos de A x B, donde L es el conjunto de las letras del alfabeto, A = {x (L (x es una letra de la palabra siete} y B = {x (L (x es una letra de la palabra nueve}GRAFICOEjercicios:

Sea A={3, 5, 7, 9}, B{2, 3, 4} y C{4, 7, 9}, lista los elementos de:

1. AXB

2. BXA

3. BXB

4. AXA

5. A ( B

6. A ( B

7. (AXA) ( (CXC)

8. (AXB) ((BXC)

9. (AXB) ( (CXB)

10. [(A(B) X C] ( (BXA)

Si A{1} , B{1, 2}, C{1, 2, 3}, D{1, 2, 3, 4}, E{3, 4} y F{3, 4, 5} determine cuales son verdaderos y falsos.

11. (B (C) = C

12. (A ( E) ( (F ( B)

13. (BXC) ( (DXD)

14. (EXC) ( (EXD)

15. (B (C) ( (A(D)

16. (B(F) ( (D(E)

17. (C (D) ( (DXD)

18. (C (E) ((DXD)

19. (AXB) ((CXD)

20. [(D (F) X C] = (EX (A (C)]

21. (CXB) ( D

22. (C ( F (B) ((E ( D)

Haz una matriz rectangular y una cuadricula con los siguientes elementos.23. {3, 7,8} x {2, 7, 8, 9}

24. {4, 6, 7, 8} x {5, 7}

PROPOSICIONES COMPUESTAS

Definicin: si p es una proposicin, la afirmacin de que p es falsa en s es una proposicin que se llama la negacin de p; es denotado por el smbolo (p.

Si bien p o (p es verdadera, la otra es falsa, y si bien es falso que el otro es verdadero.

Por lo tanto, cuando p: (Juan es un hermano de Santiago), tenemos (p, por otro lado cuando q: (John naci en EEUU), (q no es la preposicin r: (John naci en Francia).

Es verdad que r es verdadero, q es falsa y si q es verdadera, r sera falso. Pero ambos q y r deben ser falsos, como sera el caso si John hubiera nacido en Inglaterra. De la simetra de las relaciones entre p y (p, veremos que ninguna proposicin es la negacin de la misma, o p = (((p)Ejercicios:

De dos interpretaciones de cada proposicin:

1. l no quera or hablar de m en la fiesta.

2. l me ayud ms que t.

3. El bote es rpido.

4. Todas las pginas estn aqu.

5. Ella puso el alambre en la mesa.

6. El concierto estuvo..excelente genial maravilloso.

7. El saba como hace un ltimo par de pantalones.

Lee lo siguiente a un amigo y obtn su interpretacin:

8. Un granjero tena 20 ovejas enfermas y una muri, cuntas quedaron fuera?

9. l contaba las patas de los animales y se encontr que tenan cuarenta patas delanteras, Cuntas pastas haban?

10. Pregunta lo que se sugiere cuando el estrs "vendra" en "Henry vendra cuando Jane se encuentra en el hospital" y "Henry vendra si Jane estara en el hospital"

Da un enunciado para (p cuando tienes:

11. P: (James no est en las fuerzas armadas)

12. P: (Henry es tres aos menor)

13. P: (Alicia no es alrgica a las uvas)

14. P: (esta naranja es verde)PROPOSICIONES COMPUESTAS

A partir de las proposiciones elementaras, p y q, podemos formar lo siguiente:

La conjuncin, p ( q, se lee: p y q

La disyuncin: p ( q, se lee: p o q

Disyuncin completa, p ( q, se lee: p o q, pero no ambos

La condicional, p ( q, se lee: si p, entonces q

La bicondicional, p (q, se lee: p, si y slo s q

VOCABULARY:

THEREFORE: por lo tanto, en consecuencia.

ASSOCIATE: asociado.

ARBITRARY: arbitrariamente.

WHETHER: suponiendo.

EQUILATERAL: equiltero (tringulos)

LIKEWISE: de igual manera.

INTEGERS: enteros (nmeros)

SIGN: signo

BRACES: llaves {}

THUS: as, ya que.

ARRAGEMENT: disposicin.

PRECEDE: preceder, anteponer.

USUALLY: generalmente.

PROPERTY: propiedades

DISJOINT: disjunto.

SINCE: desde, ya que.

MANAGER: entrenador.

SPONSOR: auspiciadores.

CAREFUL: tener cuidado

NULL: nulo

PROOF: prueba.

UNLESS: a menos que.

U

4

3

2

1