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Simetría y materiales: de cristales a cuasicristalespasando por nanotubos
Claudio M. Zicovich-Wilson
Centro de Investigación en CienciasUniversidad Autónoma del Estado de Morelos
Instituto de Ciencias Básicas, Universidad VeracruzanaXalapa, 26 de febrero del 2015
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 1 / 62
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Esquema de la charla
1 CristalesFormaciónSimetríaSimetría y computación
2 NanotubosConstrucciónSimetría de los nanotubos
3 Cuasi-cristales¿Orden extendido sin periodicidad?Teselación del espacioAleaciones de metales con Al
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 2 / 62
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Cristales Formación
Esquema de la charla
1 CristalesFormaciónSimetríaSimetría y computación
2 NanotubosConstrucciónSimetría de los nanotubos
3 Cuasi-cristales¿Orden extendido sin periodicidad?Teselación del espacioAleaciones de metales con Al
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Cristales Formación
Tenemos una caja (vista de arriba). . .
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Cristales Formación
Echamos unas bolas. . .
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Cristales Formación
Las sacudimos un poco y. . . ¡se acomodan!
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Cristales Formación
En un arreglo simétrico hexagonal.
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Cristales Formación
Un proceso controlado por la energía
Inicialmente se distribuyen de la forma más probable (azar)Se perturba poco el sistema para permitirle equilibrarseLas bolas se ordenan en una capa→ están todas a la mínima altura (sobre el fondo de la caja)→ mínima energía potencial
⇓
Orden ≡ Estabilidad
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Cristales Formación
Un proceso controlado por la energía
Inicialmente se distribuyen de la forma más probable (azar)Se perturba poco el sistema para permitirle equilibrarseLas bolas se ordenan en una capa→ están todas a la mínima altura (sobre el fondo de la caja)→ mínima energía potencial
⇓
Orden ≡ Estabilidad
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Cristales Formación
Un proceso controlado por la energía
Inicialmente se distribuyen de la forma más probable (azar)Se perturba poco el sistema para permitirle equilibrarseLas bolas se ordenan en una capa→ están todas a la mínima altura (sobre el fondo de la caja)→ mínima energía potencial
⇓
Orden ≡ Estabilidad
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 8 / 62
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Cristales Formación
Un proceso controlado por la energía
Inicialmente se distribuyen de la forma más probable (azar)Se perturba poco el sistema para permitirle equilibrarseLas bolas se ordenan en una capa→ están todas a la mínima altura (sobre el fondo de la caja)→ mínima energía potencial
⇓
Orden ≡ Estabilidad
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Cristales Formación
Un proceso controlado por la energía
Inicialmente se distribuyen de la forma más probable (azar)Se perturba poco el sistema para permitirle equilibrarseLas bolas se ordenan en una capa→ están todas a la mínima altura (sobre el fondo de la caja)→ mínima energía potencial
⇓
Orden ≡ Estabilidad
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Cristales Formación
Un proceso controlado por la energía
Inicialmente se distribuyen de la forma más probable (azar)Se perturba poco el sistema para permitirle equilibrarseLas bolas se ordenan en una capa→ están todas a la mínima altura (sobre el fondo de la caja)→ mínima energía potencial
⇓
Orden ≡ Estabilidad
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 8 / 62
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Cristales Formación
En vez de bolasIones, átomos, moléculas, . . . (por ejemplo en solución)
Fuerzas electrostáticas, enlaces covalentes, interaccionesdébiles. . .Se perturba en forma de calorAl bajar la temperatura (energía cinética) se van acomodandoordenadamente
CRISTALIZACIÓN (ordenación ≡ simetría)
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Cristales Formación
En vez de bolasIones, átomos, moléculas, . . . (por ejemplo en solución)
Fuerzas electrostáticas, enlaces covalentes, interaccionesdébiles. . .Se perturba en forma de calorAl bajar la temperatura (energía cinética) se van acomodandoordenadamente
CRISTALIZACIÓN (ordenación ≡ simetría)
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Cristales Formación
En vez de bolasIones, átomos, moléculas, . . . (por ejemplo en solución)
Fuerzas electrostáticas, enlaces covalentes, interaccionesdébiles. . .Se perturba en forma de calorAl bajar la temperatura (energía cinética) se van acomodandoordenadamente
CRISTALIZACIÓN (ordenación ≡ simetría)
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 9 / 62
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Cristales Formación
En vez de bolasIones, átomos, moléculas, . . . (por ejemplo en solución)
Fuerzas electrostáticas, enlaces covalentes, interaccionesdébiles. . .Se perturba en forma de calorAl bajar la temperatura (energía cinética) se van acomodandoordenadamente
CRISTALIZACIÓN (ordenación ≡ simetría)
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 9 / 62
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Cristales Formación
Cloruro de sodio: Na+Cl−
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Cristales Formación
Cloruro de sodio
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Cristales Formación
α-Cuarzo: SiO2
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Cristales Formación
α-Cuarzo: SiO2
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Cristales Simetría
Esquema de la charla
1 CristalesFormaciónSimetríaSimetría y computación
2 NanotubosConstrucciónSimetría de los nanotubos
3 Cuasi-cristales¿Orden extendido sin periodicidad?Teselación del espacioAleaciones de metales con Al
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Cristales Simetría
Simetría: volvamos a las bolasMotivo más elemental que el hexágono (celda primitiva)
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Cristales Simetría
Simetría: volvamos a las bolasQue se repite equivalentemente
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Cristales Simetría
Simetría: volvamos a las bolasQue se repite equivalentemente
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Cristales Simetría
Simetría: volvamos a las bolasLos vectores generan las celdas
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Cristales Simetría
Simetría: volvamos a las bolasLos vectores generan un retículo (cada punto es c.l. de vectores generadores)
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Cristales Simetría
Simetría: además de las translaciones. . .Operaciones puntuales: Equivalencia bajo rotaciones de 60◦
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Cristales Simetría
Simetría: además de las translaciones. . .Operaciones puntuales: Equivalencias bajo plano de reflexión
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Cristales Simetría
Simetría: además de las translaciones. . .Operaciones puntuales: Equivalencias bajo plano de reflexión
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Cristales Simetría
Equivalencias por simetríaPara racionalizar la estructura cristalina
Esquema para la construcción CONCEPTUAL de las estructurasSe plantea un conjunto mínimo de objetos (átomos, iones. . . )llamado unidad asimétricaHay un conjunto de operaciones de simetría característico decada estructuraClasificamos las operaciones en:F Puntuales (dejan un punto del espacio invariante): rotaciones,
reflexiones [conjunto finito]F Translacionales (cambios de coordenadas a lo largo de los
vectores del retículo) [conjunto infinito]
Con estos elementos se ensambla la estructura completa
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Cristales Simetría
Equivalencias por simetríaPara racionalizar la estructura cristalina
Esquema para la construcción CONCEPTUAL de las estructurasSe plantea un conjunto mínimo de objetos (átomos, iones. . . )llamado unidad asimétricaHay un conjunto de operaciones de simetría característico decada estructuraClasificamos las operaciones en:F Puntuales (dejan un punto del espacio invariante): rotaciones,
reflexiones [conjunto finito]F Translacionales (cambios de coordenadas a lo largo de los
vectores del retículo) [conjunto infinito]
Con estos elementos se ensambla la estructura completa
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Cristales Simetría
Equivalencias por simetríaPara racionalizar la estructura cristalina
Esquema para la construcción CONCEPTUAL de las estructurasSe plantea un conjunto mínimo de objetos (átomos, iones. . . )llamado unidad asimétricaHay un conjunto de operaciones de simetría característico decada estructuraClasificamos las operaciones en:F Puntuales (dejan un punto del espacio invariante): rotaciones,
reflexiones [conjunto finito]F Translacionales (cambios de coordenadas a lo largo de los
vectores del retículo) [conjunto infinito]
Con estos elementos se ensambla la estructura completa
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Cristales Simetría
Equivalencias por simetríaPara racionalizar la estructura cristalina
Esquema para la construcción CONCEPTUAL de las estructurasSe plantea un conjunto mínimo de objetos (átomos, iones. . . )llamado unidad asimétricaHay un conjunto de operaciones de simetría característico decada estructuraClasificamos las operaciones en:F Puntuales (dejan un punto del espacio invariante): rotaciones,
reflexiones [conjunto finito]F Translacionales (cambios de coordenadas a lo largo de los
vectores del retículo) [conjunto infinito]
Con estos elementos se ensambla la estructura completa
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Cristales Simetría
Equivalencias por simetríaPara racionalizar la estructura cristalina
Esquema para la construcción CONCEPTUAL de las estructurasSe plantea un conjunto mínimo de objetos (átomos, iones. . . )llamado unidad asimétricaHay un conjunto de operaciones de simetría característico decada estructuraClasificamos las operaciones en:F Puntuales (dejan un punto del espacio invariante): rotaciones,
reflexiones [conjunto finito]F Translacionales (cambios de coordenadas a lo largo de los
vectores del retículo) [conjunto infinito]
Con estos elementos se ensambla la estructura completa
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Cristales Simetría
Equivalencias por simetríaPara racionalizar la estructura cristalina
Esquema para la construcción CONCEPTUAL de las estructurasSe plantea un conjunto mínimo de objetos (átomos, iones. . . )llamado unidad asimétricaHay un conjunto de operaciones de simetría característico decada estructuraClasificamos las operaciones en:F Puntuales (dejan un punto del espacio invariante): rotaciones,
reflexiones [conjunto finito]F Translacionales (cambios de coordenadas a lo largo de los
vectores del retículo) [conjunto infinito]
Con estos elementos se ensambla la estructura completa
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Cristales Simetría
Equivalencias por simetríaPara racionalizar la estructura cristalina
Esquema para la construcción CONCEPTUAL de las estructurasSe plantea un conjunto mínimo de objetos (átomos, iones. . . )llamado unidad asimétricaHay un conjunto de operaciones de simetría característico decada estructuraClasificamos las operaciones en:F Puntuales (dejan un punto del espacio invariante): rotaciones,
reflexiones [conjunto finito]F Translacionales (cambios de coordenadas a lo largo de los
vectores del retículo) [conjunto infinito]
Con estos elementos se ensambla la estructura completa
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 23 / 62
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Cristales Simetría
Faujasita (SiO2)Toda la información: unidad asimétrica (5 átomos: SiO4)
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Cristales Simetría
Faujasita (SiO2)celda primitiva (144 átomos) generados por 48 rotaciones y reflexiones
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Cristales Simetría
Faujasita (SiO2)La estructura completa, generada por translaciones
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Cristales Simetría
Simetrías como operaciones de transformaciónRotación de 60◦
F El cuerpo del arregloqueda invariante
F Cambia la zonacercana al borde
F Cuanto más grandemenos efecto deborde
F En los cristales haydel orden de 1016
partículas
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Cristales Simetría
Simetrías como operaciones de transformaciónRotación de 60◦
F El cuerpo del arregloqueda invariante
F Cambia la zonacercana al borde
F Cuanto más grandemenos efecto deborde
F En los cristales haydel orden de 1016
partículas
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 27 / 62
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Cristales Simetría
Simetrías como operaciones de transformaciónRotación de 60◦
F El cuerpo del arregloqueda invariante
F Cambia la zonacercana al borde
F Cuanto más grandemenos efecto deborde
F En los cristales haydel orden de 1016
partículas
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Cristales Simetría
Simetría como invarianza
Para que el arreglo sea invariante el sistema debe ser infinito (sinborde: ¡ideal!)Puesto que el sistema no varía bajo las operaciones de simetríalas puedo aplicar secuencialmenteDos operaciones en secuencia me dan otra nueva operación desimetría (clausura de la ley de composición interna)Las operaciones forman una estructura algebraica llamada“Grupo”
⇓Grupo de simetría
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Cristales Simetría
Simetría como invarianza
Para que el arreglo sea invariante el sistema debe ser infinito (sinborde: ¡ideal!)Puesto que el sistema no varía bajo las operaciones de simetríalas puedo aplicar secuencialmenteDos operaciones en secuencia me dan otra nueva operación desimetría (clausura de la ley de composición interna)Las operaciones forman una estructura algebraica llamada“Grupo”
⇓Grupo de simetría
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Cristales Simetría
Simetría como invarianza
Para que el arreglo sea invariante el sistema debe ser infinito (sinborde: ¡ideal!)Puesto que el sistema no varía bajo las operaciones de simetríalas puedo aplicar secuencialmenteDos operaciones en secuencia me dan otra nueva operación desimetría (clausura de la ley de composición interna)Las operaciones forman una estructura algebraica llamada“Grupo”
⇓Grupo de simetría
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Cristales Simetría
Simetría como invarianza
Para que el arreglo sea invariante el sistema debe ser infinito (sinborde: ¡ideal!)Puesto que el sistema no varía bajo las operaciones de simetríalas puedo aplicar secuencialmenteDos operaciones en secuencia me dan otra nueva operación desimetría (clausura de la ley de composición interna)Las operaciones forman una estructura algebraica llamada“Grupo”
⇓Grupo de simetría
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Cristales Simetría
Simetría como invarianza
Para que el arreglo sea invariante el sistema debe ser infinito (sinborde: ¡ideal!)Puesto que el sistema no varía bajo las operaciones de simetríalas puedo aplicar secuencialmenteDos operaciones en secuencia me dan otra nueva operación desimetría (clausura de la ley de composición interna)Las operaciones forman una estructura algebraica llamada“Grupo”
⇓Grupo de simetría
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Cristales Simetría
Simetría como invarianza
Para que el arreglo sea invariante el sistema debe ser infinito (sinborde: ¡ideal!)Puesto que el sistema no varía bajo las operaciones de simetríalas puedo aplicar secuencialmenteDos operaciones en secuencia me dan otra nueva operación desimetría (clausura de la ley de composición interna)Las operaciones forman una estructura algebraica llamada“Grupo”
⇓Grupo de simetría
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Cristales Simetría
Grupos de simetría cristalográficos
Las posibles combinaciones de rotaciones, reflexiones ytranslaciones que dejan invariantes un sistema cristalino infinitogeneran distintos tipos de grupos de simetría.Se llaman los GRUPOS ESPACIALES y contienen infinitasoperacionesSe pueden construir 230 diferentesUsando las operaciones de estos grupos todo cristal infinito sepuede construir a partir de un conjunto finito de átomos.Los cristales se clasifican de acuerdo a sus Grupos de simetríacristalográficos
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Cristales Simetría
Grupos de simetría cristalográficos
Las posibles combinaciones de rotaciones, reflexiones ytranslaciones que dejan invariantes un sistema cristalino infinitogeneran distintos tipos de grupos de simetría.Se llaman los GRUPOS ESPACIALES y contienen infinitasoperacionesSe pueden construir 230 diferentesUsando las operaciones de estos grupos todo cristal infinito sepuede construir a partir de un conjunto finito de átomos.Los cristales se clasifican de acuerdo a sus Grupos de simetríacristalográficos
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Cristales Simetría
Grupos de simetría cristalográficos
Las posibles combinaciones de rotaciones, reflexiones ytranslaciones que dejan invariantes un sistema cristalino infinitogeneran distintos tipos de grupos de simetría.Se llaman los GRUPOS ESPACIALES y contienen infinitasoperacionesSe pueden construir 230 diferentesUsando las operaciones de estos grupos todo cristal infinito sepuede construir a partir de un conjunto finito de átomos.Los cristales se clasifican de acuerdo a sus Grupos de simetríacristalográficos
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Cristales Simetría
Grupos de simetría cristalográficos
Las posibles combinaciones de rotaciones, reflexiones ytranslaciones que dejan invariantes un sistema cristalino infinitogeneran distintos tipos de grupos de simetría.Se llaman los GRUPOS ESPACIALES y contienen infinitasoperacionesSe pueden construir 230 diferentesUsando las operaciones de estos grupos todo cristal infinito sepuede construir a partir de un conjunto finito de átomos.Los cristales se clasifican de acuerdo a sus Grupos de simetríacristalográficos
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Cristales Simetría
Grupos de simetría cristalográficos
Las posibles combinaciones de rotaciones, reflexiones ytranslaciones que dejan invariantes un sistema cristalino infinitogeneran distintos tipos de grupos de simetría.Se llaman los GRUPOS ESPACIALES y contienen infinitasoperacionesSe pueden construir 230 diferentesUsando las operaciones de estos grupos todo cristal infinito sepuede construir a partir de un conjunto finito de átomos.Los cristales se clasifican de acuerdo a sus Grupos de simetríacristalográficos
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Cristales Simetría y computación
Esquema de la charla
1 CristalesFormaciónSimetríaSimetría y computación
2 NanotubosConstrucciónSimetría de los nanotubos
3 Cuasi-cristales¿Orden extendido sin periodicidad?Teselación del espacioAleaciones de metales con Al
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Cristales Simetría y computación
Modelado computacional de los cristales
El modelo periódico para cristales es infinitoN Pero toda su información está contenida en un subconjunto finito (y
generalmente pequeño) de átomos→ unidad asimétricaEl número de operaciones de simetría para construir el modelo esinfinitoN Pero un número discreto de operaciones junto con su ley de
composición interna basta para generar el conjunto completo
¿Es posible simplificar el estudio computacional de estosmateriales aprovechando estas propiedades?
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 31 / 62
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Cristales Simetría y computación
Modelado computacional de los cristales
El modelo periódico para cristales es infinitoN Pero toda su información está contenida en un subconjunto finito (y
generalmente pequeño) de átomos→ unidad asimétricaEl número de operaciones de simetría para construir el modelo esinfinitoN Pero un número discreto de operaciones junto con su ley de
composición interna basta para generar el conjunto completo
¿Es posible simplificar el estudio computacional de estosmateriales aprovechando estas propiedades?
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Cristales Simetría y computación
Modelado computacional de los cristales
El modelo periódico para cristales es infinitoN Pero toda su información está contenida en un subconjunto finito (y
generalmente pequeño) de átomos→ unidad asimétricaEl número de operaciones de simetría para construir el modelo esinfinitoN Pero un número discreto de operaciones junto con su ley de
composición interna basta para generar el conjunto completo
¿Es posible simplificar el estudio computacional de estosmateriales aprovechando estas propiedades?
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 31 / 62
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Cristales Simetría y computación
Modelado computacional de los cristales
El modelo periódico para cristales es infinitoN Pero toda su información está contenida en un subconjunto finito (y
generalmente pequeño) de átomos→ unidad asimétricaEl número de operaciones de simetría para construir el modelo esinfinitoN Pero un número discreto de operaciones junto con su ley de
composición interna basta para generar el conjunto completo
¿Es posible simplificar el estudio computacional de estosmateriales aprovechando estas propiedades?
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 31 / 62
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Cristales Simetría y computación
Modelado computacional de los cristales
El modelo periódico para cristales es infinitoN Pero toda su información está contenida en un subconjunto finito (y
generalmente pequeño) de átomos→ unidad asimétricaEl número de operaciones de simetría para construir el modelo esinfinitoN Pero un número discreto de operaciones junto con su ley de
composición interna basta para generar el conjunto completo
¿Es posible simplificar el estudio computacional de estosmateriales aprovechando estas propiedades?
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 31 / 62
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Cristales Simetría y computación
Modelado computacional de los cristalesEsquema de aproximación
CRISTAL REALpartícula macroscópica
16 átomos)(~10
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Cristales Simetría y computación
Modelado computacional de los cristalesEsquema de aproximación
CRISTAL INFINITOmodelo periódico−simétrico(pocos grados de libertad)
CRISTAL REALpartícula macroscópica
16 átomos)(~10
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 32 / 62
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Cristales Simetría y computación
Modelado computacional de los cristalesEsquema de aproximación
CÁLCULO CUÁNTICOnúcleos+electrones(factible gracias a la simetría)
CRISTAL INFINITOmodelo periódico−simétrico(pocos grados de libertad)
CRISTAL REALpartícula macroscópica
16 átomos)(~10
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Cristales Simetría y computación
El programa público CRYSTALPara el cálculo de las propiedades fisicoquímicas de cristales y sistemas con altasimetría
Versión actual: CRYSTAL14
Autores:V. R. Saunders, R. Dovesi, C. Roetti, R. Orlando, C. M Zicovich-Wilson,
F. Pascale, B. Civalleri, K. Doll, N. M. Harrison, I. J. Bush,Ph. D’Arco, M. Llunell, M. Causá, Y. Nöel
información detallada: http://www.crystal.unito.it
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 33 / 62
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Cristales Simetría y computación
Los 230 grupos cristalográficos. . .. . . ¿pueden tener cualquier combinación de operaciones puntuales y translacionales?
NOI Está el teorema de restricción cristalográfica, que restringe las
posibles operaciones puntuales en un sistema periódico en 3dimensiones.
I Las operaciones puntuales deben dejar invariante el retículo. Es decir:no pueden transformar un vector del retículo en otro que no seatambién vector del retículo. En caso contrario las operacionespuntuales no serían compatibles con las traslacionales.
I En concreto: solamente las operaciones de rotación de 60◦, 90◦, 120◦ y180◦ [órdenes 6, 4 ,3, 2, resp.] garantizan esa invarianza.
I Con esta restricción, las operaciones puntuales pueden ser comomáximo 48.
? ¿Es posible tener sólidos con más simetría puntual que un cristal?
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Cristales Simetría y computación
Los 230 grupos cristalográficos. . .. . . ¿pueden tener cualquier combinación de operaciones puntuales y translacionales?
NOI Está el teorema de restricción cristalográfica, que restringe las
posibles operaciones puntuales en un sistema periódico en 3dimensiones.
I Las operaciones puntuales deben dejar invariante el retículo. Es decir:no pueden transformar un vector del retículo en otro que no seatambién vector del retículo. En caso contrario las operacionespuntuales no serían compatibles con las traslacionales.
I En concreto: solamente las operaciones de rotación de 60◦, 90◦, 120◦ y180◦ [órdenes 6, 4 ,3, 2, resp.] garantizan esa invarianza.
I Con esta restricción, las operaciones puntuales pueden ser comomáximo 48.
? ¿Es posible tener sólidos con más simetría puntual que un cristal?
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Cristales Simetría y computación
Los 230 grupos cristalográficos. . .. . . ¿pueden tener cualquier combinación de operaciones puntuales y translacionales?
NOI Está el teorema de restricción cristalográfica, que restringe las
posibles operaciones puntuales en un sistema periódico en 3dimensiones.
I Las operaciones puntuales deben dejar invariante el retículo. Es decir:no pueden transformar un vector del retículo en otro que no seatambién vector del retículo. En caso contrario las operacionespuntuales no serían compatibles con las traslacionales.
I En concreto: solamente las operaciones de rotación de 60◦, 90◦, 120◦ y180◦ [órdenes 6, 4 ,3, 2, resp.] garantizan esa invarianza.
I Con esta restricción, las operaciones puntuales pueden ser comomáximo 48.
? ¿Es posible tener sólidos con más simetría puntual que un cristal?
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Cristales Simetría y computación
Los 230 grupos cristalográficos. . .. . . ¿pueden tener cualquier combinación de operaciones puntuales y translacionales?
NOI Está el teorema de restricción cristalográfica, que restringe las
posibles operaciones puntuales en un sistema periódico en 3dimensiones.
I Las operaciones puntuales deben dejar invariante el retículo. Es decir:no pueden transformar un vector del retículo en otro que no seatambién vector del retículo. En caso contrario las operacionespuntuales no serían compatibles con las traslacionales.
I En concreto: solamente las operaciones de rotación de 60◦, 90◦, 120◦ y180◦ [órdenes 6, 4 ,3, 2, resp.] garantizan esa invarianza.
I Con esta restricción, las operaciones puntuales pueden ser comomáximo 48.
? ¿Es posible tener sólidos con más simetría puntual que un cristal?
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Cristales Simetría y computación
Los 230 grupos cristalográficos. . .. . . ¿pueden tener cualquier combinación de operaciones puntuales y translacionales?
NOI Está el teorema de restricción cristalográfica, que restringe las
posibles operaciones puntuales en un sistema periódico en 3dimensiones.
I Las operaciones puntuales deben dejar invariante el retículo. Es decir:no pueden transformar un vector del retículo en otro que no seatambién vector del retículo. En caso contrario las operacionespuntuales no serían compatibles con las traslacionales.
I En concreto: solamente las operaciones de rotación de 60◦, 90◦, 120◦ y180◦ [órdenes 6, 4 ,3, 2, resp.] garantizan esa invarianza.
I Con esta restricción, las operaciones puntuales pueden ser comomáximo 48.
? ¿Es posible tener sólidos con más simetría puntual que un cristal?
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 34 / 62
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Cristales Simetría y computación
Los 230 grupos cristalográficos. . .. . . ¿pueden tener cualquier combinación de operaciones puntuales y translacionales?
NOI Está el teorema de restricción cristalográfica, que restringe las
posibles operaciones puntuales en un sistema periódico en 3dimensiones.
I Las operaciones puntuales deben dejar invariante el retículo. Es decir:no pueden transformar un vector del retículo en otro que no seatambién vector del retículo. En caso contrario las operacionespuntuales no serían compatibles con las traslacionales.
I En concreto: solamente las operaciones de rotación de 60◦, 90◦, 120◦ y180◦ [órdenes 6, 4 ,3, 2, resp.] garantizan esa invarianza.
I Con esta restricción, las operaciones puntuales pueden ser comomáximo 48.
? ¿Es posible tener sólidos con más simetría puntual que un cristal?
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 34 / 62
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Nanotubos Construcción
Esquema de la charla
1 CristalesFormaciónSimetríaSimetría y computación
2 NanotubosConstrucciónSimetría de los nanotubos
3 Cuasi-cristales¿Orden extendido sin periodicidad?Teselación del espacioAleaciones de metales con Al
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 35 / 62
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Nanotubos Construcción
NanotubosUn nanotubo de carbono
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 36 / 62
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Nanotubos Construcción
El equivalente planoGrafeno
La construcción a partir del grafenoConstrucción del nanotubo (2,1) desdela monolámina del grafito. Los átomosde Carbono en la celda primitiva estánen negro y ~a1, ~a2 son los vectores delretículo del grafeno. El vector de enrolla-miento ~R es 2~a1 + ~a2. ~L es el vector detranslación a lo largo del tubo (es normala ~R) ~L = −4~a1 + 5~a2
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 37 / 62
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Nanotubos Construcción
NanotubosEn general. . .
El menor vector del retículo perpendicular a ~R:~L = l1~a1 + l2~a2
~R = n1~a1 + n2~a2 Dirección de en-rollamiento2π|R|: circunferencia del nanotu-bo
(n1,n2) define el nanotubo
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 38 / 62
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Nanotubos Simetría de los nanotubos
Esquema de la charla
1 CristalesFormaciónSimetríaSimetría y computación
2 NanotubosConstrucciónSimetría de los nanotubos
3 Cuasi-cristales¿Orden extendido sin periodicidad?Teselación del espacioAleaciones de metales con Al
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 39 / 62
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Nanotubos Simetría de los nanotubos
Simetría Helical
De A a B:Una rotación de 30◦ (violeta)una translación (amarilla) de la mitad delperíodo longitudinal (azul)
−→ roto-traslación
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 40 / 62
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Nanotubos Simetría de los nanotubos
Simetría Helical
De A a B:Una rotación de 30◦ (violeta)una translación (amarilla) de la mitad delperíodo longitudinal (azul)
−→ roto-traslación
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 40 / 62
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Nanotubos Simetría de los nanotubos
Simetría de los nanotubos
N No hay restricción respecto al número y orden (ángulo derotación) de operadores puntuales(no vale el teorema de restricción cristalográfica)
N Sí la hay respecto al tipo de operación:F Sólo pueden ser roto-traslaciones de cualquier ángulo cuyo eje es
el eje del tuboF Planos de reflexión que contienen el eje del tubo
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 41 / 62
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Nanotubos Simetría de los nanotubos
Simetría de los nanotubos
N No hay restricción respecto al número y orden (ángulo derotación) de operadores puntuales(no vale el teorema de restricción cristalográfica)
N Sí la hay respecto al tipo de operación:F Sólo pueden ser roto-traslaciones de cualquier ángulo cuyo eje es
el eje del tuboF Planos de reflexión que contienen el eje del tubo
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 41 / 62
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Nanotubos Simetría de los nanotubos
Simetría de los nanotubos
N No hay restricción respecto al número y orden (ángulo derotación) de operadores puntuales(no vale el teorema de restricción cristalográfica)
N Sí la hay respecto al tipo de operación:F Sólo pueden ser roto-traslaciones de cualquier ángulo cuyo eje es
el eje del tuboF Planos de reflexión que contienen el eje del tubo
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 41 / 62
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Nanotubos Simetría de los nanotubos
Simetría de los nanotubos
N No hay restricción respecto al número y orden (ángulo derotación) de operadores puntuales(no vale el teorema de restricción cristalográfica)
N Sí la hay respecto al tipo de operación:F Sólo pueden ser roto-traslaciones de cualquier ángulo cuyo eje es
el eje del tuboF Planos de reflexión que contienen el eje del tubo
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 41 / 62
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Nanotubos Simetría de los nanotubos
Simetría de los nanotubos
N No hay restricción respecto al número y orden (ángulo derotación) de operadores puntuales(no vale el teorema de restricción cristalográfica)
N Sí la hay respecto al tipo de operación:F Sólo pueden ser roto-traslaciones de cualquier ángulo cuyo eje es
el eje del tuboF Planos de reflexión que contienen el eje del tubo
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 41 / 62
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Nanotubos Simetría de los nanotubos
Simetría de los nanotubos
N No hay restricción respecto al número y orden (ángulo derotación) de operadores puntuales(no vale el teorema de restricción cristalográfica)
N Sí la hay respecto al tipo de operación:F Sólo pueden ser roto-traslaciones de cualquier ángulo cuyo eje es
el eje del tuboF Planos de reflexión que contienen el eje del tubo
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 41 / 62
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Nanotubos Simetría de los nanotubos
Nanotubos inorgánicos naturalesAsbesto “blanco”
F Lizardita (filosilicato: Mg3Si2O5(OH)4)capa octaédrica tipo brucita (octaedros MgO6) a = 5.43 Åcapa tetraédrica (tetraedros SiO4 formando motivo hexagonal)a = 5.32 Å
F discordancia entre capas→ se curva
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 42 / 62
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Nanotubos Simetría de los nanotubos
Nanotubos inorgánicos naturalesAsbesto “blanco”
F Lizardita (filosilicato: Mg3Si2O5(OH)4)capa octaédrica tipo brucita (octaedros MgO6) a = 5.43 Åcapa tetraédrica (tetraedros SiO4 formando motivo hexagonal)a = 5.32 Å
F discordancia entre capas→ se curva
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 42 / 62
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Nanotubos Simetría de los nanotubos
Nanotubos inorgánicos naturalesAsbesto “blanco”
F Lizardita (filosilicato: Mg3Si2O5(OH)4)capa octaédrica tipo brucita (octaedros MgO6) a = 5.43 Åcapa tetraédrica (tetraedros SiO4 formando motivo hexagonal)a = 5.32 Å
F discordancia entre capas→ se curva
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 42 / 62
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Nanotubos Simetría de los nanotubos
Nanotubos inorgánicos naturalesAsbesto “blanco”
F Lizardita (filosilicato: Mg3Si2O5(OH)4)capa octaédrica tipo brucita (octaedros MgO6) a = 5.43 Åcapa tetraédrica (tetraedros SiO4 formando motivo hexagonal)a = 5.32 Å
F discordancia entre capas→ se curva
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 42 / 62
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Nanotubos Simetría de los nanotubos
Fibra de Crisotilo (Asbesto blanco)
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 43 / 62
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Nanotubos Simetría de los nanotubos
Cálculo de Crisotilo con CRYSTALCosto computacional (tiempo en segundos). Uso intensivo de la simetría
Calculos muy rápidosindependientemente del número de
átomos
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 44 / 62
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Cuasi-cristales ¿Orden extendido sin periodicidad?
Esquema de la charla
1 CristalesFormaciónSimetríaSimetría y computación
2 NanotubosConstrucciónSimetría de los nanotubos
3 Cuasi-cristales¿Orden extendido sin periodicidad?Teselación del espacioAleaciones de metales con Al
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 45 / 62
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Cuasi-cristales ¿Orden extendido sin periodicidad?
Simetría puntual vs translacional
♠ Nanotubos: se pudo aumentar el número de operacionesde simetría puntual a costa de perder operacionestranslacionales (hay que limitarse a una dirección deperiodicidad)
♠ ¿Es posible aumentar incluso más el número deoperaciones puntuales eliminando las de translación sinperder el carácter infinito del modelo?
♠ Podría serlo si las operaciones forman una estructuradistinta del grupo
♠ Vamos a ver como . . .
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 46 / 62
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Cuasi-cristales ¿Orden extendido sin periodicidad?
Simetría puntual vs translacional
♠ Nanotubos: se pudo aumentar el número de operacionesde simetría puntual a costa de perder operacionestranslacionales (hay que limitarse a una dirección deperiodicidad)
♠ ¿Es posible aumentar incluso más el número deoperaciones puntuales eliminando las de translación sinperder el carácter infinito del modelo?
♠ Podría serlo si las operaciones forman una estructuradistinta del grupo
♠ Vamos a ver como . . .
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 46 / 62
![Page 93: Simetría y materiales: de cristales a cuasicristales ... · Simetría y materiales: de cristales a cuasicristales pasando por nanotubos Claudio M. Zicovich-Wilson Centro de Investigación](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022070913/5fb4b2e176f69965440d0104/html5/thumbnails/93.jpg)
Cuasi-cristales ¿Orden extendido sin periodicidad?
Simetría puntual vs translacional
♠ Nanotubos: se pudo aumentar el número de operacionesde simetría puntual a costa de perder operacionestranslacionales (hay que limitarse a una dirección deperiodicidad)
♠ ¿Es posible aumentar incluso más el número deoperaciones puntuales eliminando las de translación sinperder el carácter infinito del modelo?
♠ Podría serlo si las operaciones forman una estructuradistinta del grupo
♠ Vamos a ver como . . .
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 46 / 62
![Page 94: Simetría y materiales: de cristales a cuasicristales ... · Simetría y materiales: de cristales a cuasicristales pasando por nanotubos Claudio M. Zicovich-Wilson Centro de Investigación](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022070913/5fb4b2e176f69965440d0104/html5/thumbnails/94.jpg)
Cuasi-cristales ¿Orden extendido sin periodicidad?
Simetría puntual vs translacional
♠ Nanotubos: se pudo aumentar el número de operacionesde simetría puntual a costa de perder operacionestranslacionales (hay que limitarse a una dirección deperiodicidad)
♠ ¿Es posible aumentar incluso más el número deoperaciones puntuales eliminando las de translación sinperder el carácter infinito del modelo?
♠ Podría serlo si las operaciones forman una estructuradistinta del grupo
♠ Vamos a ver como . . .
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 46 / 62
![Page 95: Simetría y materiales: de cristales a cuasicristales ... · Simetría y materiales: de cristales a cuasicristales pasando por nanotubos Claudio M. Zicovich-Wilson Centro de Investigación](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022070913/5fb4b2e176f69965440d0104/html5/thumbnails/95.jpg)
Cuasi-cristales ¿Orden extendido sin periodicidad?
Patrones de difracción cristalográficosPlanos de Miller
}
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 47 / 62
![Page 96: Simetría y materiales: de cristales a cuasicristales ... · Simetría y materiales: de cristales a cuasicristales pasando por nanotubos Claudio M. Zicovich-Wilson Centro de Investigación](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022070913/5fb4b2e176f69965440d0104/html5/thumbnails/96.jpg)
Cuasi-cristales ¿Orden extendido sin periodicidad?
Patrones de difracción cristalográficosPlanos de Miller
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C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 48 / 62
![Page 97: Simetría y materiales: de cristales a cuasicristales ... · Simetría y materiales: de cristales a cuasicristales pasando por nanotubos Claudio M. Zicovich-Wilson Centro de Investigación](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022070913/5fb4b2e176f69965440d0104/html5/thumbnails/97.jpg)
Cuasi-cristales ¿Orden extendido sin periodicidad?
Patrones de difracción cristalográficosPlanos de Miller
}
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 49 / 62
![Page 98: Simetría y materiales: de cristales a cuasicristales ... · Simetría y materiales: de cristales a cuasicristales pasando por nanotubos Claudio M. Zicovich-Wilson Centro de Investigación](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022070913/5fb4b2e176f69965440d0104/html5/thumbnails/98.jpg)
Cuasi-cristales ¿Orden extendido sin periodicidad?
Patrones de difracción cristalográficosPlanos de Miller
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C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 50 / 62
![Page 99: Simetría y materiales: de cristales a cuasicristales ... · Simetría y materiales: de cristales a cuasicristales pasando por nanotubos Claudio M. Zicovich-Wilson Centro de Investigación](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022070913/5fb4b2e176f69965440d0104/html5/thumbnails/99.jpg)
Cuasi-cristales ¿Orden extendido sin periodicidad?
Patrones de difracción cristalográficosPlanos de Miller
}
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 51 / 62
![Page 100: Simetría y materiales: de cristales a cuasicristales ... · Simetría y materiales: de cristales a cuasicristales pasando por nanotubos Claudio M. Zicovich-Wilson Centro de Investigación](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022070913/5fb4b2e176f69965440d0104/html5/thumbnails/100.jpg)
Cuasi-cristales ¿Orden extendido sin periodicidad?
Patrones de difracción cristalográficosPlanos de Miller
}
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C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 52 / 62
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Cuasi-cristales ¿Orden extendido sin periodicidad?
Patrones de difracción cristalográficosLey de Bragg: Rayos X o haces de neutrones
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 53 / 62
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Cuasi-cristales ¿Orden extendido sin periodicidad?
Patrones de difracción cristalográficos
F Según el ángulo de incidencia y la separación de los planos hayinterferencia constructiva/destructiva
F Patrón característico para cada cristalF Si hay operaciones de simetría de rotación aparecen distancias
interplanares equivalentes a ángulos de incidencia típicosF Examinando el patrón de difracción se puede saber qué tipos de
operación de rotación tiene la simetría⇑ ! En contra de la ley de restricción cristalográfica, en 1984 Dan
Shetchman (Nobel Química 2011) observó en un experimento dedifracción un material con rotaciones de simetríacorrespondientes a un icosaedro (de orden 5 [72◦])
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 54 / 62
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Cuasi-cristales ¿Orden extendido sin periodicidad?
Patrones de difracción cristalográficos
F Según el ángulo de incidencia y la separación de los planos hayinterferencia constructiva/destructiva
F Patrón característico para cada cristalF Si hay operaciones de simetría de rotación aparecen distancias
interplanares equivalentes a ángulos de incidencia típicosF Examinando el patrón de difracción se puede saber qué tipos de
operación de rotación tiene la simetría⇑ ! En contra de la ley de restricción cristalográfica, en 1984 Dan
Shetchman (Nobel Química 2011) observó en un experimento dedifracción un material con rotaciones de simetríacorrespondientes a un icosaedro (de orden 5 [72◦])
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 54 / 62
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Cuasi-cristales ¿Orden extendido sin periodicidad?
Patrones de difracción cristalográficos
F Según el ángulo de incidencia y la separación de los planos hayinterferencia constructiva/destructiva
F Patrón característico para cada cristalF Si hay operaciones de simetría de rotación aparecen distancias
interplanares equivalentes a ángulos de incidencia típicosF Examinando el patrón de difracción se puede saber qué tipos de
operación de rotación tiene la simetría⇑ ! En contra de la ley de restricción cristalográfica, en 1984 Dan
Shetchman (Nobel Química 2011) observó en un experimento dedifracción un material con rotaciones de simetríacorrespondientes a un icosaedro (de orden 5 [72◦])
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 54 / 62
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Cuasi-cristales ¿Orden extendido sin periodicidad?
Patrones de difracción cristalográficos
F Según el ángulo de incidencia y la separación de los planos hayinterferencia constructiva/destructiva
F Patrón característico para cada cristalF Si hay operaciones de simetría de rotación aparecen distancias
interplanares equivalentes a ángulos de incidencia típicosF Examinando el patrón de difracción se puede saber qué tipos de
operación de rotación tiene la simetría⇑ ! En contra de la ley de restricción cristalográfica, en 1984 Dan
Shetchman (Nobel Química 2011) observó en un experimento dedifracción un material con rotaciones de simetríacorrespondientes a un icosaedro (de orden 5 [72◦])
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 54 / 62
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Cuasi-cristales ¿Orden extendido sin periodicidad?
Patrones de difracción cristalográficos
F Según el ángulo de incidencia y la separación de los planos hayinterferencia constructiva/destructiva
F Patrón característico para cada cristalF Si hay operaciones de simetría de rotación aparecen distancias
interplanares equivalentes a ángulos de incidencia típicosF Examinando el patrón de difracción se puede saber qué tipos de
operación de rotación tiene la simetría⇑ ! En contra de la ley de restricción cristalográfica, en 1984 Dan
Shetchman (Nobel Química 2011) observó en un experimento dedifracción un material con rotaciones de simetríacorrespondientes a un icosaedro (de orden 5 [72◦])
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 54 / 62
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Cuasi-cristales Teselación del espacio
Esquema de la charla
1 CristalesFormaciónSimetríaSimetría y computación
2 NanotubosConstrucciónSimetría de los nanotubos
3 Cuasi-cristales¿Orden extendido sin periodicidad?Teselación del espacioAleaciones de metales con Al
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 55 / 62
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Cuasi-cristales Teselación del espacio
Teselación de Penrose, año 1974Arreglo periódico, ¿única manera de cubrir un espacio infinito?
Con dos tipos de teselas se puede cubriraperiódicamente un espacio bidimensional
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 56 / 62
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Cuasi-cristales Teselación del espacio
Teselación de Penrose, año 1974Arreglo periódico, ¿única manera de cubrir un espacio infinito?
Con dos tipos de teselas se puede cubriraperiódicamente un espacio bidimensional
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 56 / 62
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Cuasi-cristales Teselación del espacio
Teselación islámicaDetalle mezquita en Isfahan (Irán) año 1453
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 57 / 62
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Cuasi-cristales Teselación del espacio
Una manera aperiódica de cubrir el espacio
En vez de tener unidades asimétricas hablamos de “teselas”que pueden ser de dos o más tiposSe pueden usar las teselas como unidades de recubrimientocombinándolas de modo no periódico pero satisfaciendo una leydefinida en la que se establecen ciertas relaciones de simetríaLas operaciones de simetría ya no forman grupo sino grupoidees decir: la aplicación secuencial de dos operaciones de simetríapuede no dar otra operación de simetría (ley de composicióninterna abierta).
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 58 / 62
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Cuasi-cristales Teselación del espacio
Una manera aperiódica de cubrir el espacio
En vez de tener unidades asimétricas hablamos de “teselas”que pueden ser de dos o más tiposSe pueden usar las teselas como unidades de recubrimientocombinándolas de modo no periódico pero satisfaciendo una leydefinida en la que se establecen ciertas relaciones de simetríaLas operaciones de simetría ya no forman grupo sino grupoidees decir: la aplicación secuencial de dos operaciones de simetríapuede no dar otra operación de simetría (ley de composicióninterna abierta).
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 58 / 62
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Cuasi-cristales Teselación del espacio
Una manera aperiódica de cubrir el espacio
En vez de tener unidades asimétricas hablamos de “teselas”que pueden ser de dos o más tiposSe pueden usar las teselas como unidades de recubrimientocombinándolas de modo no periódico pero satisfaciendo una leydefinida en la que se establecen ciertas relaciones de simetríaLas operaciones de simetría ya no forman grupo sino grupoidees decir: la aplicación secuencial de dos operaciones de simetríapuede no dar otra operación de simetría (ley de composicióninterna abierta).
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 58 / 62
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Cuasi-cristales Aleaciones de metales con Al
Esquema de la charla
1 CristalesFormaciónSimetríaSimetría y computación
2 NanotubosConstrucciónSimetría de los nanotubos
3 Cuasi-cristales¿Orden extendido sin periodicidad?Teselación del espacioAleaciones de metales con Al
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 59 / 62
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Cuasi-cristales Aleaciones de metales con Al
Aleaciones cuasiperiódicas con AlPlano selecto de d-Al-Co-Ni (decagonal)
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 60 / 62
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Cuasi-cristales Aleaciones de metales con Al
Aleaciones cuasiperiódicas con AlPlano selecto de i-Al-Cu-Fe (icosahédrico)
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 61 / 62
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Cuasi-cristales Aleaciones de metales con Al
Perspectivas en la modelación de cuasi-cristalesMétodos para el cálculo de sus propiedades
La pérdida de la clausura de la ley de composición, y por tanto dela condición de grupo, impide la aplicación de todas lasfacilidades de la teoría de gruposA los efectos computacionales se puede seguir aprovechandoque hay equivalencias entre distintas partes del sistema
En el código CRYSTAL ya se aprovechan automáticamente lasequivalencias por simetría en muchas partes del cálculoEstamos trabajando en la extensión de estos algoritmos parapoder calcular cuasi-cristales
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 62 / 62
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Cuasi-cristales Aleaciones de metales con Al
Perspectivas en la modelación de cuasi-cristalesMétodos para el cálculo de sus propiedades
La pérdida de la clausura de la ley de composición, y por tanto dela condición de grupo, impide la aplicación de todas lasfacilidades de la teoría de gruposA los efectos computacionales se puede seguir aprovechandoque hay equivalencias entre distintas partes del sistema
En el código CRYSTAL ya se aprovechan automáticamente lasequivalencias por simetría en muchas partes del cálculoEstamos trabajando en la extensión de estos algoritmos parapoder calcular cuasi-cristales
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 62 / 62
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Cuasi-cristales Aleaciones de metales con Al
Perspectivas en la modelación de cuasi-cristalesMétodos para el cálculo de sus propiedades
La pérdida de la clausura de la ley de composición, y por tanto dela condición de grupo, impide la aplicación de todas lasfacilidades de la teoría de gruposA los efectos computacionales se puede seguir aprovechandoque hay equivalencias entre distintas partes del sistema
En el código CRYSTAL ya se aprovechan automáticamente lasequivalencias por simetría en muchas partes del cálculoEstamos trabajando en la extensión de estos algoritmos parapoder calcular cuasi-cristales
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 62 / 62
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Cuasi-cristales Aleaciones de metales con Al
Perspectivas en la modelación de cuasi-cristalesMétodos para el cálculo de sus propiedades
La pérdida de la clausura de la ley de composición, y por tanto dela condición de grupo, impide la aplicación de todas lasfacilidades de la teoría de gruposA los efectos computacionales se puede seguir aprovechandoque hay equivalencias entre distintas partes del sistema
En el código CRYSTAL ya se aprovechan automáticamente lasequivalencias por simetría en muchas partes del cálculoEstamos trabajando en la extensión de estos algoritmos parapoder calcular cuasi-cristales
C. Zicovich (CInC-UAEM) ICB-UV 26-2-15 62 / 62