Simulación de Montecarlo · para simular los escenarios de rendimiento futuro. ... * Uno de los...

Simulación de MontecarloSimulación de Montecarlo

La simulación de montecarlo aplicada a un caso de l a vida real para La simulación de montecarlo aplicada a un caso de l a vida real para simular la evolución de un portafolio de inversión

Alejandro Bianchi,[email protected]

BulletBullet PointsPoints del del WorkshopWorkshop

� Repaso de números aleatorios – Ejemplo simple

� Repaso de probabilidad

� Ejemplo en excel de simulación de dos CF con Variable s aleatorias de distribución uniforme

- 2 - Universidad del CEMA

distribución uniforme

� Confección de un portafolio eficiente y uso de la h erramienta de Montecarlo para simular los escenarios de rendimiento futuro

AplicacionesAplicaciones


Ejemplo Ejemplo –– Planificación de Inversiones usando Simul aciónPlanificación de Inversiones usando Simulación

� Cuando planificamos, manejamos factores sobre los q ue no tenemos certidumbre respecto del valor que tendrán a futuro .

Un número aleatorio es aquel obtenido al azar, es decir, que todo número tenga la misma probabilidad de ser elegido y que la elección de uno no dependa

de la elección del otro. El ejemplo clásico más utilizado para generarlos es el


de la elección del otro. El ejemplo clásico más utilizado para generarlos es el lanzamiento repetitivo de una moneda o dado ideal no trucado.

Métodos de generación de números aleatoriosMétodos de generación de números aleatorios

o Métodos manuales , lanzamiento de monedas, lanzamientos de dados, dispositivos mecánicos, dispositivos electrónicos

o Métodos de computación analógica , son métodos que dependen de ciertos procesos físicos aleatorios, por ejemplo, el comportamiento de una corriente eléctrica.

o Métodos de computación digital , cuando se usa el ordenador digital.

o Tablas de bibliotecas , son números aleatorios que se han publicado; de los cuales podemos encontrar o Tablas de bibliotecas , son números aleatorios que se han publicado; de los cuales podemos encontrar listas en los libros de probabilidad y tablas de matemáticas. Estos números fueron generados por alguno de los métodos de computación analógica.


Cómo obtenemos un número aleatorio con una Cómo obtenemos un número aleatorio con una pcpc… …

En las computadoras es fácil simular la generación de números aleatorios, mediante mecanismos de generación de números pseudoaleatorios , que,

sin ser aleatorios (siguen una fórmula), lo aparent an.

¿QUÉ SON LOS NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS?


¿QUÉ SON LOS NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS?

Son unos números generados por medio de una función (determinista, no aleatoria) y que aparentan ser aleatorios. Estos números pseudoaleatorios se

generan a partir de un valor inicial aplicando iterativamente la función. La sucesión de números pseudoaleatorios es sometida a diversos tests para medir hasta qué

punto se asemeja a una sucesión aleatoria .

Ejemplo Ejemplo –– Generación de un número Generación de un número pseudoaleatoriopseudoaleatorio con Excelcon Excel

� Lineal Congruential Generator (LCG):

– Responde a la siguiente función:

=RESIDUO DE (B* semilla + A) DIVIDIDO POR m

– Semilla: del que parto para iniciar la serie de núm eros aleatorios


– Semilla: del que parto para iniciar la serie de núm eros aleatorios– B: multiplicador– A: incremento– m: número divisor

� Problema: son pseudoaleatorios, ya que, al responde r a una fórmula son fácilmente pronosticables.

�Ejemplo en excel de confección de un número aleatorio

Limitantes del cálculo de aleatorios LCGLimitantes del cálculo de aleatorios LCG

La limitante de LCG, es que existe correlación lineal entre los sucesivos números aleatorios por eso es que si uno los grafica en 3D, aparecen en vectores hyperplanos (líneas)


Tres formas de cálculos de números Tres formas de cálculos de números pseudoaleatoriospseudoaleatorios

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Excel's RAND

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1

Visual Basic's Rnd

Usando fórmula Random() del excel 97 Random de VBA


0

0.7 0.70002 0.70004 0.70006 0.70008 0.7001 0.7 0.70002 0.70004 0.70006 0.70008 0.7001

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.7 0.70002 0.70004 0.70006 0.70008 0.7001

Barreto/Howland's Random (FMRG)

Si bien el sistema de Barreto-Holwlandmantiene la aleatoriedad, no significaque sea perfecto. Sino que exhibiráuna estructura de dependencia a

grandes dimensiones.

Barreto Random

Ejemplo Ejemplo –– Planificación de Inversiones usando Simul aciónPlanificación de Inversiones usando Simulación

Los seres humanos vivimos en un medio aleatorio y nuestro comportamiento lo es también. Si deseamos predecir el comportamiento

de un material, de un fenómeno climatológico o de un grupo humano podemos inferir a partir de datos estadísticos.


Para lograr una mejor aproximación a la realidad nuestra herramienta predictiva debe funcionar de manera similar: aleatoriamente.

De esa necesidad surgieron los modelos de simulació n.

Funciones de distribuciónFunciones de distribución

Un número aleatorio es un resultado de una variable al azar especificada por una función de distribución. Cuando no se especifica ninguna

distribución, se presupone que se utiliza la


distribución, se presupone que se utiliza la distribución uniforme continua en el intervalo [0,1).

�Ejemplo en excel de simulación de dos CF con Variables aleatorias de distribución uniforme

DISTRIBUCIONES DISTRIBUCIONES DE DE PROBABILIDADPROBABILIDAD


Puedo definir 1 o más variables en cada momento del tiempoPuedo definir 1 o más variables en cada momento del tiempo

HOY

Variable a predecir

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Variables a predecir

Impacto en un Cash Flow a futuro


HOY


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Impacto en un Cash Flow a futuro en función de lo que valga la variable mes a mes

En este escenario deberíamos pensar si quisiéramos simular el En este escenario deberíamos pensar si quisiéramos simular el comportamiento de un portafolio a futurocomportamiento de un portafolio a futuro

HOY


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Múltiples variables

En cada momento del tiempo

Con una


Con una distribuciónpara cada variable

Y una correlacióncon las otras variables

Aplicación a un portafolio de Aplicación a un portafolio de inversióninversión


inversióninversión

Un modelo empírico…Un modelo empírico…

Elección del portafolio:

•Un cliente nos ha solicitado la construcción de un portafolio. En base a las características del cliente y de los parámetros de retorno esperado, varianza y correlación del universo de activos se han seleccionado los siguientes:


•Cada uno de estos activos tendrá un porcentaje de participación determinado por el portfolio manager en la cartera. Con las series de estos activos construiremos la posible evolución de los fondos de nuestro cliente en el tiempo.

Un modelo empírico…Un modelo empírico…

Formato de las series:

* La compresión de los datos que fue utilizada es de carácter mensual. Se optó por dicho período para evitar problemas en el cálculo de las correlaciones con otras series por feriados distintos entre países y para tener suficiente confianza estadística por el tamaño de las series. A su vez la elección desde el punto de vista empírico estuvo basada en la inexistencia de series homogéneas de largo plazo de compresión semanal.

* De acuerdo a datos obtenidos de la Reserva Federal es posible medir la distancia entre los picos de los ciclos económicos norteamericanos. La misma, en los últimos 40 años, ha durado aproximadamente 10 años (del 60 al 70 - del 70 al 80 (con interrupciones) - del 81 al 91 - del 90 al 01 - 01 a 07). En función al ciclo americano es que 70 - del 70 al 80 (con interrupciones) - del 81 al 91 - del 90 al 01 - 01 a 07). En función al ciclo americano es que el modelo buscará en la práctica incrementar las series hasta alcanzar 3 ciclos para dar sustentabilidad al modelo (30 años de datos).

* El modelo es de naturaleza empírica, con lo cual, las series del estudio se actualizarán todos los años para seguir teniendo vigencia. La actualización debe correr antes de la fecha de rebalanceo del portafolio de los clientes. Las series tendrán siempre 30 años de datos, de manera que al pasar un año se elimina el primer dato de la serie y se agrega el dato del año más reciente. Sin embargo, por una restricción puramente empírica el modelo comenzará con 20 años de datos históricos e irá sumando año a año datos a la serie hasta alcanzar los 30 años de datos.


Algunas consideraciones preliminares…Algunas consideraciones preliminares…

* Uno de los supuestos más fuertes del modelo es que los rendimientos futuros de los activos a futuro tendrán una distribución similar al rendimiento rolling anual de los últimos 20 años.

* Desde el punto de vista empírico está demostrado que el S&P 500 no ha dado rendimientos negativos por más de dos años consecutivos. Esto determinará el mínimo plazo de inversión para diversificar una cartera en de dos años consecutivos. Esto determinará el mínimo plazo de inversión para diversificar una cartera en acciones. El portafolio del cliente estará invertido a no menos de 3 años de plazo.


Las acciones en Estados Unidos subieron 2 de cada 3 días de Las acciones en Estados Unidos subieron 2 de cada 3 días de operatoria en los últimos 100 añosoperatoria en los últimos 100 años


Construcción de las series del modeloConstrucción de las series del modelo

*Cada una de las series consideradas en el modelo es "Net Total Return", es decir, tiene en cuenta los dividendos que se hubieran obtenido así como las ganancias de capital y los gastos de administración e impuestos incurridos.

•*Las series de precios de los activos considerados en el modelo son convertidas a series de rendimiento logarítmico rolling anuales.

•* Ajustamiento de las series. A cada serie, en base a su rendimiento histórico se le asigna una distribución de •* Ajustamiento de las series. A cada serie, en base a su rendimiento histórico se le asigna una distribución de probabilidades. Dicha distribución surge de la función “Fitting” del programa “@Risk”


Por qué usar series logarítmicas?Por qué usar series logarítmicas?

S&P500 stock index, valores mensuales desde 1971 hasta 1995.

Aplicando una tranformación logarítmica (LOG(SP500)) obtenemos un patrón de crecimiento más lineal.


Calculando la primera diferencia de la serie, se obtiene un serie cuya varianza crece a medida que aumenta el nivel de la variable original mientras pasa el tiempo (serie heteroscedástica).

Al calcular la primera diferencia de la serie DIFF(LOG(SP500)), se logra una estabilización de la varianza.

Se busca la distribución de cada una de las series con @Se busca la distribución de cada una de las series con @RiskRisk


El programa hace el El programa hace el bestbest fitfit de la serie y nos arroja una de la serie y nos arroja una distribución….distribución….


Para cada valor simulado en base a la distribución le agregamos Para cada valor simulado en base a la distribución le agregamos que además tenga en cuenta la correlación con otros activos para que además tenga en cuenta la correlación con otros activos para que no arroje valores de laboratorio…que no arroje valores de laboratorio…

Matriz de Correlaciones: El objetivo de esta matriz es captar la correlación (que indica la fuerza y la dirección de una relación lineal entre dos variables aleatorias) existente entre los distintos índices de manera que al simular los rendimientos, los mismos no sean generados solo en base a su distribución de probabilidades sino que también tenga en cuenta la relación con otros activos.


Evolución de los fondos en base a la simulación de Evolución de los fondos en base a la simulación de montecarlomontecarlo

Simulación de Montecarlo:Basados en la series ajustadas, las distribuciones obtenidas con el programa "@Risk" y las correlaciones de los activos entre si se realizó una simulación de montecarlo para obtener distintas rentabilidades aleatorias, generando así como outputs del modelo 500 caminos de rendimientos.


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