Simulación de Yacimientos Naturalmente Fracturados Simulación ...

1

Simulación de Yacimientos Naturalmente Fracturados



Diciembre del 2006

Seminario de Modelación Matemática y Computacional

Instituto de Geofísica-UNAM

Diciembre del 2006

Seminario de Modelación Matemática y Computacional

Instituto de Geofísica-UNAM

2


Contenido

1. Introducción

2. Idealización de YNF

3. Procesos Dinámicos en YNF

4. Modelo de Doble Porosidad

5. Modelo de Triple Porosidad

6. Modelo de n - Porosidad

7. Conclusiones

3


Introducción

Que es una Fractura ?

Es un plano de discontinuidad macroscópica en una

roca debido a deformación por esfuerzos o diagenesis.

Que es un Yacimientos Naturalmente Fracturado ?

Es un medio poroso conteniendo planos discontinuos

(fracturas) naturales y que afectan el flujo de fluidos.

4


Afloramientos Fracturados

5


Importancia de los YNF

6


Importancia de los YNF

El 70 % de las reservas

en México se

encuentran en YNF

7


Tipos de Poro en YNF

8


Distribución de tamaño de poro en Carbonatos

9


Correlación Porosidad vs. Permeabilidad

1 mD = 10-12 mm

10


Conceptualización de YNF

Existen varis modelos para representar a un medio poroso

fracturado:

• Fracturas Discretas

• Red de Fracturas Discretas

• Medio Continuo Equivalente

• Medio Continuo

11


Fracturas Discretas

Tomada de Yu-Shu, 2004

12


Red de Fracturas Discretas

13


Medio Continuo Equivalente

14


Medio Continuo (Barenblatt, 1959)

Matriz

Fractura

15


Medio Continuo (Warren and Root, 1964)

Matriz

Fractura

Placas Barras Cubos con uniones horizontales

impermeables

Cubos

16


Medio Continuo (Warren and Root, 1964)

Yacimiento Real Conceptualización

vugulus matriz

fractura

Bloque de matriz fractura

17


Distribución de Fluidos en un YNF

Drene Gravitacional (Zona de Gas)

Expansión (Zona de Aceite)

Imbibición(Zona de Agua)

18


Mecanismo por gravedad

GOLO

GOL

WOL

WOLO

Expansión + Segregación gravitacion

Expansión

Imbibición

Capilar Capilar Capilar + gravitacional

Capilar + gravitacional

1) 2)

4)

3)

5)

6) 7) 8) 9)

Sg > Sgc

Sg < Sgc

Sg = 0

Aceite en la matriz

Aceite en la fractura

Gas

Agua

19


Sistema fisicoa estudiar

Modelo deSimulación

Experimentosde Simulación

Análisis deResultados

Conclusiones

Actualizacióndel sistema

EcuacionesDiferenciales

Parciales

EcuacionesAlgebraicasNo lineales

EcuacionesAlgebraicas

Lineales

Solución delSistema

de ecuacionesModelamientoMatemático

Discretización

Linealización

Convergencia

MundoReal

Estudiode Simulación





Conclusiones



Parciales



Lineales



Discretización

Linealización

Convergencia





Conclusiones



Parciales



Lineales



Discretización

Linealización

Convergencia

MundoReal

Estudiode Simulación

MundoReal

EstudioSimulacion

Proceso de Modelado

20


Modelo de Doble Porosidad

Propuesto por Baraenblatt (1959), Warren and Root (1964)

• Dos medios Matriz-Fractura

• Fractura (Medio Continuo), Matriz (Medio Discontinuo)

• Fractura (Alta permeabilidad), Matriz (Baja permeabilidad)

• Fractura (Baja Porosidad), Matriz (Alta Porosidad)

• Función de Transferencia Matriz-Fractura.

21


Modelo Matemático para Doble Porosidad, 1-K

S1

S2

S1

S2

S1

S2

i i+1i-1

Fractura

Matriz

22


Modelo Matemático para Doble Porosidades

( ) ( )21 111

ˆ ˆroo o o o o o o

o o

Kk p D b q b SB t

∂γ τ φμ ∂⎡ ⎤

⎡ ⎤∇ ⋅ ∇ − ∇ + + = ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦

Aceite

Gas

( ) ( )

[ ] ( )1

21 211 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ

rgros o o g g

o o g g

s o o g g s o g s o o g g

kkKk R p D p DB B

R b q b q R R b S b St

γ γμ μ

∂τ τ φ∂

⎡ ⎤∇ ⋅ ∇ − ∇ + ∇ − ∇⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + + + = +⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦Agua

( ) [ ] [ ]21 111

ˆ ˆrww w w w w w w

w w

Kk p D b q b SB t

∂γ τ φμ ∂

⎡ ⎤⎡ ⎤∇ ⋅ ∇ − ∇ + + =⎢ ⎥ ⎣ ⎦

⎣ ⎦

Medio Continuo s = 1 (Fractura)

23


Modelo Matemático para Doble Porosidades

Aceite

Gas

Agua

Medio Discontinuo s = 2 (Matriz)

[ ] ( )21 2o o ob St

∂τ φ∂

− = ⎡ ⎤⎣ ⎦

[ ] ( )21 21 2ˆ ˆs o g s o o g gR R b S b S

t∂τ τ φ∂

⎡ ⎤⎡ ⎤− − = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

[ ] [ ]21 2ˆw w wb S

t∂τ φ∂

− =

24


Modelo Matemático para Triple Porosidades, 1-K

S1

S2

S3

S1

S2

S3

S1

S2

S3

i i+1i-1

25


Modelo Matemático para Triple Porosidades

( ) ( )21 111


o o

Kk p D b q b SB t

∂γ τ φμ ∂⎡ ⎤

⎡ ⎤∇ ⋅ ∇ − ∇ + + = ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦

Aceite

Gas

( ) ( )

[ ] ( )1

21 211 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ

rgros o o g g

o o g g


kkKk R p D p DB B


γ γμ μ

∂τ τ φ∂

⎡ ⎤∇ ⋅ ∇ − ∇ + ∇ − ∇⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + + + = +⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦Agua

( ) [ ] [ ]21 111


w w

Kk p D b q b SB t

∂γ τ φμ ∂

⎡ ⎤⎡ ⎤∇ ⋅ ∇ − ∇ + + =⎢ ⎥ ⎣ ⎦

⎣ ⎦

Medio Continuo s = 1

26



Aceite

Gas

Agua

Medio Discontinuo s = 2

[ ] [ ] ( )21 32 2ˆ ˆo o o ob S

t∂τ τ φ∂

− + = ⎡ ⎤⎣ ⎦

[ ] [ ] ( )21 3221 32 2ˆ ˆ ˆ ˆs o g s o g s o o g gR R R b S b S

t∂τ τ τ τ φ∂

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − + + = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

[ ] [ ] [ ]21 32 2ˆ ˆw w w wb S

t∂τ τ φ∂

− + =

27



Aceite

Gas

Agua


( )32 3o o ob St

∂τ φ∂

− = ⎡ ⎤⎣ ⎦

[ ] ( )32 3,2 3ˆ ˆs o g s o o g gR R b S b S

t∂τ τ φ∂

⎡ ⎤⎡ ⎤− − = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

[ ] [ ]32 3ˆw w wb S

t∂τ φ∂

− =

28


Modelo Matemático para n Porosidades

S1

S2

Sns

S1

S2

Sns

S1

S2

Sns

i i+1i-1

29



( ) ( )21 111


o o

Kk p D b q b SB t

∂γ τ φμ ∂⎡ ⎤

⎡ ⎤∇ ⋅ ∇ − ∇ + + = ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦

Aceite

Gas

( ) ( )

[ ] ( )1

21 211 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ

rgros o o g g

o o g g


kkKk R p D p DB B


γ γμ μ

∂τ τ φ∂

⎡ ⎤∇ ⋅ ∇ − ∇ + ∇ − ∇⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + + + = +⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦Agua

( ) [ ] [ ]21 111


w w

Kk p D b q b SB t

∂γ τ φμ ∂

⎡ ⎤⎡ ⎤∇ ⋅ ∇ − ∇ + + =⎢ ⎥ ⎣ ⎦

⎣ ⎦

Medio Continuo s = 1

30



Aceite

Gas

Agua


[ ] [ ] ( )21 32 2ˆ ˆo o o ob S

t∂τ τ φ∂

− + = ⎡ ⎤⎣ ⎦



⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − + + = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

[ ] [ ] [ ]21 32 2ˆ ˆw w w wb S

t∂τ τ φ∂

− + =

31



Aceite

Gas

Agua

Medio Discontinuo s = 3…..n-1

[ ] [ ] ( )32 43 3ˆ ˆo o o ob S

t∂τ τ φ∂

− + = ⎡ ⎤⎣ ⎦



⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − + + = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

[ ] [ ] [ ]32 43 3ˆ ˆw w w wb S

t∂τ τ φ∂

− + =

32



Aceite

Gas

Agua

Medio Discontinuo s = n

( ), , 1o n n o o nb S

t∂τ φ∂−− = ⎡ ⎤⎣ ⎦

[ ] ( ), 1 , 1ˆ ˆs o g s o o g gn n n n n

R R b S b St

∂τ τ φ∂− −

⎡ ⎤⎡ ⎤− − = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

[ ] [ ], 1ˆw w wn n n

b St

∂τ φ∂−

− =

33


Sol. Numérica -Matriz Jacobiana (Ordenamiento Normal)

1,1 1,1 1,1 1,1

2,1 2,1 2,1 2,1 2,1

3,1 3,1 3,1 3,1 3,1

4,1 4,1 4,1 4,1 4,1

5,1 5,1 5,1 5,1

1,2 1,2 1,2 1,2

2,2 2,2 2,2 2,2 2,2

3,2 3,2 3,2 3,2 3,2

4,2 4,2 4,2 4,2 4,2

5,2 5,2 5,2 5,2

1,3 1,3 1,3 1,3

a b e gc a b e g

c a b e gc a b e g

c a e gf a b e

f c a b ef c a b e

f c a b ef c a e

h f a b

( )1,1

2,1

3,1

4,1

5,1

1,2

2,2

3,2

4,2

5,2

1,3

2,3 2,3 2,3 2,3 2,3 2,3

3,3 3,3 3,3 3,3 3,3 3,3

4,3 4,3 4,3 4,3 4,3 4,3

5,3 5,3 5,3 5,3 5,3

XXXXXXXXXXX

h f c a b Xh f c a b X

h f c a b Xh f c a X

ν δδδδδδδδδδδδδδδ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )11,1

2,1

3,1

4,1

5,1

1,2

2,2

3,2

4,2

5,2

1,3

2,3

3,3

4,3

5,3

FFFFFFFFFFFFFFF

ν ν+⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

34


Formulación Numérica para n Porosidades

1/1 1

2

1

1, ,

0 00

0 0n

n i j k

XX

X

C

X

δδ

δδ

−

−

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

1/2

2/1 2/2 2/3

1/ 2 1/ 1 1/

/ 1 /

1/1 1

2

1

, ,

n n n n n n

n n n n

n

n i j k

AA A A

A A

A

AA A

XX

XX

δδ

δδ

− − − − −

−

−

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

1/1 1

2

1

1.

0 00

0 0n

n i jk

XX

XX

B δδ

δδ

−

+

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

1

2

1n

n ijk

RR

RR

−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= − ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

+

+

1/ 2

2/1 2/ 2 2/3

1/ 2 1/ 1 1

1/1 1/ 2

2/1 2/ 2 2/3

1/ 2 1/ 1 1/

/ 1 /

/

/ 1 /

1/11/1 00 0 0

0 0 00 0

n n n n n n

n n

n n n n n n

n n n nn n

HA AA A A

A A A

A AAA

A

A A

A A AA A A

− − − − −

−

− − − − −

−

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢⎢ ⎥⎢⎢ ⎥⎢⎢ ⎥

= + ⎢⎢ ⎥⎢⎢ ⎥⎢⎢ ⎥⎢⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢⎣

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎦ ⎣ ⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

35



Complemento de Schur

/ 1 1 /n n n n n n nA X A X Rδ δ− − + = −Renglón n : / /

1 1/ 1 1n n n nn n n nn A R A A XX δδ − −

− −⎡ ⎤= − −⎣ ⎦

Renglón n-1 : 1/ 2 2 1/ 1 1 1/ 1n n n n n n n nnnA X A X A RXδ δδ− − − − − − − −+ + = −

/ /

/ /

* *1/ 1 1

1 11/ 2 2 1/ 1 1 1/ 1/ / 1 1 1

1 11/ 2 2 1/ 1 1/ / 1 1 1 1/

n n n n

n n n n

n n n

n n n n n n n n n n n n n n n

n n n n n n n n n n n n n n

A R

n

A X A X A A R A A A X R

A X A A A A X R A A R

A

δ δ δ

δ δ

− − −

− −− − − − − − − − − − −

− −− − − − − − − − − −

⎡ ⎤+ + − − = −⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ − = − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

* *1/ 2 2 1/ 1 1 1n n n n n nX A X Rδ δ− − − − − − −+ = − * 1 * * 1

1/ 1 1 1/ 1 1/ 2 21 n n n n n n n nn A AX R A Xδδ − −− − − − − − − −− ⎡ ⎤= − −⎣ ⎦

36


Modelo Matemático para 3 Porosidades

1

11 1 1 *1/1, 1, 1 1, 1

*/1, 1, 1 1 11/1

Hik i jk ijk ijk i jkijk

R ijk

C X X B XA R R

ν

νν ν ν ν νδ δ δ++ + +

− +

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤+ + = − +⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

Complemento de Schur

( )*1/1

* 11/ 2 2/ 2 2/1 11/1

A

A XA A A δ−−( )*2 / 2

* 12/ 2 2/3 3/3 3/ 2 2

A

A A A A Xδ−−

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Validación de Modelos

• Soluciones análitica– Yacimiento Homogeneo– Warren & Root– Rodríguez et. al. (2004), Camacho et.al (2003)

• Soluciones Numéricas (1K – n φ)– Yac. Homogéneo (NS = 1)– Yac. Doble Porosidad (NS = 2)– Yac. Triple Porosidad (NS = 3)

38


Datos:

DATOS GENERALES PARA LA VALIDACIÓN DEL MODELO NUMÉRICO.

Unidades Prácticas Unidades del SI Pi 4351.1[psi] 30.0E+06[Pa] Qo 600.0[bpd] 6.94E-03[m3/Seg] rw 0.3281[ft] 0.1[m] h 164.0[ft] 50.0[m] k 1000/100/1[mD] 9.87E-13/9.87E-14/9.87E-16[m2]

φ 0.01/0.1/0.3[Frac.] 0.01/0.1/0.3[Frac.] Ct 4.0E-05/4.0E-05/4.0E-05[psi-1] 5.8E-09/5.8E-09/5.8E-09[Pa-1]

α 9.29E-02/9.29E-02[ft-2] 1.0/1.0[m-2]

μο 0.695[cp] 6.95E-04[Pa-Seg] Bo 2.0[bl/bl] 2.0[m3/m3]

ω 2.44E-02/2.44E-01/7.32E-01

λ 1.00E-03/1.00E-05

39


Validación del SNYM 1 φ - 1K. (Coordenadas Radiales)

4305.0

4315.0

4325.0

4335.0

4345.0

4355.0

1.0E-07 1.0E-06 1.0E-05 1.0E-04 1.0E-03 1.0E-02 1.0E-01 1.0E+00 1.0E+01 1.0E+02 1.0E+03

Tiempo (hr)

Pwf (

psi)

Sol. Analítica Simple Por Simulador Simple Por

40


4305.0

4315.0

4325.0

4335.0

4345.0

4355.0

1.0E-07 1.0E-06 1.0E-05 1.0E-04 1.0E-03 1.0E-02 1.0E-01 1.0E+00 1.0E+01 1.0E+02 1.0E+03

Tiempo (hr)

Pwf (

psi)

Sol. Analítica Doble Por Simulador Doble Por


Validación del SNYM 2 φ - 1K. (Coordenadas radiales)

41


4305.0

4315.0

4325.0

4335.0

4345.0

4355.0

1.0E-07 1.0E-06 1.0E-05 1.0E-04 1.0E-03 1.0E-02 1.0E-01 1.0E+00 1.0E+01 1.0E+02 1.0E+03

Tiempo (hr)

Pwf (

psi)

Sol. Analítica Triple Por Simulador Triple Pord Sol. Analítica Doble Por

Simulador Doble Por Sol. Analítica Simple Por Simulador Simple Por

Validación del SNYM 3 φ - 1K. (Coordenadas Radiales)

42


4305.0

4315.0

4325.0

4335.0

4345.0

4355.0

1.0E-07 1.0E-06 1.0E-05 1.0E-04 1.0E-03 1.0E-02 1.0E-01 1.0E+00 1.0E+01 1.0E+02 1.0E+03

Tiempo (hr)

Pwf (

psi)

Sol. Analítica Triple Por Simulador Triple Pord


Triple Porosidad o Doble Porosidad ?

43


Cuadruple Porosidad. (Sol. Numérica)

4320

4325

4330

4335

4340

4345

4350

1.E-07 1.E-06 1.E-05 1.E-04 1.E-03 1.E-02 1.E-01 1.E+00 1.E+01 1.E+02 1.E+03Tiempo (hr)

Pwf (

psia

)

44


Cuadruple Porosidad

4320

4325

4330

4335

4340

4345

4350


Pwf (

psia

)

45


Cuadruple Porosidad

4320

4325

4330

4335

4340

4345

4350


Pwf (

psia

)

46


Conclusiones

• Los YNF, aunque son difíciles de modelar, existen

algoritmos simples y prácticos para obtener resultados

confiables.

• El modelo de Warren & Root es fácilmente extendido para

modelar YNF conteniendo heterogeneidades bien definidas

• El ingeniero de yacimientos debe ser pragmático en la

modelación de YNF.

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