Simulacion -Parte 1 -Session11
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Simulación Parte 1Simulación Parte 1
Optimización y Simulación Optimización y Simulación Ing. Lourdes Roxana Díaz Amaya
Escuela de Ingeniería de Sistemas
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En la administración de operaciones se utilizan dos tipos de modelos:
• Modelos de Optimización• Modelos de Simulación
Modelo deOptimización
Modelo deSimulación
Responde a la pregunta¿ Cuál es la mejor decisión ?
Responde a la pregunta¿ Qué pasaría si ............ ?
MODELOS DE SIMULACIÓN
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MODELOS DE SIMULACIÓNUn modelo de simulación corresponde a una estructura de análisis de un sistema que permite ir ensayando la respuesta del sistema, ante diferentes condiciones
Las situaciones reales o sistemas deben ser simplificadas a través de modelos, los que deben ser representativos de la realidad, para así formular soluciones útiles
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MODELOS DE SIMULACIÓN
La simulación surge debido a que no siempre es posible formular modelos de optimización que
sean representativos de la realidad
Sistema
Modelo
Condiciones de trabajo
Parámetros del modeloVariables
de decisión
Respuesta
Respuesta
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SIMULACIÓN
Es observar el comportamiento de un sistema a través de un modelo, ante diferentes situaciones que se ensayan. Esto implica experimentación
Se simulan los experimentos usando relaciones matemáticas (determinísticas o probabilísticas), para medir los resultados representativos de la realidad
Simulación no es una técnica optimizante ni busca la mejor solución o decisión, aunque al menos debe proporcionar soluciones cercanas a la óptima
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MODELOS DE SIMULACIÓN
Aunque para todo administrador resulte más conveniente trabajar con modelos de optimización, sin embargo, no existen en la variedad de casos necesarios. Por lo tanto, los modelos de simulación, tienen algunas ventajas
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MODELOS DE SIMULACIÓN
Ventajas de los modelos de simulación:
El modelo de simulación es más fácil de construir y comprender que uno de optimización
Los modelos de optimización, generalmente, no evalúan todas las soluciones subóptimas. En cambio, los modelos de simulación si las evalúan
El modelo de simulación hace experimentación en computadores, lo que le otorga: Mayor rapidez para procesar la información Capacidad de anticipar resultados posibles en situaciones nuevas o imprevistas
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MODELOS DE SIMULACIÓN
Desventajas de los modelos de simulación:
El modelo de simulación requiere personal especializado para su realización y análisis Es imprescindible el uso de computadores No necesariamente alcanza resultados óptimos
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ETAPAS PARA HACER LA SIMULACIÓN EN UN PROGRAMA COMPUTACIONAL
1) Formulación del Problema: Definir la situación o sistema a resolver, sus variables y un esquema de la solución buscada
2) Construcción del Modelo: Hacer representación simplificada de la realidad, con relaciones matemáticas acordes con dicha realidad, lo que implica muchas veces eliminar variables poco relevantes
3) Recolección de Datos: Identificar y recopilar la información pertinente para especificar las condiciones de trabajo del modelo
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ETAPAS PARA HACER LA SIMULACIÓN EN UN PROGRAMA COMPUTACIONAL
4) Implementación del Modelo: Traducir el modelo a un programa computacional y verificar que el programa pueda ejecutarse
5) Validación del Modelo: Es la evaluación del resultado del modelo computacional respecto de su representación de la realidad
6) Análisis de los Resultados: Se hace la experimentación propiamente tal y se interpretan los resultados obtenidos
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SIMULACIÓN DE MONTECARLO
Es una técnica de muestreo aleatorio simple (M.A.S.) en la que el muestreo se hace en un espacio finito a partir de la generación de números aleatorios: la población son todos los números aleatorios y el muestreo consiste en determinar valores sucesivamente a partir de los números aleatorios
X : Variable aleatoria
Que tiene un comportamiento según alguna distribución de probabilidades
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SIMULACIÓN DE MONTECARLO
Se obtienen valores para X ( X1, X2, X3, ........., Xn )
X1X2X3
Xn
Son valores generados utilizado un M.A.S. de los números aleatorios ri
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NÚMEROS ALEATORIOS
ri
Es cualquier número entre 0 y 99, con igual probabilidad de selección: todos los números tienen la misma probabilidad de ser escogidos en cualquier instante, es decir que tienen una distribución de probabilidades uniforme
ri
f (r)
0 99
ri U ( 0, 99 )
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Características – Variable Aleatoria• Una variable aleatoria es una función con valores numéricos y
definida sobre un espacio muestral • Una variable aleatoria discreta toma diversos valores con
probabilidades especificadas por su distribución de probabilidad
• Utilidad de una v.a.: reduce el espacio de muestra a uno más fácil de manejar
• Ejemplo: En una familia de 3 hijos, cuál es la probabilidad de que haya un varón o menos?
21
83
81)1()0()1Pr( ppX
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a) Variable aleatoria X= “Cantidad de varones”b) Diagrama de su distribución de probabilidad
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Variable aleatoria• Frecuentemente interesa conocer más que el resultado de un
experimento aleatorio, una función de dicho resultado.• Una variable aleatoria es una función con valores numéricos y
definida sobre un espacio muestral• Si lanzamos al aire tres monedas, podemos definir la función
como X: X: número de caras que resultan del experimento.
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EJEMPLO DE SIMULACIÓN
Una sucursal bancaria canjea cierta cantidad de cheques cada día, según el siguiente comportamiento en un mes:
Cheques Frecuenciacanjeados Frecuencia Frecuencia Relativa
por día (miles) Absoluta Relativa Acumulada Media1 - 500 2 0.05 0.05 250,5
501 - 1000 6 0.15 0.2 750,51001 - 1500 18 0.45 0.65 1250,51501 - 2000 10 0.25 0.9 1750,52001 - 2500 4 0.1 1 2250,5
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EJEMPLO DE SIMULACIÓN
Histograma de Frecuencia Relativa:
0,05
0,15
0,45
0,25
0,1
500 2000 250015001000
f i
Qcheques / día
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EJEMPLO DE SIMULACIÓN
Mediante el uso de los números aleatorios es posible simular una muestra (de M.A.S.)
Frecuencia Relativa Acumulada
0,050,200,650,91
00 - 0405 - 1920 - 6465 - 8990 - 99
Número Aleatorio Clase nº
(1)(2)(3)(4)(5)
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EJEMPLO DE SIMULACIÓN
Nº aleatorioPertenece a la clase nº
841831610452407589163797
(4)(2)(3)(3)(1)(3)(3)(4)(4)(2)(3)(5)
Clase fi fi / n
(1)(2)(3)(4)(5)
12531
0,080,160,420,250,08
n = 12
Esta es una corrida de 12 números aleatorios
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EJEMPLO DE SIMULACIÓN
Histograma de Frecuencia Relativa:
0,08
0,16
0,42
0,25
500 2000 250015001000
f i
Qcheques / día
Al obtener el histograma de frecuencia relativa, el
comportamiento se mantiene, aunque no es
igual, debido a que se trata de una muestra
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EJEMPLO DE SIMULACIÓN
Nº aleatorioPertenece a la clase nº
487019368750072478913759
(3)(4)(2)(3)(4)(3)(2)(3)(4)(5)(3)(3)
Clase fi fi / n
(1)(2)(3)(4)(5)
02631
0,000,160,500,250,08
n = 12
Esta es otra corrida de 12 números aleatorios
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EJEMPLO DE SIMULACIÓNHistograma de Frecuencia Relativa:
0,08
0,16
0,50
0,25
500 2000 250015001000
f i
Qcheques / día
Al obtener el histograma de frecuencia relativa, una vez más el comportamiento se
mantiene, sin ser igual, debido a que se trata de
otra muestra
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GENERACIÓN DE VALORES PARA DISTINTAS DISTRIBUCIONES A PARTIR DE
LOS NÚMEROS ALEATORIOS
En los modelos de simulación, cada variable de decisión tiene una distinta distribución (determinística o probabilística). Cada distribución tiene una corrida diferente de números aleatorios
Un mismo número aleatorio no puede ser usado para simular dos variables a la vez, porque las variables son independientes entre sí
Para determinar los valores simulados se utiliza la distribución de probabilidades acumulada
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GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN DISCRETA
Muchas variables de decisión no son continuas, entonces se utilizan las categorías de frecuencia relativa acumulada para generar los valores a partir de los números aleatorios, siendo muy útil para variables con distribuciones determinísticas
Ejemplo: Supongamos que para el precio de una acción existe una probabilidad del 20% de que baje, 50% de que se mantenga igual, y 30% de que suba su valor; en la siguiente transacción bursátil
Entonces, se asigna un intervalo 0, 1 proporcional a cada probabilidad
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GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN DISCRETA
FrecuenciaFrecuencia Relativa Números
Relativa Acumulada AleatoriosAcción Baja 0,2 0,2 00 - 19Acción Igual 0,5 0,7 20 - 69Acción Sube 0,3 1 70 -99
Si 00 ri 19
Si 20 ri 69
Si 70 ri 99 Se asume que el precio de la acción sube
Se asume que el precio de la acción baja
Se asume que el precio de la acción se mantiene igual
< <
<<
<<
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Distribución uniforme • Es aquella que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo, todos
ellos con la misma probabilidad. • Una variable aleatoria X esta uniformemente distribuida en el intervalo
(a,b) si su función es la siguiente:
• La función de distribución acumulada esta dada por:
• La media y la varianza de la distribución están dadas por:
otrobxa
abxf
,
,0
1)(
bx
bxaabax
ax
xF
,1
,
,0
)(
2)( baXE
12)()(2abXV
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GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN UNIFORME
En el caso de una distribución uniforme en el intervalo a, b , se consideran 99 números aleatorios pertenecientes al intervalo 0, 1
X U (a,b)fi (X)
XXi
P (Xi X) ri
P (Xi X)
<< =
=Xi - ab - a
a b
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GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN UNIFORME
riXi - ab - a=
con ri ( b - a ) Xi - a=
Xi a + ri ( b - a )= 0 ri 1<<
a + b2=E (X) V (X) = ( b - a )
22
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GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
fi (X)
XiX
X exp ( ) f (X) ex-
x > 0 > 0
E (X) 1=
1=V (X) 2P (Xi X) ri<
=
= 0 ri 1< <
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GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
= con 0 ri 1
<
P (Xi X) ri< <<Distribución de
probabilidad acumulada P (Xi X) 1 - e= - x
1 - e - x = ri
e x- = 1 ri- / ln
=Xi- ln ( 1 )ri-ln ( 1 )ri--= Xicon 0 ri 1<<
![Page 32: Simulacion -Parte 1 -Session11](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081512/577cc7791a28aba711a10bb0/html5/thumbnails/32.jpg)
GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN NORMAL
fi (X)
Xi
X N ( , ) 2
La función de probabilidad acumulada
corresponde a
P (Xi X)< =x
81
2 e
12- ( )x - 2
dx
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GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN NORMAL
La función de probabilidad acumulada de la distribución normal no puede ser resuelta por métodos de integración corrientes, lo que impide tener una fórmula cómoda para despejar observaciones aleatorias simuladas de Xi a partir de los números aleatorios
No obstante, las observaciones se pueden generar mediante el siguiente razonamiento:
ri
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GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN NORMAL
Los números aleatorios tienen una distribución uniforme en el intervalo 0 , 1f (ri)
ri
Para un número aleatorio
E ( )ri
V ( )ri
=
=
a + b
(b - a)2
12
=
=2
12
1
1
0 ri 1< <Para una muestra de “n” números aleatorios, se puede inferir su comportamiento gracias al teorema del límite central
![Page 35: Simulacion -Parte 1 -Session11](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081512/577cc7791a28aba711a10bb0/html5/thumbnails/35.jpg)
GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN NORMAL
Si X N Xi N
Por lo tanto i=1
nri
=
N ( )n n2 12
,
Válido, solo en la medida en que n es un valor bastante grande, lo que se asume cuando n 12>Entonces
Z Xi - =ri
i=1 n
- n2
12n
![Page 36: Simulacion -Parte 1 -Session11](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081512/577cc7791a28aba711a10bb0/html5/thumbnails/36.jpg)
GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN NORMAL
Xi = +( )
i=1 n
ri - n2
n12
<0 ri 1<si n 12>
Aunque la expresión es válida para cualquier n 12, típicamente se usa n = 12 para el muestreo de las observaciones de variable con distribución normal ya que se simplifica un cálculo
>
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EJEMPLO DE GENERACIÓN DE VALORES CON DISTRIBUCIÓN NORMAL
Xi = +( )
i=1 n
ri - n2
n12
X tiene distribución normal, con = 460 y = 36 Observación para X con los números aleatorios:r1 = 0,46r2 = 0,95r3 = 0,23
r4 = 0,61r5 = 0,39
r6 = 0,74r7 = 0,26
r8 = 0,13r9 = 0,92
r10 = 0,55r11 = 0,07r12 = 0,48
Xi = 460 + 36 ( 5,79 - 6 )1 = 467,56Xi
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Distribución Normal Standard
Una variable con distribución normal estándar (μ=0 σ=1) se nota con la letra Z.
Si:
Conversión: la variable Z se define como:
Para que tenga una distribución Normal estándar.
),( 2NX
XZ
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Distribución Normal• Se ve que -como en
cualquier distribución continua- la probabilidad de que P(X=a)=0 para cualquier a. Luego lo que se calculan son áreas (gráfico).
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Distribución Normal
![Page 41: Simulacion -Parte 1 -Session11](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081512/577cc7791a28aba711a10bb0/html5/thumbnails/41.jpg)
![Page 42: Simulacion -Parte 1 -Session11](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081512/577cc7791a28aba711a10bb0/html5/thumbnails/42.jpg)
Ejemplos
1775.00968.02743.0)3.1Pr()6.0Pr(
)3.16.0Pr(2743.0)6.0Pr(
ZZZ
Z
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Ejemplo
8185.00228.01587.011587.0)1Pr()1Pr(
0228.0)2Pr()2Pr()1Pr(1
)21Pr(
ZZZ
ZZZ
![Page 44: Simulacion -Parte 1 -Session11](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081512/577cc7791a28aba711a10bb0/html5/thumbnails/44.jpg)
Distribución de Poisson• El modelo probabilístico de Poisson, es utilizado a menudo
para variables aleatorias distribuidas en el tiempo o en el espacio. Por ej: Número de bacterias por cm3 de agua, número de accidentes con motocicletas por mes, etc.
• Para que el modelo de Poisson esté presente debe verificar lo siguiente:
1) Los sucesos que ocurren en un intervalo (de tiempo, región del espacio, etc) son independientes de los que ocurren en cualquier otro intervalo (de tiempo, región del espacio, etc)
2) La probabilidad de que un suceso se presente, es proporcional a la longitud del intervalo.
3) La probabilidad de que uno o mas sucesos se presenten en un intervalo muy pequeño es tan pequeña que puede despreciarse.
![Page 45: Simulacion -Parte 1 -Session11](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081512/577cc7791a28aba711a10bb0/html5/thumbnails/45.jpg)
Distribución de Poisson
![Page 46: Simulacion -Parte 1 -Session11](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081512/577cc7791a28aba711a10bb0/html5/thumbnails/46.jpg)
Distribución de Poisson• La función de densidad de probabilidad es:
(1)• E(X)=λ Var(X)= λ• La función de distribución acumulada (fda)
esta dada por:
!)(
kekXP
k
x
i
i
iexF
0 !)(
![Page 47: Simulacion -Parte 1 -Session11](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081512/577cc7791a28aba711a10bb0/html5/thumbnails/47.jpg)
Proceso de Poisson• Considere eventos aleatorios tales como el arribo de aviones a un
aeropuerto, el arribo de barcos a un puerto, el arribo de llamadas a una central, la falla de máquinas en una fábrica, etc.
• Estos eventos pueden ser descriptos por una función de conteo N(t) definida para todos los t >=0.
Esta función de conteo representará el número de eventos que ocurrirán en [0,t].
El tiempo cero es el punto en el cual la observación comienza, ya sea que un arribo ocurra o no en ese instante.
• Si los arribos ocurren de acuerdo a un proceso de Poisson, la probabilidad de que N(t)=n es:
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