Simulacion uam

Simulación

PhD(c) Jorge a. Restrepo M.

En esta presentación

1. Introducción a la simulación

2. Generación de números aleatorios

3. Simulación con hojas de cálculo

4. Identificación de variables

5. Teoría de colas

6. Colas en serie y teoría de Redes

7. Revisión de programas de simulación

8. Introducción a Promodel

9. Modelos avanzados de simulación

Simulación

1. Introducción a la simulación

Conceptos básicos

¿Qué es la simulación?

Representación analítica de

sistemas apoyada en

herramientas matemáticas y

computacionales que permiten

evaluar el impacto de cambios en

diferentes variables así como la

elección de los recursos y óptimos

para el proceso analizado.

Definiciones

Sistema

Conjunto de elementos relacionados total o parcialmente entre si

y cuyos elementos pueden depender de sí mismos y de otros,

tanto en el presente como en el pasado.

Puede estar abierto o cerrado

Sistemas deterministas o estocásticos.

Estático o dinámico

Variable

Representación de un conjunto de datos

Variables independientes o dependientes

Variables endógenas y exógenas

Eventos

Discretos o Continuos

¿Para qué modelar?

Entendimiento

Aprendizaje

Mejoramiento

Optimización

Toma de decisiones

Aplicaciones de la simulación

Mediante técnicas de simulación es posible desarrollar de

manera teórica casos relacionados con:

Producción

Logística

Distribución

Servicio al cliente

Construcción

Militar

Salud

Economía y Finanzas

Y muchos otros campos

¿Qué se necesita para simular?

• Técnicasanalíticas

• Programasespecializados

• ¿Qué pasa sí?

• Identificaciónde variables involucradas

• Identificacióndel proceso

Problema Muestreo

ModelaciónAplicación de herramientasde ingeniería

Elementos de la simulación

Proceso (Flujograma)

Estados: Definir estados: número de clientes/sucesos en el sistema

Identificar las transiciones de los estados.

Identificar los eventos de llegadas y salidas del sistema

Caracterizar las variables del sistema (entradas, tiempos de funcionamiento, salidas, etc.)

Generación de eventos aleatorios

Reloj de Simulación: paso del tiempo (delimitado).

Definir condiciones especiales en el modelo: paros, mantenimientos, alertas, turnos, etc.

Pasos para una campaña de

simulación

Análisis de la

situación

Recolección

de datos

Experimentación

Análisis de

resultados

Documentación

Implementación¿Es válido?

Construcción

del modelo

¿Más

experimentos?¿Representación

real?

Modificación del

modelo?

Inicio

Fin

S

N

S

N

S

N

S

N

¿Cuándo modelar ?

Cuándo NO

El problema se puede resolver fácilmente de manera analítica

Demasiado costosa la simulación

No se tienen datos reales de las observaciones o están incompletas

La situación actual cambia con el tiempo y no podemos proyectarla

Cuándo SI

Todos los demás casos

Métodos para la simulación

Métodos analíticos: Según el tamaño y complejidad del proceso, es posible utilizar sencillos desarrollos matemáticos para resolver un problema de simulación. Entre ellas encontramos:

Teoría de Colas

Teoría de Redes

Sistemas Dinámicos

Algoritmos de mayor elaboración

Métodos computacionales: Cuando un sistema es relativamente grande o contiene una serie de excepciones en las variables, se vuelve compleja su resolución analítica y por tanto se hace indispensable la utilización de un programa especializado.

En general todo lenguaje y programa que permita generar números aleatorios Lenguajes: C, Fortran, Pascal, Basic, Siman, Visual Slam, SimScript, etc.

Hojas de cálculo en general

Programas especializados (@Risk; Risk Simulator)

Simulación

2. Generación de números

aleatorios

Introducción

Los números aleatorios son un ingrediente básico para simular casi cualquier sistema discreto. La gran mayoría de programas contienen una subrutina de generación que facilita su utilización.

Si se trata de un lenguaje de programación, es necesario generar un número aleatorio y de estos partir para la generación de variables aleatorias.

A continuación se explican las técnicas básicas para la generación de números aleatorios y posteriormente técnicas para la generación de variables aleatorias a partir de estos números

Propiedades de los números

aleatorios

Toda serie de números aleatorios R1, R2, … Rn, debe

cumplir con dos propiedades fundamentales,

Uniformidad e Independencia. Esto a su vez significa

que:

Sí se grafican los números aleatorios en el intervalo [0,1] y este

es dividido a su vez en n clases ó sub intervalos de igual

magnitud, el número esperado de observaciones en cada

intervalo es de N/n donde N es el número total de

observaciones.

La probabilidad de observar un valor en un intervalo particular es

independiente del valor inmediatamente anterior.

Generación de números

pseudo-aleatorios

Cuando hablamos de Pseudo generar, significa que esta

generación es falsa por naturaleza.

Siempre que se utiliza una técnica para generar

números aleatorios, significa que existe una ecuación o

fórmula que la permite;por tanto es pronosticable de

alguna manera (ejemplo, revisar los números decimales

de PI).

Para evitar inconvenientes, se acude a generaciones

computacionales que evaden estos problemas, no

obstante, se analiza solo un método matemático que a

su vez tiene dos composiciones.

Técnica de congruencia lineal

Este método propuesto inicialmente por Lehmer (1951) produce una secuencia de enteros X1, X2,… entre 0 y m-1 de acuerdo a la siguiente relación:

El valor inicial X0, es llamado semilla, a es el multiplicador, c es el incremento y m el módulo (módulo hace referencia al remanente ó decimal producto de la división, así pues si decimos que 143mod100, debemos dividir 143 entre 100 obteniendo 1.43, lo que quiere decir que su módulo es 43).

Si c es diferente de cero, se llama método de congruencia lineal mixto, de lo contrario se conoce como método de congruencia lineal multiplicativo.

La selección de las constantes a, c y m, así como de la semilla, afectan drásticamente el resultado de los números y por ende sus propiedades y longitud de ciclo.

1 mod , 0,1,2...i iX aX c m i

Algunas funciones generadoras*

*Tomado de: García, Eduardo. Simulación y análisis de sistemas con Promodel, cap 3.

Uniforme:

Triangular:

Normal:

Exponencial:

Poisson:

Distribución Generador Parámetros

Uniformea = límite inferior

b = límite superior

Triangular

a = límite inferior

c = moda de la distribución

b = límite superior

Normal

m = media de la distribución

s = Desviación estándard.

Exponencial1/l= media de la distribución

Weibull

Poisson

Inicialización: Hacer N=0, T=1 y generar un aleatorio ri.

Paso 1: Calcular T’=Tri.

Paso 2: Si T’>=e-l, entonces hacer N=N+1, T=T’ y

calcular otro ri, y regresar al paso 1.

Si no, la variable generada está dada por Pi=N.

i iU a b a r

, si

1 , si

i i

i

i i

c aa b a c a r r

b aT

c aa b a b c r r

b a

s m

s m

2ln 1 cos 2

2ln 1 sin 2

i i j

i i j

N r r

N r r

l

1

ln 1i iE r

1

ln 1x B R

Intervalos de confianza

Simulaciones terminales: Intervalo definido o eventos que dan por terminada la

simulación

Simulaciones no terminales o de estado estable: Independientemente del tiempo

transcurrido, los elementos se estabilizan en un comportamiento determinado. Este caso

requiere del cálculo de longitud de réplicas.

Longitud de réplicas: Se debe garantizar que la variación entre réplicas no sea

significativa.

/ 2, 1 / 2, 1,r r

s sIC x t x t

r r

,/ 2 / 2

s sIC x x

r r

Distribuciones normales

Otras distribuciones

Donde:

r =número de réplicas

= nivel de rechazo

s

2

/ 2Zn

s

21

n

Distribuciones normales

Otras distribuciones

Simulación

3. Simulación con hojas de

cálculo

Concepto general

Toda serie que incluya en el tiempo un comportamiento aleatorio es

modelable mediante hojas de cálculo, así como las distribuciones

personalizadas y los procesos de llegada y atención.

El concepto básico está dado por la generación de números aleatorios

y su aplicación a la serie mediante ecuaciones dinámicas ó la

conversión a la distribución de probabilidad asociada

Una vez generada la iteración por eventos o por tiempos (según el

método de avance del tiempo), se debe repetir la simulación según si

es terminal o de estado estable.

Al finalizar la simulación, se debe analizar el resultado en estado

estable y las diferentes réplicas, y serán estos resultados los que

permitan realizar las conclusiones de la simulación.

A continuación realizaremos algunos ejemplos básicos desarrollados

en Excel.

Paseo Aleatorio

Es el resultado de hacer sucesivas iteraciones aleatorias en el

tiempo, lo que conforma una senda variante en el tiempo. En inglés

se conoce como Random Walk.

Sus resultados han tenido múltiples aplicaciones tanto en la

Economía, las Finanzas, los Juegos de Azar, la Sociología, la Física

y la Biología.

Definición: Sea Xt una serie temporal que comienza en la posición

en X(0)=X0, su trayectoria está dada por:

Donde define la variable aleatoria que describe la probabilidad de

la dirección del siguiente paso.

ttx x

Algunas aplicaciones de los

paseos aleatorios

Suponga una acción que comienza costando $100 y no tiene tendencia

alguna, haciendo que su comportamiento en el tiempo sea aleatorio.

Mediante cuatro series aleatorias es posible entonces describir este

paseo aleatorio como se muestra a continuación:

Esto dará como resultado una serie de incrementos y decrementos que

no puede ser pronosticada, esto es en sí un paseo aleatorio.


paseos aleatorios (tendencia)

Si la serie tiene alguna clase de pronóstico (técnicas de Forecasting),

es posible determinar una tendencia fija, no obstante la naturaleza

aleatoria de la serie puede afectar los resultados. Este es el concepto

básico de la especulación financiera (bonos, acciones, divisas, etc.).

Por citar un ejemplo, suponga una serie cuyo comportamiento ha sido

modelado bajo la siguiente ecuación:

Donde =1.001

Se espera que el parámetro alfa garantice un incremento constante del

0.1% sobre la acción. Un inversionista que conozca este modelo,

comprará entonces esta acción y hará un análisis financiero simple

estableciendo que el retorno neto será de 2.94% mensual, es decir que

si invierte $100, obtendrá $102.94 a final de mes

(Vf=Vp*(1+Crecimiento)^29), claramente mayor a la DTF actual,

haciendo atractiva la inversión.

ttx x


paseos aleatorios (tendencia)

Al incluir la naturaleza estocástica dentro de la serie, los resultados

pueden variar positiva ó negativamente. A continuación se presenta

la formulación en Excel.

Lo que arroja un resultado negativo en este caso, haciendo que el

retorno sea de -6.14%.


paseos aleatorios (Martingalas)

Otras aplicaciones se presentan con frecuencia mediante la

Martingala (determinado proceso estocástico).

La Martingala tiene múltiples aplicaciones, una de ella es en los

juegos de azar, donde se asume que tanto la banca como el

jugador tienen un capital infinito, de esta manera si el jugador

pierde, duplica su apuesta en forma sucesiva hasta que el juego lo

premia y recupera todo lo invertido.

En forma práctica el supuesto de recursos infinitos no se cumple,

haciendo que eventualmente la banca gane el juego.

Adicionalmente existe un desbalance en las probabilidades pues la

banca no paga por los resultados 0 ó 00, inclinando las

probabilidades hacia la pérdida.

Un ejemplo sencillo se puede observar en Excel.

Otras aplicaciones de las hojas

de cálculo: Modelo de colas MM1

Se puede también modelar un proceso de llegadas y atención

mediante la conversión de la serie aleatoria a la función de

probabilidad asociada (técnica de la transformada inversa).

Suponga un sistema de colas donde los clientes arriban de acuerdo

a una distribución exponencial entre llegadas con parámetro de 5

min y una atención con parámetro exponencial de 4 min. Determine

los indicadores de esta cola MM1.

A continuación se presenta la formulación en Excel para su

desarrollo:

Otras aplicaciones de las hojas

de cálculo: Modelo de colas MM1

Una vez corrida la simulación para 200 registros con 20 réplicas, se

encuentra que el tiempo promedio en cola está alrededor de los 14

minutos (rango entre 12 y 17).

La variabilidad ocurre por la naturaleza estocástica involucrada en la

formulación y por la poca cantidad de registros analizados.

Si resolvemos este sistemas con la formulación básica de teoría de

colas encontraremos que el Wq es de 16 minutos, valor que coincide

con el rango hallado, pero que por sus generalidades de convergencia

infinita, ignora los conceptos estocásticos involucrados.

Ventas variables por hora

Suponga una venta de arepas ubicada en un sector universitario cuya

clientela es estudiantil. La clientela siempre está de afán y desea

rápida atención. Los tiempos entre llegadas se distribuyen

exponencialmente sin embargo según la hora del día las llegadas son

diferentes (ver histograma). El tiempo de atención es exponencial con

media de 1 minuto. Cuál es la cola y el tiempo de atención promedio?

0%

5%

10%

15%

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Ventas Diarias

% Teórico % Real

Procesamiento de piezas

El tiempo que transcurre entre la llegada de ciertas piezas a una

estación de inspección sigue una distribución exponencial con media

de 5 minutos/pieza. El proceso está a cargo de un operario y la

duración de la inspección sigue una distribución normal con media de 4

y desviación estándar de 0.5 min/pieza. Calcular el tiempo promedio de

permanencia de las piezas en el proceso de inspección.

0

2

4

6

8

10

12

Tiempo promedio en el sistema

Tiempo promedio en inspección

Modelos de Inventarios

Existen múltiples modelos de inventarios en la literatura que buscan

optimizar el valor de compras, pedidos y por ende el costo total de

la mercancía.

Los modelos básicos van desde el EOQ (comienzos de siglo XX)

hasta modelos heurísticos y meta-heurísticos que implementan

algoritmos inteligentes que construyen las sendas óptimas.

Para simular estos modelos comenzaremos con sistemas básicos

sin reorden y sin lead time, con demanda estática. Luego se

relajaran algunos supuestos hasta conformar modelos más

complejos.

Simulación

4. Identificación de variables

Medición de variables

Toda variable involucrada en el sistema debe ser

medida

Para ello partimos de datos históricos del proceso y de

estimaciones realizadas a partir de un muestreo

Una serie suficientemente grande de datos nos permite

identificar primero gráfica y luego estadísticamente el

comportamiento de cada variable

Los datos más comúnmente estimados en un modelo

son:

Tiempos de atención y procesamiento

Tiempos entre llegadas

Cantidad de entradas al sistema: frecuencia

Probabilidades de ruteo y error

Muestreo

Herramienta fundamental para la medición de tiempos y tipificación de los

mismos.

Principio fundamental: La información se recoge cuando algo ocurre

Se captura todo ingreso y salida del proceso o conjunto de ellos

Ejemplo sencillo en un sistema de una cola con un servidor:

De esta tabla podemos elaborar:

Ejemplo de un programa sencillo en Excel

para capturar tiempos en una operación

Sub captura()

Dim cap As Worksheet

Set cap = Sheets("Captura")

j = 4

Do While cap.Cells(j, 1) <> ""

If cap.Cells(j + 1, 2) = "" Then

cap.Cells(j + 1, 2) = Time()

cap.Cells(j + 1, 1) = j - 3

Exit Sub

Else

If cap.Cells(j + 1, 3) <> "" Then

j = j + 1

GoTo siguiente

Else

cap.Cells(j + 1, 3) = Time()

cap.Cells(j + 1, 4) = (cap.Cells(j + 1, 3) - cap.Cells(j +

1, 2)) * 3600 * 24

Exit Sub

End If

End If

j = j + 1

siguiente:

Loop

End Sub

•Nombre una hoja de cálculo como “Captura”

•Cree los títulos como se muestra a continuación

e inserte un botón llamado capturar

•Luego asócielo a una subrutina llamada captura

como se muestra en el código de la derecha.

•Los datos resultantes de la columna D, serán

los tiempos de la operación, estos datos

determinarán la distribución de probabilidad

asociada al proceso.

Análisis de los datos

Una vez realizado el muestreo (mínimo 30 registros por cada

actividad), es necesario realizar agrupaciones que permitan elaborar

una distribución de frecuencias desde la cuál se puedan identificar

las posibles distribuciones de probabilidad que describan la serie.

Sobre las distribuciones que se desee verificar, es necesario luego

realizar una prueba de bondad de ajuste (test estadístico que indica

cuán cerca o lejos está una serie de una distribución específica)

Test Chi cuadrado: Compara contra poblaciones normalmente

distribuidas

Test de Kolmogorov-Smirnov: Compara contra cualquier otra

distribución.

Test de Anderson Darling: Compara contra cualquier otra

distribución.

Es decir que primero graficamos mediante un histograma de

frecuencias y luego realizamos los test estadísticos según el caso

Análisis de los datos

Este proceso debe aplicarse a todas las actividades involucradas en la

modelación, obteniendo finalmente algo como lo plasmado en la gráfica

(ejemplo atención en una cafetería)

Existen además paquetes computacionales especializados que ya

elaboran todos estos procesos, entre ellos encontramos: STATA, SPSS,

EVIEWS, Cristal Ball, Expert Fit, Risk Simulator, etc.

Solicitud de

Pedido

E(1,2)

Entrada

Llegada de

clientes

P(90)

Caja

Entrega del Pedido

al usuario

N(0.5,1)

Barra Salida

Alistamiento

del pedido

G(2,5)

Cocina

Simulación

5. Introducción a la teoría de

Colas

Definición e historia

Una cola es una línea de espera de cualquier clase de recurso

(personas, materiales, documentos, etc.)

La teoría de colas es el conjunto de modelos matemáticos y

computacionales que intentan explicar el comportamiento de las

líneas de espera

Su precursor fue Erlang (Ingeniero Danés 1978 – 1929), quien en

1909 publicó su primer trabajo sobre la modelación de las esperas y

su dimensionamiento en la empresa de teléfonos de Copenhague

Con el tiempo sus teorías fueron ampliamente aceptadas y

aplicadas a muchos otros campos, incluso hoy en día.

Hay muchos otros padres y aportes posteriores (Chebyshov ,

Markov, Kendall, Little, entre otros)

Las colas son una aplicación particular de los procesos estocásticos

Proceso de nacimiento y

muerte

Esquema básico para modelación de colas (cambios en tamaño de

población)

Nacimiento: llegada de un nuevo cliente al sistema

Muerte: salida de un cliente servido

N(t): número de clientes que hay en el sistema en un momento t

El proceso de nacimiento y muerte describe en términos

probabilísticos como cambia N(t) al aumentar t

Suposiciones:

Dado N(t)=n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para el

próximo nacimiento es exponencial con parámetro

Dado N(t)=n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para la

próxima muerte (terminación) es exponencial con parámetro

n solo puede saltar 1 estado a la vez

Diagrama de tasas:

l

m

Proceso de nacimiento y

muerte

Principio clave (ecuación de balance):

Tasa media de entrada = Tasa media de salida

Estado 0:

Estado 1:

Generalizando:0 1 2 1

n=01 2 3

..., 1

...

nn n

n

p pl l l l

m m m m

0 10l

0 10l

21l

1m

0 01 1 0 0 1

1

PP P P

lm l

m

1m

2m

0 0 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 0 0

1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 12 0 0 2

2 2 1 2 2 0 1

P P P P P P P

P P P PP P P P

l m l m m l m l

l m l l l l m l l l

m m m m m m m

Componentes de una Cola

Definiciones

N(t): Número de clientes en el estado t

r : Tasa de utilización (debe ser menor a 1 para que el sistema sea

estable)

Pn(t): Probabilidad de hallar n clientes en el sistema en el instante t

S: Número de servidores

Número de clientes por unidad de tiempo (tasa de llegada)

L: Número esperado de clientes en el sistema

Lq: Número esperado de clientes en la cola

W: Tiempo de espera en el sistema (cola y servicio) para cada cliente

Tasa media de servicio (número esperado de clientes que completan

su servicio por unidad de tiempo)

Wq: Tiempo esperado en la cola para cada cliente

Abandono e Impaciencia

Fuente de

entrada

Cola Proceso

o servicioSalida

l

m

Notación y Disciplina

Notación: A/B/C/D/E

A: Distribución de tiempos de llegada

B: Distribución de tiempos de salida

C: Número de servidores

D: Capacidad del sistema

E: Disciplina de la cola

Disciplinas

FIFO: Primero en llegar, primero en servirse

LIFO: Último en llegar, primero en servirse

SIFO: Se atiende primero las tareas que demandan menor

servicio

RR (Round Robin): Se reparte el tie po del recurso equivalente

entre todas las tareas pendientes

Cola M | M | 1

Hay una sola cola, cuya capacidad es infinita, y un solo servidor, La disciplina será FIFO

Las llegadas se producen según un proceso de Poisson de razón l, donde l es el número medio de llegadas por unidad de tiempo y 1/l es el tiempo medio entre llegadas, Los tiempos entre llegadas se distribuirán exponencialmente, Exp(l)

Los tiempos entre servicios también se distribuirán exponencialmente, Exp(m), de tal manera que m es el número medio de clientes que el servidor es capaz de atender por unidad de tiempo y 1/m es el tiempo medio de servicio

Condición de no saturación

Se demuestra que si lm, el sistema se satura,

es decir, el número de clientes en la cola crece

indefinidamente con el tiempo, Por consiguiente,

la condición de no saturación será:

m

lrr donde,1

Cuando una cola no se satura, también se dice

que alcanza el estado estacionario,

Probabilidades

El parámetro r se llama carga, flujo o intensidad de tráfico del sistema, puesto que mide la relación entre la cantidad de trabajos que llegan y la capacidad de procesarlos

Suponiendo que el sistema no se satura, se deduce la siguiente fórmula para las probabilidades pn de que haya n clientes en el sistema, donde nN:

rr 1n

np

Medidas de rendimiento

El número medio de clientes en el sistema, L, se calcula así:

000

11j

j

j

j

j

j jjpjL rrrr

Sumamos la serie aritmético-geométrica:

...432 432 rrrrS

...32 432 rrrrS

r

rrrrrr

1...1 432S

r

r

r

rr

111

2L


La utilización del servidor, notada U, es la fracción de

tiempo (en tanto por uno) que el servidor permanece

ocupado, Para hallarla, nos valemos de que cuando no

hay saturación, el número medio de clientes que entran

en el sistema debe ser igual al número medio de

clientes que salen de él:

rm

lml UU

Como para deducir la anterior fórmula no hemos

usado ninguna característica especial del modelo

de entrada ni del de salida, dicha fórmula es

válida para colas G | G | 1


El tiempo medio de respuesta W es el tiempo medio que un trabajo permanece en el sistema, Si suponemos que un trabajo, al llegar al sistema, se encuentra con que hay por delante de él otros j trabajos, el tiempo medio que tardará en salir del sistema será j+1 veces el tiempo medio de servicio, Por lo tanto:

mmmmm

11111

000

LppjpjW j

j

j

j

j

j

Tiempo que se pasa

en el sistema si

hay j por delante

al llegar

Probabilidad de que

haya j por delante

al llegar


Podemos simplificar algo más:

lmmm

11LW

El tiempo medio de espera en la cola Wq se hallará

restando a W el tiempo que tarda en ser servido el

trabajo (esto es válido para cualquier tipo de cola):

m

1WWq

En el caso particular de una cola M | M | 1,

obtenemos:

lm

r

qW

Ejemplo

Unos mecánicos llegan a una media de 10 por hora a recoger piezas de repuesto, Estas piezas se las da un dependiente pagado con $5/hora y que tarda como media 5 min en servir, Cada hora que tiene que esperar un mecánico (en el sistema) le cuesta al taller $10, Queremos saber si merece la pena contratar a un ayudante del dependiente, pagado con $4/hora, de forma que el tiempo medio de servicio se reduzca a 4 min

Nota: Al resolver un problema de colas, tener siempre muy presente la coherencia de unidades

Ejemplo

Tenemos dos opciones: Sin ayudante: 1/m1 = 5 min = 1/12 h

Con ayudante: 1/m2 = 4 min = 1/15 h

En ambos casos, l = 10 clientes/h

Opción 1 (sin ayudante):

mecánicos5

12

101

12

10

1;

12

10

1

111

r

rr L

Por tanto, perdemos 5·($10/h) = $50/h

Ejemplo

Opción 2 (con ayudante):

mecánicos2

15

101

15

10

1;

15

10

1

112

r

rr L

Por tanto, perdemos 2·($10/h) = $20/h debido a la espera de los mecánicos, Pero también perdemos $4/h debido al sueldo del ayudante, Por tanto, las pérdidas totales son $24/h

En la opción 1 perdemos $50/h y en la opción 2 perdemos $24/h, con lo cual la más ventajosa es la opción 2.

Cola M | M | s

Hay una sola cola, cuya capacidad es infinita, y s servidores, La disciplina será FIFO

Las llegadas se producen según un proceso de Poisson de razón l, donde l es el número medio de llegadas por unidad de tiempo y 1/l es el tiempo medio entre llegadas, Los tiempos entre llegadas se distribuirán exponencialmente, Exp(l)

Los tiempos de servicio también se distribuirán exponencialmente, Exp(m), de tal manera que m es el número medio de clientes que cada servidor es capaz de atender por unidad de tiempo y 1/m es el tiempo medio de servicio


Se demuestra que si lsm, el sistema se satura,

es decir, el número de clientes en la cola crece

indefinidamente con el tiempo, Por consiguiente,

la condición de no saturación será:

1, dondes

lr r

m

Nosotros sólo estudiaremos las colas que no

se saturan, Cuando una cola no se satura,

también se dice que alcanza el estado

estacionario,

Probabilidades

Suponiendo que el sistema no se satura, se deducen las siguientes fórmulas para las probabilidades pn de que haya n clientes en el sistema, donde nN:

11

0

0! 1 !

ns s s

n

ssp

s n

rr

r

0

0

, si 0,1,...,!

, en otro caso!

n

ns n

sp n s

nps

ps

r

r


Número medio de clientes en cola:

1

0

2! 1

s s

q

s pL

s

r

r

Usamos razonamientos ya vistos para

obtener:

m

1 qWW

qq WL l WL l

Otras medidas de rendimiento

Número medio de servidores ocupados, C, En

el estado estacionario, la razón de las salidas

será igual a la razón de las llegadas:

c c sl

m l rm

Probabilidad de que un trabajo tenga que

esperar para recibir su servicio (fórmula de

retraso de Erlang):

0

! 1

s ss pq

s

r

r

Ejemplos

Ejemplo: Usando L como medida de

rendimiento, comparar estas dos alternativas:

ml l

m/2

m/2

Alternativa 1: Alternativa 2:

Ejemplos

Alternativa 1:

r

r

11L

Alternativa 2:

rm

l

m

lr

22

2

112

0

22

02!

2

1!2

2

n

n

np

r

r

r

Ejemplos

122

12

0212

4422421

12

4

r

rrrrr

r

rp

r

r

r

r

1

1

12

221

02p

rlm

llll

m2

2122

2

222

qqq WWWWL

r

rr

rrr

r

rr 2

11

122

12

42

2

3

2

02

3

22

pLL q

Ejemplos

rr

r

rr

rrrr

rr

r

11

2

11

2222

11

2 333

2L

rr

r

rr

r

r

r

1

210

111

2

1

Para que la alternativa 1 sea mejor, ha de

cumplirse que L1<L2:

121 rr Como r<1 siempre se cumple, tendremos

que la alternativa 1 siempre es mejor, Es

decir, no conviene dividir la capacidad de

procesamiento en dos servidores

Ejemplos

Ejemplo: Usando el número medio de clientes en el sistema como medida de rendimiento, comparar estas dos alternativas:

m/2l/2

l

m/2

m/2

Alternativa 2:Alternativa 1:

m/2l/2

Ejemplos

Alternativa 1 (nótese que hay 2 colas):

m

lr

r

r

r

r

donde,

1

2

12

1

11L

Alternativa 2 (es la alternativa 2 del ejemplo

anterior):

rm

l

m

lr

22

2

rr

r

11

22L

Ejemplos

rr

r

rr

r

r

r

1

110

1

2

11

2

1

2

Para que la alternativa 2 sea mejor, ha de

cumplirse que L1>L2:

011 rr

Como r>0 siempre se cumple, tendremos

que la alternativa 2 siempre es mejor, Es

decir, no conviene poner dos colas, sino

tener una única cola global

Ejemplos

Ejemplo: En una copiadora se dispone de 3

máquinas fotocopiadoras a disposición del público,

Cada máquina es capaz de servir, por término

medio, 8 trabajos cada hora, A la copiadora llegan

como promedio 5 clientes a la hora,

Parámetros del sistema: l = 5 clientes/h, m = 8

clientes/h, s = 3 servidores, El sistema no se satura

porque r<1,

5 5

3·8 24s

lr

m

Ejemplos

¿Cuál es la probabilidad de que las tres máquinas

estén libres a la vez?

1 13 31 2

0

0 0

33

! 1 ! 3! 1 !

n ns s s

n n

ssp

s n n

r rr r

r r

0,5342706569

304

128

25

8

51

2432

125

!2

3

!1

3

!0

3

1!3

311

21033

rrr

r

r

3 41 3040 569

2 2

3 3020,00722643 clientes

41791! 1 3! 1

s s

q

s pL

s

rr

r r

¿Cuál es el número medio de clientes en la

cola?

Ejemplos

¿Cuál es el tiempo medio de espera en la cola?

h 00144529,035979

52

41791·5

302

l

qq

LW

¿Cuál es el tiempo medio de espera en el

sistema?h 126445,0

4065

514

8

1

35979

521

mqWW

¿Cuál es el número medio de clientes en el

sistema?

clientes0.632226813

514

4065

514·5 WL l

Resumen de ecuaciones de

Little

M/M/1 M/M/S

0 1Pl

m

1W

m l

1n

nPl l

m m

qW

l

m m l

Ll

m l

lr

m

2

qLl

m m l

M/M/1/n

0 1

1

1M

Pl m

l m

1 M

LW

Pl

1qW W

m 0 ,

n

nP P n Ml m

1

1

1

1 1

M

M

ML

l ml m

l m l m

1 M

q

PL L

l

m

01

0

1

1 1

! !

sn s

n

Ps

n s s

l l m

m m m l

0

0

1

!

1

!

n

n s

n n

P n ss s

P

P n sn

l

m

l

m

02

1 !

s

L Ps s

lm l m l

mm l

LW

l qL L

l

m

1qW W

m

Simulación

6. Colas en serie y teoría de

Redes

Redes de colas

Una red de colas es un sistema donde

existen varias colas y los trabajos van

fluyendo de una cola a otra

Ejemplos:

Fabricación (trabajos=artículos)

Oficinas (trabajos=documentos)

Redes de comunicaciones (trabajos=paquetes)

Sistemas operativos multitarea (trabajos=tareas)

Enrutado de trabajos

Criterios para decidir a qué cola se dirige un

trabajo que acaba de salir de otra:

Probabilístico: se elige una ruta u otra en función

de una probabilidad (puede haber distintos tipos

de trabajos, cada uno con sus probabilidades)

Determinista: cada clase de trabajo se dirige a

una cola fija

Tipos de redes de colas

Se distinguen dos tipos de redes de colas:

Abiertas: Cada trabajo entra al sistema en un momento dado, y tras pasar por una o más colas, sale del sistema, Dos subtipos:

Acíclicas: Un trabajo nunca puede volver a la misma cola (no existen ciclos)

Cíclicas: Hay bucles en la red

Cerradas: Los trabajos ni entran ni salen del sistema, Por lo tanto permanecen circulando por el interior del sistema indefinidamente, Usualmente existe un número fijo de trabajos,

Red abierta acíclica

Red abierta cíclica

Red cerrada

Redes de Jackson abiertas

Una red de colas abierta se dice que es de Jackson

si:

Sólo hay una clase de trabajos

Los enrutados son probabilísticos, donde rij 0 es la

probabilidad de ir al nodo j después de haber salido del

nodo i, Por otro lado, ri0 es la probabilidad de abandonar

del sistema después de haber salido del nodo i, donde ri0 =

1– ∑jrij

Cada nodo i es una cola .|M|ci

La tasa de llegadas externas al nodo i se notará i

El número total de nodos de la red se notará K

Ecuaciones de equilibrio

Dado que el flujo total de entrada a un nodo

debe ser igual al flujo total de salida del

nodo, tendremos que:

1

, 1,...,K

i i j jij

r i K

l l

Las K ecuaciones anteriores forman un

sistema lineal con solución única, que

resolveremos para hallar las tasas de

llegada a cada nodo li


Para que ninguna de las colas del sistema se

sature, es preciso que se cumpla la siguiente

condición:

ii

iii

cdondeKi

m

lrr ,1,,...,2,1

Nota: Se trata de la condición de no

saturación del modelo M|M|c, aplicada a

cada uno de los nodos por separado

Teorema de Jackson para

redes abiertas

Teorema: Sea una red de Jackson abierta que cumple la condición de no saturación, Entonces en el estado estacionario, la distribución del número de clientes en cada nodo es la que sigue:

11

( ) ( ), , , 0K

i i Ki

p p n n n

n

donde pi(ni) es la probabilidad de que haya ni

clientes en el nodo i, calculada según las

ecuaciones del modelo M|M|c

Consecuencias del teorema

Corolario: Las medidas de rendimiento para

cada nodo se calculan según las ecuaciones

del modelo M|M|s, Además se tendrán las

siguientes medidas:

Tasa global de salidas del sistema (throughput),

que es el número medio de trabajos que salen del

sistema por unidad de tiempo, Coincide con el

número de trabajos que entran en el sistema:

K

iired

1

l


Número medio de trabajos en el sistema, Lred, que es la suma de los número medios de trabajos en cada uno de los nodos:

K

iired LL

1

Tiempo medio en el sistema, Wred, que es el

tiempo medio que pasa una tarea desde que

entra en la red hasta que sale de ella:

red

redred

LW

l


Razón de visitas al nodo i, Vi, que es el número

medio de veces que un trabajo visita el nodo i

desde que entra en la red hasta que sale:

red

iiVKi

l

l ,,...,2,1

Nota: en una red acíclica habrá de cumplirse que

Vi1 i{1,2,,,,,K}, ya que cada tarea visitará

cada nodo a lo sumo una vez

Ejemplo (red acíclica)

11,5 2

3

60,5

4

5

2 1,2,..,6i im


En el ejemplo, 1=1,5; r12=0,2; r13=0,8; r34=0,6; r35=0,4;

6=0,5; r65=1; con lo cual la solución es:

1 2 31,5; 0,3; 1,2;l l l

4 5 60,72; 0,98; 0,5l l l

Ecuaciones de equilibrio:

1 1 2 1 12 3 1 13; ; ;r rl l l l l

4 3 34 5 3 35 6 65 6 6; ;r r rl l l l l l


Medidas de rendimiento (ecuaciones del modelo

M|M|1):1 2 33; 0,1764; 1,5;L L L

4 5 60,5625; 0,9607; 0,3333L L L

Condición de no saturación (se cumple porque ri<1):

ii

i

lr

m1 2 30,75; 0,15; 0,6;r r r

4 5 60,36; 0,49; 0,25r r r

i

iiL

r

r

1


ii

iWlm

11 2 32; 0,5882; 1,25;W W W

4 5 60,78125; 0,9803; 0,6666W W W

i

iqi WWm

11 2 31,5; 0,0882; 0,75;q q qW W W

4 5 60,28125; 0,4803; 0,1666q q qW W W

Red abierta cíclica

10,2 2

3

4

5

0,8

0,6

3 1,2,4

4 3,5

i

i

i

i

m

m

Ejemplo (red cíclica)

En el ejemplo, 1=0,2; r12=0,3; r13=0,7; 3=0,8; r53=0,6;

r34=0,1; r35=0,9; con lo cual la solución es:

1 2 30,2; 0,06; 2,0434;l l l

4 50,2043; 1,8391l l


1 1 2 1 12 3 3 1 13 5 53; ; ;r r rl l l l l l

4 3 34 5 3 35;r rl l l l


Medidas de rendimiento (ecuaciones del modelo

M|M|1):1 2 30,0714; 0,0204; 1,0443;L L L

4 50,0731; 0,8511L L

Condición de no saturación (se cumple porque ri<1):

ii

i

lr

m1 2 30,0666; 0,02; 0,5108;r r r

4 50,0681; 0,4597r r

i

iiL

r

r

1


ii

iWlm

11 2 30,3571; 0,3401; 0,5111;W W W

4 50,3576; 0,4627W W

i

iqi WWm

11 2 30,0238; 0,0068; 0,2611;q q qW W W

4 50,0243; 0,2127q qW W

Redes de Jackson cerradas

Una red de colas cerrada se dice que es de

Jackson sii:

Sólo hay una clase de trabajos

Los enrutados son probabilísticos, donde rij 0 es la

probabilidad de ir al nodo j después de haber salido del

nodo i,

Cada nodo i es una cola .|M|ci

Hay una cantidad constante M de trabajos en el sistema

El número total de nodos de la red se notará K

Ecuaciones de equilibrio

Dado que el flujo total de entrada a un nodo debe ser igual al flujo total de salida del nodo, tendremos que:

* *

1

, 1,...,K

i j jij

r i K

l l

Las K ecuaciones anteriores forman un sistema

lineal indeterminado con un grado de libertad,

que resolveremos para hallar las tasas de

llegada relativas a cada nodo li*, Para ello

fijaremos un valor positivo arbitrario para una

incógnita, por ejemplo l1*=1

Análisis del valor medio

Hallaremos las siguientes medidas de

rendimiento para M tareas en el sistema:

Li(M)=Número medio de tareas en el nodo i

Wi(M)=Tiempo medio que cada tarea pasa en el

nodo i cada vez que lo visita

li(M)=Tasa real de salidas del nodo i

Se trata de un algoritmo iterativo que va

calculando Li(m), Wi(m) para valores

crecientes de m a partir de m=0

Análisis del valor medio

Las ecuaciones son:

*

*

1

( 1)1( ) , 1,..., 1,...,

( )( ) , 1,..., 1,...,

( )

j

j

j j j

j j

j K

i ii

L mW m j K m M

c

W mL m m j K m M

W m

m m

l

l

(0) 0, 1,...,jL j K

( )

( ) , 1,..., 1,...,( )

j

j

j

L mm j K m M

W ml

Red cerrada

1

2

4

3

1

1 5 1,2,..,6i im

Ejemplo (red cerrada)

En el ejemplo, r12=0,3; r14=0,7; r23=1; r31=1; r41=1; con

lo cual la solución es, tomando l1*=1:

* *

1 21; 0,3;l l

* *

3 40,3; 0,7l l


* * * * *

1 3 31 4 41 2 1 12; ;r r rl l l l l

* * * *

3 2 23 4 1 14;r rl l l l


1 ( 1)

( ) , 1,...,45

j

j

L mW m j

11

1 2 3 4

( )( )

( ) 0,3 ( ) 0,3 ( ) 0,7 ( )

W mL m m

W m W m W m W m

22

1 2 3 4

0,3 ( )( )

( ) 0,3 ( ) 0,3 ( ) 0,7 ( )

W mL m m

W m W m W m W m

33

1 2 3 4

0,3 ( )( )

( ) 0,3 ( ) 0,3 ( ) 0,7 ( )

W mL m m

W m W m W m W m

44

1 2 3 4

0,7 ( )( )

( ) 0,3 ( ) 0,3 ( ) 0,7 ( )

W mL m m

W m W m W m W m


Primera iteración:

(0) 0, 1,...,4jL j 1 (0)

(1) 0,2 1,...,45

j

j

LW j

1

0,2(1) 1 0,4347

2,3 0,2L

2

0,3 0,2(1) 1 0,1304

2,3 0,2L

4

0,7 0,2(1) 1 0,3043

2,3 0,2L

3

0,3 0,2(1) 1 0,1304

2,3 0,2L


m W1(m) W1(m) W1(m) W1(m) L1(m) L2(m) L3(m) L4(m)

0 -- -- -- -- 0 0 0 0

1 0,2 0,2 0,2 0,2 0,4348 0,1304 0,1304 0,3043

2 0,2870 0,2261 0,2261 0,2609 0,9483 0,2241 0,2241 0,6034

3 0,3897 0,2448 0,2448 0,3207 1,5360 0,2895 0,2895 0,8849

4 0,5072 0,2579 0,2579 0,3770 2,1913 0,3343 0,3343 1,1401

5 0,6383 0,2669 0,2669 0,4280 2,9065 0,3646 0,3646 1,3644

6 0,7813 0,2729 0,2729 0,4729 3,6737 0,3850 0,3850 1,5564

7 0,9347 0,2770 0,2770 0,5113 4,4852 0,3987 0,3987 1,7173

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

2

4

6

8

10

12

14

16


m

L

Cola 1

Colas 2 y 3

Cola 4

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5


m

W

Cola 1

Colas 2 y 3

Cola 4

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2010

20

30

40

50

60

70

80

90

100


Utilizaci

ón del

servido

r (%)

U=l/m=

L/(Wm)

m

Cola 1

Cola 4

Colas 2 y 3

Cuellos de botella

Un cuello de botella en un sistema de colas es un nodo cuya capacidad de procesamiento determina el rendimiento de todo el sistema

Definición: Sea una red de Jackson cerrada. Diremos que el nodo j es un cuello de botella sii Lj(m) cuando m

En el ejemplo anterior el nodo 1 es un cuello de botella. Trabaja al límite de su capacidad mientras que los otros no (se quedan al 30% o al 70%). Para mejorar el rendimiento global del sistema habría que aumentar la capacidad de procesamiento del nodo 1

Simulación

7. Revisión de diferentes

programas especializados para

simulación

Introducción

Los precursores de la simulación fueron Von Newmann y

Morgenstern quienes idearon el método de Montecarlo en la década

de los 40’s (padres también de la teoría de juegos)

Poco tiempo después se desarrolló el primer modelo de simulación

durante el programa Manhattan en la segunda guerra mundial. Este

desarrollo apoyado en los nacientes procesadores, fue el primer

programa de simulación que existió.

Algunos aportes se hicieron en forma posterior, sin embargo, en la

década de los 70’s se dio nuevamente el boom de estos programas

gracias a los desarrollos en bases de datos que permitieron integrar

los ordenadores a procesos productivos.

En los años posteriores fueron surgiendo programas más

especializados hasta llegar a los muy avanzados que tenemos hoy

en día.

¿Qué hay de nuevo en la tecnología

de simulación?

Hoy en día los programas de simulación son más que emuladores de variables aleatorias en procesos

Más allá de esto, existen una serie de características que buscan ofrecer soluciones especializadas en entornos más amigables al usuario, fáciles de usar y flexibles para trabajar.

Entre las principales características encontramos:

Animación en 2 y 3 dimensiones

Imágenes ultra realísticas (adición de diseños CAD)

Integración con lenguajes y sistemas populares como: C#, C++, VB, Access, VBA, Excel, Visio

Herramientas de Optimización (OptQuest)

Reportes de resultados automáticos y/o personalizados

Integración con sistemas de análisis de datos (Stat::Fit, ExpertFit)

Paquetes de modelos especializados

Software de Simulación más

conocidos

A continuación haremos un recorrido por los sistemas más populares para simulación a nivel mundial, indicando algo de historia y sus características más importantes. Evaluaremos:

Analytica

AnyLogic (simulación de sistemas dinámicos)

Arena

AutoMod

Flexsim

GoldSim

MicroSaint

Promodel

Simul8

Vensim (simulación de sistemas dinámicos)

Witness

Analytica

Propiedad de Lumina Decision

Systems Inc., compañía de origen

Norteamericano, fundada en 1991

Modelación en 2D

Integración con Excel y Access

Aplicaciones principales:

Aeroespacial

Construcción

Modelación Financiera

Riesgo Financiero

Procesos y Manufactura

Precios

Edición Profesional: US $1.295

Optimizador: US $2.995

Reproductor: US $500http://www.lumina.com/ana/whatisanalytica.htm

http://www.lumina.com/ana/whatisanalytica.htm

AnyLogic

Propiedad de XJ Technologies,

compañía de origen Ruso, fundada

en 1992

Modelación en 2D


Educación

Sistemas Complejos

Militar

Redes y Comunicaciones

Cadena de suministros y Transporte

Precios

V6 Edición Avanzada: 4.800 EUR +

1.200 EUR con OPT Quest

V6 Edición Profesional: 12.000 EURhttp://www.xjtek.com/anylogic/

http://www.xjtek.com/anylogic/

Arena Propiedad de Rockwell Automation,

compañía de origen Norteamericano,

fundada en 1983.

Modelación en 2D (post-animación en

3D)

Fácil utilización

Integración con VB


Sistemas Complejos

Servicios

Militar

Cadena de suministros

Comparación de escenarios

Precios

Básico: US $795

OptQuest: US $ 995http://www.arenasimulation.com/

http://www.arenasimulation.com/

AutoMod Propiedad de Applied Materials Inc.,


fundada en 1967.

Modelación en 3D, ultra realista

Requiere nivel avanzado de programación

Lenguaje propio, orientado a objetos

Módulos de manufactura especializados:


Sistemas Complejos

Salud

Manufactura

Cadena de suministros y Transporte

Aeroespacial

Precios

Versiones desde US $20.000 hasta US

$40.000http://www.automod.com/

http://www.automod.com/

FlexSim

Propiedad de Flexsim Software

Products Inc., compañía de origen

Norteamericano, fundada en 1993.

Fácil Utilización

Es tal vez el software más popular en

simulación 3D

Permite incluir objetos CAD

Integración con C++, Access y Excel

Módulos de manufactura

especializados


Manufactura


Precios

US $19.500http://www.flexsim.com/

http://www.flexsim.com/

GoldSim

Propiedad de Golder Associates,

compañía de origen

Norteamericano, fundada en

1990

Modelación en 2D


Medio Ambiente

Modelación financiera y de negocios

Procesos industriales

Sistemas dinámicos

Precios

GoldSim Pro: US $3.950http://www.xjtek.com/anylogic/

http://www.xjtek.com/anylogic/

MicroSaint Propiedad de Alion MA&D Operation,


fundada en 1984

Modelación en 2D (tiene una leve

integración con 3D)

Integración con Visio

Reportes configurables por el usuario


Medio Ambiente



Precios

Modelador Básico US $4.995

Avanzado (Incluye animación en 2D y

OptQuest): US $8.995http://www.maad.com/index.pl/micro_saint

http://www.maad.com/index.pl/micro_saint

ProModel Propiedad de Promodel Corporation,


fundada en 1988

Software de propósito general


3D)

Programas especializados

ProcessModel (integración con VISIO)

MedModel

ServiceModel


Servicios


Precios

US $3.500

Stat::Fit US $245http://www.promodel.com

http://www.promodel.com/

Simul8 Propiedad de Simul8 Corporation,


fundada en 1994.

Fácil Utilización


3D)

Integración con C++, VB, Access y Excel


Manufactura


Simulación de escenarios

Precios

Standard: US $1.495

Profesional: US $4.995

Stat::Fit US $245

OptQuest: US $495http://www.simul8.com/

http://www.simul8.com/

Vensim

Propiedad de Ventana Systems

Inc., compañía de origen

Norteamericano, fundada en 1985

Modelación en 2D


Modelación de sistemas dinámicos

(cadenas de abastecimiento, modelación

financiera, modelos de crecimiento,

económicos, sociales, etc.)

Precios

DSS: US $1.995

Profesional: US $1.195

PLE: gratis http://www.vensim.com/

http://www.vensim.com/

Witness Propiedad de Laner, compañía de

origen Británico, fundada en 1978

Modelación en 3D

Diseños Optimizados

Integración con Visio

Reportes configurables por el

usuario


Medio Ambiente



Precios

http://www.lanner.com/corporate/technology/witne

ss.htm

http://www.lanner.com/images/opt.gif

http://www.lanner.com/images/opt.gif

http://www.lanner.com/corporate/technology/witness.htm

Aplicaciones más frecuentes

Conclusiones

En la literatura revisada se encontraron 57 diferentes programas de

simulación, se destacaron los 11 aquí revisados.

Todos cuentan con múltiples características como simulación discreta y

continua, sistemas dinámicos, modelación en 2 y 3 dimensiones,

integración con otros sistemas, etc.

Así mismo se identifican diferentes campos de aplicación, la elección del

programa depende básicamente de este parámetro y el costo.

Arena es el software de simulación más difundido a nivel mundial, por su

bajo costo y su amplio soporte en muchos países.

En segundo lugar se encuentra Promodel, tiene una mayor difusión en

ámbitos académicos ya que está enfocado a propósito general (abarca casi

todos los campos), no obstante no permite una gran especialización y

modelación de sistemas complejos.

Existen otros programas más especializados como Flexsim, Witness y

Automod, pero por su alto costo solo se utiliza en empresas con

departamentos dedicados al campo de la simulación

Modelos de Control de

Inventarios

A lo largo del siglo XX se hicieron múltiples desarrollos matemáticos

que facilitaran la planeación de inventarios en las empresas.

Varios autores han realizado valiosos aportes que años después

conformaron todo el compendio de modelos de inventario (Harris, Taft,

Wagner & Whitin, etc.).

Entre ellos estos métodos encontramos:

EOQ (con todas sus variaciones y adiciones posteriores)

Lotes Dinámicos

Wagner-Whitin

News Vendor

Stock Base

Punto de Re-Orden

Modelos de Planeación de la

producción

Si bien los modelos de control de inventarios demostraron ser bastante

útiles en la administración de productos con demandas independientes,

no fueron lo suficientemente efectivos en procesos cuyo resultado final

fuese la fabricación o ensamble de artículos.

En estos modelos, la demanda independiente estaba asociada al

producto terminado, generando así una demanda dependiente a las

partes intermedias, demanda que no puede ser modelada por los

métodos tradicionales.

Es entonces cuando surge la necesidad de desarrollar nuevos métodos

capaces de responder a estos requerimientos

Hacia el último tercio del siglo XX, nacen los métodos de planeación de

la producción, desarrollos liderados básicamente por dos diferentes

ideologías, la norteamericana y la japonesa.

A continuación haremos una breve reseña de los modelos más

importantes de planeación de la producción.


producción

1. MRP (Material Requirements Planning): Desarrollado en la década

de los 60’s por Joseph Orlick, un ingeniero de sistemas que trabajando

para la IBM y basándose en el desarrollo de bases de datos, pudo

retroceder el proceso y los requerimientos de insumos, basado en la

demanda independiente de los productos terminados y la explosión de

materiales (composición del PT). De esta manera logró un sistema de

empuje (tipo PUSH) en el cuál los insumos eran procesados en la

medida que llegaban y posteriormente almacenados temporalmente

hasta lograr el ensamble del producto.

O1

A11 A12 O2

A21 A22 O3

A31 A32


producción

2. JIT (Just In Time): Desarrollado en la década de los 70’s en el

Japón por Taiichi Ohno para Toyota. Este modelo basado en el

consumo de productos en un supermercado, requiere que exista en

cada estación únicamente el material necesario para la exhibición o

en otras palabras, para la producción. Implica entonces la entrega

constante de materiales (arribos) y la utilización de controles para el

movimiento de productos (kanban), de manera que los insumos se

mueven en el proceso en forma de halado (tipo PULL), reduciendo el

nivel de inventarios y su respectivo costo.

O1 O2A1 O3

A2 A3


producción

3. DRB (Drum-Buffer-Rope): Basado en la teoría de restricciones

(TOC) desarrollada por Eliyahu Goldratt en la década de los 80’s.

DRB es el aplicación de esta teoría en un proceso productivo.

El Drum (tambor) se refiere a los cuellos de botella que marcan el paso del proceso.

El Buffer es un amortiguador de impactos que protege al throughput de las

interrupciones y asegura que el Drum nunca se quede sin material. En lugar de los

tradicionales Inventarios de Seguridad "basados en cantidades de material" los Buffer

del TOC están "basados en tiempo de proceso“, ubicados solo en ciertas locaciones

que se relacionan con restricciones especificas.

El tiempo de ejecución necesario para todas las operaciones anteriores al Drum, más

el tiempo del Buffer, es llamado "Rope-lenght" (longitud de la soga).La liberación de

materias primas y materiales, está entonces "atada" a la programación del Drum,

lográndose un flujo de materiales uniforme.

O1 O2A1 O3

A2 A3

Cuello de botella (Drum ó Tambor)


producción

4. Conwip (Constant Work in Process): Desarrollado en la década de

los 90’s por Hopp y Spearman. Este modelo que combina las mejores

características de los modelos PULL y PUSH (sus autores lo

denominan Long Pull), se basa en el mantenimiento de una cantidad

fija de inventario en proceso, apoyado en tarjetas CONWIP, las

cuales se asocian a la orden de trabajo a lo largo de la línea de

producción en vez de asociarse a una sola estación de trabajo como

ocurre con el KANBAN.

O1 O2A1 O3

A2 A3


producción

El CONWIP puede ser aplicado en entornos donde el KANBAN no

puede serlo, tal como ocurre cuando se modifica con frecuencia el

programa de producción. Además es posible extender la aplicación

del m ismo a líneas de montaje mostrándose como con el CONWIP

se alcanza una mayor producción en la línea con menores

inventarios en proceso.

El sistema CONWIP puede ser transformado con buenos resultados

en un sistema DBR en entornos donde se ha identificado un cuello

de botella bien diferenciado. Se ha visto que CONWIP y DBR

comparten características comunes. El papel de la “Rope” en el

DBR es sustituido por las tarjetas CONWIP. El “Drum” quedaría

sustituido por el mecanismo de control de las tarjetas en la

cabecera y el “Buffer” queda autorregulado con el CONWIP.


producción

Comparación de sistemas:

Industrias IO

Industrias IO fabrica autopartes para ser

utilizadas en posterior ensamblaje

La empresa cuenta con 3 procesos básicos de

transformación de materiales, así como con unos

almacenes temporales y finalmente la entrega al

cliente (ver diagrama parte derecha)

Los tiempos de operación en estos tres procesos

están distribuidos como se muestra en la

siguiente tabla:

Recepción

Pulidora

Rectificadora

Troqueladora

Producto

Terminado

Consumidor

Proceso Tiempo

Pulido e(10)

Rectificado n(20,10)

Troquelado e(15)

Industrias IO

La empresa cuenta con un almacén de materias primas que tiene al

comienzo de las operaciones 300 piezas para ser procesadas.

Estas piezas provienen de otras líneas de producción

Así mismo la empresa cuenta con dos tipos de recursos:

4 Operarios

2 Operadores

El tiempo de corrida de la simulación será de 72 horas continuas sin

turnos de trabajo.

Los almacenes temporales cuentan con una capacidad limitada

llamada BUFFER de manera que se controla la cantidad de material

en proceso a mantener

Bibliografía

BANKS, J., CARSON, J.S., NELSON,B.L., NICOL, D.M. Discrete-event

System Simulation. Prentice Hall International, 2001.

BLANCO Rivero, Luis. FAJARDO Piedrahita, Iván. Simulación con

promodel: casos de producción y logística. Escuela Colombiana de

Ingeniería, Bogotá, 2003.

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y análisis de Sistemas con Promodel. Prentice Hall, 2006.

Gross, Donald. Harris, Carl. Fundamentals of Queueing Theory. John Wiley

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HILLIER, F. LIEBERMAN, G. Investigación de Operaciones. Ed. McGraw

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HOPP, Wallace., SPEARMAN, Mark., Factory Physics. Mc Graw Hill 2000.

N.U. Prabhu, Foundations of Queueing Theory. Kluwer Academic

Publishers, Ithaca, 2002

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