Sistema de agitación.

Se propone valores de volumen de aire por volumen del líquido por minuto (vvm) desde 0.25 a 2 vvm, para comenzar a decidir el valor en el cuál se optimiza el sistema de agitación, sabiendo que:

vvm=Q aire

V op

Se comienza por calcular el flujo de aire (Qaire) para cada valor de vvm, despejando a Qaire

Qaire=vvm∙V op

NOTA: Para está parte de la memoria de cálculo se utilizara el primer valor como muestra, explicando la manera en la que se calcularon todos los demás valores.

Entonces para el primer valor de 0.25 vvm, calculamos el flujo de aire en L/min:

Qaire=(0.25min−1 )(50000 L)

Qaire=12500 L/min

Ahora se calcula la eficiencia, con la siguiente fórmula

Ef=( μX

Y X /O2) (V op )(22.4)

QaireϕO2( Ptotal

Pestándar) (32 ) (60 )

Donde;

μX= productividad celular (g células/L h)

Y X /O2 = rendimiento de biomasa por oxígeno (g células/ g oxígeno)

V op = volumen de operación (L)

Qaire = flujo del aire (L/min)

ϕO2 = fracción del oxígeno en el aire = 0.21

Ptotal = presión total (atm)

Pestándar = presión estándar (atm)

Como se observan faltan algunos valores los cuales se calcularon de la siguiente manera:

Para conocer la presión total del sistema, se calcula con la suma de la presión hidrostática, la presión interna y la presión atmosférica.

Ptotal=Phidrostática+P interna+Patmosférica

La presión hidrostática se calcula con la siguiente fórmula:

Phidrostática=ρH Lggc

Donde:

ρ =densidad del medio de cultivo (kg/m3)

H L = altura del líquido en el biorreactor (m)

g = 1

gc = 9.8 m/s2

Sustituyendo los valores se obtiene:

Phidrostática=(1.05 kgm3 )(5.63m )( 1

9.8m

s2 )Phidrostática=0.62atm

Ahora calculamos la presión total, considerando la presión atmosférica de 1 atm y la presión interna de 0.5 atm:

Ptotal=Phidrostática+P interna+Patmosférica

Ptotal=0.62atm+0.5atm+1atm

Ptotal=2 .12atm

Se calcula el rendimiento de biomasa por calor que se tiene en la fermentación:

Y X /K=Y X /S

ΔHS−(Y X /S ∙ ΔH celular )

Sustituyendo los valores, queda:

Y X /K=0.4

gcélulag sustrato

3.5kcal

g sustrato−(0.4 gcélula

gsustrato∙5.7

kcalgcélula )

Y X /K=0.327g célulakcal

Ahora, se procede con el rendimiento de biomasa por oxígeno, se calcula con el rendimiento antes obtenido, con la siguiente fórmula:

Y X /O2=Y X / K(3.5 kcal

goxígeno)

Sustituyendo:

Y X /O2=(0.327 g célulakcal )(3.5 kcal

goxígeno)

Y X /O2=1.1445 gcélula

g oxígeno

Ya con todos los datos se calcula la eficiencia, con la formula antes mencionada:

Ef=( μX

Y X /O2) (V op )(22.4)

QaireϕO2( Ptotal

Pestándar) (32 ) (60 )

Ef=

( 1.196gcélulaLh

1.147gcélulagoxígeno

) (50000L )(22.4 )

(12500 Lmin )(0.21)( 2.12atm1atm ) (32 ) (60 )

Ef=0.109

Para calcular la presión parcial de oxígeno de salida del sistema, se utiliza la siguiente fórmula:

P(O 2)¿

salida=(Ptotal−Phidrostática )ϕO2(1−Ef )

Donde:

Ptotal = presión total del difusor (atm)

Phidrostática = presión hidrostática (atm)

ϕO2 = fracción de oxígeno en el aire = 0.21

Ef = eficiencia.

Sustituyendo:

P(O 2)¿

salida=(2.12atm−0.62atm )0.21(1−0.109)

P(O 2)¿

salida=0.280atm

Se calcula la media logarítmica de la presión parcial de oxígeno en el difusor, utilizando las presiones tanto de las entradas y las salidas, respectivamente:

P(O 2)¿

MLN=PO2entrada

−PO 2salida

lnPO2entrada

PO2salida

Pero se necesita conocer el valor de la presión de oxígeno en el difusor a la entrada, utilizando la siguiente fórmula:

PO2entrada=P totalϕO2

Donde:

Ptotal = presión total del difusor (atm)

ϕO2 = fracción de oxígeno en el aire = 0.21

Entonces, ahora sustituimos los datos de la presión de oxígeno en el difusor a la entrada:

P(O 2)¿

salida=(2.12atm)(0.21)

P(O 2)¿

salida=0.445atm

Ya con este valor, se procede a calcular la media logarítmica de la presión parcial de oxígeno en el difusor:

P(O 2)¿

MLN=0.445atm−0.280atm

ln0.445 atm0.280 atm

P(O 2)¿

MLN=0.356 atm

Entonces, ya con este valor se calcula la concentración de la fase líquida que se encuentra en equilibrio con la fase gaseosa, con la constante de Henry:

C ¿=H Henry P(O 2)¿

MLN

C ¿ = concentración de la fase líquida que se encuentra en equilibrio con la fase gaseosa.

H Henry = constante de Henry, la cual se requiere en gO2

Latm

H Henry=33.4mgO2

Latm(35 °C )=0.0334

gO2

Latm(35 °C )

Ya en la unidades, se calcula la C*

C ¿=(0.0334 gO2

Latm )(0.356atm)

C ¿=0.119gO2

L

Ahora calculamos, el coeficiente de transferencia de oxígeno, requerido del equipo, con la siguiente:

k Larequerido=μX

Y X /O2(C¿−CL )

Donde:

μX= productividad celular (g células/L h)

Y X /O2 = rendimiento de biomasa por oxígeno (g células/ g oxígeno)

(C ¿−CL)= fuerza impulsora de concentración

Sabiendo que:

CL≥C crítica=0.001gO2

L

Debido a que si CL<Ccrítica el oxígeno será el limitante del crecimiento celular.

Sustituyendo:

k Larequerido=1.196

gcélulaLh

1.147gcélulasg oxígeno (0.119 gO2

L−0.001

gO2

L )k Larequerido=95.613h

−1

Ahora se procede a calcular la potencia teórica:

Potencia teórica (Pot )=N p( ρ N3Di

5

Gc)(1.315 x10−7 )

Donde;

Pot = potencia teórica (HP)

Gc = 980 cm/s2

ρ = densidad del caldo de fermentación (g/cm3)

N = velocidad de agitación (s-1)

Di = diámetro del impulsor (cm)

N p = número de potencia

Considerando que el:

k Laequipo≥k Larequerido

Se propone que la potencia real es:

Potencia real (Potreal )=Pot fc

Utilizando la correlación empírica de Michell y Miller, para calcular la potencia gaseada (Pg), se tiene la siguiente fórmula:

Pg=c( Pot real2N Di

3

Q aire0.56 )

0.45

Donde:

Pg= Potencia gaseada (HP)

c = 2.39 x 10-3 (para fluidos newtonianos y no newtonianos)

Potreal = potencia real, (HP)

N = velocidad de agitación (min-1)

Di = diámetro del impulsor (cm)

Qaire = flujo del aire (L / min).

Esta correlación es válida para muchos tipos de biorreactores, para diferentes tipos de impulsores y todo tipo de fluidos.

Ahora se supone que el KLa equipo = KLa requerido, utilizando correlaciones empíricas; la que se utiliza en este caso es la de Taguchi Miyamoto; ya que es una correlación válida para impulsor tipo turbina de 6 paletas rectas y fluidos no newtonianos (pseudoplásticos) y volúmenes de operación menores o iguales que 50 m3.

k Laequipo=8H ( PgV op )

0.33

(Vs)0.56

Donde;

k La = coeficiente de tranferencia de oxígeno (h-1)

H = constante de Henry (mmoles de oxígeno/ L atm)

Pg = potencia gaseada (HP)

V op = volumen de operación (m3)

Vs = velocidad superficial del aire (cm/min)

Si se dice, que:

k Laequipo=k Larequerido

Entonces se despeja a Pg, la ecuación queda:

Pg=(0.33√ k La

(Vs )0.56 8H

)(V op )

Pero considerando que Vs, es:

Vs=Qaire

π4Dt2

Sustituyendo:Vs=( 12.5m3

π4

(3.214m )2 )(100)Vs=154.024 cm

min

*El valor de 100 es para efectuar la conversión de m a cm.

Cambiamos las unidades de H, para poder utilizarlas en esta ecuación.

H=0.0334gO2

Latm |1molO2

32 gO2|1000mmolO2

1molO2

=1.04375mmolO2

Latm

Ahora se obtiene la potencia gaseada:

Pg=(0.33√ 95.613h−1

(154.024 cmmin )

0.56 8

1.04375mmolO2

Latm) (12.5m3 )

Pg=20.102HP

Ahora se obtiene la potencia teórica, de la siguiente manera:

Potencia teórica (Pot )=N p( ρ N3Di

5

Gc)(1.315 x10−7 )

Para hacer un ajuste para conocer la velocidad del rotor (N), se declara una nueva variable, sin involucrar a N:

A=N p ρ Di

5 (1.315x 10−7 )Gc (60)

3

EL valor de 60, sólo se pone para hacer el cambio de segundos a minutos.

Sustituyendo para obtener el valor de A:

A=3.65x 10−5

Ya con este valor, se procede a calcular el factor de corrección de la potencia, con la siguiente fórmula:

fc=[ (H L /D i)b(Dt /Di)b(H L/Di )st (Dt /Di)st ]

1 /2

Los subíndices, se refieren:

b = configuración del biorreactor.

st = con figuración estándar.

Los valores de HL, Di y Dt; se obtienen de las siguientes correlaciones:

Di

Dt

=13

H L=2Dt

Sustituyendo, si Dt = 3.214 m:

H L=2 (3.214m )

H L=6.428m

Además: Di

Dt

=13

Di=13Dt

Di=13

(3.214m )

Di=1.071m

Ahora, con estos datos se calcula el factor de corrección de potencia:

fc=[ (6.428m /1.071m)b(3.214m /1.071m)b(3 ) st(3)st ]

1/2

fc=1.41

Se crea, otra variable, para englobar al término de potencia real, con el fin de simplificar el cálculo:

B=A fc ni

Donde:

A= Variable que representa la potencia real.

fc= Factor de corrección de la potencia.

ni = Número de implusores

Sustituyendo:

B=(1.54 x10−5)(1.41)(3)

B=1.54 x 10−4

Entonces, ahora se calcula la potencia gaseada (Pg):

Pg=c([ (Preal)2N Di

3

Q aire0.56 ]

0.45

)Se sustituye la variable B, que fue la que se utilizó para simplificar el cálculo:

Pg=c([ (BN 3)2N Di3

Q aire0.56 ]

0.45

)Despejando a N, se obtiene la siguiente ecuación:

N=[ (Pgc )10.45Q aire

0.56

B2 ∙Di3 ]

1 /7

Sustituyendo, en la formula para obtener la velocidad de agitación:

N=[ ( 20.102HP2.39x 10−3 )10.45 (12500 L

min )0.56

(1.54 x10−4)2∙(107.1cm)3 ]1 /7

N=62.089 rpm

Ya con el valor de la velocidad de agitación, se calcula la potencia del compresor (bhp) con la siguiente fórmula:

bhp=Q aire ρaire (9.351x 10

−2)Ep ∙PMaire

∙[ z RT1

[ N−1N ] ] ∙[[ P2P1 ]

N−1N −1]

Donde:

Qaire= flujo de aire (m3/ min)

ρaire = densidad del aire; ρ=1.293kg

m3

Ep = eficiencia politrópica; Ep=0.75

PMaire = peso molecular del aire; PMaire=29 ggmol

z = factor de compresibilidad; z= 1.05

R = constante universal de los gases ideales; R=1.987 calmol K

=0.068 calg K

T 1 = temperatura en la succión; en K.

P2, P1 = presión del aire en la descarga y succión del compresor, sucesivamente.

Cp = calor específico a presión constante; Cp=0.25calg K

Cv = calor específico a volumen constante;

Cv=Cp−R

Entonces, calculamos el Cv;

Cv=0.25 calg K

−0.068 calg K

Cv=0.182 calg K

N, K = exponente politrópico y adiabático, respectivamente.

Calculando:

K=CpCv

Sustituyendo:

K=0.25

calg K

0.182calg K

K=1.373

Y para el coeficiente N, se calcula, así:

N−1N

= K−1K Ep

Sustituyendo:

N−1N

= 1.373−1(1.373 ) (0.75 )

N−1N

=0.362

Ya con todos los valores obtenidos se procede a sustituir para calcular la potencia del compresor:

bhp=

(12.5m3 )(1.293 kgm3 )(9.351x 10−2)0.75 ∙29

gmol

∙[ (1.05 )(0.068 calg K )(25 ° C)

[0.362 ] ] ∙[ [ 2.12atm1atm ]0.362

−1]bhp=3.130HP

Ya obtenido el valor de la potencia del compresor, se suma con la potencia gaseada, para obtener el valor de la potencia total.

Potencia total=Potencia gasead a (Pg )+Potencia del compresor (bhp)

Sustituyendo:

Potencia total=20.102HP+3.130HP

Potencia total=23.233HP

Entonces, se obtuvo un valor de potencia total de 23.233 HP a 0.25 vvm.

Esta misma secuencia de cálculos se realizó para cada valor de vvm (0.25 vvm a 2 vvm); a continuación se muestra la tabla en donde se muestra todos los valores obtenidos para cada valor de vvm:

vvm

(min−1 )

Qaire

( Lmin ) Ef

P(O2)¿

salida

(atm )P(O2)

¿MLN

(atm)

C ¿

( gO2

L )k Larequerido

¿)

Vs

( cmmin )Pg

(HP)

N

(rpm)

bhp

(HP)

Potencia real

(HP)

0.25 12500 0.109 0.281 0.357 0.012 95.613 154.024 20.103 62.090 3.131 23.233

0.5 25000 0.055 0.298 0.367 0.012 92.774 308.048 5.659 43.887 6.261 11.920

0.75 37500 0.036 0.304 0.370 0.012 91.878 462.073 2.761 36.100 9.392 12.153

1 50000 0.027 0.306 0.371 0.012 91.438 616.097 1.670 31.491 12.523 14.193

1.25 62500 0.022 0.308 0.372 0.012 91.177 770.121 1.134 28.349 15.653 16.787

1.5 75000 0.018 0.309 0.373 0.012 91.004 924.145 0.827 26.027 18.784 19.611

2 100000 0.014 0.311 0.374 0.012 90.789 1232.194 0.504 22.757 25.045 25.549

Tabla . Valores calculados para distintos valores de vvm para obtener la mínima potencia

Se selecciona el mínimo valor de la potencia real (11.920 HP), para optimizar el sistema de agitación, entonces se trabajará con todas esas condiciones de la fila (flujo del aire, eficiencia, presiones, etc).