7/21/2019 Sistema de Los Numeros Reales

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Wilson Herrera 1

El Sistema de los Números RealesGuía de Ejercicios

Ejercicio 1   Dados los axiomas de cuerpo de los números reales y teoremas, corolarios que se 

deducen de este. Demostrar:

a)   0 = −0.

b)   1−1 = 1.

c)  El cero no tiene recíproco.

Ejercicio 2   Dados los axiomas de orden de los números reales. Demostrar:

a)  No existe ningún número real x tal que  x2 + 1 = 0.

b)   Si a>0 entonces 

  1

a  > 0.

Ejercicio 3  Hallar el conjunto solución de:

a)   ax + b = 0,  b = 0.

b)   (2x + 4)(5x − 1) = 0.

c)   ax + b > 0.

d)   3x + 6  >  0.

Ejercicio 4   Efectuar:

a)   (2x3 − x)4 b)   (5x + 1)(5x − 1)   c)   (a − b)(a2 + ab + b2)

Ejercicio 5   Factorizar:

a)   El entero   72.

b)   4x2 + x

c)   x2 + 2x + 1

d)   9x2 + 24x + 16

e)   16x2 − 25y2

f)   98ax2 − 8ay2

g)   2x2 + 2xy + x + y

h)   a3 − b3

i)   a3 + b3

Ejercicio 6  Hallar el mínimo común múltiplo de  x2 + x,  x3 − x2,  4x2 − 4.

Ejercicio 7  Reducir las siguientes expresiones:

a)

  5x2 + 10xy

15xy + 30y2   b)

  2x2y

−2xy

−4y

x + 1   c)

  x2k

−y2k

yk+1 + xky   d)

  x

−  1

x

x + 2 +   1x

Ejercicio 8  Efectuar y simplificar:

a)  a + b

b  +

  b

a − b

b)  x − y

y2 + xy ·   x2

x2 − xy

c)  2 − x

x2 − 4x + 4 ÷ x + 2

x − 2

d)a2 − ab

b  − a

b + b2

e)  x + 5

x2 + 3x +

 3x2 − 25

3x + 9  +

 9x − 5

3x

f )  x + 2

2x  −   x

2x − 4 +

  x2 + 4

x3 − 4x

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Ejercicio 9   Probar:

a)  (x + 1)[x2 − x(x − 2)]

x2 + x  − 2 = 0

b)x + y

2

2−x − y

2

2= xy

c)a − 1

a + 1 −  a  + 1

a − 1

·  5

4a − a

4 − a

 = 5

d)  x2 + 3x− 10

1

x−2 ÷   1

x+5

− (x− 2)2 = 0

Ejercicio 10  Simplificar las siguientes expresiones:

a)   x2(y − 6) + x(y + 6) − 2y = 0.  Despejar y .

b)   (x2 − y2)z + 2xy(3z − 1) − yz(2x − 5y) = 0. Despejar z .

c)   v2 = v20 + 2ax.  Despejar x .

d)   m =  m0

 1 − (

v

c )2

. Despejar   v

c.

e)   M R = 3P 2L

2ah2 .  Despejar h .

Ejercicio 11  Resolver las siguientes ecuaciones.

a)  x + 2

4  +

 4

3 =

 5x + 4

6  b)

  2x + 5

x2 + x +

  x

x + 1 =

  x + 6

x  c)   3 −  2x − 4

x2 − 1  =

  3x

x + 1

Ejercicio 12  Hallar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones.

a)

 |x

|= 3

b) |x − 1| = 6

c) |x − 2| = |x + 5|

d)

 |3x + 4

|=

|6x

−1

|e) |x| < 5

f) |2x + 5| > 7

g) x + 4

x < 8

h)3 − 2x

x + 1

≤ 5

Ejercicio 13   Encontrar  δ , que dependa de   > 0, dado, de tal modo que la siguiente implicación sea verdadera.

|8x − 6| < ⇒ |4x − 3| < δ 

Ejercicio 14  Calcular las primeras ocho (08) potencias de i.

Ejercicio 15   Si escribimos  z  para indicar su conjugado, probar que:.

a)   z =  z   b)   zz  = |z|2

Ejercicio 16   Dados los siguientes complejos  z1 = 2 − 3i  y  z2 = 4 + 5i, calcular:

z1 + z2;   z1 · z2;   z1 − z2;   |z1|;   |z2|   y   z1

z2.

Ejercicio 17  Hallar a para que el cociente   2 + ai

3 − 4i sea un número real.

Ejercicio 18   Calcular √ 

i.

Ejercicio 19  Hallar los complejos cuyo cuadrado sea igual a su conjugado.