SISTEMA DIÉDRICO

Ángulos

Ejercicio Nº 1.- Determinar el ángulo que forma la recta r=r'-r'' con los planos de proyección.

r''

r'TL

1º Método: Por Abatimientos.1º Hallamos las trazas de la recta VR y Hr.

r''

r'

Vr

Hr

TL

2º El plano proyectante vertical que contiene a r se abate sobre el horizontal en este caso tomamos las traza Vr, pero sino podemos tomar cualquier punto de la recta r’-r’’. Por la proyección horizontal de Vr trazamos una perpendicular y sobre esta llevamos la cota c del punto en este caso la traza Vr y obtenemos la traza abatida (Vr).

r''

r'

Vr

Hr

a

c

(Vr)

TL

3º Unimos el punto Hr y el punto (Vr) y obtenemos la recta abatida sobre el horizontal. El ángulo que forman la proyección horizontal r’ y la recta abatida (r ) es el ángulo α que forma la recta con el plano horizontal.

r''

r'

Vr

Hr

a

c

(Vr)

a

(r)

TL

4º El plano proyectante horizontal que contiene a r se abate sobre el vertical en este caso tomamos las traza Hr, pero sino podemos tomar cualquier punto de la recta r’-r’’. Por la proyección vertical de Hr trazamos una perpendicular y sobre esta llevamos el alejamiento a del punto en este caso la traza Hr y obtenemos la traza abatida (Hr).

r''

r'

Vr

Hr

a

c

(Vr)

a

(r)

(Hr)

TL

5º Unimos el punto Vr y el punto (Hr) y obtenemos la recta abatida sobre el horizontal. El ángulo que forman la proyección vertical r’’ y la recta abatida (r ) es el ángulo β que forma la recta con el plano vertical.

r''

r'

Vr

Hr

a

c

(Vr)

a

(r)

(Hr)

(r) ß

TL

2º Método: Por Giros.1º Hallamos las trazas de la recta VR y Hr.

TL

r''

r'

Vr

Hr

2º Trazamos un eje e’-e’’vertical que pase por Vr .

TL

r''

r'

Vr

Hr

e''

e'

3º Giramos la recta hasta llevarla sobre el PV. Es decir con centro en e’ y radio e’-Hr, trazamos un arco de circunferencia para obtener Hr1.

TL

r''

r'

Vr

Hr

r1''

Hr1

e''

e'

4º El ángulo α que forma la recta girada r1’’ y la LT es el ángulo que forma la recta r con el PH.

TL

r''

r'

Vr

Hr

r1''

Hr1

e''

e'

a

5º Trazamos un eje horizontal e1’-e1’’ que pase por Hr .

TL

r''

r'

Hr

r1''

Hr1

e''

e'

a

1

e1'

6º Giramos la recta hasta llevarla sobre el PH. Es decir con centro en e1’’ y radio e1’’-Vr, trazamos un arco de circunferencia para obtener Vr1.

TL

r''

r'

Vr

Hr

r1''

Hr1

e''

e'

a

e1'

e1''Vr1

7º El ángulo β que forma la recta girada r1’ y la LT es el ángulo que forma la recta r con el PH.

TL

r''

r'

Vr

Hr

r1''

Hr1

e''

e'a

e1'

e1''Vr1

ßr1'

3º Método: Por Cambios de Planos.1º Hallamos las trazas de la recta VR y Hr.

TL

r''

r'

Vr

Hr

TL

r''

r'

Vr

Hr

}V1

H

2º Realizamos un cambio de plano vertical para transformar la recta en una frontal. La nueva LT será paralela a r’.

3º Obtenemos las nuevas proyecciones de las trazas en este caso, pero podían ser otros puntos cualquiera. La proyección vertical de Hr sigue en la nueva LT por tener cota cero y la de Vr llevamos la cota c sobre la perpendicular y obtenemos V1r.

TL

r''

r'

Hr

}V1

H

c

c

V1r

4º El ángulo α que forma la recta cambiada de plano y la nueva LT es el ángulo que forma la recta r con el PH.

TL

r''

r'-r1'

Vr

Hr

}V1

H

c

c

r1''

V1r

a

5º Realizamos un cambio de plano horizontal para transformar la recta en una horizontal. La nueva LT será paralela a r’’.

TL

r''

r'-r1'

Vr

Hr

}V1

Hc

c

r1''

V1r

a

}VH1

6º Obtenemos las nuevas proyecciones de las trazas en este caso, pero podían ser otros puntos cualquiera. La proyección horizontal de Vr sigue en la nueva LT por tener alejamiento cero y la de Hr llevamos el alejamiento a sobre la perpendicular y obtenemos H1r.

TL

r''

r'-r1'

Vr

Hr

}V1

H

c

c

r1''

V1r

a}V

H1

a

H1r

a

7º El ángulo β que forma la recta cambiada de plano y la nueva LT es el ángulo que forma la recta r con el PV.

TL

r''-r1''

r'-r1'

Vr

Hr

}V1

H

c

c

r1''

V1r

a

}VH1

a

H1r

a

ßr1'

Ejercicio Nº 2.- Determinar el ángulo que forma la recta r paralela al 2º bisector con los planos de proyección.

TL

r''r'

1º Hallamos las trazas Vr y Hr de la recta.

TL

r''r'Vr

Hr

2º Abatimos sobre el PV la traza horizontal Hr. Por el punto de corte de r’’ con la LT trazamos una perpendicular y haciendo centro en el punto anterior y radio hasta Hr trazamos un arco que corta a la perpendicular en (Hr).

TL

r''r'Vr

Hr

(Hr)

3º Unimos Vr y (Hr) y obtenemos el ángulo β que forma la recta con el plano vertical.

TL

r''r'Vr

Hr

(Hr)ß

4º Abatimos sobre el PH la traza horizontal Vr. Por el punto de corte de r’ con la LT trazamos una perpendicular y haciendo centro en el punto anterior y radio hasta Vr trazamos un arco que corta a la perpendicular en (Vr). Unimos Hr y (Vr) y obtenemos el ángulo α que forma la recta con el plano horizontal.

TL

r''r'Vr

Hr

(Hr)ß

(Vr)a

Ejercicio Nº 3.- Hallar los ángulos que forma el plano α con los planos de proyección.

1º Trazamos la recta p’-p’’ de máxima pendiente por un punto cualquiera del plano (la proyección horizontal de la recta p’ es perpendicular a la traza horizontal α1 del plano.

L T

a2

a1

p''

p''

Vp

Hp

2º Abatimos sobre el PH la traza horizontal Vp. Por el punto de corte de p’ con la LT trazamos una perpendicular y haciendo centro en el punto anterior y radio hasta Vp trazamos un arco que corta a la perpendicular en (Vp). Unimos Hp y (Vp) y obtenemos el ángulo α que forma la recta con el plano horizontal.

L T

2

a1

p''

p''

Vp

Hp (Vp)

a

3º Trazamos la recta i’-i’’ de máxima inclinación por un punto cualquiera del plano (la proyección vertical de la recta i’’ es perpendicular a la traza vertical α2 del plano.

L T

2

a1

i''

i'

Vi

Hi

4º Abatimos sobre el PV la traza horizontal Hi. Por el punto de corte de i’’ con la LT trazamos una perpendicular y haciendo centro en el punto anterior y radio hasta Hi trazamos un arco que corta a la perpendicular en (Hi). Unimos Vi y (Hi) y obtenemos el ángulo β que forma la recta con el plano vertical.

L T

2

a1

i''

i'

Vi

Hi

(Hi)

ß

5º Así quedaría con los dos ejercicios a la vez.

L T

2

a1

p''

p''

Vp

Hp (Vp)

a

i''

i'

Vi

Hi

(Hi)

ß

Ejercicio Nº 4.- Determinar el ángulo que forman las dos rectas r y s que se cortan así como la bisectriz del ángulo que forman.

s'' r'

s'

P''

P'

TL

r''

1º Trazamos un plano Ω2 paralelo al PH y que corta a las dos rectas. Para hallar el ángulo tenemos que abatir el plano que forman las dos rectas sobre uno de los planos de proyección o en nuestro caso sobre el Ω2 paralelo al PH.

2º El plano Ω2 corta a las rectas en los puntos A’-A’’ y B’-B’’.

3º La recta A’-B’ resulta el eje de abatimiento también llamada Charnela.

4º Por la proyección horizontal P’ de la intersección trazamos una paralela y una perpendicular a la charnela o eje de abatimiento.

5º Sobre la paralela llevamos la distancia h que es la que existe de P’’ al plano Ω2.

6º Hacemos centro en 1 y con radio 1-2 trazamos un arco de circunferencia que nos determina el punto (P) sobre la perpendicular que resulta el abatimiento del punto P.

7º Unimos (P) con A’ y con B’ y tenemos el ángulo α pedido que forman las dos rectas en verdadera magnitud.

8º Trazamos la bisectriz del ángulo α y determinamos el punto C’ sobre el eje.

9º Hallamos la proyección C’’ sobre el plano Ω2 y trazamos las proyecciones de la bisectriz b’ y b’’.

Ejercicio Nº 5.- Hallar el ángulo que forma el plano α y la recta de perfil r.

1º Hallamos un punto de la recta como es una recta de perfil, hallamos la tercera proyección y situamos un punto P’’’ sobre r’’’.

2º Hallamos las proyecciones vertical P’’ y horizontal P’ del punto P.

3º Por el punto P=P’-P’’ trazamos una perpendicular al plano α=α1-α2. Por P’ perpendicular a α1 y por P’’ perpendicular a α2 . Como coinciden las dos trazas las proyecciones s’,s’’ son paralelas.

4º Hallamos la traza horizontal Hs de la recta s.

5º Determinamos la charnela o eje de abatimiento Ch, uniendo Hr con Hs.

6º Abatimos el punto P sobre el PH, trazamos por P’ una paralela y una perpendicular a la charnela, sobre la paralela llevamos la cota, hacemos centro en el punto 1 y radio 1-2 obtenemos (P).

7º Unimos (P) con Hr y tenemos la recta (r) abatida, si unimos (P) con Hs tenemos la recta (s) abatida el ángulo en (P) resulta el ángulo que forman las rectas r y s.

8º El ángulo complementario del forman las rectas (r) y (s) es el ángulo que forma la recta r y el plano α .

Ejercicio Nº 6.- Determinar el ángulo que forman el plan α y la recta r.

1º Hallamos la 3ª proyección del plano α3.

2º Hallamos la 3ª proyección de la recta r’’’.

3º El ángulo Ω formado por el plano α3 y la recta r’’’ es en verdadera magnitud el formado por el

plano α1-α2 y la recta r’-r’’.

Ejercicio Nº 7.- Hallar las trazas del plano α, dada la traza α1, si sabemos que las trazas forman entre si un ángulo de 40º.

1º Abatimos el plano α sobre el PH la traza abatida (α2) forma con la traza horizontal α1 un ángulo dado de 40º.

2º Situamos un punto (A) sobre la traza abatida (α2), por este punto trazamos una perpendicular a la traza horizontal α1, y hallamos la proyección horizontal A’.

3º Por A’ levantamos una perpendicular a la LT sobre la que se encontrara la proyección vertical A’’.

4º Trazamos un arco de circunferencia de centro O y radio O-(A), que determina la proyección vertical A’’.

5º Unimos A’’ con el punto O y obtenemos la traza vertical α2 del plano pedido.