Sistema ecuaciones
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*Sistema de Ecuaciones
Matemática Básica
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La señora Rosa fue al mercado a comprar 3Kg. de manzana y 2 Kg. de fresa. Ella llevó S/.21 y cuando quiso pagar, le dijeron que faltaban S/.6 para el pago de ambos productos. Entonces, la señora decidió llevar 2Kg. de manzana y 2Kg. de fresa y la vendedora le dio S/.1 de vuelto. ¿Cuánto costaba el Kg. de manzana y de fresa?
3𝑥 + 2𝑦 = 27
2𝑥 + 2𝑦 = 20
Supongamos que: Precio de cada kilogramo de manzana es "𝑥" Precio de cada kilogramo de fresa es "𝑦"
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Sistema de Ecuaciones Lineales con dos variables
Un sistema de ecuaciones lineales con dos variables es la unión de dos o más ecuaciones lineales con dos incógnitas; es decir, no deben aparecer variables con exponente mayor que 1.
Ejemplo:
14𝑥2 − 21𝑦 = 35
13𝑥 + 18𝑦2 = 31
Es un Sistema de Ecuaciones lineales
No es un Sistema de Ecuaciones lineales porque aparece el exponente 2 en algunas variables.
14𝑥 − 21𝑦 = −713𝑥 + 18𝑦 = 31
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Solución de un Sistema de Ecuaciones Lineales
La solución de un sistema de ecuaciones lineales está conformada por aquel grupo de valores que se le da a las incógnitas y que, al reemplazarse, cumplen simultáneamente todas las ecuaciones que lo conforman.
Ejemplo: 14𝑥 − 21𝑦 = −713𝑥 + 18𝑦 = 31
Dada el sistema
Tenemos que, si reemplazamos 𝑥 = 1 𝑦 = 1, las dos ecuaciones lineales se cumplirían simultáneamente.
Por lo tanto 𝑥 = 1 𝑦 = 1 es una solución para este sistema de ecuaciones lineales.
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Métodos de Resolución
Existen varios métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales, pero nosotros solo estudiaremos los siguientes:
1. Método de Igualación.
2. Método de Sustitución.
3. Método de Reducción o Eliminación.
4. Método Gráfico.
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Método de Igualación
Paso 1:
Paso 2: Se igualan las ecuaciones obtenidas al haber despejado la variable; y se obtiene una ecuación lineal con una sola variable.
Despejamos, de cada una de las ecuaciones, la misma variable.
Paso 3: Se resuelve la ecuación obtenida en el paso 2 y con esto encontramos el valor de la variable que intervino. Luego se reemplaza este valor en cualquiera de las ecuaciones y con esto se obtiene el valor de la otra variable.
Este método consta de los siguientes pasos:
Paso 4: Se verifican las respuestas.
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× 2 Igualando
Método de Igualación
Ejemplo:
7𝑥 − 2𝑦 = 204𝑥 + 𝑦 = 5
Determine la solución del siguiente sistema:
Solución:
7𝑥 − 2𝑦 = 20 … (1)
4𝑥 + 𝑦 = 5 … (2)
−2𝑦 = 20 − 7𝑥 𝑦 = (20 − 7𝑥)
2 𝑦 =
−(20 − 7𝑥)
2
− 𝑦 =
20 − 7𝑥
−2 −2 𝑦 = 20 − 7𝑥 𝑦 =
−20 + 7𝑥
2 … (3)
𝑦 = 5 − 4𝑥 … (4)
−20 + 7𝑥
2
= 5 − 4𝑥
−20 + 7𝑥
2 = 5 − 4𝑥 −20 + 7𝑥 = 2(5 − 4𝑥)
−20 + 7𝑥 = 10 − 8𝑥 15𝑥 = 30 𝑥 = 2
Reemplazando en (4)
𝑦 = 5 − 4𝑥
𝑦 = 5 − 4𝑥
2
𝑦 = 5 − 4(2) 𝑦 = −3
𝑥 = 2; 𝑦 = −3 La solución del sistema es:
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Método de Sustitución
Paso 1:
Paso 2: Se sustituye esta nueva ecuación en la que no utilizamos para despejarla.
Despejamos una variable, pero solo, de una de las ecuaciones.
Paso 3: Se resuelve la ecuación obtenida en el paso 2 y con esto encontramos el valor de la variable que intervino. Luego se reemplaza este valor en cualquiera de las ecuaciones y con esto se obtiene el valor de la otra variable.
Este método consta de los siguientes pasos:
Paso 4: Se verifican las respuestas.
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Reemplazando en (1)
Método de Sustitución
Ejemplo:
7𝑥 − 2𝑦 = 204𝑥 + 𝑦 = 5
Determine la solución del siguiente sistema:
Solución:
7𝑥 − 2𝑦 = 20 … (1)
4𝑥 + 𝑦 = 5 … (2)
𝑦 = 5 − 4𝑥 … (3) 5 − 4𝑥
7𝑥 − 2𝑦 = 20
7𝑥 − 2𝑦 = 20 7𝑥 − 2(5 − 4𝑥) = 20 7𝑥 − 10 7𝑥 − 10 + 8𝑥 7𝑥 − 10 + 8𝑥 = 20
15𝑥 = 30 𝑥 = 2 2
Reemplazando en (3) 𝑦 = 5 − 4𝑥 𝑦 = 5 − 4(2) 𝑦 = −3
𝑥 = 2; 𝑦 = −3 La solución del sistema es:
𝑦 = 5 − 4𝑥
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Método de Reducción o Eliminación
Paso 1:
Paso 2: Se suman las ecuaciones obtenidas.
Multiplicamos ambas ecuaciones por dos números distintos con la intención de reducir o eliminar una de las variables al sumar las ecuaciones resultantes.
Paso 3: Se resuelve la ecuación obtenida en el paso 2 y con esto encontramos el valor de la variable que permaneció. Luego se reemplaza este valor en cualquiera de las ecuaciones y con esto se obtiene el valor de la otra variable.
Este método consta de los siguientes pasos:
Paso 4: Se verifican las respuestas.
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Método de Reducción o Eliminación
Ejemplo:
7𝑥 − 2𝑦 = 204𝑥 + 𝑦 = 5
Determine la solución del siguiente sistema:
Solución: ×
×
4(7𝑥 − 2𝑦) = 4(20)
−7 4𝑥 + 𝑦 = −7(5)
28𝑥 − 8𝑦 = 80 4
−28𝑥 − 7𝑦 = −35 7 −7 4
7
7𝑥 − 2𝑦 = 20 … (1)
4𝑥 + 𝑦 = 5 … (2) +
−15𝑦 = 45
𝑦 = −3 −3 Reemplazando en (2)
4𝑥 + 𝑦 = 5 4𝑥 + (−3) = 5
𝑥 = 2
𝑥 = 2; 𝑦 = −3 La solución del sistema es:
4𝑥 + 𝑦 = 5
4𝑥 = 8
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4𝑥 + 𝑦 = 5 1
2
7𝑥 − 2𝑦 = 20 … (1)
4𝑥 + 𝑦 = 5 … (2)
Método de Reducción o Eliminación
Ejemplo:
7𝑥 − 2𝑦 = 204𝑥 + 𝑦 = 5
Determine la solución del siguiente sistema:
Solución: ×
×
7𝑥 − 2𝑦 = 20
2 4𝑥 + 𝑦 = 2(5)
7𝑥 − 2𝑦 = 20 1
8𝑥 + 2𝑦 = 10 2 +
15𝑥 = 30
𝑥 = 2 2 Reemplazando en (2)
4𝑥 + 𝑦 = 5 4(2) + 𝑦 = 5
𝑦 = −3
𝑥 = 2; 𝑦 = −3 La solución del sistema es:
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Ejemplos
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Ejemplo 1:
2𝑥 − 5
3+4(𝑦 + 2)
5= 𝑥
3𝑥 − 5
4−𝑦 + 3
6= 3
Determine la solución del siguiente sistema:
Solución:
2𝑥 − 5
3+4(𝑦 + 2)
5= 𝑥
Trabajamos con la primera ecuación:
𝑀𝐶𝑀 3; 5 = 15 152𝑥 − 5
3+4(𝑦 + 2)
5= 15 𝑥
152𝑥 − 5
3+ 15
4(𝑦 + 2)
5= 15𝑥 10𝑥 − 25 + 12𝑦 + 24 = 15𝑥
5 3
10𝑥 − 15𝑥 + 12𝑦 = 25 − 24 −5𝑥 + 12𝑦 = 1
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3𝑥 − 5
4−𝑦 + 3
6= 3
Trabajamos con la segunda ecuación:
𝑀𝐶𝑀 4; 6 = 12 123𝑥 − 5
4−𝑦 + 3
6= 12 (3)
123𝑥 − 5
4− 12
𝑦 + 3
6= 36
9𝑥 − 15 − 2𝑦 − 6 = 36
3 2
9𝑥 − 2𝑦 = 36 + 6 + 15
9𝑥 − 2𝑦 = 57
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−5𝑥 + 12𝑦 = 1… (1)
9𝑥 − 2𝑦 = 57… (2)
×
×
9 −5𝑥 + 12𝑦 = 9(1)
5 9𝑥 − 2𝑦 = 5(57)
−45𝑥 + 108𝑦 = 9 9
45𝑥 − 10𝑦 = 285 5
5
98𝑦 = 294
𝑦 = 3 3 Reemplazando en (2)
9𝑥 − 2𝑦 = 57 9𝑥 − 2(3) = 57
𝑥 = 7
𝑥 = 7; 𝑦 = 3 La solución del sistema es:
9𝑥 − 2𝑦 = 57
9𝑥 = 63
+
Colocando las ecuaciones en su forma más reducida, obtenemos:
9
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Ejemplo 2:
𝑥
2+𝑦
3=
1
6
𝑥
4−𝑦
5= 0
Determine la solución del siguiente sistema:
Solución:
𝑥
2+𝑦
3=
1
6
Trabajamos con la primera ecuación:
𝑀𝐶𝑀 2; 3 = 6
6𝑥
2+𝑦
3= 6
1
6
6𝑥
2+ 6
𝑦
3= 1
3𝑥 + 2𝑦 = 1
3 2
![Page 18: Sistema ecuaciones](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052601/5590d9ff1a28ab21768b4698/html5/thumbnails/18.jpg)
Trabajaremos con el método de Sustitución:
3𝑥 + 2𝑦 = 1 … (1)
𝑥
4−𝑦
5= 0 … (2)
𝑥
4=
𝑦
5 𝑥 =
4𝑦
5 … (3)
4𝑦
5
Reemplazando en (1) 3𝑥 + 2𝑦 = 1 3
4𝑦
5+ 2𝑦 = 1
12𝑦
5+ 2𝑦 = 1
12𝑦 + 10𝑦 = 5 𝑦 =5
22
Reemplazando en (3) 𝑥 =
4𝑦
5 𝑥 =
4
22
La solución del sistema es: 𝑥 =4
22; 𝑦 =
5
22
𝑀𝐶𝑀 = 5 512𝑦
5+ 2𝑦 = 5(1)
5
22
𝑥 =4𝑦
5
𝑥 =4
5
5
22
![Page 19: Sistema ecuaciones](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052601/5590d9ff1a28ab21768b4698/html5/thumbnails/19.jpg)
Observación Cuando en una ecuación cualquiera se eliminan las variables, y nos queda una igualdad de números, entonces debemos seguir la siguiente regla:
Si la igualdad es verdadera, entonces el conjunto solución de la ecuación es el conjunto de todos los números reales, es decir 𝐶. 𝑆. = ℝ
Si la igualdad es falsa, entonces no tiene solución o, lo que es lo mismo, el conjunto solución de la ecuación es el conjunto vacío, es decir 𝐶. 𝑆. = ∅
Resuelva: 2𝑥 + 3 = 2𝑥 + 6 − 3 Ejemplo:
2𝑥 + 3 = 2𝑥 + 6 − 3 2𝑥 − 2𝑥 = 6 − 3 − 3 0 = 0
𝐶. 𝑆. = ℝ
Resuelva: 2𝑥 − 3 = 2𝑥 + 6 Ejemplo:
2𝑥 − 3 = 2𝑥 + 6 2𝑥 − 2𝑥 = 6 + 3 0 = 9
𝐶. 𝑆. = ∅