7Mat emát i cas

3º de ESO

9 Si st emas de ecuaci onesRecuer da: r egl a de l a suma

Si se suma o se resta el mismo número o letra a una igualdad, se obtiene otra igualdad.

A B=

⇒

A + k B + k=

7Mat emát i cas

3º de ESO

9 Si st emas de ecuaci onesRecuer da: r egl a del pr oduct o

Si en una igualdad se multiplica o divide por un número distinto de cero, se obtiene otra igualdad.

A = B

=

=

kB

kA

kBkA⇔

7Mat emát i cas

3º de ESO

9 Si st emas de ecuaci onesRecuer da: suma o r est a de i gual dades

Si dos igualdades se suman o se se restan, se obtiene otra igualdad

A = B

A' = B'+

A + A' = B + B'

A = B

A' = B'–

A – A' = B – B'

7Mat emát i cas

3º de ESO

9 Si st emas de ecuaci ones

término independiente

incógnitas

Ecuaci ón de pr i mer gr ado con dos i ncógni t as

Una ecuación de primer grado con dos incógnitas x, y se puede escribir así: ax + by = c

coeficientes

a x + b y = c

7Mat emát i cas

3º de ESO

9 Si st emas de ecuaci onesSi st emas de ecuaci ones

Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas son dos ecuaciones en las que las incógnitas representan los mismos valores.

=+=+

'cy'bx'a

cybxa

• Una solución de un sistema es un par de números que verifican las dos ecuaciones simultáneamenete.

• Resolver un sistema es hallar las soluciones del sistema.

7Mat emát i cas

3º de ESO

9 Si st emas de ecuaci onesSi st emas equi val ent es

Sistemas equivalentes: son aquellos que tienen las mismas soluciones

−==+2y2x

7y3x2

Solución: x = 2, y = 1

−=−−=+−

2y4x

1y3x2

Solución: x = 2, y = 1

⇔

Para resolver un sistema hay que obtener otro equivalente más sencillo

7Mat emát i cas

3º de ESO

9 Si st emas de ecuaci onesSi st emas equi val ent es: por suma o di f er enci a

Si a los dos miembros de una ecuación de un sistema se le suma o resta un mismo número o una misma expresión algabraica, resulta otro sistema equivalente al dado.

=+−=−

⇔

=++−=

8y2x

6y4x3

8y2x

y46x3

Sumamos 4y a los dosmiembros de la primeraecuación

7Mat emát i cas

3º de ESO

9 Si st emas de ecuaci onesSi st emas equi val ent es: por pr oduct o o coci ent e

Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación de un sistema por un mismo número distinto de cero, resulta otro sistema equivalente al dado.

=+−=−

⇔

=+−=−

⇔

=++−=

16y4x2

6y4x3

8y2x

6y4x3

8y2x

y46x3

La segunda ecuación de lossistemas se obtiene multiplicandolos dos miembros de la segundaecuación por 2.

7Mat emát i cas

3º de ESO

9 Si st emas de ecuaci onesSi st emas equi val ent es por suma o di f er enci a de ecuaci ones

Si a una ecuación de un sistema se le suma o resta otra ecuación del mismo, resulta otro sistema equivalente al dado

=−=−

⇔

=+−=−

10x5

6y4x3

16y4x2

6y4x3

Sumamos a la segunda ecuaciónla primera

⇔

=−=−

⇔

=−=−

⇔2x

6y4x3

10x5

6y4x3

==

2x

3y

7Mat emát i cas

3º de ESO

9 Si st emas de ecuaci onesCl asi f i caci ón de l os si st emas

Por el número de soluciones los sistemas pueden ser:

Sistemas

lesIncompatib

sCompatible : tienen solución

: no tienen solución

=−=+

1yx

5yx

=+=+

2yx

7yx

Las dos ecuaciones no pueden ser ciertas a la vez

7Mat emát i cas

3º de ESO

9 Si st emas de ecuaci onesResol uci ón de si st emas: sust i t uci ón

A B

¿Cuánto pesa cada caja y cada bote?, si se sabe que

2 cajas y 3 botes pesan 16 kg 1 caja pesa igual que 2 botes y 1 kg

Sustitución

Se sustituye en la balanza A lo que pesa cada caja, peso que sabemos por la balanza B

7Mat emát i cas

3º de ESO

9 Si st emas de ecuaci onesResol uci ón de si st emas: mét odo de sust i t uci ón

• Se despeja una de las incógnitas en una de las ecuaciones.• Se sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación.• Se resuelve la ecuación resultante.• Se calcula la otra incógnita, sustituyendo en la ecuación despejada el valor

obtenido.

Resolver

=+−−=+

4yx2

6yx3

1 Se despeja y en la 2ª ecuación

2 Se sustituye y en la 1ª ecuación

3 Se resuelve la 1ª ecuación

4 Se sustituye x en la 2ª ecuación

+=−=+

x24y

6yx3

+=−=++

x24y

6x24x3

+=−=

x24y

2x

=−=

0y

2x

7Mat emát i cas

3º de ESO

9 Si st emas de ecuaci onesResol uci ón de si st emas: mét odo de r educci ón

• Se igualan los coeficientes (salvo el signo) de una incógnita.• Se suman o restan las dos ecuaciones, según convenga, para eliminar esa

incógnita.• Se resuelve la euación resultante.• Se calcula la otra incógnita, sustituyendo el valor obtenido en cualquiera de

las ecuaciones, o bien aplicando el método de reducción de nuevo para la segunda incógnita.

Resolver

=−=+

3y5x4

7y4x3

1 Se multiplica la 1ª ecuación por 4, y la 2ª por 3

=+=+

9y15x12

28y16x12

2 Se restan las ecuaciones

3 Se resuelve la ecuación resultante

4 Se calcula la incógnita x, sustituyendo y en la 1ª ecuación:

−=−−=+

9y15x12

28y16x12

y = 19

3x + 4(19) = 7 ⇒ x = –23