Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta
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I. Sistemas de coordenadas
II.Gráfica de una ecuación y lugares geométricos
III.La línea recta
IV.Ecuación de la circunferencia
V.Transformación de coordenadas
VI.La parábola
VII.La elipse
VIII.La hipérbola
Geometría Analítica Plana
Geometría Analítica PlanaIII. La línea recta
Introducción Definición de la línea recta Ecuación de una recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada Otras formas de la ecuación de la recta Forma general de la ecuación de una recta Discusión de la forma general Posiciones relativas de dos rectas Forma normal de la ecuación de la recta Reducción de la forma general de la ecuación de una recta a la forma
normal Aplicaciones de la forma normal Área de un triángulo Ecuación de la recta que pasa por dos puntos, en forma de determinante Familias de líneas rectas Resumen de los resultados del capítulo
Geometría Analítica PlanaIII. La línea recta
Geometría Analítica PlanaLa línea recta
Introducción
Introducción
Hemos llegado a un punto en que debemos dar
un giro a nuestro estudio de la Geometría Analítica.
Hasta aquí hemos deducido algunas relaciones
fundamentales y considerado metodos generales
para la construcción de curvas y la obtención de la
ecuación de un lugar geométrico.
Introducción
Pero todavía no hemos hecho ningún intento
sistemático de identificar las ecuaciones y sus
lugares geométricos de una manera específica.
Más aun, hasta este momento, no hemos
establecido ninguna de las propiedades
particulares que puede poseer una curva.
Introducción
Ahora haremos un estudio detallado de la
línea recta y de algunas de las curvas que son
de máxima importancia en la Geometría
Analítica y sus aplicaciones. Naturalmente
comenzaremos con el estudio de la línea recta
debido a que su ecuación es la más sencilla.
Geometría Analítica PlanaLa línea recta
Definición de la línea recta
Definición de la línea recta
Nuestro primer objetivo en este capítulo es la
obtención de la ecuación de la línea recta.
Ya dijimos en el artículo 23, que la ecuación
de un lugar geometrico se obtiene a partir de
un número suficiente de las propiedades
únicas que lo definen
Definición de la línea rectaExisten varias definiciones elementales de la
línea recta, siendo la más común la que se
expresa diciendo que una recta es la distancia
más corta entre dos puntos.
Pero esta definición se apoya en el significado
del término distancia . Si tratamos ahora de
definir la distancia entre dos puntos, veremos
que cualquier explicación nos devuelve al
punto de partida.
Definición de la línea recta
Por esta razón, los tratados superiores de
Geometría, construídos sobre bases
axiomáticas , admiten la existencia de la
línea recta como un postulado.
Nosotros admitiremos la siguiente
definición de línea recta basada en el
concepto de pendiente dado en el
artículo 8.
1 1 1 2 2 2
1 2
Es el lugar geométrico de los puntos tales que
tomados dos puntos diferentes cualesquiera
( , ) y ( , )
del lugar gométrico, el valor de la pendiente
calculado por medio de la fórmula:
P x y P x y
m
y ym
x
1 2
1 2
con
resulta siempre constante.
x xx
Definición de la línea recta
Geometría Analítica PlanaLa línea recta
Ecuación de una recta que pasa por
un punto y tiene una pendiente dada
Geométricamente, una recta queda perfectamente
determinada por uno de sus puntos y su dirección.
Analiticamente, la ecuación de una recta puede
estar perfectamente determinada si se conocen
las coordenadas de uno de sus puntos y su ángulo
de inclinación (y, por tanto, su pendiente).
Ecuación de una línea recta que pasapor un punto y tiene una pendiente dada
1 1
1 1
1
Una recta que pasa por el punto
,
y tiene una pendiente tiene
por ecuación
P x
y y m
y
x
m
x
Ecuación de una línea recta que pasapor un punto y tiene una pendiente dada
1 1
1 1
1
Una recta que pasa por el punto
,
y tiene una pendiente tiene
por ecuación
P x
y y m
y
x
m
x
Ecuación de una línea recta que pasapor un punto y tiene una pendiente dada
1 1 1
1 1
Una recta que pasa por el punto , y tiene una
pendiente tiene por ecuación
P x y
m y y m x x
Ecuación de una línea recta que pasapor un punto y tiene una pendiente dada
1 1 1
Demostración: De acuerdo con el método dado en el artículo 23,
sea , un punto cualquiera de la recta, diferente del punto
dado ( , ). Por la definición de recta que acabamos de dar,
las coordenada
P x y
P x y
1
1
1 1
s del punto
, satisfacen la ecuación
tan
de la cual, quitando los
denominadores obtenemos
inmediatamente la ecuación
P x y
y ym
x x
y y m x x
Ecuación de una línea recta que pasapor un punto y tiene una pendiente dada
2 2 2 1 1
2 1
2 1
1 1 1
Reciprocamente, si las coordenadas de cualquier otro
punto ( , ) satisfacen tenemos
que es la expresión analítica
de la definición de la recta,
aplicada a los dos puntos
( , )
P x y y y m x x
y ym
x x
P x y
2 2 2
2 2 2
y ( , ). Por
tanto, ( , ) está sobre
la recta.
Esto completa la demostración.
P x y
P x y
1 1 1
1 1
Una recta que pasa por el punto , y tiene una
pendiente tiene por ecuación
P x y
m y y m x x
Ecuación de una línea recta que pasapor un punto y tiene una pendiente dada
1 1 1
La ecuación de una línea recta está
totalmente determinada si se conoce
su inclinación ó la pendiente y un
punto de esta línea , .
m
P x y
Ecuación de una línea recta que pasapor un punto y tiene una pendiente dada
1 1
NOTAS.
I . Como la ecuación está
dada en función de un punto y la pendiente,
se llama, a veces, de la forma de punto y
pendiente.
y y m x x
Ecuación de una línea recta que pasapor un punto y tiene una pendiente dada
1 1
2. Una recta que coincide o es paralela a1 eje
no tiene pendiente (Art. 8 ) .
Por tanto, la ecuacion no
puede representar a una recta de tal naturaleza,
ni nuestra definicion de recta puede a
Y
y y m x x
plicarse
a ella. Para este caso. se ha demostrado en el
artículo 18 que la ecuaci6n de la recta es de la
forma , en donde es cualquier numero real.x k k
Ecuación de una línea recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada. Ejemplo
1
Encontrar la ecuación de una línea recta pasa
por el punto 3, 2 y tiene un ángulo de
inclinación de 60 grados.
P
60
Ecuación de una línea recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada. Ejemplo
1
Encontrar la ecuación de
una línea recta pasa por
el punto 3, 2 y
tiene un ángulo de
inclinación de 60 grados.
P
3, 2
Ecuación de una línea recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada. Ejemplo
1
Encontrar la ecuación de una línea recta pasa por el punto
3, 2 y tiene un ángulo de inclinación de 60 grados.P
Solución: La pendiente de la línea recta es
tan 60 3
Por tanto, usando el teorema
m
1 1 1
1 1
Una recta que pasa por el punto , y tiene una
pendiente tiene por ecuación
P x y
m y y m x x
Ecuación de una línea recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada. Ejemplo
1
Encontrar la ecuación de una línea recta pasa por el punto
3, 2 y tiene un ángulo de inclinación de 60 grados.P
tenemos
2 3 3
ó sea
2 3 3 3
que finalmente escribimos com
3 3 3 2 0
o
y x
x
y x
y
Ecuación de una línea recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada
PUNTO Y PENDIENTE
23 21x x 23 21x x
1 1
1 1
1
Una recta que pasa por el punto
,
y tiene una pendiente tiene
por ecuación
P x
y y m
y
x
m
x
Ecuación de una línea recta que pasapor un punto y tiene una pendiente dada
Geometría Analítica PlanaLa línea recta
Otras formas de la ecuación de la
línea recta
PUNTO Y PENDIENTEOtras formas de la ecuación de la línea recta
Una recta es o no paralela a1 eje .Y
Si es paralela a1 eje
su ecuación es de la
forma
donde es la distancia
al eje .
Y
x k
k
Y
2
PUNTO Y PENDIENTEOtras formas de la ecuación de la línea recta
Una recta es o no paralela a1 eje .Y
Si la línea recta no es paralela al eje ,
su pendiente está definida y su
ecuación está dada por el teorema:
Y
1 1 1
1 1
Una recta que pasa por el punto , y tiene una
pendiente tiene por ecuación
P x y
m y y m x x
PUNTO Y PENDIENTEOtras formas de la ecuación de la línea recta
Como todas las rectas caen bajo una de estas
dos clasificaciones, cualquiera otra forma de
la ecuación de una línea recta debe reducirse,
necesariamente , a una de estas dos formas.
Para algunos tipos de problemas, sin embargo,
son más convenientes otras formas; a
continuación consideramos algunas de ellas.
ECUACION DE LA RECTA DADA SU PENDIENTE Y SU ORDENADA AL ORIGEN
La recta cuya pendiente es
y cuya ordenada al origen
es , tiene por ecuación
y
m
b
mx b
PENDIENTE Y ORDENADA AL ORIGENECUACION DE LA RECTA DADA SU
PENDIENTE Y SU ORDENADA AL ORIGEN
y mx b
Desarrollando la ecuación y definiendo el parámetro b
denominada ordenada al origen, se tiene:
1 1 1
1 1
En este caso la recta tiene pendiente y pasa por el
punto 0, , ya que corta al eje (que es
Sabemos que una recta que pasa por el punto ,
y tiene una pendiente tiene por ecuac
0
ión
P x y
m
y y m x
m
b Y
x
x
) a
una distancia del origen.
Por tanto, la ecuación es
0 ó
que se reduce a la que estamos buscando.
b
y b m x y mx b
La recta cuya pendiente es y cuya ordenada en el origen
es , tiene por ecuación
m
b y mx b
Desarrollando la ecuación y definiendo el parámetro b
denominada ordenada al origen, se tiene:
NOTA.
Una recta paralela a1 eje no tiene ordenada
en el origen.
En este caso no puede usarse la forma de la
ecuación que acabamos de obtener. Como ya
dijimos la ecuación de una recta tal es
Y
x k
La recta cuya pendiente es y cuya ordenada en el origen
es , tiene por ecuación
m
b y mx b
Geométricamente, una recta queda
perfectamente determinada por dos
cualesquiera de sus puntos.
Analiticamente , la ecuación de una
recta también queda perfectamente
determinada conociendo las
coordenadas de dos cualesquiera de
sus puntos .
ECUACION DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS
1 1 1 2 2 2
1 21
1 2
11 2
La recta que pasa por dos puntos dados
( , ) y ( , ) tiene por ecuación :
siempre que
y yy y x x
x
P x y P x y
x x
x
ECUACION DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS
CARTESIANA
1 1 1 2 2 2
1 21 1 1 2
1 2
La recta que pasa por dos puntos dados ( , ) y ( , ) tiene
por ecuación : siempre que
P x y P x y
y yy y x x x x
x x
CARTESIANA
1 1 1 2 2 2
1 21 1 1 2
1 2
La recta que pasa por dos puntos dados ( , ) y ( , ) tiene
por ecuación : siempre que
P x y P x y
y yy y x x x x
x x
1 2
1 2
Como se conocen
dos puntos, la
pendiente de la
recta es
y ym
x x
CARTESIANA
1 1 1 2 2 2
1 21 1 1 2
1 2
La recta que pasa por dos puntos dados ( , ) y ( , ) tiene
por ecuación : siempre que
P x y P x y
y yy y x x x x
x x
1 1 1Por tanto, con esta pendiente y el punto ( , ) el problema
se reduce a hallar la ecuación de una recta que pasa por un
punto y tiene una pendiente dada.
En consecuencia, sustituyendo este valor de la
P x y
1 21 1
1
1
2
1
pendiente en la
ecuación , obtenemos la forma
tal como
se queria demostrar .
y y m
y yy y x x
x
x x
x
CARTESIANA
1 1 1 2 2 2
1 21 1 1 2
1 2
La recta que pasa por dos puntos dados ( , ) y ( , ) tiene
por ecuación : siempre que
P x y P x y
y yy y x x x x
x x
1 21 2 1 1
1 2
1
NOTA 1.
Si , la ecuación
no puede usarse.
En este caso, la recta es paralela a1 eje ,
y su ecuación es
y yx x y y x x
x x
Y
x x
CARTESIANA
1 1 1 2 2 2
1 21 1 1 2
1 2
La recta que pasa por dos puntos dados ( , ) y ( , ) tiene
por ecuación : siempre que
P x y P x y
y yy y x x x x
x x
1 21 1
1 2
1 2
1 2 2 1 2 2 1 1
1 1
2 2
NOTA 2.
Si en la ecuación multiplicamos
por obtenemos despues de desarrollar
0
que puede escribirse como el determinante
1
1 0
1
y yy y x x
x x
x x
x y x y y x x y y x x y
x y
x y
x y
La recta cuyas intersecciones con los
ejes y
son 0 y 0 respectivamente,
tiene por ecuación :
1x y
a b
X Y
a b
ECUACION SIMETRICA DE LA RECTA
La recta cuyas intersecciones con los ejes y son 0
y 0 respectivamente, tiene por ecuación: 1
X Y a
x yb
a b
1 1 1 2 2 2
1 21
1 2
11 2
La recta que pasa por dos puntos dados
( , ) y ( , ) tiene por ecuación :
siempre que
y yy y x x
x
P x y P x y
x x
x
ECUACION DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS
La recta cuyas intersecciones con los ejes y son 0
y 0 respectivamente, tiene por ecuación: 1
X Y a
x yb
a b
La recta que tenemos pasa por dos puntos,
los puntos ,0 y 0, ; por lo tanto,
usando el teorema anterior tenemos que
la ecuación de la recta es
00
0
a b
by x a
a
La recta cuyas intersecciones con los ejes y son 0
y 0 respectivamente, tiene por ecuación: 1
X Y a
x yb
a b
Haciendo el álgebra, tenemos
0
1
00
b b by x a x a
a a ab
y x b
by x
abx
aa
y b
y
a
ax
b
Dividiendo esta última expresión por el producto ab
La forma
1
es conocida también como
la forma reducida
o abscisa y ordenada al origen
x y
a b
ECUACION SIMETRICA DE LA RECTA
ECUACION SIMETRICA DE LA RECTA
NOTAS.
1. Si 0, entonces también 0,
y la forma simétrica no puede usarse.
En este caso, solamente se conoce un
punto, el origen, y no es suficiente
para determinar una recta.
a b
ECUACION SIMETRICA DE LA RECTA
2. Como una recta queda perfectamente
determinada por dos cualesquiera de
sus puntos, la manera más conveniente
de trazar una recta a partir de su ecuacion
es deterrninar las dos intersecciones con
los ejes. Si la recta pasa por el origen,
basta determinar otro punto cuyas
coordenadas satisfagan la ecuación.
Geometría Analítica PlanaLa línea recta
La forma general de la ecuación de
una recta
La forma general de la ecuación de una recta
En los artículos precedentes hemos visto que la
ecuación de una recta cualquiera , en el plano
coordenado, es de la forma lineal
0
en donde ya sea o debe ser diferente de
cero y puede o no se
Ax By C
A B
C
La ecuación 0 se llama la forma
general de la
r
ecuación de una rect
igual a cero.
a.
Ax By C
La forma general de la ecuación de una recta
Ahora consideraremos el problema inverso,
a saber, la ecuac
¿representa siempre una línea rect
ión linea
?
l 0,
a
Ax By C
La forma general de la ecuación de una recta
Para contestar a esta pregunta examinaremos las
dos formas posibles de la ecuación 0
con respecto a1 coeficiente de , es decir , las
formas para 0 y 0.
Ax By C
y
B B
Ahora consideraremos el problema inverso, a saber,
la ecuación lineal 0, ¿representa
siempre una línea recta?
Ax By C
La forma general de la ecuación de una recta
CASO I. 0.
Si 0 , entonces 0, y la ecuación
0
se reduce a la forma
es decir, de la forma , que anteriormente se demostró
que es la ecuación de una recta paralela a1 eje .
B
B A
Ax By C
Cx
Ax k
Y
La forma general de la ecuación de una recta
CASO II. 0.
Si 0, podemos dividir la ecuación
0
por , y por transposición se reduce a la forma
es decir, en la forma y se trata entonces
de la ecuación de una recta cuya pendie
B
B
Ax By C
B
A Cy x
B By mx b
nte es
y cuya ordenada al origen es .A C
m bB B
La forma general de la ecuación de una recta
Una ecuación lineal en las variables
e representa una línea recta y,
reciprocamente, toda línea recta
está representada por una ecuación
lineal en las variables e .
x y
x y
La forma general de la ecuación de una recta
0Ax By C
La forma general de la ecuación de una recta
0Ax By C
A Cy x
B B
Geometría Analítica PlanaLa línea recta
Discusión de la forma general de la
ecuación de una recta
Discusión de la forma general de la ecuación de una recta
Discusión de la forma general de la ecuación de una recta
0 (1)Ax By C
Discusión de la forma general de la ecuación de una recta
Discusión de la forma general de la ecuación de una recta
0 (1)Ax By C
Discusión de la forma general de la ecuación de una recta
0 (1)Ax By C
Discusión de la forma general de la ecuación de una recta
0 (1)Ax By C
Discusión de la forma general de la ecuación de una recta
0 (1)Ax By C
Discusión de la forma general de la ecuación de una recta
0 (1)Ax By C
Discusión de la forma general de la ecuación de una recta
Discusión de la forma general de la ecuación de una recta
Discusión de la forma general de la ecuación de una recta
Geometría Analítica PlanaLa línea recta
Posiciones relativas de dos
rectas
Posiciones relativas de dos rectas
Posiciones relativas de dos rectas
0 (1)
' ' ' 0 (2)
Ax By C
A x B y C
Posiciones relativas de dos rectas
0 (1)
' ' ' 0 (2)
a) ¿Cuáles son las condiciones para
que dos rectas sean paralelas?
Ax By C
A x B y C
Posiciones relativas de dos rectas0 (1)
' ' ' 0 (2)
Ax By C
A x B y C
Posiciones relativas de dos rectas0 (1)
' ' ' 0 (2)
Ax By C
A x B y C
Posiciones relativas de dos rectas0 (1)
' ' ' 0 (2)
b) ¿Cuáles son las condiciones para que dos rectas sean perpendiculares?
Ax By C
A x B y C
Posiciones relativas de dos rectas0 (1)
' ' ' 0 (2)
b) ¿Cuáles son las condiciones para que dos rectas coincidan?
Ax By C
A x B y C
Posiciones relativas de dos rectas0 (1)
' ' ' 0 (2)
b) ¿Cuáles son las condiciones para que dos rectas coincidan?
Ax By C
A x B y C
Posiciones relativas de dos rectas0 (1)
' ' ' 0 (2)
b) ¿Cuáles son las condiciones para que dos rectas coincidan?
Ax By C
A x B y C
Posiciones relativas de dos rectas0 (1)
' ' ' 0 (2)
b) ¿Cuáles son las condiciones para que
dos rectas se corten en un solo punto?
Ax By C
A x B y C
Posiciones relativas de dos rectas
Posiciones relativas de dos rectasEjemplo
Posiciones relativas de dos rectasEjemplo
Posiciones relativas de dos rectasEjemplo
Encontrar la ecuación de una línea recta
que tiene como abscisa al origen 2 y
una inclinacion de 150 grados.
En un laboratorio de análisis clínico
se mide que a las 9 de la mañana hay
5,600 bacterias en un cultivo. Si a la
hora de cerrar el laboratorio a las 5
de la tarde había 17,800 bacterias,
¿Cuáles la taza
sup
o r
oni
azón d
endo q
e crecimient
ue dicho
crec
o
de las
imiento
bacterias,
es lineal?
El movimiento rectilinio uniforme
Geometría Analítica PlanaLa línea recta
Forma normal de la ecuación
de la recta
1 1
Tenemos entonces que la recta
pasa por el punto de coordenadas
cos sin (2)
y tiene pendiente
coscot (3)
sin
l
x p y p
m
1 1
1 1
1
Una recta que pasa por el punto
,
y tiene una pendiente tiene
por ecuación
P x
y y m
y
x
m
x
Ecuación de una línea recta que pasapor un punto y tiene una pendiente dada
1 1
1 1
Como
cos sin (2)
coscot (3)
sin
la ecuación de la recta es
cossin cos
sin
y y m x x
x p y p
m
l
y p x p
cossin cos
siny p x p
Forma normal de la ecuación de la recta
Forma normal de la ecuación de la recta
Forma normal de la ecuación de la recta. Ejemplo 1
Encontrar la ecuación de una línea recta en
la formal normal, siendo =60 y 6.p
Forma normal de la ecuación de la recta. Ejemplo 1
Encontrar la ecuación de una línea recta en
la formal normal, siendo =60 y 6.p
La forma normal de la línea recta es
cos sin 0
Así, que en este caso tenemos,
cos60 sin 60 6 0
x y p
x y
2
1
3
60
3sin 60
2
1cos60
2
tan 60 3
Las funciones trigonométricas de 60 grados
Forma normal de la ecuación de la recta. Ejemplo 1
Encontrar la ecuación de una línea recta en
la formal normal, siendo =60 y 6.p
Encontramos que la forma normal de la recta es
cos60 sin 60 6 0
1 3Pero cos60 y sin 60
2 2así que finalmente
1 36 0
2 2
x
x y
y
Forma normal de la ecuación de la recta. Ejemplo 1
1 36 0
2 2x y
606
Forma normal de la ecuación de la recta
Geometría Analítica PlanaLa línea recta
Reducción de la forma general de
una recta a la forma normal
Reducción de la forma general de una recta a la forma normal
Posiciones relativas de dos rectas
0 (1)
cos sin 0 (2)
cos (3)
sin (4)
Ax By C
x y p
kA
kB
p kC
2 2
2 2
(5)
1, 0 (6)k A B
A B
0 (1)
cos sin 0 (2)
cos (3)
sin (4)
Ax By C
x y p
kA
kB
p kC
2 2
2 2
(5)
1, 0 (6)k A B
A B
0 (1)Ax By C
Reducción de la forma general de una recta a la forma normal
Reducción de la forma general de una recta a la forma normal
2 2
2 2
1, 0 (6)k A B
A B
Reducción de la forma general de una recta a la forma normal
2 2
2 2
(5)
1, 0 (6)
p kC
k A BA B
Reducción de la forma general de una recta a la forma normal
2 2
2 2
0 (1)
cos sin 0 (2)
(5)
1, 0 (6)
Ax By C
x y p
p kC
k A BA B
Reducción de la forma general de una recta a la forma normal
2 2
2 2
sin (4)
(5)
1, 0 (6)
kB
p kC
k A BA B
Reducción de la forma general de una recta a la forma normal
0 (1)
cos sin 0 (2)
cos (3)
sin (4)
Ax By C
x y p
kA
kB
Reducción de la forma general de una recta a la forma normal
Reducción de la forma general de una recta a la forma normal
Geometría Analítica PlanaLa línea recta
Aplicaciones de la forma
normal
Aplicaciones de la forma normala) Cálculo de la distancia de una un recta a un punto dado
a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado
1 1 1
1 1 1
Sea la recta dada y , el punto.
Designaremos como la distancia del
punto ( , ) a la recta .
l P x y
d
P x y l
l 1 1 1( , )P x y
d
a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado
l 1 1 1( , )P x y
d
a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado
a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado
1 1 1
1 1
2 2
Teorema 10. La distancia dirigida de la recta dada
0
al punto dado ( , ) se obtiene por la fórmula
en donde el signo del radical se elige de acuerdo
con el teorema 8 del art
d
Ax By C
P x y
Ax By Cd
A B
ículo 32.
1 1 1
1 1
2 2
Teorema 10. La distancia dirigida de la recta dada
0
al punto dado ( , ) se obtiene por la fórmula
en donde el signo del radical se elige de acuerdo con el teorema 8 del ar
d
Ax By C
P x y
Ax By Cd
A B
tículo 32.
1 1 1
1 1 1
Si la recta dada no pasa por el origen:
es positiva si el punto ( , ) y el
origen están en lados opuestos de la recta.
es negativa si el punto ( , ) y el
origen están del mismo lado
d P x y
d P x y
1 1 1
1 1 1
de la recta.
Si la recta dada pasa por el origen:
es positiva si el punto ( , ) está arriba de la recta
es negativa si el punto ( , ) está abajo de la recta
d P x y
d P x y
a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
( , )
( , )
( , )
( , )
( , )
( , )
O l P x y
O P x y l
l O P x y
l P x y O
P x y O l
P x y l O
a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado
a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado
a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado
a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado. Análisis del caso (a)
a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado. Análisis del caso (a)
' (3)
(4)
OA p OB p
AB OA OB
����������������������������
������������������������������������������
' 0 ya que 'AB p p p p ��������������
Forma normal de la ecuación de la recta
La ecuación de la recta ' es entonces
cos sin ' 0
l
x y p
La ecuación de la recta ' es entonces
cos sin ' 0
l
x y p
1 1 1
1 1
1 1
1 1
Como ( , ) está sobre la línea recta ',
tenemos
' cos sin
pero ya sabíamos que
'
así que
cos sin
y finalmente
cos sin
P x y l
p x y
AB p p
AB x y p
d AB x y p
��������������
��������������
��������������
a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado. Análisis del caso (b)
a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado. Análisis del caso (b)
' (3)
(4)
OA p OB p
AB OA OB
����������������������������
������������������������������������������
' 0 ya que 'AB p p p p ��������������
Forma normal de la ecuación de la recta
La ecuación de la recta ' es entonces
cos sin ' 0
l
x y p
La ecuación de la recta ' es entonces
cos sin ' 0
l
x y p
1 1 1
1 1
1 1
1 1
Como ( , ) está sobre la línea recta ',
tenemos
' cos sin
pero ya sabíamos que
'
así que
cos sin
y finalmente
cos sin
P x y l
p x y
AB p p
AB x y p
d AB x y p
��������������
��������������
��������������
a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado. Análisis del caso (c)
a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado. Análisis del caso (c)
' (3)
(4)
OA p OB p
AB OA OB
����������������������������
������������������������������������������
' 0AB p p ��������������
Forma normal de la ecuación de la recta
La ecuación de la recta ' es entonces
cos sin ' 0
que con las relaciones trigonométricas
nos da
cos sin ' 0
l
x y p
x y p
La ecuación de la recta ' es entonces
cos sin ' 0
l
x y p
1 1 1
1 1
1 1
1 1
Como ( , ) está sobre la línea recta ',
tenemos
' cos sin
pero ya sabíamos que
'
así que
cos sin
y finalmente
cos sin
P x y l
p x y
AB p p
AB x y p
d AB x y p
��������������
��������������
��������������
a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado. Análisis del caso (d)
a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado. Análisis del caso (d)
' (3)
(4)
OA p OB p
AB OA OB
����������������������������
������������������������������������������
' 0, ya que 'AB p p p p ��������������
Forma normal de la ecuación de la recta
La ecuación de la recta ' es entonces
cos sin ' 0
l
x y p
La ecuación de la recta ' es entonces
cos sin ' 0
l
x y p
1 1 1
1 1
1 1
1 1
Como ( , ) está sobre la línea recta ',
tenemos
' cos sin
pero ya sabíamos que
'
así que
cos sin
y finalmente
cos sin
P x y l
p x y
AB p p
AB x y p
d AB x y p
��������������
��������������
��������������
a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado. Análisis del caso (e)
a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado. Análisis del caso (e)
' (3)
(4)
OA p OB p
AB OA OB
����������������������������
������������������������������������������
' 0AB p p ��������������
Forma normal de la ecuación de la recta
La ecuación de la recta ' es entonces
cos sin ' 0
que con las relaciones trigonométricas
nos da
cos sin ' 0
l
x y p
x y p
La ecuación de la recta ' es entonces
cos sin ' 0
l
x y p
1 1 1
1 1
1 1
1 1
Como ( , ) está sobre la línea recta ',
tenemos
' cos sin
pero ya sabíamos que
'
así que
cos sin
y finalmente
cos sin
P x y l
p x y
AB p p
AB x y p
d AB x y p
��������������
��������������
��������������
a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado. Análisis del caso (f)
a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado. Análisis del caso (f)
' (3)
(4)
OA p OB p
AB OA OB
����������������������������
������������������������������������������
' 0 ya que 'AB p p p p ��������������
Forma normal de la ecuación de la recta
La ecuación de la recta ' es entonces
cos sin ' 0
l
x y p
La ecuación de la recta ' es entonces
cos sin ' 0
l
x y p
1 1 1
1 1
1 1
1 1
Como ( , ) está sobre la línea recta ',
tenemos
' cos sin
pero ya sabíamos que
'
así que
cos sin
y finalmente
cos sin
P x y l
p x y
AB p p
AB x y p
d AB x y p
��������������
��������������
��������������
' (3)
(4)
OA p OB p
AB OA OB
����������������������������
������������������������������������������
a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado
1 1 1
1 1
En resumen, vemos que en todos los
casos posibles la distancia del punto
( , ) a la recta esta dada por
cos sin
P x y l
d AB x y p ��������������
l 1 1 1( , )P x y
d
1 1
Comparando la ecuación normal de la línea recta
cos sin 0 (1)
con la fórmula
cos sin (11)
vemos que la distancia buscada puede obtenerse
simplemente sustituye
l
x y p
d x y p
1ndo las coordenadas de
en el primer miembro de la forma normal de la
ecuación de .
P
l
1 1cos sin (11)d x y p
a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado
l 1 1 1( , )P x y
d
a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado
a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado
a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado
a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado
1 1 1
1 1
2 2
Teorema 10. La distancia dirigida de la recta dada
0
al punto dado ( , ) se obtiene por la fórmula
en donde el signo del radical se elige de acuerdo
con el teorema 8 del art
d
Ax By C
P x y
Ax By Cd
A B
ículo 32.
1 1 1
1 1
2 2
Teorema 10. La distancia dirigida de la recta dada
0
al punto dado ( , ) se obtiene por la fórmula
en donde el signo del radical se elige de acuerdo con el teorema 8 del ar
d
Ax By C
P x y
Ax By Cd
A B
tículo 32.
1 1 1
1 1 1
Si la recta dada no pasa por el origen:
es positiva si el punto ( , ) y el
origen están en lados opuestos de la recta.
es negativa si el punto ( , ) y el
origen están del mismo lado
d P x y
d P x y
1 1 1
1 1 1
de la recta.
Si la recta dada pasa por el origen:
es positiva si el punto ( , ) está arriba de la recta
es negativa si el punto ( , ) está abajo de la recta
d P x y
d P x y
Aplicaciones de la forma normalb) Determinación de las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos suplementarios formados por dos rectas que se cortan
Aplicaciones de la forma normalb) Determinación de las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos suplementarios formados por dos rectas que se cortan
b) Determinación de las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos suplementarios formados por dos rectas que se cortan
Geometría Analítica PlanaLa línea recta
Área de un triángulo
Área de un triángulo
Área de un triángulo
Área de un triángulo
Área de un triángulo
Área de un triángulo
Geometría Analítica PlanaLa línea recta
Ecuación de la recta que pasa por dos
puntos, en forma de determinante
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos, en forma de determinante
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos, en forma de determinante
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos, en forma de determinante
En la ecuación ( 1 ), puede ser cero,
pero y no pueden ser ambas cero.
C
A B
1 1
2 2
Sistema de ecuaciones lineal homogéneo
de tres ecuaciones con tres incógnitas:
0
0
0
Ax By C
Ax By C
Ax By C
Del estudio del Álgebra Lineal se sabe que para
que el sistema de ecuaciones tenga una solución
distinta de cero, es necesario y suficiente, que el
determinante del sistema se anule.
1 1
2 2
Sistema de ecuaciones lineal homogéneo
de tres ecuaciones con tres incógnitas:
0
0
0
Ax By C
Ax By C
Ax By C
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos, en forma de determinante
Viernes 23 de enero del 2009
¿Cuál es la distancia del punto 1,3
a la recta 4 5 0?
¿Dónde se intersectan las dos rectas
6 0
y
2 3 4 0?
x y
x y
x y
a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado
1 1 1
1 1
2 2
Teorema 10. La distancia dirigida de la recta dada
0
al punto dado ( , ) se obtiene por la fórmula
en donde el signo del radical se elige de acuerdo
con el teorema 8 del art
d
Ax By C
P x y
Ax By Cd
A B
ículo 32.
1 1 1
1 1
2 2
Teorema 10. La distancia dirigida de la recta dada
0
al punto dado ( , ) se obtiene por la fórmula
en donde el signo del radical se elige de acuerdo con el teorema 8 del ar
d
Ax By C
P x y
Ax By Cd
A B
tículo 32.
1 1 1
1 1 1
Si la recta dada no pasa por el origen:
es positiva si el punto ( , ) y el
origen están en lados opuestos de la recta.
es negativa si el punto ( , ) y el
origen están del mismo lado
d P x y
d P x y
1 1 1
1 1 1
de la recta.
Si la recta dada pasa por el origen:
es positiva si el punto ( , ) está arriba de la recta
es negativa si el punto ( , ) está abajo de la recta
d P x y
d P x y
I. Sistemas de coordenadas
II.Gráfica de una ecuación y lugares geométricos
III.La línea recta
IV.Ecuación de la circunferencia
V.Transformación de coordenadas
VI.La parábola
VII.La elipse
VIII.La hipérbola
Geometría Analítica Plana
Geometría Analítica PlanaIII. La línea recta
Introducción Definición de la línea recta Ecuación de una recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada Otras formas de la ecuación de la recta Forma general de la ecuación de una recta Discusión de la forma general Posiciones relativas de dos rectas Forma normal de la ecuación de la recta Reducción de la forma general de la ecuación de una recta a la forma
normal Aplicaciones de la forma normal Área de un triángulo Ecuación de la recta que pasa por dos puntos, en forma de determinante Familias de líneas rectas Resumen de los resultados del capítulo
Geometría Analítica PlanaIII. La línea recta
La ecuación de una recta vertical, es decir,
paralela al eje es
donde es un número real.
La ecuación de una recta horizontal, es decir,
paralela al eje es
donde es un número real.
Y
x k
k
X
y k
k
Resumen
1 1 1 1 1
2 11 1 1 2 2 2 1 1
2 1
La ecuación de una línea recta (exceptuando
las paralelas a los ejes) dados
La pendiente y un punto ( , ) es
Dos puntos ( , ) y ( , ) es
La pendiente
m P x y y y m x x
y yP x y P x y y y x x
x x
y la ordenada al origen es
La intersección con el eje en , la intersección con el eje en , es
1 (excepto las rectas que pasan por el origen)
la normal y es
m b y mx b
X a Y b
x y
a bp
cos sin 0x y p
Resumen
Viernes 23 de enero del 2009
Geometría Analítica PlanaLa línea recta
Familias de líneas rectas
Familias de líneas rectasEn el artículo 29 vimos que una recta y su
ecuación quedan determinadas perfectamente
por dos condiciones independientes.
Por tanto, una recta que satisface solamente
una condición no es una recta única, hay
infinidad de rectas que la cumplen, cada
una de las cuales tiene la propiedad común
asociada con esa única condición.
Familias de líneas rectas
Definición.
La totalidad de las rectas que
satisfacen una única condición
geométrica se llama familia
o haz de rectas.
Una recta que satisface solamente una condición no es una recta
única, hay infinidad de rectas que la cumplen, cada una de las
cuales tiene la propiedad común asociada con esa única condición.
Familias de líneas rectas
Para entender mejor este nuevo concepto,
consideremos primero todas las rectas que
tienen pendiente 5.
Familias de líneas rectas
La totalidad de estas rectas forma una familia
de rectas paralelas, teniendo todas la propiedad
común que su pendiente es igual a 5.
Consideremos todas las rectas que tienen pendiente 5.
Familias de líneas rectas
Analiticamente, esta familia de rectas puede
representarse por la ecuacion
5
en donde es una constante arbitraria que puede
tomar todos los valores reales.
y x k
k
Consideremos todas las rectas que tienen pendiente 5.
Familias de líneas rectas
Podemos obtener la ecuación de
cualquier recta de la familia asignando
simplemente un valor particular a
en la ecuación
5
k
y x k
Consideremos todas las rectas que tienen pendiente 5.
Familias de líneas rectas
Recordando que la ecuación de la recta en
funcion de la pendiente y la ordenada en el
origen es este valor de
representa el segmento que la recta
determina sobre el eje .
y mx b k
Y
Consideremos todas las rectas que tienen pendiente 5.
La ecuación de estas rectas es 5 .y x k
Familias de líneas rectasLas rectas de la familia
5
para los valores de ,
2, 0 y 1
están representadas
en la figura.
y x k
k
k k k
Familias de líneas rectas
Como otro ejemplo, consideremos
todas las rectas que pasan por el
punto (2, 3 )
Familias de líneas rectasConsideremos todas las rectas que pasan por el punto (2, 3 )
1 1
Segun la ecuación de la recta que pasa por
un punto y tiene una pendiente dada
esta familia de rectas puede representarse
analiticamente, por la ecuación
3 2
en donde , la pendiente, es una
y y m x x
y k x
k
constante arbitraria
a la que puede asignarse cualquier valor real.
Familias de líneas rectasConsideremos todas las rectas que pasan por el punto (2, 3 )
¡Ojo con las rectas verticales!
Como no está definida para una
recta paralela a1 eje , la ecuacion
3 2
no incluye a la recta 2 que
también pasa por el punto (2, 3).
k
Y
y k x
x
Familias de líneas rectas
Consideremos todas las rectas que pasan por el punto (2, 3 ).
La ecuacion 3 2 es la de la familia de rectas.y k x
La familia de rectas
3 2
se llama
haz de rectas de vértice ( 2 , 3).
y k x
Familias de líneas rectas
En la figura se han
construido tres rectas
de la familia
3 2
correspondientes a
0, 1 y 1.
y k x
k k k
Familias de líneas rectas
Vemos , considerando las familias anteriores,
5
y
3 2
que una recta de una familia puede obtenerse
asignando un valor particular a la constante
arbitraria . Teniendo en cuenta su importancia,
se l
y x k
y k x
k
e da a un nombre especial ; se
parámetro de la
l
f
e ll
ami
ama
.lia
k
Familias de líneas rectas
Familias de líneas rectas
Familias de líneas rectas
Encontrar la familia de líneas rectas
que pasa por la intersección de las
rectas
2 3 2 0
5 1 0
x y
x y
La intersección de las rectas es
2 3 2 0
5 1 0
2 3 2 0
15 3 3 0
17 1 0
1
171 5 12
5 1 5 1 117 17 17
x y
x y
x y
x y
x
x
y x
Las rectas
2 3 2 0
5 1 0
se intersectan en el punto
1 12,
17 17
x y
x y
Animación
La familia de todas las rectas que
pasan por la intersección de las rectas
2 3 2 0
5 1 0
con la única excepción de la recta
2
5 1
3 2 5 1 0
0
es
x y
x y
x
y
y
x k x y
Geometría Analítica PlanaLa línea recta
Resumen de resultados
Resumen de resultados
Resumen de resultados