Sistemas de Ecuaciones Lineales

En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones

lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o

simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales

(es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada

ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un

anillo conmutativo.

Métodos de Sistemas de Ecuaciones Lineales

*Eliminación Gaussiana

*Factorización de Cholesky

*Gauss-Jordan

*Jacobi*Gauss Seidel

*Descomposición LU

*Factorización de QR, Householder

Método de Eliminación Gaussiana

El método de eliminación Gaussiana para la solución de sistemas de ecuaciones lineales consiste en

convertir a través de operaciones básicas llamadas operaciones de

renglón un sistema en otro equivalente más sencillo cuya

respuesta pueda leerse de manera directa. El método de eliminación

Gaussiana es el mismo para sistemas de ecuaciones 2×2, 3×3, 4×4 y así sucesivamente siempre y cuando se respete la relación de al

menos una ecuación por cada variable

Método de Gauss-JordanEs un algoritmo del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada

ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. El método de Gauss transforma la matriz de

coeficientes en una matriz triangular superior. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener

una matriz diagonal.

Método de Descomposición LU

El método de Descomposición LU se basa en demostrar que una matriz A se puede factorizar como el producto de una matriz triangular inferior L con

una matriz triangular superior U, donde en el paso de eliminación

sólo se involucran operaciones sobre los coeficientes de la matriz, permitiendo así evaluar los términos

independientes bi de manera eficiente.

Método de Factorización de Cholesky

Una matriz A simétrica y positiva definida puede ser factorizada de manera eficiente por medio de una matriz triangular inferior

y una matriz triangular superior.Para una matriz no singular la

descomposición LU nos lleva a considerar una descomposición de tal tipo A = LU; dadas las condiciones de A, simétrica y definida positiva, no es necesario hacer pivoteo, por lo que ésta factorización se hace eficientemente y en un número de operaciones la mitad de LU tomando la

forma A=L.LT , donde L (la cual podemos "verla" como la raíz cuadrada de A) es una

matriz triangular inferior donde los elementos de la diagonal son positivos.

Método de Factorización de QR, Householder

La descomposición o factorización QR de una matriz es una descomposición de la misma como producto de una matriz ortogonal por una triangular superior. Esta factorización se usa ampliamente

en los programas de computadora para determinar valores propios de una matriz, para resolver sistemas lineales y para determinar

aproximaciones por mínimos cuadrados

Método de Gauss SeidelEn análisis numérico el método de

Gauss-Seidel es un método iterativo utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Aunque este

método puede aplicarse a cualquier sistema de ecuaciones lineales que

produzca una matriz (cuadrada, naturalmente pues para que exista

solución única, el sistema debe tener tantas ecuaciones como incógnitas) de coeficientes con los elementos de su

diagonal no-nulos, la convergencia del método solo se garantiza si la matriz es diagonalmente dominante o si es

simétrica y, a la vez, definida positiva.

Método de JacobiEl Método de Jacobi transforma una

matriz simétrica en una matriz diagonal al eliminar de forma

simétrica los elementos que están fuera de la diagonal.

Desafortunadamente, el método requiere un número infinito de

operaciones, ya que la eliminación de cada elemento no cero a menudo crea un nuevo valor no cero en el

elemento cero anterior. Si A es diagonalmente dominante, entonces

la sucesión que resulta de la iteración de Jacobi converge a la solución de Ax = b para cualquier

vector inicial Xo.