Ingeniería química 8211

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Torres Vélez Erwin Gonzalo

16/05/2011

Definición de los sistemas de ecuaciones lineales y tipos de solución, interpretación geométrica, método, solución de un sistema de ecuaciones lineales; GAUSS JORDAN, INVERSA DE UNA MATRIZ Y REGLA DE CRAMER

Índice

Definición de sistemas de ecuaciones lineales........................................................................2

Métodos de solución a sistemas de ecuaciones lineales.........................................................4

Sustitución...........................................................................................................................4

Igualación............................................................................................................................5

Reducción............................................................................................................................6

Interpretación geométrica de los sistemas con 3 ecuaciones y 3 incógnitas...........................6

Métodos de solución de un sistema de ecuaciones.................................................................7

Gauss...................................................................................................................................7

Gauss Jordan........................................................................................................................9

Matriz inversa. Cálculo y aplicaciones.................................................................................11

Regla de Cramer....................................................................................................................14

CIBERGRAFÍA....................................................................................................................16

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Definición de sistemas de ecuaciones linealesSe denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las incógnitas no están elevadas a potencias, ni multiplicadas entre sí, ni en el denominador.Por ejemplo, 3x + 2y + 6z = 6 es una ecuación lineal con tres incógnitas.Como es bien sabido, las ecuaciones lineales con 2 incógnitas representan una recta en el plano.Si la ecuación lineal tiene 3 incógnitas, su representación gráfica es un plano en el espacio.Un ejemplo de ambas representaciones puede observarse en la figura:

Representación gráfica de la recta −x + 2y = 3 en el plano y del plano x + y + z = 1 en el espacio.El objetivo del tema es el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales, es decir, un conjunto de varias ecuaciones lineales. Diremos que dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones, o geométricamente representan la misma recta o plano.

Sistemas de ecuaciones linealesUn sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales de la forma:

Expresión matricial de un sistemaCualquier sistema de ecuaciones lineales se puede expresar en forma matricial del modo:

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La matriz A =

Se llama matriz de coeficientes, la matriz X=

Se llama matriz de incógnitas, y la matriz B =

Se llama matriz de términos independientes.

La matriz formada por A y B conjuntamente, es decir:

Se llama matriz ampliada del sistema y se representara por (A|B) o b ion por A∗Ejemplo: El sistema:

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Escrito matricialmente es:

Y la matriz ampliada es:

Tipos de sistemas

En general, buscaremos las soluciones de los sistemas en los números reales R. Dependiendo del posible número de tales soluciones reales que tenga un sistema, estos se pueden clasificar en:

Métodos de solución a sistemas de ecuaciones lineales

Sustitución

El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor.

En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:

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En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita por ser la de menor coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación.

El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita en la otra ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la .

Al resolver la ecuación obtenemos el resultado , y si ahora sustituimos esta

incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos , con lo que el sistema queda ya resuelto.

Igualación

El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.

Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si despejamos la incógnita en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:

Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.

Una vez obtenido el valor de la incógnita , se substituye su valor en una de las ecuaciones originales, y se obtiene el valor de la .

La forma más fácil de tener el método de sustitución es realizando un cambio para despejar x después de averiguar el valor de la y.

Reducción

Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para

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sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple.

Por ejemplo, en el sistema:

no tenemos más que multiplicar la primera ecuación por para poder cancelar la incógnita . Al multiplicar, dicha ecuación nos queda así:

Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original, obtenemos una nueva ecuación donde la incógnita ha sido reducida y que, en este caso, nos da directamente el valor de la incógnita :

El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita en cualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así que el valor de es igual a:

Interpretación geométrica de los sistemas con 3 ecuaciones y 3 incógnitas

Las soluciones de las ecuaciones lineales de 2 y 3 incógnitas pueden interpretarse de un modo geométrico en el plano y en espacio tridimensional, respectivamente.

1) La ecuación ax + by +c = 0, como se ha visto en cursos anteriores, representa una recta en el plano afín.En efecto: si hacemos x = t, quedaría, que podemos escribir:

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“Son las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto (0,-c/b) y (1,-a/b) es un vector de dirección.”

Métodos de solución de un sistema de ecuaciones

Gauss

El método de Gauss consiste en convertir un sistema "normal" de 3 ecuaciones con 3 incógnitas en uno escalonado , en el que la 1ª ecuación tiene 3 incógnitas , la 2ª tiene 2 incógnitas y la tercera 1 incógnita . De esta forma será fácil a partir de la última ecuación y subiendo hacia arriba , calcular el valor de las 3 incógnitas .

Para transformar el sistema en uno que sea escalonado se combinarán las ecuaciones entre sí (sumándolas , restándolas , multiplicándolas por un número , etc.)

Ejemplo :

La 1ª ecuación siempre se deja igual , (procurando que esta sea la más sencilla) y a la 2ª y 3ª ecuación se debe anular el término que lleva la x .

Una vez que hemos anulado los términos en x debemos dejar fija la 1ª y 2ª ecuación y anular el término que lleva la y en la 3ª ecuación

De la última ecuación obtenemos que z = -256/-128 = 2, que sustituyendo en B’’ resulta

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- y + 9·2 = 13 Þ y = 5

y a su vez sustituyendo en A’’ obtenemos que :

2x + 3·5 – 7·2 = -1 Þ x = -1

Por lo tanto la solución del sistema es (-1, 5, 2)

Clasificación de los sistemas :

Los sistemas de ecuaciones pueden ser de 3 tipos :

1. Sistema compatible determinado (S.C.D.) : una única solución 2. Sistema compatible indeterminado (S.C.I.) : infinitas soluciones 3. Sistema incompatible (S.I.) : no tiene solución

En el ejemplo anterior hemos obtenido un S.C.D. pero ¿cuándo obtendremos los otros dos tipos? .

Cuando al realizar Gauss obtengamos 0 = K , siendo K un número distinto de 0 , tendremos un S.I. ya que obtenemos un absurdo .

Por ejemplo :

 

Dejamos fija la 1ª ecuación e intentamos anular la x de la 2ª y 3ª

Quitamos la y de la 3ª ecuación :

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Como se observa hemos obtenido un absurdo , ya que 0 no es igual a 12 , por lo que el sistema no tiene solución .

Cuando al realizar Gauss obtengamos 0 = 0 , es decir se nos anule alguna ecuación , y el sistema resultante tenga más incógnitas que ecuaciones tendremos un S.C.I. en función de uno o dos parámetros (depende de las ecuaciones que se anulen) .

Por ejemplo :

Dejamos como siempre la 1ª ecuación igual e intentamos quitar la incógnita x de la 2ª y 3ª ecuación .

Si intentamos anular la y de la 3ª ecuación vemos que se nos anula la 3ª ecuación

Obtenemos por tanto un sistema con dos ecuaciones y 3 incógnitas (hay más incógnitas que ecuaciones) por lo que tendrá infinitas soluciones . Una de ellas sería por ejemplo dar a la z el valor z=0 y así obtendríamos que y = -13 , x = 19

Gauss Jordan

Este método, que constituye una variación del método de eliminación de Gauss, permite resolver hasta 15 o 20 ecuaciones simultáneas, con 8 o 10 dígitos significativos en las operaciones aritméticas de la computadora. Este procedimiento se distingue del método Gaussiano en que cuando se elimina una incógnita, se elimina de todas las ecuaciones restantes, es decir, las que preceden a la ecuación pivote así como de las que la siguen.

El método se ilustra mejor con un ejemplo. Resolvamos el siguiente conjunto de ecuaciones

3.0 X1 - 0.1 X2 - 0.2 X3 = 7.8500 0.1 X1 + 7.0 X2 - 0.3 X3 = - 19.3

0.3 X1 - 0.2 X2 + 10 X3 = 71.4000

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Primero expresemos los coeficientes y el vector de términos independientes como una matriz aumentada.

Se normaliza el primer renglón dividiendo entre 3 para obtener:

El término X1 se puede eliminar del segundo renglón restando 0.1 veces el primero del segundo renglón. De una manera similar, restando 0.3 veces el primero del tercer renglón se elimina el término con X1 del tercer renglón.

En seguida, se normaliza el segundo renglón dividiendo entre 7.00333:

Reduciendo los términos en X2 de la primera y la tercera ecuación se obtiene:

El tercer renglón se normaliza dividiendolo entre 10.010:

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Finalmente, los términos con X3 se pueden reducir de la primera y segunda ecuación para obtener:

Nótese que no se necesita sustitución hacia atrás para obtener la solución.

Las ventajas y desventajas de la eliminación gaussiana se aplican también al método de Gauss-Jordan.

Aunque los métodos de Gauss-Jordan y de eliminación de Gauss pueden parecer casi idénticos, el primero requiere aproximadamente 50% menos operaciones. Por lo tanto, la eliminación gaussiana es el mé todo simple por excelencia en la obtención de soluciones exactas a las ecuaciones lineales simultáneas. Una de las principales razones para incluir el método de Gauss-Jordan, es la de proporcionar un método directo para obtener la matriz inversa.

Matriz inversa. Cálculo y aplicaciones

Matriz traspuesta.

Es la matriz que obtenemos de cambiar las filas por las columnas. La traspuesta de A la representamos por AT.

Ejemplo :

Matriz adjunta

Es la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento por su adjunto.

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Matriz inversa

La matriz inversa de A es otra matriz que representamos por A -1 y que verifica:

Solamente tienen inversa las matrices cuadradas cuyo determinante es distinto de cero.

Propiedades de la matriz inversa

La inversa del producto de dos matrices es el producto de las inversas cambiando el orden.

Ejemplo: cálculo de la inversa de la matriz:

Para calcular la inversa, primero calculamos el determinante:

Después calculamos cada uno de los adjuntos :

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Aplicación a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Aplicación a la resolución de ecuaciones matriciales.

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Regla de Cramer

La regla de Cramer es un teorema en álgebra lineal, que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel Cramer (1704 - 1752), quien publicó la regla en su Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques de 1750, aunque Colin Maclaurin también publicó el método en su Treatise of Geometry de 1748 (y probablemente sabía del método desde 1729).1

La regla de Cramer es de importancia teórica porque da una expresión explícita para la solución del sistema. Sin embargo, para sistemas de ecuaciones lineales de más de tres ecuaciones su aplicación para la resolución del mismo resulta excesivamente costosa:

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computacionalmente, es ineficiente para grandes matrices y por ello no es usado en aplicaciones prácticas que pueden implicar muchas ecuaciones. Sin embargo, como no es necesario pivotar matrices, es más eficiente que la eliminación gaussiana para matrices pequeñas, particularmente cuando son usadas operaciones SIMD.

Si es un sistema de ecuaciones. A es la matriz de coeficientes del sistema,

es el vector columna de las incógnitas y es el vector columna de los términos independientes. Entonces la solución al sistema se presenta así:

donde Aj es la matriz resultante de reemplazar la j-ésima columna de A por el vector columna b. Hágase notar que para que el sistema sea compatible determinado, el determinante de la matriz A ha de ser no nulo.

CIBERGRAFÍA

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http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales

http://www.terra.es/personal/ijic0000/gauss.htm

www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r8828.DOC

http://www.terra.es/personal2/jpb00000/tmatrizinversa.htm

https://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r44803.PDF

http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Cramer

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