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Sistemashiperbólicoscon valores
iniciales y defrontera
Ramón G.Plaza
Teoría deKreissSistemashiperbólicos
Condiciones deKreiss-Lopatinski
Estabilidadmultidimen-sional deondas dechoqueOndas de choqueplanas
Teoría de estabilidadde Majda
Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Sistemas hiperbólicos con valores iniciales y defrontera: aplicaciones a la estabilidad de ondas
de choque no viscosas
Ramón G. Plaza
IIMAS - UNAM (México)
Seminario de Análisis y Ecuaciones DiferencialesInstituto de Matemáticas, UNAM
10 de septiembre, 2009.
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iniciales y defrontera
Ramón G.Plaza
Teoría deKreissSistemashiperbólicos
Condiciones deKreiss-Lopatinski
Estabilidadmultidimen-sional deondas dechoqueOndas de choqueplanas
Teoría de estabilidadde Majda
Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
1 Teoría de KreissSistemas hiperbólicosCondiciones de Kreiss-Lopatinski
2 Estabilidad multidimensional de ondas de choqueOndas de choque planasTeoría de estabilidad de Majda
3 Estabilidad de transiciones de faseEstabilidad de interfases subsónicas planasResultados numéricos: interfases estáticas
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Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Sistemas hiperbólicos
Varias dimensiones espaciales, coeficientes constantes. Valoresiniciales y de frontera:
ut +d∑
j=1
Ajuxj = f , (x, t) ∈ Ω× [0,+∞),
u(x, 0) = u0, x ∈ Ω,
Bu = g, (x, t) ∈ ∂Ω× [0,+∞).
u ∈ Rn, x ∈ Rd, d ≥ 2, t ∈ [0,+∞),
Aj ∈ Rn×n, B ∈ Rα×n
Ω = x1 ≥ 0, ∂Ω = x1 = 0
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Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Sistemas hiperbólicos
Varias dimensiones espaciales, coeficientes constantes. Valoresiniciales y de frontera:
ut +d∑
j=1
Ajuxj = f , (x, t) ∈ Ω× [0,+∞),
u(x, 0) = u0, x ∈ Ω,
Bu = g, (x, t) ∈ ∂Ω× [0,+∞).
u ∈ Rn, x ∈ Rd, d ≥ 2, t ∈ [0,+∞),
Aj ∈ Rn×n, B ∈ Rα×n
Ω = x1 ≥ 0, ∂Ω = x1 = 0
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Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Hiperbolicidad:
A(ξ) =d∑
j=1
ξjAj
diagonalizable con valores propios reales.
• Hiperbolicidad estricta : Para ξ 6= 0 las multiplicidades delos valores propios no dependen de ξ.
• Simetrizabilidad : Existe A0 > 0, simétrica, tal que A0Aj sonsimétricas.
Sin pérdida de generalidad:
Aj simétricas.
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Hiperbolicidad:
A(ξ) =d∑
j=1
ξjAj
diagonalizable con valores propios reales.
• Hiperbolicidad estricta : Para ξ 6= 0 las multiplicidades delos valores propios no dependen de ξ.
• Simetrizabilidad : Existe A0 > 0, simétrica, tal que A0Aj sonsimétricas.
Sin pérdida de generalidad:
Aj simétricas.
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Hiperbolicidad:
A(ξ) =d∑
j=1
ξjAj
diagonalizable con valores propios reales.
• Hiperbolicidad estricta : Para ξ 6= 0 las multiplicidades delos valores propios no dependen de ξ.
• Simetrizabilidad : Existe A0 > 0, simétrica, tal que A0Aj sonsimétricas.
Sin pérdida de generalidad:
Aj simétricas.
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
La frontera ∂Ω es no característica: normal ν = e1, i.e.
A1 es no singular
Valores propios de A1
a1 ≤ . . . ≤ an−α < 0 < an−α+1 ≤ . . . ≤ an.
0 < α = suma de las multiplicidades de los valores propiospositivos de A1.
α = número de características incidentes.
Dimensiones de B ∈ Rα×n.
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
La frontera ∂Ω es no característica: normal ν = e1, i.e.
A1 es no singular
Valores propios de A1
a1 ≤ . . . ≤ an−α < 0 < an−α+1 ≤ . . . ≤ an.
0 < α = suma de las multiplicidades de los valores propiospositivos de A1.
α = número de características incidentes.
Dimensiones de B ∈ Rα×n.
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
La frontera ∂Ω es no característica: normal ν = e1, i.e.
A1 es no singular
Valores propios de A1
a1 ≤ . . . ≤ an−α < 0 < an−α+1 ≤ . . . ≤ an.
0 < α = suma de las multiplicidades de los valores propiospositivos de A1.
α = número de características incidentes.
Dimensiones de B ∈ Rα×n.
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Estimación de energía
Problema bien planteado:
‖u‖Ω×[0,T] + ‖u‖∂Ω×[0,T] + ‖u(T)‖Ω ≤≤ C
(‖u0‖Ω + ‖f‖Ω×[0,T] + ‖g‖∂Ω×[0,T]
)
T > 0, η > 0 grande, C > 0 uniforme.
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Normas hiperbólicas pesadas:
‖u‖s,η,G = ‖e−ηtu‖Hs(G)
‖u‖20,η,Ω×[0,T] =
∫ T
0
∫
Ω|u(x, t)|2e−2ηt dxdt
‖u(T)‖20,η,Ω =
∫
Ω|u(x,T)|2e−2ηT dx
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Comentario:La condición de frontera es estrictamente disipativa si para todow ∈ Rn existe δ > 0 uniforme tal que
−〈w,A1w〉 ≥ δ|w|2 − 1δ|Bw|2.
Resultado (FRIEDRICHS, circa 1954): Si la frontera esestrictamente disipativa es posible obtener una estimación deenergía.
Problema: La condición es muy restrictiva. Para un fluídocompresible existen condiciones de frontera no estrictamentedisipativas para las cuales es posible obtener un problema bienplanteado (AGEMI, Comm. PDE (1980)).
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Comentario:La condición de frontera es estrictamente disipativa si para todow ∈ Rn existe δ > 0 uniforme tal que
−〈w,A1w〉 ≥ δ|w|2 − 1δ|Bw|2.
Resultado (FRIEDRICHS, circa 1954): Si la frontera esestrictamente disipativa es posible obtener una estimación deenergía.
Problema: La condición es muy restrictiva. Para un fluídocompresible existen condiciones de frontera no estrictamentedisipativas para las cuales es posible obtener un problema bienplanteado (AGEMI, Comm. PDE (1980)).
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Comentario:La condición de frontera es estrictamente disipativa si para todow ∈ Rn existe δ > 0 uniforme tal que
−〈w,A1w〉 ≥ δ|w|2 − 1δ|Bw|2.
Resultado (FRIEDRICHS, circa 1954): Si la frontera esestrictamente disipativa es posible obtener una estimación deenergía.
Problema: La condición es muy restrictiva. Para un fluídocompresible existen condiciones de frontera no estrictamentedisipativas para las cuales es posible obtener un problema bienplanteado (AGEMI, Comm. PDE (1980)).
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Transformada de Fourier-Laplace:
(λ, ξ) ∈ C× Rd−1, ξ = (ξ2, . . . , ξd),
u(x1, ξ, λ) =
∫
Rd−1
∫ +∞
0e−λte−i〈x,ξ〉u(x1, x, t) dtdx
Caso f = g = 0:
ux1 = −(A1)−1(λ+
∑
j6=1
iξjAj)u =: A(λ, ξ)u
Bu|x1=0 = 0, (ut=0) = u0,
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Transformada de Fourier-Laplace:
(λ, ξ) ∈ C× Rd−1, ξ = (ξ2, . . . , ξd),
u(x1, ξ, λ) =
∫
Rd−1
∫ +∞
0e−λte−i〈x,ξ〉u(x1, x, t) dtdx
Caso f = g = 0:
ux1 = −(A1)−1(λ+
∑
j6=1
iξjAj)u =: A(λ, ξ)u
Bu|x1=0 = 0, (ut=0) = u0,
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Lema (HERSH, 1963). Asumiendo hiperbolicidad, para todaRe λ > 0, ξ ∈ Rd−1, las matrices A(λ, ξ) son hiperbólicas(valores propios κ con Re κ 6= 0). Más aún, α = no. de valorespropios de A con Re κ > 0.
Cn = Es(A)⊕ Eu(A),
dimEs(A) = α,
(λ, ξ) ∈ S+ = (λ, ξ) 6= (0, 0), Re λ > 0 ⊂ C× Rd−1
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Lema (HERSH, 1963). Asumiendo hiperbolicidad, para todaRe λ > 0, ξ ∈ Rd−1, las matrices A(λ, ξ) son hiperbólicas(valores propios κ con Re κ 6= 0). Más aún, α = no. de valorespropios de A con Re κ > 0.
Cn = Es(A)⊕ Eu(A),
dimEs(A) = α,
(λ, ξ) ∈ S+ = (λ, ξ) 6= (0, 0), Re λ > 0 ⊂ C× Rd−1
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Soluciones aW ′ = A(λ, ξ)W
W =
eκ(λ,ξ)x1r(λ, ξ),eκ(λ,ξ)x1P(x1, λ, ξ)
(λ, ξ) ∈ S+ existen exactamente α soluciones Wj que decaen acero si x1 → +∞.
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Soluciones aW ′ = A(λ, ξ)W
W =
eκ(λ,ξ)x1r(λ, ξ),eκ(λ,ξ)x1P(x1, λ, ξ)
(λ, ξ) ∈ S+ existen exactamente α soluciones Wj que decaen acero si x1 → +∞.
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Modos normales:Soluciones de la forma
uβ,θ = χ(x/θ)W(βx1)eβλt+iβξ·x
con W(0) ∈ Es(λ, ξ), (λ, ξ) ∈ S+, W(+∞) = 0, χ es unafunción cut-off, χ = 0 en |y| ≥ 2, χ = 1 en |y| ≤ 1, violan laestimación de energía.
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Condición débil de Lopatinski
Condición necesaria:Para todo Re > 0, ξ ∈ Rd−1 la restricción de B a Es(λ, ξ) esinyectiva.
Determinante de Lopatinski:
v ∈ Es(λ, ξ) ⇒ v =α∑
1
cjvj,
Bv = B(v1, . . . , vα)
c1...
cα
= 0 ⇒ v = 0,
ssi ∆(λ, ξ) := det BRs(λ, ξ) 6= 0.
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Condición débil de Lopatinski
Condición necesaria:Para todo Re > 0, ξ ∈ Rd−1 la restricción de B a Es(λ, ξ) esinyectiva.
Determinante de Lopatinski:
v ∈ Es(λ, ξ) ⇒ v =α∑
1
cjvj,
Bv = B(v1, . . . , vα)
c1...
cα
= 0 ⇒ v = 0,
ssi ∆(λ, ξ) := det BRs(λ, ξ) 6= 0.
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Estabilidadmultidimen-sional deondas dechoqueOndas de choqueplanas
Teoría de estabilidadde Majda
Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Condición suficiente: condiciónuniforme de Kreiss-Lopatinski
¿Qué condiciones de frontera garantizan un problema bienplanteado?
H. O. KREISS, Comm. Pure Appl. Math. 23 (1970), 277-298)
Condición uniforme de LopatinskiExiste > 0 tal que |Bv|2 ≥ C|v|2 para todo v ∈ Es(λ, ξ),(λ, ξ) ∈ S+.
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Sistemashiperbólicoscon valores
iniciales y defrontera
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Condiciones deKreiss-Lopatinski
Estabilidadmultidimen-sional deondas dechoqueOndas de choqueplanas
Teoría de estabilidadde Majda
Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Condición suficiente: condiciónuniforme de Kreiss-Lopatinski
¿Qué condiciones de frontera garantizan un problema bienplanteado?
H. O. KREISS, Comm. Pure Appl. Math. 23 (1970), 277-298)
Condición uniforme de LopatinskiExiste > 0 tal que |Bv|2 ≥ C|v|2 para todo v ∈ Es(λ, ξ),(λ, ξ) ∈ S+.
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Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Condición uniforme:
∆(λ, ξ) 6= 0, (λξ) ∈ S.
S = |λ|2 + |ξ|2 = 1, Re λ ≥ 0
A homogénea de grado cero ⇒ Es,u(ρλ, ρξ) = Es,u(λ, ξ), ρ > 0.
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Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Condición uniforme:
∆(λ, ξ) 6= 0, (λξ) ∈ S.
S = |λ|2 + |ξ|2 = 1, Re λ ≥ 0
A homogénea de grado cero ⇒ Es,u(ρλ, ρξ) = Es,u(λ, ξ), ρ > 0.
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Teoría de estabilidadde Majda
Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Propiedades:
• La base de Es(λ, ξ) se puede escoger analítica en (λ, ξ) paraRe λ > 0, homogénea de grado cero (KATO).
• Si Re λ→ 0, la base se puede escoger continua en(λ, ξ) = (iτ, ξ) 6= (0, 0).
• ∆ es continua en S, analítica en S+.
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Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Teoría de Kreiss
Sistemas estrictamente hiperbólicos satisfacen la condición deestructura de bloque: existe transformación O, invertible tal que
O−1AO =
M1M2
. . .Mk
M1 =
(N11
N12
), N12 ≥ δ > 0, N11 ≤ −δ > 0,
Mj = i(kjI + Cj) + Ej(λ, ξ),
donde Cj nilpotente, Ej(iτ, 0) = 0, kj escalar.
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Teoría de estabilidadde Majda
Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Asumiendo la estructura de bloque y la condición unforme deLopatinski se construye el simetrizador de Kreiss: K(λ, ξ)Re λ = η ≥ η0 > 0, (λ, ξ) ∈ S+, tal que• KA1 es Hermitiana.• K uniformemente acotado, suave en S y en los coeficientes
de Aj,B.• w∗KA1w ≥ δ1|w|2 − 1
δ1|Bw|2, para todo w ∈ Cn.
• Re K(λ+ i∑
j6=1 ξjAj) ≥ δ2η
δ1, δ2 > 0 uniformes.
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Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Asumiendo la estructura de bloque y la condición unforme deLopatinski se construye el simetrizador de Kreiss: K(λ, ξ)Re λ = η ≥ η0 > 0, (λ, ξ) ∈ S+, tal que• KA1 es Hermitiana.• K uniformemente acotado, suave en S y en los coeficientes
de Aj,B.• w∗KA1w ≥ δ1|w|2 − 1
δ1|Bw|2, para todo w ∈ Cn.
• Re K(λ+ i∑
j6=1 ξjAj) ≥ δ2η
δ1, δ2 > 0 uniformes.
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Asumiendo la estructura de bloque y la condición unforme deLopatinski se construye el simetrizador de Kreiss: K(λ, ξ)Re λ = η ≥ η0 > 0, (λ, ξ) ∈ S+, tal que• KA1 es Hermitiana.• K uniformemente acotado, suave en S y en los coeficientes
de Aj,B.• w∗KA1w ≥ δ1|w|2 − 1
δ1|Bw|2, para todo w ∈ Cn.
• Re K(λ+ i∑
j6=1 ξjAj) ≥ δ2η
δ1, δ2 > 0 uniformes.
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Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Asumiendo la estructura de bloque y la condición unforme deLopatinski se construye el simetrizador de Kreiss: K(λ, ξ)Re λ = η ≥ η0 > 0, (λ, ξ) ∈ S+, tal que• KA1 es Hermitiana.• K uniformemente acotado, suave en S y en los coeficientes
de Aj,B.• w∗KA1w ≥ δ1|w|2 − 1
δ1|Bw|2, para todo w ∈ Cn.
• Re K(λ+ i∑
j6=1 ξjAj) ≥ δ2η
δ1, δ2 > 0 uniformes.
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Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Resultados de Kreiss:
• Bajo hiperbolicidad estricta y la condición uniforme deLopatinski, se construye K para η0 > 0, η0 ∼ 0.
• Prueba que la la estimación de energía en el espacio deFourier con K implica la estimación de energía en el espaciofísico (Plancherel).
MAJDA(1983): La condición de estructura de bloque se cumplepara las ecuaciones de Euler.MÉTIVIER(2000): Todo sistema simetrizable satisface laestructura de bloque.
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Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Resultados de Kreiss:
• Bajo hiperbolicidad estricta y la condición uniforme deLopatinski, se construye K para η0 > 0, η0 ∼ 0.
• Prueba que la la estimación de energía en el espacio deFourier con K implica la estimación de energía en el espaciofísico (Plancherel).
MAJDA(1983): La condición de estructura de bloque se cumplepara las ecuaciones de Euler.MÉTIVIER(2000): Todo sistema simetrizable satisface laestructura de bloque.
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Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Bibliografía básica:
• H. O. KREISS, Comm. Pure Appl. Math. 23 (1970)• J. RAUCH, Comm. Pure Appl. Math. 25 (1972)• A. MAJDA, S. OSHER, Comm. Pure Appl. Math. 28 (1975)• R. HIGDON, SIAM Rev. 28 (1986)• MÉTIVIER, Bull. London Math. 32 (2000)• BENZONI-GAVAGE, SERRE, Oxford Univ. Press (2007)
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Teoría de estabilidadde Majda
Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
1 Teoría de KreissSistemas hiperbólicosCondiciones de Kreiss-Lopatinski
2 Estabilidad multidimensional de ondas de choqueOndas de choque planasTeoría de estabilidad de Majda
3 Estabilidad de transiciones de faseEstabilidad de interfases subsónicas planasResultados numéricos: interfases estáticas
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Estabilidadmultidimen-sional deondas dechoqueOndas de choqueplanas
Teoría de estabilidadde Majda
Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Ondas de choque planas
Sistema de leyes de conservación
ut +d∑
j=1
f j(u)xj = 0.
Simetrizable, hiperbólico. Df j = Aj(u).
A(ξ, u) =∑
ξjA(u)
tiene valores propios reales a1(u; ξ) < · · · < am(u; ξ) conmultiplicidades fijas µj.
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Estabilidadmultidimen-sional deondas dechoqueOndas de choqueplanas
Teoría de estabilidadde Majda
Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Discontinuidad:
Σ = (x, t) ∈ Rd × [0,+∞) ; ψ(x, t) = 0.
Condiciones de salto de Rankine-Hugoniot:
ψt[u] +d∑
j=1
ψxj [fj(u)] = 0
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Estabilidadmultidimen-sional deondas dechoqueOndas de choqueplanas
Teoría de estabilidadde Majda
Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Onda de choque plana:
u(x, t) =
u+, if x · N − st > 0,u−, if x · N − st < 0,
u+ 6= u− constantes, |N| 6= 0. Suponemos N = e1.
Condiciones de salto, con N = e1:
−s[u] + [f 1(u)] = 0.
En general, podemos asumir que las condiciones de RH son de laforma:
h(lim+u, lim−u,−ψt,∇xψ) = 0.
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Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Onda de choque plana:
u(x, t) =
u+, if x · N − st > 0,u−, if x · N − st < 0,
u+ 6= u− constantes, |N| 6= 0. Suponemos N = e1.
Condiciones de salto, con N = e1:
−s[u] + [f 1(u)] = 0.
En general, podemos asumir que las condiciones de RH son de laforma:
h(lim+u, lim−u,−ψt,∇xψ) = 0.
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
La onda de choque es no característica:
Existen dos índices p, q ∈ 1, . . . ,m tales queaq−1(u−) < s < aq(u−) y ap(u+) < s < ap+1(u+). Si q = 1(resp. p = m) tenemos s < a1(u−) (resp. s > am(u+)). aj(u)denotan los valores propios de A1.
Se definen los índices
i+ := dim∑a<s
ker R(A1(u+)− aI) = µ1 + . . .+ µp,
i− := dim∑a>s
ker R(A1(u−)− aI) = µq + . . .+ µm,
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
La onda de choque es no característica:
Existen dos índices p, q ∈ 1, . . . ,m tales queaq−1(u−) < s < aq(u−) y ap(u+) < s < ap+1(u+). Si q = 1(resp. p = m) tenemos s < a1(u−) (resp. s > am(u+)). aj(u)denotan los valores propios de A1.
Se definen los índices
i+ := dim∑a<s
ker R(A1(u+)− aI) = µ1 + . . .+ µp,
i− := dim∑a>s
ker R(A1(u−)− aI) = µq + . . .+ µm,
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
i+ = dimEs+ = dim del espacio estable de A1
+ − s,
i− = dimEu− = dim del espacio inestable de A1
− − s,
κ := i+ + i− − n,
Clasificación de FREISTÜHLER (1993): La onda de choque otripleta (u+, u−, s) es
1. de Lax (or clásica) de tipo κ = 1 ssi i+ + i− = n + 1,
2. subcompresiva de tipo κ ≤ 0 ssi i+ + i− ≤ n, and
3. sobrecompresiva de tipo κ > 1 ssi i+ + i− ≥ n + 2.
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
i+ = dimEs+ = dim del espacio estable de A1
+ − s,
i− = dimEu− = dim del espacio inestable de A1
− − s,
κ := i+ + i− − n,
Clasificación de FREISTÜHLER (1993): La onda de choque otripleta (u+, u−, s) es
1. de Lax (or clásica) de tipo κ = 1 ssi i+ + i− = n + 1,
2. subcompresiva de tipo κ ≤ 0 ssi i+ + i− ≤ n, and
3. sobrecompresiva de tipo κ > 1 ssi i+ + i− ≥ n + 2.
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Índice de subcompresividad:
l := n + 1− (i+ + i−) = 1− κ.
Lax: l = 0, caso p = q (condiciones de entropía de Lax).
Subcompresivo: l > 0 (transiciones de fase).
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Caso subcompresivo o de Lax, l ≥ 0:Añadimos a las n condiciones de RH un conjunto general de lcondiciones de salto, de la forma h = 0, h : N → Rn+l, with
h(u+, u−, s,N) :=
([F(u)]N − s[u]g(u+, u−, s,N)
).
ζ = (u+, u−, s,N), parámetros en N := U × U × R× Rd\0.
Las condiciones adicionales de salto g : N → Rl reciben elnombre de relaciones cinéticas.
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Teoría de estabilidadde Majda
Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Caso subcompresivo o de Lax, l ≥ 0:Añadimos a las n condiciones de RH un conjunto general de lcondiciones de salto, de la forma h = 0, h : N → Rn+l, with
h(u+, u−, s,N) :=
([F(u)]N − s[u]g(u+, u−, s,N)
).
ζ = (u+, u−, s,N), parámetros en N := U × U × R× Rd\0.
Las condiciones adicionales de salto g : N → Rl reciben elnombre de relaciones cinéticas.
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Sistemashiperbólicoscon valores
iniciales y defrontera
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Condiciones deKreiss-Lopatinski
Estabilidadmultidimen-sional deondas dechoqueOndas de choqueplanas
Teoría de estabilidadde Majda
Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Teoría de estabilidad de Majda
A. MAJDA, Mem. AMS 41 y 43, (1983).
Onda de choque original:
u(x, t) =
u+, if x1 − st > 0,u−, if x1 − st < 0.
Perturbación (condición incial):
u(x, 0) =
u+ + εv+
0 , for x1 > 0,u− + εv−0 , for x1 < 0,
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Estabilidadmultidimen-sional deondas dechoqueOndas de choqueplanas
Teoría de estabilidadde Majda
Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Asumimos que el problema tiene una solución débil de la forma:uε± a cada lado de una hipersuperficie Σε, que asumimos tiene laforma
Σε = ψε(x, t) = 0 = x1 − φε(x, t) = 0
Resolver para:
φε(x, t) = st + εφ(x, t) +O(ε2),
uε±(x, t) =
u+ + εv+(x, t) +O(ε2), para x1 > φε,
u− + εv−(x, t) +O(ε2), para x1 < φε,
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Estabilidadmultidimen-sional deondas dechoqueOndas de choqueplanas
Teoría de estabilidadde Majda
Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Problema nolineal con frontera libre:
f 0(uε+)t +
d∑
j=1
f j(uε+)xj = 0, para x1 > φε,
f 0(uε−)t +
d∑
j=1
f j(uε−)xj = 0, para x1 < φε,
h(lim+uε+, lim
−uε−, n
εt , n
εx) = 0, at x1 = φε.
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Teoría de estabilidadde Majda
Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Localización del choque:Uε± := u± + V±(z, x, t), donde z = x1 − φε(x, t),V±(z, x, t) = v±(z + φε, x, t). Haciendo z → −z sólo para V−.Linealizando las ecuaciones y la condición de frontera alrededorde u±:
V+t + (A1
+ − sI)V+z +
∑
j6=1
Aj+V+
xj= 0,
V−t − (A1− − sI)V−z +
∑
j6=1
Aj−V−xj
= 0,
para z > 0, y condición de frontera en z = 0:
du+h(u+, u−, e1,−s)V+ + du−h(u+, u−, e1,−s)V−+
−dσh(u+, u−, e1,−s)φt − dNh(u+, u−, e1,−s)(0, ∇φ)t = 0
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Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Denotando W = (V+,V−, φ)> ∈ R2n+1 tenemos un sistemahiperbólico con valores en la frontera z = 0 dadas por lascondiciones de salto del tipo estudiado por Kreiss:
LW = 0, para z > 0, x ∈ Rd−1, t ≥ 0,
BW = 0, en z = 0,
Denotando
A+(λ, ξ) := (A1+ − sI)−1(λI + i
∑
j 6=1
ξjAj+),
A−(λ, ξ) := (A1+ − sI)−1(λI + i
∑
j 6=1
ξjAj+),
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Denotando W = (V+,V−, φ)> ∈ R2n+1 tenemos un sistemahiperbólico con valores en la frontera z = 0 dadas por lascondiciones de salto del tipo estudiado por Kreiss:
LW = 0, para z > 0, x ∈ Rd−1, t ≥ 0,
BW = 0, en z = 0,
Denotando
A+(λ, ξ) := (A1+ − sI)−1(λI + i
∑
j 6=1
ξjAj+),
A−(λ, ξ) := (A1+ − sI)−1(λI + i
∑
j 6=1
ξjAj+),
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Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
La condición de Lopatinski implica que la restricción de B aEu
+ × Es− × C es uniformemente inyectiva para todo (λ, ξ) ∈ S.Es,u± = espacio estable/inestable de A±.
Condición uniforme de Lopatinski:
∆(λ, ξ) :=
det(
du−h(ζ0)Rs−, λdσh(ζ0) + idNh(ζ0)(0, ξ)t, du+h(ζ0)Ru
+
)6= 0,
para todo (λ, ξ) ∈ S, Re λ ≥ 0. Ru,s± denotan los haces de
Lopatinski, bases de los espacios estable e inestable.
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
La condición de Lopatinski implica que la restricción de B aEu
+ × Es− × C es uniformemente inyectiva para todo (λ, ξ) ∈ S.Es,u± = espacio estable/inestable de A±.
Condición uniforme de Lopatinski:
∆(λ, ξ) :=
det(
du−h(ζ0)Rs−, λdσh(ζ0) + idNh(ζ0)(0, ξ)t, du+h(ζ0)Ru
+
)6= 0,
para todo (λ, ξ) ∈ S, Re λ ≥ 0. Ru,s± denotan los haces de
Lopatinski, bases de los espacios estable e inestable.
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Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Majda define:• Choque uniformemente estable si el problema linealizado es
fuertemente bien planteado en L2 (condición uniforme deLopatinski),
• Choque débilmente estable si el problema linealizadosatisface la condición de Lopatinski.
• Choque fuertemente inestable si el problema linealizado nosatisface la condicion de Lopatinski.
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Majda define:• Choque uniformemente estable si el problema linealizado es
fuertemente bien planteado en L2 (condición uniforme deLopatinski),
• Choque débilmente estable si el problema linealizadosatisface la condición de Lopatinski.
• Choque fuertemente inestable si el problema linealizado nosatisface la condicion de Lopatinski.
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Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Majda define:• Choque uniformemente estable si el problema linealizado es
fuertemente bien planteado en L2 (condición uniforme deLopatinski),
• Choque débilmente estable si el problema linealizadosatisface la condición de Lopatinski.
• Choque fuertemente inestable si el problema linealizado nosatisface la condicion de Lopatinski.
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Teoría de estabilidadde Majda
Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Resultados de Majda:
• Construye el simetrizador de Kreiss para sistemas quesatisfacen la estructura de bloque, y para ondas de choqueclásicas (tipo Lax). Prueba que las ecuaciones de Eulersatisfacen la estructura de bloque.
• Mediante un método de iteración tipo Newton, prueba queestabilidad lineal uniforme implica estabilidad nolineal bajoperturbaciones pequeñas.
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Teoría de estabilidadde Majda
Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Teoría de estabilidadmultidimensional para frentes
planos
• Teoría de sistemas hiperbólicos con coeficientes constanteslineales con valores iniciales y de frontera (H. O. KREISS,Comm. Pure Appl. Math. 23 (1970), 277-298). Condiciónuniforme de Lopatinski, suficiente para tener estimación L2
de la solución. Construcción de simetrizadores de Kreiss.• Estabilidad multidimensional de choques no viscosos (A.
MAJDA, Mem. Amer. Math. Soc. 41 (275) (1983); Mem.Amer. Math. Soc. 43 (281) (1983)). Define estabilidad de lafrontera como un problema bien planteado en L2 para laperturbación. Problema linealizado a ambos lados de lafrontera y planteado como un problema tipo Kreiss.Estabilidad lineal implica estabilidad nolineal.
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Teoría de estabilidadmultidimensional para frentes
planos
• Teoría de sistemas hiperbólicos con coeficientes constanteslineales con valores iniciales y de frontera (H. O. KREISS,Comm. Pure Appl. Math. 23 (1970), 277-298). Condiciónuniforme de Lopatinski, suficiente para tener estimación L2
de la solución. Construcción de simetrizadores de Kreiss.• Estabilidad multidimensional de choques no viscosos (A.
MAJDA, Mem. Amer. Math. Soc. 41 (275) (1983); Mem.Amer. Math. Soc. 43 (281) (1983)). Define estabilidad de lafrontera como un problema bien planteado en L2 para laperturbación. Problema linealizado a ambos lados de lafrontera y planteado como un problema tipo Kreiss.Estabilidad lineal implica estabilidad nolineal.
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
• Choques débiles (G. MÉTIVIER, Comm. Partial Diff.Equations 15 (7) (1990) 983–1028 (1990, 2001)). Extensióndel resultado de Majda a choques débiles.
• Extensión de la teoría de Majda y Métivier a transiciones defase: (H. FREISTÜHLER, J. Partial Diff. Eqs. 11 (1) (1998)25–38). Necesidad de introducir la relación cinética alanálisis de Majda. Extensión del determinante de Lopatinskicon relación cinética. Estabilidad nolineal: (J.-F.COULOMBEL, Interfaces Free Bound. 5 (4) (2003),360–390). El análisis nolineal de Majda se extiende atransiciones de fase. Condición uniforme de Lopatinskiimplica estabilidad nolineal.
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
• Choques débiles (G. MÉTIVIER, Comm. Partial Diff.Equations 15 (7) (1990) 983–1028 (1990, 2001)). Extensióndel resultado de Majda a choques débiles.
• Extensión de la teoría de Majda y Métivier a transiciones defase: (H. FREISTÜHLER, J. Partial Diff. Eqs. 11 (1) (1998)25–38). Necesidad de introducir la relación cinética alanálisis de Majda. Extensión del determinante de Lopatinskicon relación cinética. Estabilidad nolineal: (J.-F.COULOMBEL, Interfaces Free Bound. 5 (4) (2003),360–390). El análisis nolineal de Majda se extiende atransiciones de fase. Condición uniforme de Lopatinskiimplica estabilidad nolineal.
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Estabilidadmultidimen-sional deondas dechoqueOndas de choqueplanas
Teoría de estabilidadde Majda
Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
1 Teoría de KreissSistemas hiperbólicosCondiciones de Kreiss-Lopatinski
2 Estabilidad multidimensional de ondas de choqueOndas de choque planasTeoría de estabilidad de Majda
3 Estabilidad de transiciones de faseEstabilidad de interfases subsónicas planasResultados numéricos: interfases estáticas
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Estabilidadmultidimen-sional deondas dechoqueOndas de choqueplanas
Teoría de estabilidadde Majda
Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Ecuaciones de hiperelasticidad notérmica sin fuerzas externas
Ut −∇xV = 0,
Vt − divx σ(U) = 0,
con(x, t) ∈ Rd × [0,+∞),
U(x, t) := ∇xX ∈ Rd×d+ − gradiente de deformación local,
V(x, t) := Xt(x, t) ∈ Rd − velocidad local,
σ(U) =∂W∂U
− tensor de Piola-Kirchhoff (stress),
W = W(U) − densidad local de energía
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Ecuaciones de hiperelasticidad notérmica sin fuerzas externas
Ut −∇xV = 0,
Vt − divx σ(U) = 0,
con(x, t) ∈ Rd × [0,+∞),
U(x, t) := ∇xX ∈ Rd×d+ − gradiente de deformación local,
V(x, t) := Xt(x, t) ∈ Rd − velocidad local,
σ(U) =∂W∂U
− tensor de Piola-Kirchhoff (stress),
W = W(U) − densidad local de energía
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Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Constricción:curlx U = 0,
i.e. ∂xk Uij − ∂xjUik = 0, i, j, k = 1, .., d.
Tensor acústico:
N (ξ,U) = D2W(U)(ξ, ξ) =d∑
i,j=1
ξiξjBji(U), ξ ∈ Rd
Bij(U) :=
∂2W∂Ulj∂Uki
∈ Rd×d,
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Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Constricción:curlx U = 0,
i.e. ∂xk Uij − ∂xjUik = 0, i, j, k = 1, .., d.
Tensor acústico:
N (ξ,U) = D2W(U)(ξ, ξ) =d∑
i,j=1
ξiξjBji(U), ξ ∈ Rd
Bij(U) :=
∂2W∂Ulj∂Uki
∈ Rd×d,
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Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Condición de Legendre-Hadamard:
η>N (ξ,U)η > 0
para todo η, ξ ∈ Rd. (Se dice que W es rango-uno convexa en U.)
W es rango-uno convexa en U =⇒ el sistema de ecuaciones eshiperbólico en U.
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Condiciones deKreiss-Lopatinski
Estabilidadmultidimen-sional deondas dechoqueOndas de choqueplanas
Teoría de estabilidadde Majda
Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Condición de Legendre-Hadamard:
η>N (ξ,U)η > 0
para todo η, ξ ∈ Rd. (Se dice que W es rango-uno convexa en U.)
W es rango-uno convexa en U =⇒ el sistema de ecuaciones eshiperbólico en U.
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Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Interfases planas subsónicas
(U,V)(x, t) =
(U−,V−), x · N < st,
(U+,V+), x · N > st
W es convexa de rango-uno en U = U±, U+ 6= U−. Normal a lainterfase: N ∈ Rd, |N| = 1. s = velocidad del choque, subsónica:
0 ≤ s2 < minκj(N,U±) valores propios de N (N,U±).
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Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Interfases planas subsónicas
(U,V)(x, t) =
(U−,V−), x · N < st,
(U+,V+), x · N > st
W es convexa de rango-uno en U = U±, U+ 6= U−. Normal a lainterfase: N ∈ Rd, |N| = 1. s = velocidad del choque, subsónica:
0 ≤ s2 < minκj(N,U±) valores propios de N (N,U±).
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Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Condiciones clásicas de salto (Rankine-Hugoniot):
−s[U]− [V]⊗ N = 0,
−s[V]− [σ(U)]N = 0,
[U]× N = 0.
[f ] := f + − f−, para toda función f .
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Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Modelo simplificado en una dimensión
ut − vx = 0,
vt + σ(u)x = 0.
El sistema es hiperbólico si σ′(u) < 0.Cuando el sistema modela transiciones de fase (van der Waals,rodillos elásticos unidimensionales), σ′(u) > 0 excepto en unaregión (α, β) = región espinodal.
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Modelo simplificado en una dimensión
ut − vx = 0,
vt + σ(u)x = 0.
El sistema es hiperbólico si σ′(u) < 0.Cuando el sistema modela transiciones de fase (van der Waals,rodillos elásticos unidimensionales), σ′(u) > 0 excepto en unaregión (α, β) = región espinodal.
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Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Valores propios:
κ2 = −σ′(u)
a1(u) := −√−σ′(u) < 0 < a2(u) := +
√−σ′(u)
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Seleccionar u+ y u− en regiones hiperbólicas no conectadas. Lavelocidad del choque puede ser subsónica:
a+1 <s < a+
2 ,
a−1 <s < a−2 ,
i+ = dim E s(A+ − s) = 1, (1)
i− = dim E s(A− − s) = 1, (2)
Índice de subcompresividad:
k = i+ + i− − 2 = 0.
El choque es subcompresivo si k ≤ 0.
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Choque clásico (o de Lax):Si σ′(u) < 0 para todo u, la condición de entropía de Lax es:
a+1 <a+
2 < s,
a−1 <s < a−2 ,
i+ = dim E s(A+ − s) = 2, (3)
i− = dim E s(A− − s) = 1, (4)
Índice de subcompresividad:
k = i+ + i− − 2 = 1.
(Choque de Lax.)
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Consecuencias:Para un choque subcompresivo no hay unicidad de las solucionesdébiles (ejemplo, problema de Riemann). Las condiciones deRankine-Hugoniot se deben complementar con condiciones desalto adicionales.
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Relaciones cinéticas
La velocidad s de una interfase plana subsónica no estáúnicamente determinada por leyes constitutivas (choquesubcompresivo). Se requiere un criterio adicional.
Relaciones cinéticas:R. ABEYARATNE AND J. K. KNOWLES
• J. Mech. Phys. Solids 38 (1990) no. 3, 345-360.• Arch. Ration. Mech. Anal. 114 (1991), 119-154.
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Relaciones cinéticas
La velocidad s de una interfase plana subsónica no estáúnicamente determinada por leyes constitutivas (choquesubcompresivo). Se requiere un criterio adicional.
Relaciones cinéticas:R. ABEYARATNE AND J. K. KNOWLES
• J. Mech. Phys. Solids 38 (1990) no. 3, 345-360.• Arch. Ration. Mech. Anal. 114 (1991), 119-154.
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Función que relaciona la velocidad normal de la interfase s = vn
con la fuerza “guiadora” efectiva a través de la interfase:
vn = φ(F),
F := [W(U)]− N>[U]>〈σ(U)〉N,
〈f 〉 := 12(f + + f−). En ciertos casos: φ invertible.
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
La relación cinética induce una condición de salto extra de laforma
g((U−,V−), (U+,V+), s,N) = 0
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Relaciones cinéticas del tipo ABEYARATNE AND KNOWLES
(1990, 1991) de la forma:
g = F + h = 0,
h((U−,V−), (U+,V+), s,N) : N −→ R,
N = (R3×3+ × R3)× (R3×3
+ × R3)× R× R3
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Relación cinética de Maxwell:
h ≡ 0,
(conservación de energía a través de la frontera)
Relaciones cinéticas regulares del tipoABEYARATNE-KNOWLES :
• h es una función diferenciable en sus parámetros,• h(·, ·, s = 0, ·) = 0, idénticamente,• h > 0 para s < 0, y h < 0 para s > 0 (desigualdad de
Clausius-Dulhem vale en la interfase),• ((d/ds)h)((U+,0),(U−,0),0,ν)) < 0 (monotonía cerca de s = 0
en la interfase estática) (*)
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Relación cinética de Maxwell:
h ≡ 0,
(conservación de energía a través de la frontera)
Relaciones cinéticas regulares del tipoABEYARATNE-KNOWLES :
• h es una función diferenciable en sus parámetros,• h(·, ·, s = 0, ·) = 0, idénticamente,• h > 0 para s < 0, y h < 0 para s > 0 (desigualdad de
Clausius-Dulhem vale en la interfase),• ((d/ds)h)((U+,0),(U−,0),0,ν)) < 0 (monotonía cerca de s = 0
en la interfase estática) (*)
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Relación cinética de Maxwell:
h ≡ 0,
(conservación de energía a través de la frontera)
Relaciones cinéticas regulares del tipoABEYARATNE-KNOWLES :
• h es una función diferenciable en sus parámetros,• h(·, ·, s = 0, ·) = 0, idénticamente,• h > 0 para s < 0, y h < 0 para s > 0 (desigualdad de
Clausius-Dulhem vale en la interfase),• ((d/ds)h)((U+,0),(U−,0),0,ν)) < 0 (monotonía cerca de s = 0
en la interfase estática) (*)
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Relación cinética de Maxwell:
h ≡ 0,
(conservación de energía a través de la frontera)
Relaciones cinéticas regulares del tipoABEYARATNE-KNOWLES :
• h es una función diferenciable en sus parámetros,• h(·, ·, s = 0, ·) = 0, idénticamente,• h > 0 para s < 0, y h < 0 para s > 0 (desigualdad de
Clausius-Dulhem vale en la interfase),• ((d/ds)h)((U+,0),(U−,0),0,ν)) < 0 (monotonía cerca de s = 0
en la interfase estática) (*)
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Relación cinética de Maxwell:
h ≡ 0,
(conservación de energía a través de la frontera)
Relaciones cinéticas regulares del tipoABEYARATNE-KNOWLES :
• h es una función diferenciable en sus parámetros,• h(·, ·, s = 0, ·) = 0, idénticamente,• h > 0 para s < 0, y h < 0 para s > 0 (desigualdad de
Clausius-Dulhem vale en la interfase),• ((d/ds)h)((U+,0),(U−,0),0,ν)) < 0 (monotonía cerca de s = 0
en la interfase estática) (*)
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Ejemplos:Modelo simplificado:
[W(u)] +12[u](σ+ + σ−) = 0,
Hiperelasticidad:
[W(U)]− N>[U]>〈σ(U)〉N = 0.
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Ejemplos:Modelo simplificado:
[W(u)] +12[u](σ+ + σ−) = 0,
Hiperelasticidad:
[W(U)]− N>[U]>〈σ(U)〉N = 0.
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Análisis en modos normales paralas ecuaciones de hiperelasticidad
FREISTÜHLER AND P, Arch. Ration. Mech. Anal. 186 (2007),no. 1.
Es suficiente hacer el análisis de modos normales en unsubespacio de amplitudes compatibles con la constriccióncurlx U = 0.
Resultado: definición de la función reducida de Lopatinski.Permite incorporar interfases estáticas s = 0 al análisis.
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Análisis en modos normales paralas ecuaciones de hiperelasticidad
FREISTÜHLER AND P, Arch. Ration. Mech. Anal. 186 (2007),no. 1.
Es suficiente hacer el análisis de modos normales en unsubespacio de amplitudes compatibles con la constriccióncurlx U = 0.
Resultado: definición de la función reducida de Lopatinski.Permite incorporar interfases estáticas s = 0 al análisis.
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Hipótesis :• W convexa de rango-uno en U (hiperbolicidad local).• ∀U ∼ U, ∀ξ ∈ Rd, ξ 6= 0, valores propios de N (ξ, U) son
semi-simples, multiplicidades independientes de U and ξ(MÉTIVIER (2000)).
• h((U−,V−), (U+,V+), s,N) = 0, (RH + relacionescinéticas)
• La matriz (d2 + d + 1)× 2(d2 + d)
(d(U+,V+)h , d(U−,V−)h
)|((U−,V−),(U+,V+),s,N)
tiene rango máximo (condición no degeneradaCOULOMBEL
(2003)).
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Sistemashiperbólicoscon valores
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Teoría deKreissSistemashiperbólicos
Condiciones deKreiss-Lopatinski
Estabilidadmultidimen-sional deondas dechoqueOndas de choqueplanas
Teoría de estabilidadde Majda
Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Hipótesis sobre las configuraciones de equilibrio:
• ∃UA 6= UB in Rd×d+ , mínimos locales de W, rango-uno
conectados. W convexa de rango uno en ambos.• Simetrizabilidad y multiplicidad constante en ambos. La
confición no degenerada de Coulombel sobre h vale en((UA, 0), (UB, 0), 0,N∗).
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Condiciones deKreiss-Lopatinski
Estabilidadmultidimen-sional deondas dechoqueOndas de choqueplanas
Teoría de estabilidadde Majda
Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Función reducida de LopatinskiConjunto compacto de frecuencias:
S := (λ, ξ) ∈ C× Rd : Re λ ≥ 0, ξ · N = 0, |λ|2 + |ξ|2 = 1,
Determinante de Lopatinski reducido:
∆ : S −→ C,
∆(λ, ξ) := det(
Rs− Q Ru+
p− q p+
),
donde,
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Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Función reducida de LopatinskiConjunto compacto de frecuencias:
S := (λ, ξ) ∈ C× Rd : Re λ ≥ 0, ξ · N = 0, |λ|2 + |ξ|2 = 1,
Determinante de Lopatinski reducido:
∆ : S −→ C,
∆(λ, ξ) := det(
Rs− Q Ru+
p− q p+
),
donde,
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Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Q :=
([U]N
−λs− i[σ(U)]ξ
),
q := −λ(Dsg) + i(ξ · DNg)
p+ := (D(U+,V+)g)K+(λ, ξ)Ru+ ∈ C1×3
p− := −(D(U−,V−)g)K−(λ, ξ)Rs−
Rs,u(U±) ∈ C2d×d - espacios invariantes estable e inestable de unamatrizMs,N(U) : S → C2d×2d definida para cada U cerca de U±,s subsónica. Ks,N(U) : S → C(d2+d)×2d es un mapeo continuo. My K dependen explicitamente de las segundas derivadas de W.
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Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Q :=
([U]N
−λs− i[σ(U)]ξ
),
q := −λ(Dsg) + i(ξ · DNg)
p+ := (D(U+,V+)g)K+(λ, ξ)Ru+ ∈ C1×3
p− := −(D(U−,V−)g)K−(λ, ξ)Rs−
Rs,u(U±) ∈ C2d×d - espacios invariantes estable e inestable de unamatrizMs,N(U) : S → C2d×2d definida para cada U cerca de U±,s subsónica. Ks,N(U) : S → C(d2+d)×2d es un mapeo continuo. My K dependen explicitamente de las segundas derivadas de W.
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Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Idea:
Los modos normales de la forma
(U,V) = (U, V)(x1 − st)exp(iξ · x + λt)
compatibles con la condición curl U = 0, satisfacen:
Id 0 00 sId2−d 00 0 Id
(A1 − s)(U(·), v(·))> ∈ G(λ, ξ)
G(λ, ξ) = (λY, iξ2Y, . . . , iξdY,Z)> : Y,Z ∈ Cdde dimensión 2d.
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
La estabilidad nolineal de la interfase subsónica plana estácontrolada por la función de Lopatinski reducida en el sentido quela frontera es:• Uniformemente estable si ∆(λ, ξ) 6= 0, para todo (λ, ξ) ∈ S,
(condición uniforme Lopatinski),• Débilmente estable si ∆(λ, ξ) 6= 0, para todo
(λ, ξ) ∈ S ∩ Re λ > 0 (condición de Lopatinski),• Fuertemente inestable si ∆(λ, ξ) = 0 para algún
(λ, ξ) ∈ S ∩ Re λ > 0.
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
La estabilidad nolineal de la interfase subsónica plana estácontrolada por la función de Lopatinski reducida en el sentido quela frontera es:• Uniformemente estable si ∆(λ, ξ) 6= 0, para todo (λ, ξ) ∈ S,
(condición uniforme Lopatinski),• Débilmente estable si ∆(λ, ξ) 6= 0, para todo
(λ, ξ) ∈ S ∩ Re λ > 0 (condición de Lopatinski),• Fuertemente inestable si ∆(λ, ξ) = 0 para algún
(λ, ξ) ∈ S ∩ Re λ > 0.
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
La estabilidad nolineal de la interfase subsónica plana estácontrolada por la función de Lopatinski reducida en el sentido quela frontera es:• Uniformemente estable si ∆(λ, ξ) 6= 0, para todo (λ, ξ) ∈ S,
(condición uniforme Lopatinski),• Débilmente estable si ∆(λ, ξ) 6= 0, para todo
(λ, ξ) ∈ S ∩ Re λ > 0 (condición de Lopatinski),• Fuertemente inestable si ∆(λ, ξ) = 0 para algún
(λ, ξ) ∈ S ∩ Re λ > 0.
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Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Ejemplo: frontera planamonoclínica
Deformaciones (monoclínicas) :
U+ =
1 0 0ε 1 00 0 1
y U− =
1 0 0−ε 1 00 0 1
, ε > 0,
con función de densidad de energía (M. KRUŽÍK AND
M. LUSKIN, J. Sci. Comput. 19 (2003), nos. 1 - 3):
W(U) =1
32
∣∣∣∣∣∣C −
1 + ε2 ε 0ε 1 00 0 1
∣∣∣∣∣∣
2 ∣∣∣∣∣∣C −
1 + ε2 −ε 0−ε 1 00 0 1
∣∣∣∣∣∣
2
donde C(U) = U>U (tensor de “strain” de Cauchy-Green), y
|M|2 = Tr (M>M), (norma de Frobenius en R3×3).
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Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Ejemplo: frontera planamonoclínica
Deformaciones (monoclínicas) :
U+ =
1 0 0ε 1 00 0 1
y U− =
1 0 0−ε 1 00 0 1
, ε > 0,
con función de densidad de energía (M. KRUŽÍK AND
M. LUSKIN, J. Sci. Comput. 19 (2003), nos. 1 - 3):
W(U) =1
32
∣∣∣∣∣∣C −
1 + ε2 ε 0ε 1 00 0 1
∣∣∣∣∣∣
2 ∣∣∣∣∣∣C −
1 + ε2 −ε 0−ε 1 00 0 1
∣∣∣∣∣∣
2
donde C(U) = U>U (tensor de “strain” de Cauchy-Green), y
|M|2 = Tr (M>M), (norma de Frobenius en R3×3).
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Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Conexión de rango uno:
U+ − U− = 2εe2 ⊗ e1,
y det U+ = det U− = 1.
Pozos martensíticos: U+ = SO (3)U+ y U− = SO (3)U−.
Número total de pozos: 2 (fases monoclínicas).
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Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
• W indiferente bajo rotaciones,• W alcanza su mínimo sólo en U+ = SO (3)U+ yU− = SO (3)U−,
• W es rango-uno convexa en U = U± (hiperbolicidad),• W satisface la condición de Métivier (valores propios simples
de N (ξ,U±)),• No convexa, con estructura múltiple,• Cálculo de microestructuras cristalinas (CHIPOT et al.
Numer. Math 70 (1995), no. 3; M. KRUŽÍK AND
M. LUSKIN, J. Sci. Comput. 19 (2003), nos. 1 - 3).
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Teoría de estabilidadde Majda
Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Resultados:
P, J. Mech. Phys. Solids 56 (2008), no. 4.
La interfase estática plana es débilmente estable bajo la relacióncinética de Maxwell (conservación de energía) y
uniformemente estable bajo relaciones cinéticas regulareslineales del tipo Abeyaratne - Knowles.
Contraparte elástica (y estática) de los resultados de S.BENZONI-GAVAGE en el caso de un fluído de Van der Waals:• Nonlinear Anal. TMA 31 (1998), nos. 1-2.• Arch. Rational Mech. Anal. 150 (1999), no. 1.
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Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Resultados:
P, J. Mech. Phys. Solids 56 (2008), no. 4.
La interfase estática plana es débilmente estable bajo la relacióncinética de Maxwell (conservación de energía) y
uniformemente estable bajo relaciones cinéticas regulareslineales del tipo Abeyaratne - Knowles.
Contraparte elástica (y estática) de los resultados de S.BENZONI-GAVAGE en el caso de un fluído de Van der Waals:• Nonlinear Anal. TMA 31 (1998), nos. 1-2.• Arch. Rational Mech. Anal. 150 (1999), no. 1.
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Evaluación del determinante de LopatinskiValores propios de B1±
1 :
k1 =12ε2
(3 + 2ε2 −
√(3 + 2ε2)2 − 8
),
k2 = ε2,
k3 =12ε2
(3 + 2ε2 +
√(3 + 2ε2)2 − 8
),
0 < k1 < k2 < k3, simples. Velocidades característicasαj = ±√
kj, j = 1, 2, 3. Vectores propios de B1±1 ,
Yj = kj
2ε3
kj − 2ε2
0
, j = 1, 3, Y2 = e3.
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Definición de la función deLopatinski
ν = e1 − dirección de propagación,
ξ = (ξ2, ξ3)− direcciones transversales
Conjunto compacto de “frecuencias”
S := (λ, ξ) ∈ C× R2 : |λ|2 + |ξ|2 = 1,Re λ ≥ 0,
con interior: S+ := S ∩ Re λ > 0.
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Definición de la función deLopatinski
ν = e1 − dirección de propagación,
ξ = (ξ2, ξ3)− direcciones transversales
Conjunto compacto de “frecuencias”
S := (λ, ξ) ∈ C× R2 : |λ|2 + |ξ|2 = 1,Re λ ≥ 0,
con interior: S+ := S ∩ Re λ > 0.
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
M± : S → R6×6
M±(λ, ξ) :=
(M±
11 M±12
M±21 M±
22
),
M±11 = i(B1±
1 )−1(ξ2B1±2 + ξ3B1±
3 ),
M±12 = −(B1±
1 )−1,
M±21 = (ξ2B2±
1 + ξ3B3±1 )(B1±
1 )−1(ξ2B1±2 + ξ3B1±
3 )− λ2I+−(ξ2
2B2±2 + ξ2
3B3±3 + ξ2ξ3(B2±
3 + B3±2 )),
M±22 = i(ξ2B2±
1 + ξ3B3±1 )(B1±
1 )−1.
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
La función de Lopatinski reducida, ∆ : S → C, está definidacomo (FREISTÜHLER-P, 2007):
∆(λ, ξ) := det(
Rs− Q Ru+
p− q p+
),
donde
Q :=
([U1]
i[σ(U)](0, ξ)>
)∈ C6×1,
q := −λ(Dsg) + i((0, ξ)>DNg) ∈ C1×1
p+ := (D(U+,V+)g)K+(λ, ξ)Ru+ ∈ C1×3
p− := −(D(U−,V−)g)K−(λ, ξ)Rs− ∈ C1×3
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
La función de Lopatinski reducida, ∆ : S → C, está definidacomo (FREISTÜHLER-P, 2007):
∆(λ, ξ) := det(
Rs− Q Ru+
p− q p+
),
donde
Q :=
([U1]
i[σ(U)](0, ξ)>
)∈ C6×1,
q := −λ(Dsg) + i((0, ξ)>DNg) ∈ C1×1
p+ := (D(U+,V+)g)K+(λ, ξ)Ru+ ∈ C1×3
p− := −(D(U−,V−)g)K−(λ, ξ)Rs− ∈ C1×3
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
K±(λ, ξ) :=
i(B1±1 )−1(ξ2B1±
2 + ξ3B1±3 ) −(B1±
1 )−1
−iξ2I 0−iξ3I 0−λI 0
∈ C12×6,
Ru+ : S −→ C6×3,
Rs− : S −→ C6×3,
son mapeos continuos en S (analíticos en S+), cuyas columnasgeneran los subespacios invariantes estable e inestable deM+ andM− respectivamente.
Propiedades: ∆ es analítica para Re λ > 0 y continua hastaRe λ = 0.
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Condiciones deKreiss-Lopatinski
Estabilidadmultidimen-sional deondas dechoqueOndas de choqueplanas
Teoría de estabilidadde Majda
Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
K±(λ, ξ) :=
i(B1±1 )−1(ξ2B1±
2 + ξ3B1±3 ) −(B1±
1 )−1
−iξ2I 0−iξ3I 0−λI 0
∈ C12×6,
Ru+ : S −→ C6×3,
Rs− : S −→ C6×3,
son mapeos continuos en S (analíticos en S+), cuyas columnasgeneran los subespacios invariantes estable e inestable deM+ andM− respectivamente.
Propiedades: ∆ es analítica para Re λ > 0 y continua hastaRe λ = 0.
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Modos estables e inestables
Sea N±(µ, ξ) := N (µ, ξ2, ξ3,U±). Valores propios β = −iµ deM±, con µ ∈ C, satisfacen:
π±(µ) := det (N±(µ, ξ) + λ2I) = 0,
para toda (λ, ξ) ∈ S.
Para Re λ > 0, los valores propios son:
3 modos estables, Imµs < 0,3 modos inestables, Imµu > 0.
(dicotomía hiperbólica, R. HERSH, J. Math. Mech. 12 (1963)no.3).
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Modos estables e inestables
Sea N±(µ, ξ) := N (µ, ξ2, ξ3,U±). Valores propios β = −iµ deM±, con µ ∈ C, satisfacen:
π±(µ) := det (N±(µ, ξ) + λ2I) = 0,
para toda (λ, ξ) ∈ S.
Para Re λ > 0, los valores propios son:
3 modos estables, Imµs < 0,3 modos inestables, Imµu > 0.
(dicotomía hiperbólica, R. HERSH, J. Math. Mech. 12 (1963)no.3).
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Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Rs,u± - haces de Lopatinski, analíticos para Re λ > 0.
Observación: R vector propio deM± con valor propio −iµ,
R =
(Y
i(µB1±1 + ξ2B1±
2 + ξ3B1±3 )Y
),
Y ∈ ker (N±(µ, ξ) + λ2I).
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Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Rs,u± - haces de Lopatinski, analíticos para Re λ > 0.
Observación: R vector propio deM± con valor propio −iµ,
R =
(Y
i(µB1±1 + ξ2B1±
2 + ξ3B1±3 )Y
),
Y ∈ ker (N±(µ, ξ) + λ2I).
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Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Evaluación y reduccionesUsando la simetría de la configuración:
Π =
1 0 00 −1 00 0 −1
, Π2 = I.
ΠN+(µ, ξ)Π = N−(−µ, ξ)para todo µ ∈ C y ξ ∈ R2.
Y ∈ ker (N+(µ, ξ)+λ2I) =⇒ ΠY ∈ ker (N−(−µ, ξ))+λ2I),
Por lo tanto:µs− = −µu
+
Basta con calcular las frecuencias inestables µu+ en el estado
U = U+.
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Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Λ :=
(Π 00 −Π
), Λ2 = I,
ΛM+(λ, ξ)Λ = −M−(λ, ξ),
para todo (λ, ξ) ∈ S.
Rs− := ΛRu
+,
Basta con calcular el espacio invariante Ru+.
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Usando la “homogeneidad” de ∆ (FREISTÜHLER-P, 2007):
∆(λ, ξ) = Θ(ρ)∆(ρλ, ρξ),
Θ - factor continuo tal que |Θ(±1)| = 1, Θ(ρ) 6= 0.
Normalizando λ→ λ/|ξ|, ξ → ξ/|ξ| podemos restringir loscálculos a |ξ| = 1,Re λ ≥ 0; parametrizar en cordenadas polares
ξ = (cosϕ, sinϕ), ϕ ∈ [0, 2π).
N+(µ, ϕ) := N+(µ, eiϕ)
N+(−µ,−ξ) = N+(µ, ξ), N+(−µ,−ϕ) = N+(µ, ϕ)
Basta con tomar ξ = eiϕ, ϕ ∈ [0, π2 ].
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Usando la “homogeneidad” de ∆ (FREISTÜHLER-P, 2007):
∆(λ, ξ) = Θ(ρ)∆(ρλ, ρξ),
Θ - factor continuo tal que |Θ(±1)| = 1, Θ(ρ) 6= 0.
Normalizando λ→ λ/|ξ|, ξ → ξ/|ξ| podemos restringir loscálculos a |ξ| = 1,Re λ ≥ 0; parametrizar en cordenadas polares
ξ = (cosϕ, sinϕ), ϕ ∈ [0, 2π).
N+(µ, ϕ) := N+(µ, eiϕ)
N+(−µ,−ξ) = N+(µ, ξ), N+(−µ,−ϕ) = N+(µ, ϕ)
Basta con tomar ξ = eiϕ, ϕ ∈ [0, π2 ].
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
En resumen:
∆(λ, eiϕ) = det(
ΛRu+ Q Ru
+
−p q p
),
(λ, ϕ) ∈ Re λ ≥ 0 × [0,π
2]
con
Q = 2ε(
e20
)∈ R6×1,
q = −λ(Dsh)|s=0 ∈ R1×1,
p = ε(0, e>2 )Ru+(λ, ϕ) ∈ C1×3,
Λ = diag (1,−1,−1,−1, 1, 1) ∈ R6×6,
Ru+(λ, ϕ) ∈ C6×3.
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
En resumen:
∆(λ, eiϕ) = det(
ΛRu+ Q Ru
+
−p q p
),
(λ, ϕ) ∈ Re λ ≥ 0 × [0,π
2]
con
Q = 2ε(
e20
)∈ R6×1,
q = −λ(Dsh)|s=0 ∈ R1×1,
p = ε(0, e>2 )Ru+(λ, ϕ) ∈ C1×3,
Λ = diag (1,−1,−1,−1, 1, 1) ∈ R6×6,
Ru+(λ, ϕ) ∈ C6×3.
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Estabilidad “unidimensional”:∆(λ, 0) 6= 0
Sea (λ, 0) ∈ S con ξ = 0, es decir, |λ| = 1. Entonces,
Ley de Maxwell:
∆0(λ, 0) = Cλ4 6= 0, C 6= 0
Ley cinética de Abeyaratne-Knowles (con (d/ds)h|s=0 < 0):
∆(λ, 0) = C1(C2 − ((d/ds)h|s=0)C3)λ4 = Cλ4 6= 0, C 6= 0
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Estabilidad “unidimensional”:∆(λ, 0) 6= 0
Sea (λ, 0) ∈ S con ξ = 0, es decir, |λ| = 1. Entonces,
Ley de Maxwell:
∆0(λ, 0) = Cλ4 6= 0, C 6= 0
Ley cinética de Abeyaratne-Knowles (con (d/ds)h|s=0 < 0):
∆(λ, 0) = C1(C2 − ((d/ds)h|s=0)C3)λ4 = Cλ4 6= 0, C 6= 0
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
El índice de la curva y estabilidadFamilia de mapeos:
λ 7→ ∆(·, ϕ) ϕ ∈ [0, π/2];
en un contorno cerrado
λ ∈ Cρ := C+ρ ∪ C0
ρ,
C+ρ := λ ∈ C : |λ| = ρ,Re λ > 0,C0
ρ := λ ∈ C : λ = iτ, τ ∈ [−ρ,+ρ], ρ > 0.
Dado que|λ| À 1, ∆(λ, ξ) ∼ ∆(1, 0) 6= 0,
basta con tomar contornos Cρ con ρ > 0 finita.Por la fórmula del producto para el grado de un mapeo(DEIMLING, Nonlinear Funct. Anal., Springer 1985) el índice dela curva con respecto al cero determina la estabilidad de laconfiguración.
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
El índice de la curva y estabilidadFamilia de mapeos:
λ 7→ ∆(·, ϕ) ϕ ∈ [0, π/2];
en un contorno cerrado
λ ∈ Cρ := C+ρ ∪ C0
ρ,
C+ρ := λ ∈ C : |λ| = ρ,Re λ > 0,C0
ρ := λ ∈ C : λ = iτ, τ ∈ [−ρ,+ρ], ρ > 0.
Dado que|λ| À 1, ∆(λ, ξ) ∼ ∆(1, 0) 6= 0,
basta con tomar contornos Cρ con ρ > 0 finita.Por la fórmula del producto para el grado de un mapeo(DEIMLING, Nonlinear Funct. Anal., Springer 1985) el índice dela curva con respecto al cero determina la estabilidad de laconfiguración.
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Modos de LopatinskiCálculo de las frecuencias de Lopatinski:
π+(µ) = det (N+(µ, ξ) + λ2I) =6∑
j=0
ajµj,
donde
a6 = 2ε6 > 0,a5 = 0,a4 = λ2ε4(2ε2 + 5) + 6ε6|ξ|2,a3 = 2ε5ξ2λ,
a2 = 2λ4ε3(2 + ε2) + λ2ε4((10 + 3ε2)|ξ|2 + ε2ξ23) + 6ε6|ξ|4,
a1 = 2λ2ε3ξ2(λ2 + ε2|ξ|2),
a0 = λ6 + λ4ε2|ξ|2(4 + ε2) + λ2ε4|ξ|2((5 + ε2)|ξ|2 + ε2ξ23) + 2ε6|ξ|6.
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Modos de LopatinskiCálculo de las frecuencias de Lopatinski:
π+(µ) = det (N+(µ, ξ) + λ2I) =6∑
j=0
ajµj,
donde
a6 = 2ε6 > 0,a5 = 0,a4 = λ2ε4(2ε2 + 5) + 6ε6|ξ|2,a3 = 2ε5ξ2λ,
a2 = 2λ4ε3(2 + ε2) + λ2ε4((10 + 3ε2)|ξ|2 + ε2ξ23) + 6ε6|ξ|4,
a1 = 2λ2ε3ξ2(λ2 + ε2|ξ|2),
a0 = λ6 + λ4ε2|ξ|2(4 + ε2) + λ2ε4|ξ|2((5 + ε2)|ξ|2 + ε2ξ23) + 2ε6|ξ|6.
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
i.e. cálculo de los valores propios de
−a5/a6 −a4/a6 −a3/a6 −a2/a6 −a1/a6 −a0/a61 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 0
(Standard factorización de Schur.)
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Ensamblando Ru
¿Cómo calcular una representación válida, con rango máximo, deRu?
• Paso 1: Calcular los 3 modos inestables (para Re λ > 0, ylos 3 modos inestables/neutralmente inestables (paraRe λ = 0), µu
+.• Paso 2: Calcular el núcleo de N+(µ, ϕ) + λ2I ⊂ C3 (simple
algoritmo del producto cruz; funciona también condecomposición SVD).
• Paso 3: Con Y ∈ ker (N+(µ, ϕ) + λ2I), ensambla cadacolumna del campo matricial:
R =
(Y
i(µB1±1 + ξ2B1±
2 + ξ3B1±3 )Y
)=:
(YZ
).
Esta representación no es válida.
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Ensamblando Ru
¿Cómo calcular una representación válida, con rango máximo, deRu?
• Paso 1: Calcular los 3 modos inestables (para Re λ > 0, ylos 3 modos inestables/neutralmente inestables (paraRe λ = 0), µu
+.• Paso 2: Calcular el núcleo de N+(µ, ϕ) + λ2I ⊂ C3 (simple
algoritmo del producto cruz; funciona también condecomposición SVD).
• Paso 3: Con Y ∈ ker (N+(µ, ϕ) + λ2I), ensambla cadacolumna del campo matricial:
R =
(Y
i(µB1±1 + ξ2B1±
2 + ξ3B1±3 )Y
)=:
(YZ
).
Esta representación no es válida.
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Ensamblando Ru
¿Cómo calcular una representación válida, con rango máximo, deRu?
• Paso 1: Calcular los 3 modos inestables (para Re λ > 0, ylos 3 modos inestables/neutralmente inestables (paraRe λ = 0), µu
+.• Paso 2: Calcular el núcleo de N+(µ, ϕ) + λ2I ⊂ C3 (simple
algoritmo del producto cruz; funciona también condecomposición SVD).
• Paso 3: Con Y ∈ ker (N+(µ, ϕ) + λ2I), ensambla cadacolumna del campo matricial:
R =
(Y
i(µB1±1 + ξ2B1±
2 + ξ3B1±3 )Y
)=:
(YZ
).
Esta representación no es válida.
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Sistemashiperbólicoscon valores
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Teoría deKreissSistemashiperbólicos
Condiciones deKreiss-Lopatinski
Estabilidadmultidimen-sional deondas dechoqueOndas de choqueplanas
Teoría de estabilidadde Majda
Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Normalización :
∆ :=∆
−|R|con
|R| := det (Rs− Ru
+) = det (ΛRu+ Ru
+).
Ventajas:• Previene “loops” innecesarios: ∆ ∼ λp.• Previene puntos rama: Si el ∆ calculado se desvía de otra
representación “admisible” (R con rango máximo), eldenominador |R| se desvía de det (Rs− Ru
+) con rangomáximo del mismo modo, y el mismo factor aparece en elnumerador y en el denominador, cancelándose.
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Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Normalización :
∆ :=∆
−|R|con
|R| := det (Rs− Ru
+) = det (ΛRu+ Ru
+).
Ventajas:• Previene “loops” innecesarios: ∆ ∼ λp.• Previene puntos rama: Si el ∆ calculado se desvía de otra
representación “admisible” (R con rango máximo), eldenominador |R| se desvía de det (Rs− Ru
+) con rangomáximo del mismo modo, y el mismo factor aparece en elnumerador y en el denominador, cancelándose.
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Normalización :
∆ :=∆
−|R|con
|R| := det (Rs− Ru
+) = det (ΛRu+ Ru
+).
Ventajas:• Previene “loops” innecesarios: ∆ ∼ λp.• Previene puntos rama: Si el ∆ calculado se desvía de otra
representación “admisible” (R con rango máximo), eldenominador |R| se desvía de det (Rs− Ru
+) con rangomáximo del mismo modo, y el mismo factor aparece en elnumerador y en el denominador, cancelándose.
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Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Bajo esta normalización:
∆ = ∆0 − λ(Dsh), (∗ ∗ ∗)
donde ∆0 es el determinante de Lopatinski normalizado asociadoa la interfase sujeta a la ley de Maxwell.
Todo lo que debemos hacer es calcular Ru+, rearreglar sus entradas
en los determinantes D(1) y D(2), y evaluar el cociente∆0 = −2ε2D(1)/D(2).
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Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Relaciones cinéticas lineales
Relaciones cinéticas propuestas por ABEYARATNE Y KNOWLES
(1990), para procesos irreversibles cerca del equilibriotermodinámico:
F =sM, M > 0
M > 0 es un coeficiente de mobilidad.
h = −s/M, Dsh = −1/M < 0.
En el límite M → +∞: ley cinética de Maxwell.
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Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Relaciones cinéticas lineales
Relaciones cinéticas propuestas por ABEYARATNE Y KNOWLES
(1990), para procesos irreversibles cerca del equilibriotermodinámico:
F =sM, M > 0
M > 0 es un coeficiente de mobilidad.
h = −s/M, Dsh = −1/M < 0.
En el límite M → +∞: ley cinética de Maxwell.
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Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Valores de los parámetros:
ε = 0.5 − parámetro material,
ϕ = 0, π/8, π/4, 3π/8, π/2 − valores transverasles de ξ = eiϕ,
ρ = 2 − radio,
M = +∞,M = 10− ley de Maxwell vs. ley lineal.
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Estabilidad detransicionesde faseEstabilidad deinterfasessubsónicas planas
Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Resultados: La relación deMaxwell M = +∞
−0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14
−0.08
−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
Re ∆
Im ∆
0 0.1 0.2 0.3 0.4−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Re ∆Im
∆
φ = 0
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
−0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14
−0.08
−0.06
−0.04
−0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
Re ∆
Im ∆
0 0.1 0.2 0.3 0.4−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Re ∆
Im ∆
φ = π/4
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
−0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
Re ∆
Im ∆
0 0.1 0.2 0.3 0.4−0.4
−0.3
−0.2
−0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Re ∆
Im ∆
φ = π/2
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
Resultados: Relaciones cinéticaslineales con 0 < M < +∞
Ejemplo: M = 10
−0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
Re ∆
Im ∆
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
Re ∆Im
∆
φ = 0
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
−0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
Re ∆
Im ∆
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
Re ∆
Im ∆
φ = π/4
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Resultadosnuméricos:interfases estáticas
−0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12−0.25
−0.2
−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Re ∆
Im ∆
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
Re ∆
Im ∆
φ = π/2
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Gracias.