Slides Cálculo

AULA1 - Funcoes trigonometricas inversas.

A funcao arcsen(x).

Para ”construir” a funcao inversa do seno, comecemos por analisar a funcao seno.

Se olharmos para o grafico de f (x) = sen(x), facilmente verificamos que, odomınio de f (x) e Df = <, D ′f = [−1, 1], e uma funcao sempre contınua,periodica e e ımpar(f (−x) = −f (x)).

R. Pereira, V. Mariano (DMCT, UM) Calculo Setembro 2008 1 / 31

Funcoes trigonometricas inversas.

-Para que uma funcao tenha inversa, e necessario que seja injectiva. Como se veno grafico de sen(x), esta funcao nao e injectiva em todo o seu domınio. Para quese possa definir a sua inversa, temos que restringir o seu domınio, numsubdomınio para o qual a funcao seja injectiva.

-Consideremos a funcao g(x) = Sen(x) restrita ao intervalo [−π2 ,

π2 ], e que

representaremos por, g(x) = Sen(x) = sen(x), com − π2 ≤ x ≤ π

2 .

-Podemos dizer que, Dg = [−π2 ,

π2 ], D ′g = [−1, 1], dSen(x)

dx > 0,∀x ∈ Dg pelo quepodemos dizer que a funcao g(x) e crescente em ]− π

2 ,π2 [, e e injectiva no seu

domınio. Uma vez que Sen(x) e injectiva, podemos definir a sua funcao inversa,que representaremos por g−1(x) = arcsen(x).



Esta funcao tem como domınio, Dg−1(x) = [−1, 1] e o seu contradomınio eD ′g−1(x) = [−π

2 ,π2 ].



Seja y = arcsen(x), entao, x = sen(y) e −π2 ≤ y ≤ π

2 . Se derivarmos esta

expressao em ordem a x vem, dxdx = cos(y) dy

dx , i.e., 1 = cos(y) dydx .

Como cos(y) ≥ 0, quando −π2 ≤ y ≤ π

2 , temos,

cos(y) =√

1− sen2(x) =√

1− x2. Logo, darcsen(x)dx = 1√

1−x2.

A funcao arccos(x)Para ”construir” a funcao inversa do coseno, comecemos por analisar a funcaocoseno.



Se olharmos para o grafico de f (x) = cos(x), facilmente verificamos que, odomınio de f (x) e Df = <, D ′f = [−1, 1], e uma funcao sempre contınua,periodica e e par(f (−x) = f (x)).

Para que uma funcao tenha inversa, e necessario que seja injectiva. Como se veno grafico de cos(x), esta funcao nao e injectiva em todo o seu domınio. Para quese possa definir a sua inversa, temos que restringir o seu domınio, numsubdomınio para o qual a funcao seja injectiva.

Consideremos a funcao g(x) = Cos(x) restrita ao intervalo [0, π], e querepresentaremos por, g(x) = Cos(x) = cos(x), com 0 ≤ x ≤ π. Podemos

dizer que, Dg = [0, π], D ′g = [−1, 1], dCos(x)dx < 0,∀x ∈ Dg pelo que podemos dizer

que a funcao g(x) e decrescente em ]0, π[, e e injectiva no seu domınio.

Uma vez que Cos(x) e injectiva, podemos definir a sua funcao inversa, querepresentaremos por g−1(x) = arccos(x). O grafico desta funcao e dado por,



Esta funcao tem como domınio, Dg−1(x) = [−1, 1] e o seu contradomınio eD ′g−1(x) = [0, π].

Seja y = arccos(x), entao, x = cos(y) e 0 ≤ y ≤ π. Se derivarmos esta expressaoem ordem a x vem, dx

dx = −sen(y)(y) dydx , i.e.,



1 = −sen(y) dydx . Como sen(y) ≥ 0, quando 0 ≤ y ≤ π, temos,

sen(y) =√

1− cos2(x) =√

1− x2. Logo, darccos(x)dx = − 1√

1−x2.

A funcao arctg(x).

Para ”construir” a funcao inversa da tangente, comecemos por analisar a funcaotangente.



Se olharmos para o grafico de f (x) = tg(x), facilmente verificamos que, odomınio de f (x) e Df = {x ∈ < : x 6= (2k − 1) π

2 , k ∈ Z}, D ′f = <, e umafuncao periodica de perıodo π, e e ımpar.

Para que uma funcao tenha inversa, e necessario que seja injectiva. Como se veno grafico de tg(x), esta funcao nao e injectiva em todo o seu domınio. Para quese possa definir a sua inversa, temos que restringir o seu domınio, numsubdomınio para o qual a funcao seja injectiva.

Consideremos a funcao g(x) = Tg(x) restrita ao intervalo ]− π2 ,

π2 [, e que

representaremos por, g(x) = Tg(x) = tg(x), com − π2 < x < π

2 .

Podemos dizer que, Dg =]− π2 ,

π2 [, D ′g = <, dTg(x)

dx > 0,∀x ∈ Dg pelo quepodemos dizer que a funcao g(x) e crescente em ]− π

2 ,π2 [, e e injectiva no seu

domınio. Uma vez que Tg(x) e injectiva, podemos definir a sua funcao inversa,que representaremos por g−1(x) = arctg(x).



O grafico desta funcao e dado por,

Esta funcao tem como domınio, Dg−1(x) = < e o seu contradomınio eD ′g−1(x) =]− π

2 ,π2 [. Seja y = arctg(x), entao, x = tg(y) e −π

2 < y < π2 .



Se derivarmos esta expressao em ordem a x vem, dxdx = 1

cos2(y)dydx , i.e.,

cos2(y) = dydx . Como 1 + tg2(y) = 1

cos2(y) , entao, darctg(x)dx = 1

1+x2 .

A funcao arccotg(x).

Para ”construir” a funcao inversa da cotangente, comecemos por analisar afuncao cotangente.



Se olharmos para o grafico de f (x) = cotg(x), facilmente verificamos que, odomınio de f (x) e Df = {x ∈ < : x 6= kπ, k ∈ Z}, D ′f = <, e uma funcaoperiodica de perıodo π, e e ımpar.

Para que uma funcao tenha inversa, e necessario que seja injectiva. Como se veno grafico de cotg(x), esta funcao nao e injectiva em todo o seu domınio. Paraque se possa definir a sua inversa, temos que restringir o seu domınio, numsubdomınio para o qual a funcao seja injectiva.

Consideremos a funcao g(x) = Cotg(x) restrita ao intervalo ]0, π[, e querepresentaremos por, g(x) = Cotg(x) = cotg(x), com 0 < x < π. Uma vezque Cotg(x) e injectiva, podemos definir a sua funcao inversa, querepresentaremos por g−1(x) = arccotg(x).

Seja y = arccotg(x), entao, x = cotg(y) e 0 < y < π.



Se derivarmos esta expressao em ordem a x vem, dxdx = − 1

sen2(y)dydx , i.e.,

sen2(y) = dydx . Como 1 + cotg2(y) = 1

sen2(y) , entao, darccotg(x)dx = − 1

1+x2 .


EXTRA - Funcoes hiperbolicas.

As funcoes sen(x) e cos(x) sao designadas por funcoes circulares porque paraqualquer t ∈ <, o ponto (cos(t), sen(t)) localiza-se sobre um cırculo de equacaox2 + y2 = 1. As funcoes ch(x) e sh(x) sao designadas funcoes hiperbolicas , umavez que qualquer t ∈ <, ponto (ch(t), sh(t)) localiza-se sobre uma hiperbole deequacao x2 − y2 = 1, daı que se possa dizer ch2(t)− sh2(t) = 1.

Funcao seno hiperbolico

E uma funcao que se define do seguinte modo,f : < → <

x ↪→ ex−e−x

2 = sh(x)

Tem-se que sh(0) = 0, e uma funcao ımpar, i.e. sh(−x) = −sh(x), Df = <. Paraalem disso vemos que,

limx→+∞

sh(x) = limx→+∞

ex − e−x

2= +∞.

limx→−∞

sh(x) = limx→−∞

ex − e−x

2= −∞.


Funcoes hiperbolicas.

As assımptotas do grafico de sh(x) sao dadas pelas curvas y = ex

2 e y = − e−x

2 . Oesboco do grafico apresenta-se a seguir.



Funcao coseno hiperbolico


x ↪→ ex +e−x

2 = ch(x)

Tem-se que ch(0) = 1, e uma funcao par, i.e. ch(−x) = ch(x), Df = <. Paraalem disso vemos que,

limx→+∞

ch(x) = limx→+∞

ex + e−x

2= +∞.

limx→−∞

ch(x) = limx→−∞

ex + e−x

2= +∞.

As assımptotas do grafico de ch(x) sao dadas pelas curvas y = ex

2 e y = e−x

2 . Oesboco do grafico apresenta-se a seguir.



Funcao tangente hiperbolica


x ↪→ ex−e−x

ex +e−x = sh(x)ch(x)

Tem-se que th(0) = 0, e uma funcao ımpar, i.e. th(−x) = −th(x), Df = <. Paraalem disso vemos que,

limx→+∞

th(x) = limx→+∞

ex − e−x

ex + e−x= 1.

limx→−∞

th(x) = limx→−∞

ex − e−x

ex + e−x= −1.

As assımptotas do grafico de th(x) sao dadas pelas curvas y = 1 e y = −1.



O esboco do grafico apresenta-se a seguir.



Funcao cotangente hiperbolica

E uma funcao que se define do seguinte modo,f : < \ {0} → <

x ↪→ ex +e−x

ex−e−x = ch(x)th(x)

O domınio e Df = {x ∈ < : ex − e−x 6= 0} = < \ {0}. E uma funcao par, i.e.coth(−x) = coth(x). Para alem disso vemos que,

limx→+∞

coth(x) = limx→+∞

ex + e−x

ex − e−x= 1

limx→−∞

coth(x) = limx→−∞

ex + e−x

ex − e−x= −1.

limx→0+

coth(x) = limx→0+

ex + e−x

ex − e−x= +∞

limx→0−

coth(x) = limx→0−

ex + e−x

ex − e−x= −∞.



Algumas relacoes importantes envolvendo funcoes hiperbolicas.

A formula fundamental e ch2(x)− sh2(x) = 1. Outras relacoes se podem provar

facilmente a partir da substituicao das expressoes que definem sh(x) = ex−e−x

2 e

ch(x) = ex +e−x

2 . Fica como trabalho para casa, provar que,

ch(x ± y) = ch(x)ch(y)± ch(x)ch(y)

sh(x ± y) = sh(x)ch(y)± ch(x)sh(y)

sh(2x) = 2sh(x)ch(x)

ch(2x) = ch2(x) + sh2(x)

ch2(x) = ch(2x)+12

sh2(x) = ch(2x)−12



Funcoes hiperbolicas inversas.

As funcoes sh(x), th(x) e coth(x) sao funcoes injectivas, logo sao invertıveis. Afuncao ch(x) nao e injectiva em todo o seu domınio, pelo que, para definirmos asua inversa, temos que restringir o seu domınio.

Inversa do seno hiperbolico.

E uma funcao que se define do seguinte modo,

f : < → <x ↪→ argsh(x)

Como as funcoes hiperbolicas sao definidas a partir de funcoes exponenciais, logo,as funcoes hiperbolicas inversas vao ser definidas em termos de funcao logaritmo.Tentemos entao calcular a inversa da funcao sh(x). Para tal vamos resolver emordem a x a seguinte equacao,

y = ex−e−x

2 ⇔ 2y = ex − 1ex ⇔ (ex)2 − 2yex − 1 = 0



Se considerarmos α = ex , entao temos uma equacao em α, α2 − 2αy − 1 = 0 quepodemos resolver usando a formula resolvente, entao chegamos a,

α =2y±√

4y2+4

2 = y ±√

y2 + 1

Mas, como α = ex , entao, temos que escolher o sinal positivo, uma vez que umafuncao exponencial e sempre positiva. Daqui, e aplicando logaritmo a ambos oslados da igualdade acima, vem, x = ln(y +

√y2 + 1). Da expressao anterior,

tambem facilmente se ve que o seu domınio e <. Isto porque o argumento dafuncao logaritmo e sempre positivo. Podemos entao caracterizar a inversa dafuncao sh(x) da seguinte forma,

f −1 : < → <

x ↪→ ln(x +√

x2 + 1)



Inversa do coseno hiperbolico.

’E uma funcao que se define do seguinte modo,

f : [1,+∞[ → [0,+∞[x ↪→ argch(x)

A funcao ch(x) nao e injectiva. De modo que temos que restringir o seu domınio,por forma a que seja injectiva. Assim, vamos considerar,

Ch(x) : [0,+∞[ → [1,+∞[x ↪→ Ch(x)

Tentemos entao calcular a inversa da funcao Ch(x). Para tal vamos resolver emordem a x a seguinte equacao,

y = ex +e−x

2 ⇔ 2y = ex + 1ex ⇔ (ex)2 − 2yex + 1 = 0

Se considerarmos α = ex , entao temos uma equacao em α, α2 − 2αy + 1 = 0 quepodemos resolver usando a formula resolvente, entao chegamos a,



α =2y±√

4y2−4

2 = y ±√

y2 − 1

Aplicando logaritmo a ambos os lados da igualdade acima, vemx = ln(y ±

√y2 − 1). Temos agora que escolher o sinal. Tambem sabemos que

x ≥ 0 a partir do domınio da funcao ch(x). Isto significa que, y ±√

y2 − 1 ≥ 1.

Por outro lado, tambem vimos que y ≥ 1. Seja por exemplo y = 2. Entao temos2±√

3 ≥ 1. Daqui ve-se que nao se pode escolher o sinal negativo. Podemosentao dizer que,

f : [1,+∞[ → [0,+∞[x ↪→ ln(x +

√x2 − 1)



Inversa da tangente hiperbolica.


f :]− 1, 1[ → <x ↪→ argth(x)

Tentemos entao calcular a inversa da funcao th(x). Para tal vamos resolver emordem a x a seguinte equacao,

y = ex−e−x

ex +e−x ⇔ y(ex + 1ex ) = ex − 1

ex ⇔ (ex)2(y − 1) = −y − 1

Daqui tiramos que ex = ±√

y+11−y , e, uma vez que uma funcao exponencial e

sempre positiva, temos que escolher o sinal positivo, ou seja, x = 12 ln( 1+y

1−y ).

O domınio desta expressao e D = {y ∈ < : 1+y1−y > 0} =]− 1, 1[.



Podemos entao caracterizar a inversa da funcao th(x) da seguinte forma,f −1 :]− 1, 1[ → <

x ↪→ 12 ln( 1+x

1−x )O grafico desta funcao pode ser visto a seguir.



Inversa da cotangente hiperbolica.


f :]−∞,−1[∪]1,∞[ → < \ {0}x ↪→ argcoth(x)

Tentemos entao calcular a inversa da funcao coth(x). Para tal vamos resolver emordem a x a seguinte equacao,

y = ex +e−x

ex−e−x ⇔ y(ex − 1ex ) = ex + 1

ex ⇔ (ex)2(y − 1) = y + 1

Daqui tiramos que ex = ±√

y+1y−1 , e, uma vez que uma funcao exponencial e

sempre positiva, temos que escolher o sinal positivo, ou seja, x = 12 ln( y+1

y−1 ).

O domınio desta expressao e D = {y ∈ < : 1+yy−1 > 0} =]−∞,−1[∪]1,∞[.



Podemos entao caracterizar a inversa da funcao coth(x) da seguinte forma,

f −1 :]−∞,−1[∪]1,∞[ → < \ {0}x ↪→ 1

2 ln( 1+xx−1 )

O grafico desta funcao pode ser visto a seguir.


Slides Cálculo

Documents

Transcript of Slides Cálculo