Sol-Eda-D1-TVA(25-02-13)
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I P N - E S I Q I E PRIMER DEPARTAMENTAL DE ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS LUNES 25 DE FEBRERO DEL 2013, DE 16:00 -18:00 HRS ACADEMIA DE MATEMATICAS Podrá consultar las respuestas del examen en la página de la academia de matemáticas https://sites.google.com/site/matematicasesiqieipn A TV DESCONECTE TODOS SUS DISPOSITIVOS DE COMUNICACIÓN, NO UTILICE CALCULADORA, PUEDE CONSULTAR FORMULARIO, NO RESUELVA SOBRE ESTA HOJA DE EXAMEN, REGRESE ESTA HOJA AL FINALIZAR SU EXAMEN NOMBRE ALUMNO BOLETA 1. Un tanque contiene 200 litros de salmuera en los cuales se disuelven 100 gramos de sal. Una salmuera que contiene 2 gramos de sal por litro se bombea dentro del tanque con un gasto de 8 L/min, la solución mantenida homogénea mediante agitación se bombea fuera del tanque con la misma razón de entrada, halle la cantidad de sal dentro del tanque al cabo de 10 minutos. (4 ptos) Solución: Modelo matemático. () ( ) /25 /25 100e (3 4e ) 1 8 16 2 20 265.202 mi 0 n 1 20 t t dA A ptos d At pto A pto t − + = −−−−−−−−−−− = −+ −−−−−− = −−−−−−−−−− −−− 2. Resuelva la ecuación diferencial por el método de Bernoulli. (2 Ptos) ( ) 2 ln dy x y y x dx + = ( ) 2 ln y x dy y dx x x + = SOLUCION 1 2 dy du y u u dx dx − − = → =− Sustituyendo términos tenemos que: − = − ln() . ()= 1 1 − 2 = − ln 2 = ln() + 1 + =1+ + ln()
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I P N - E S I Q I E PRIMER DEPARTAMENTAL DE ECUACIONES DIFERENCIALES APLICADAS
LUNES 25 DE FEBRERO DEL 2013, DE 16:00 -18:00 HRS ACADEMIA DE MATEMATICAS
Podr consultar las respuestas del examen en la pgina de la academia de matemticas https://sites.google.com/site/matematicasesiqieipn
A TV
DESCONECTE TODOS SUS DISPOSITIVOS DE COMUNICACIN, NO UTILICE CALCULADORA, PUEDE CONSULTAR FORMULARIO, NO RESUELVA SOBRE ESTA HOJA DE EXAMEN, REGRESE ESTA HOJA AL FINALIZAR SU EXAMEN
NOMBRE ALUMNO BOLETA
1. Un tanque contiene 200 litros de salmuera en los cuales se disuelven 100 gramos de sal. Una salmuera que contiene 2
gramos de sal por litro se bombea dentro del tanque con un gasto de 8 L/min, la solucin mantenida homognea mediante agitacin se bombea fuera del tanque con la misma razn de entrada, halle la cantidad de sal dentro del tanque al cabo de 10 minutos. (4 ptos)
Solucin: Modelo matemtico.
( )( )
/25 /25100e ( 3 4e ) 1
8 16 2
20 265.202mi
0
n 1
20t t
dA A ptosdA t pto
A pto
t
+ =
= +
=
2. Resuelva la ecuacin diferencial por el mtodo de Bernoulli. (2 Ptos)
( )2 lndyx y y xdx
+ =
( )2 lny xdy y
dx x x+ =
SOLUCION
1 2 dy duy u udx dx
= =
Sustituyendo trminos tenemos que:
= ln()
. () = 1
1
2= ln
2
= ln()
+ 1
+
= 1 + + ln ()
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RESULTADO
= 11 + + ln ()
3. Resuelva la siguiente ecuacin diferencial utilizando una sustitucin adecuada. (2 ptos)
( )29dy x y edx
= + +
Solucin: Sea 9u x y e= + +
Entonces 9 9du dy dy dudx dx dx dx
= + = + , sustituyendo trminos tenemos que
2 9du u
dx= Lo que nos reduce a una ecuacin diferencial de variables separables, separando variables tenemos que
6
6
6
6
1 3ln6 3
131
19 31
x
x
x
x
u x cu
ceuce
cex y ece
= +
+
= +
+ + = +
Solucin general 6
613 91
x
x
cey x ece
= + +
4. Resuelva la siguiente ecuacin diferencial homognea.
( ) 0ydx x xy dy + + =
Solucin:
2ln lny C xx y
x
5. Resuelva la siguiente ecuacin diferencial reducible a exacta. ( )26 4 9 0xydx y x dy+ =
Solucin:
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2
3 42 3x cy y =
6. Resuelva la siguiente ecuacin diferencial por variables separables.
( ) 21x x ydye edx ye
+ =
Solucin:
( )
( )
2
arctan2
ln 2arctan
yx
x
e e c
o
y e c
= +
= +
