Matemticas II Junio 2015

PROBLEMA A.2. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

a) La ecuacin del plano pi que pasa por el punto P (2 , 0, 1) y es perpendicular a la recta

=

=+

0z0y2x

r :

(3 puntos) b) Las coordenadas del punto Q situado en la interseccin de la recta r y del plano pi .

(2 puntos) c) La distancia del punto P a la recta r (3 puntos) y justificar razonadamente que la

distancia del punto P a un punto cualquiera de la recta r es mayor o igual que

.

553

(2 puntos)

Solucin: a) plano pi? / P pi y pi r

Como pi r un vector normal del plano pi es un vector director de la recta r. Obtengamos un vector director de r. Pasemos a paramtricas la ecuacin de la recta r,

( )( )

=

=

=

=

=

=

=+

012v

000P

0zy

2x

0zy2x

0z0y2x

r

r

r

,,

,,

:

Por tanto del plano pi conocemos ( )

( )

012n

102Ppunto

,,

,,

pi

La ecuacin del plano pi ser: 2 x + y + 0 . z + D = 0 2 x + y + D = 0 Determinamos el valor de D con la condicin de que el punto P es del plano, 2 . 2 + 0 + D = 0 4 + D = 0 D = 4

Finalmente, pi : 2 x + y + 4 = 0 o pi : 2 x y 4 = 0

b) Punto Q? / Q = r pi Para obtener el punto Q resolvemos el sistema formado por las ecuaciones de la recta r y el plano pi,

=++

=

=+

04yx20z

0y2x

este sistema nos da el valor de z ( z = 0 ); obtendremos los valores de x e y

resolviendo el sistema formado por la 1 y 3 ecuaciones.

=+

=+

=++

=+

4yx20y2x

04yx20y2x

despejando x de la 1 ecuacin: x = 2 y

y sustituyendo en la 2: 2 ( 2 y ) + y = 4 4 y + y = 4 5 y = 4 54y =

luego, 58

542x =

=

Finalmente,

054

58Q ,,

c) d ( P, r )? Los clculos realizados en los apartados anteriores, plano pi (que es perpendicular a r por P) y punto Q (corte entre r y pi) son los que corresponden para calcular d ( P , r ) = d ( P, Q ). Por tanto

..)( lu5

5325451

2516

2541

54

5201

540

582) Q (P, d r) (P, d

222

22

==++=+

+

=+

+

==

Tambin podemos calcular la distancia pedida por la frmula correspondiente,

( ) ( )( ) ( ) ( ){ }

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ..,,

,,

),,,,,

,,

,

lu5

5355

535

3

v

vPPrPdLuego

514012v

39441221vPP

221ij2k2012102kji

vPP

aenobtenido012vy102PPr000P

102P

v

vPPrPd

r

rr

222r

222rr

rr

rr

rr

rr

===

=

=+=++=

==++=++=

==

=

=

La justificacin de que la distancia del punto P a un punto cualquiera de la recta r es mayor o igual que ,

553

viene de la definicin de distancia de punto a recta como la menor de las distancias del punto a cualquier otro de la recta.

Otra justificacin. Grficamente la distancia del punto P a la recta r se mide en perpendicular,

La distancia de P a cualquier punto de la recta r (distinto de Q), como se observa en el grfico, sera la hipotenusa del tringulo rectngulo PQR; por tanto d1 (hipotenusa) > d (cateto). Es decir, d ( P, R ) > d ( P, Q ) = d ( P, r ) Luego,

553RPd ),( c.q.c

Una ltima forma de justificacin sera estudiar la monotona de la funcin d ( P, R ) siendo R un punto cualquiera de la recta r.

Segn obtuvimos en el apartado a), de la ecuacin paramtrica de r se deduce que cualquier punto de la recta r ser: ( 2 , , 0 ) y como P ( 2, 0, 1 ),

( ) ( ) ( ) ( ) 222222 585148401022RPd ++=++++=+++=,

Por clculo el radicando es una suma de trminos al cuadrado, luego para cualquier valor de este radicando es positivo. Podemos estudiar la monotona de d ( P, R ) estudiando la monotona del radicando, es decir,

54

1088100108

108y585y 2

=

===+

+=

++=

Como 8 + 10 es, grficamente, una recta de pendiente positiva, a la izquierda de 54

es negativa y a

la derecha positiva. Por tanto para 58

= hay un mnimo relativo, que por lo dicho anteriormente es el absoluto de d ( P , R ).

Para 58

= ,

=

=

=

=

054

58R

0z54y

516

542x

,,

La mnima distancia es:

553

25451

2516

2541

54

5201

540

582 R) (P, d

222

22

==++=+

+

=+

+

= )(

Por tanto, para cualquier punto de la recta r 5

53RPd ),( c.q.c.