Solución - APRENDIENDO CON MISTERYANSEN · PDF filem+ ,mœ #( + ,...

Sergio Yansen Núñez


1. Calcule la longitud del vector cuyo punto inicial es y suT œ Ð"ß � "ß � #Ñpunto final es .U œ Ð$ß � #ß %Ñ

Solución:

→TU œ Ð$ß � #ß %Ñ � Ð"ß � "ß � #Ñ œ Ð#ß � "ß 'Ñ

m TU m œ # � Ð � "Ñ � ' œ %"→ È È# # #

2. Sean los vectores y .? œ Ð"ß &ß � #Ñ @ œ Ð%ß 'ß � $Ñ

Determine: a) m?m

b) ? @ì

c) ángulo entre y ? @

d) ? ‚ @

e) m#Ð? ‚ @Ñ � %? � $@m

Solución:

a) m?m œ " � #& � % œ $!È È b) ? @ œ % � $! � ' œ %!ì



c) como ? @ m?m m@mì œ † † -9=Ð Ñ!

se tiene que : %! $! '"œ † † -9=Ð ÑÈ È !

es decir, el ºángulo entre y es ? @ ! œ #!ß ('

d) ? ‚ @ œ3 4 5" & � #% ' � $

â ââ ââ ââ ââ ââ â

œ 3 � 4 � 5& � # " � # " &' � $ % � $ % 'º º º º º º

œ � "& � "# 3 � � $ � ) 4 � ' � #! 5a b a b a b œ � $3 � &4 � "%5

œ Ð � $ß � &ß � "%Ñ

e) m#Ð? ‚ @Ñ � %? � $@m

œ m#Ð � $ß � &ß � "%Ñ � %Ð"ß &ß � #Ñ � $Ð%ß 'ß � $Ñm œ mÐ#ß � "#ß � #*m

œ % � "%% � )%" œ *)*È È



3. Determine:

a) un vector unitario (de longitud igual a ) y que sea paralelo, con"sentido opuesto, al vector .#3 � %4 � $5

b) un vector de norma igual a y que sea paralelo al vector&$3 � #4 � 5.

Solución:

a) Sea , ? œ #3 � %4 � $5 œ Ð#ß %ß $Ñ m ?m œ #*È tiene longitud igual a y es paralelo a "

#*È Ð#ß %ß $Ñ " ?

es unitario y tiene sentido opuesto a � Ð#ß %ß $Ñ ?"

#*È

b) Sea , ? œ $3 � #4 � 5 œ Ð$ß #ß � "Ñ m ?m œ "%È es unitario y es paralelo a "

"%È Ð$ß #ß � "Ñ ?

tiene longitud igual a y es paralelo a & † Ð$ß #ß � "Ñ & ?"

"%È

Por lo tanto, existen dos posibilidades:

i) tiene longitud igual a y es paralelo (con el &

"%È Ð$ß #ß � "Ñ &

mismo sentido) a .?

ii) tiene longitud igual a y es paralelo (con el � &

"%È Ð$ß #ß � "Ñ &

sentido opuesto) a .?



4. Determine un vector perpendicular al vector .? œ Ð#ß � $ Ñ

Solución:

se tiene que un vector pedido es pues @ œ Ð$ß # Ñ @ ì ? œ !

Observación:

Existen infinitas posibilidades. Basta determinar cualquier vector queÐ+ß ,Ñcumpla Ð+ß ,Ñ ì Ð#ß � $ Ñ œ ! #+ � $, œ !, o sea



5. Considere el triángulo de vértices , yE œ Ð"ß $ß #Ñ F œ Ð$ß � #ß %ÑG œ Ð%ß #ß $Ñ EFG. Determine el valor del ángulo .

Solución:

Sean

? œ œ Ð � #ß &ß � #Ñ→FE Ð"ß $ß #Ñ � Ð$ß � #ß %Ñ œ

@ œ œ Ð"ß %ß � "Ñ→FG Ð%ß #ß $Ñ � Ð$ß � #ß %Ñ œ

como ? ì @ œ m m † m m † -9=Ð Ñ? @ !

se tiene que : #! œ $$ † ") † -9=Ð ÑÈ È !

es decir : ºel valor del ángulo EFG ! œ $%ß )&%



6. Determine , si existe, tal que los vectores y- − + œ Ð"ß #-ß � "Ñ‘

, œ Ð!ß "ß "Ñ %& formen un ángulo de grados.

Solución:

como + , + ,ì œ m m † m m † -9=Ð%&Ñ

se tiene que

#- � " #- � " % !œ # � %- † # †È È#È#

#ß

#- � " œ # � %- Î ÐÑÈ # #

%- � %- � " œ # � %-# #

� %- � " œ #

� %- œ "

- œ � "

%

este valor no satisface la condición #- � " % !

por lo tanto, no existe valor de que cumpla las condiciones establecidas.-



7. Determine un vector de longitud que sea paralelo a , siendo$ ? ‚ @ y .? œ Ð"ß %ß &Ñ @ œ Ð#ß %ß $Ñ

Solución:

? ‚ @ œ3 4 5" % &# % $

â ââ ââ ââ ââ ââ â œ 3 � 4 � 5

% & " & " %% $ # $ # %º º º º º º

œ "# � #! 3 � $ � "! 4 � % � ) 5a b a b a b œ � )3 � (4 � %5

œ Ð � )ß (ß � %Ñ

m m œ m m œ "#*? ‚ @ Ð � )ß (ß � %Ñ È es un vector unitario paralelo a "

"#*È Ð � )ß (ß � %Ñ ? ‚ @

tiene longitud y es paralelo a $ † Ð � )ß (ß � %Ñ $ ? ‚ @"

"#*È

Por lo tanto, existen dos posibilidades:

$

"#*È Ð � )ß (ß � %Ñ ? ‚ @ (con el mismo sentido de )

(con el sentido opuesto a )� Ð � )ß (ß � %Ñ ? ‚ @$

"#*È



8. Si ¿son los vectores y perpendiculares ?m + m œ m , m + � , + � ,→ → →→ → →

Solución

Se tiene que Ð + � , Ñ † Ð + � , Ñ œ + † Ð + � , Ñ � , † Ð + � , Ñ→ → → → →→ → → → →

œ + † + � + † Ð � , Ñ � , † + � , † Ð � , Ñ→ → → →→ → → →

œ + † + � + † , � , † + � , † ,→ → → →→ → → →

œ m + m � + † , � , † + � m , m→ → →→ → →# #

œ � + † , � + † , œ !→ →→ →

luego Ð + � , Ñ ¼ Ð + � , Ñ→ →→ →

9. Determine un vector perpendicular a la recta que pasa por los puntos : y .E œ Ð"ß $Ñ F œ Ð$ß &Ñ

Solución

se tiene que es un vector director de la recta→ →? œ EF œ Ð#ß #Ñ

por lo tanto, un vector perpendicular a ella es : →? ¼ œ Ð � #ß #Ñ 10. Determine un vector perpendicular a la recta de ecuación .C œ #B � $

Solución

se tiene que son puntos de la rectaE œ Ð!ß $Ñ ß F œ Ð � ß !Ñ$#

con lo cual es un vector director de la recta→ →? œ EF œ Ð � ß � $Ñ$

#

por lo tanto, un vector perpendicular a ella es : →? ¼ $#œ Ð$ß � Ñ



11. Determine un vector unitario que sea perpendicular a una recta de pendiente igual a .$&

Solución

como la pendiente es se tiene que un vector director de la recta es7 œ ß$&

y como por lo tanto, un vector unitario que sea→ →? œ Ð "ß Ñ m ? m œ$& &

$%È

perpendicular a ella es : →? � ß "¼ &

$%œ Ð ÑÈ

$&

12. Determine un vector de norma igual a y que sea perpendicular a la recta& .$B � #C œ &

Solución

como la pendiente es se tiene que un vector director de la recta7 œ � ß$#

es y como por lo tanto, un vector de norma→ →? œ Ð � "ß Ñ m ? m œ$# #

"$È

igual a y que sea perpendicular a ella es : & ? � ß � "→¼ œ Ð Ñ1013È

$#

13. Determine un vector perpendicular a la recta de ecuación ,C œ 7B � 8 .7 Á !

Solución

como la pendiente es se tiene que un vector director de la recta7ß

es por lo tanto, un vector que sea perpendicular a ella es :→? œ Ð "ß7 Ñ

→? � 7ß "¼ œ Ð Ñ



14. Sean y vectores no nulos de .→ →? @ ‘$

¿ son los vectores y perpendiculares ?m ? m @ � m @ m ? m ? m @ � m @ m ?→ → → → → → → →

Solución

Ð m ? m @ � m @ m ? Ñ † Ð m ? m @ � m @ m ? Ñ→ → → → → → → →

œ m? m @ † Ð m ? m @ � m @ m ? Ñ � m @ m ? † Ð m ? m @ � m @ m ? Ñ→ → → → → → → → → → → →

œ m? m Ð @ † @ Ñ � m ? m @ † m @ m ? � m? m ? † m @ m @ � m @ m Ð ? † ? Ñ→ → → → → → → → → → → → → →# #

œ m? m m @ m � m? m m @ mÐ @ † ? Ñ � m @ m m ? mÐ ? † @ Ñ � m @ m m ? m→ → → → → → → → → → → →# # # #

œ !

es decir, son perpendiculares

15. Sean , dos vectores tales que:→ →+ ,

la magnitud de es , el ángulo formado por y es y el vector→ →→, # "( + ,È 1

$→ →→ →+ � , , + es perpendicular a . Calcule la magnitud del vector .

Soluciónconsiderando los datos, se tiene que , con los vectores , ,→ →→ →

+ , + � ,

es posible formar un triangulo rectángulo de hipotenusa →+

se tiene : con lo cual : -9=Ð=Ñ œ Í œ m + m œ % "(m , m

m + m m + m"#

# "(→

→ →È → È



16. Sean los vectores y , tales que es→ → → → →→ →? œ + � $ , @ œ + � & , ?

perpendicular a y , . Determine el ángulo formado por→ → →@ m + m œ % m , m œ "

los vectores y .→ →+ ,

Solución

como → → → →? ¼ @ ? † @ œ !se tiene que Í Ð Ñ † Ð Ñ œ !→ →→ →

+ � $ , + � & ,

Í † Ð Ñ † Ð Ñ œ !→ → →→ → →+ + � & , � $ , + � & ,

Í Ð † † Ñ † † Ñ œ !→ → → →→ → → →+ + Ñ � &Ð + , � $Ð , + Ñ � "&Ð , ,

Í m+ m † Ñ œ !→ # � #Ð + , � "&m , m→ → → #

Í "' † Ñ œ !� #Ð + , � "&→ →

Í † œ �→ →+ , "

#

por otro lado,si es el angulo formado por los vectores, se tiene que :!

→ →→ →+ , + ,† œ m m † m m † -9=Ð Ñ!

Í � "# œ % † -9=Ð Ñ!

ºÍ ! œ E<--9=Ð � Ñ œ *(ß ")!(")



17. Dados y determine dos vectores y que cumplan→ → →→+ œ Ð#ß $Ñ , œ Ð"ß #Ñ ? @

simultáneamente: i) tenga la dirección de .→ →? +

ii) sea perpendicular a .→ →@ +

iii) .→ → →? � @ œ ,

Solución

De las condiciones, se puede concluir que : →+ œ Ð � $ß #Ñ¼

→ →? œ :<9C , œ Ð#ß $Ñ→+

→ →→, † + )m + m "$#

† + œ †→

→ →→@ œ :<9C , œ + œ Ð � $ß #Ñ→

→→++

+

¼¼

¼

¼

→, † "

m m "$#† †

con lo cual y satisfacen las condiciones pedidas→ →? @



18. Sean , , tres vectores no nulos de .→ →→+ , - ‘$

Si , , .u uÐ + - Ñ œ Ð , - Ñ→ → →→

¿ es el vector perpendicular al vector ?m , m + � m + m , -→ →→ → →

Solución

como , , se tiene que :u uÐ + - Ñ œ Ð , - Ñ→ → →→

→ → → → → →→ →- + - + - , - ,† †œ m m † m m † -9=Ð Ñ œ m m † m m † -9=Ð Ñ! ! y

con lo cual ,dado que :

→ → → → → → →→ → → →- m , m + � m + m , - m , m + � - m + m ,† Ð Ñ œ † †

œ † †m , m - + � m + m - ,→ →→ → → →

œ m m † m m † -9=Ð Ñ m m † m m † -9=Ð Ñm , m - + � m + m - ,→ →→ → → →! !

œ !

con lo cual : Ð m , m + � m + m , Ñ ¼ -→ →→ → →

19. Sean y dos vectores no nulos. Determine tal que :→ →

+ , −! ‘

sea perpendicular a .→ → →+ � , ,!

Solución se tiene que :

→ → → → →→ →, + � , , + � , ,† Ð Ñ œ ! Í † † Ñ œ !! ! (

Í † † Ñ œ !→ → →→, + � , , (!

Í œ !→ →→ →, +

, ,

†

†

Í œ !→ →→, +

,

†

m m

#



20. Sean → → → →+ œ 3 � 4 � 5

→ →→ →, œ � 3 � $ 4 � 5-

→ → → →- œ # 3 � 4 � 5

Calcule, si es posible, el valor de tal que el ángulo formado por y- → →+ ‚ -

→, es igual a .1

%

Solución

se tiene que À + œ Ð"ß "ß � "Ñ à , œ Ð � "ß � $ß � Ñ à - œ Ð#ß � "ß "Ñ→ →→-

y como : → →→ → →

+ ‚ - œ œ Ð!ß � $ß � $Ñ3 4 5" " � "# � " "

â ââ ââ ââ ââ ââ â con lo cual, ya que Ð Ñ † œ m m † m m † -9=Ð Ñ→ → → →→ →

+ ‚ - , + ‚ - , 1

%

se debe cumplir que À * � $- -œ $ # "! �È È # ##

È

Í $ � Í Ð$ �- - - -œ "! � Ñ œ "! �È # # #

Í * � ' Í- - - -� œ "! � œ# # "'



21. Determine el área del triángulo de vértices :

, y .EÐ"ß #ß %Ñ FÐ � "ß $ß &Ñ GÐ$ß � #ß $Ñ

Solución

Dados los puntos considertemos los vectoresEßFßG

→ → →→+ œ EF œ Ð � #ß "ß "Ñ à , œ EG œ Ð#ß � %ß � "Ñ

se tendra que : E œ m , m † m + m � m:<9C + m><3+Þ"#

# #,

→ → →É →

pero : m , m œ #" ß m + m œ ' ß→ →È È

:<9C + œ Ð#ß � %ß � "Ñ œ Ð � #ß %ß "Ñ →,

→ → →→+ † , * $

m , m #" (#

† , œ � † †→

con lo cual: E œ #" † ' � † #" œ><3+Þ" *# %* #

$ &È É È

otra forma, es considerando el producto cruz

E œ m + ‚ , m><3+Þ"# → →

donde → →+ ‚ , œ

â ââ ââ ââ ââ ââ â→ → →3 4 5

� # " "# � % � "

œ Ð$ß !ß 'Ñ

luego E œ m m œ><3+Þ"# #

$ &Ð$ß !ß 'ÑÈ



22. Sean y dos vectores de , pruebe que el área del paralelógramo→ →+ , ‘$

generado por y es igual al área del paralelógramo generado→ →→+ , � +-

por y .→ →+ ,

Solución

el área del paralelógramo generado por y esta dado por :→ →+ ,

E œ m + ‚ , m:+<+6Þ → →

con lo cual, se tendra que :

el área del paralelógramo generado por y esta dado por :→ →→+ , � +-

E œ m + ‚ Ð Ñm:+<+6Þ → → →, � +-

œ m + ‚ + ‚ Ð Ñm→ →→ →, � +-

œ m + ‚ + ‚ Ñm→ →→ →, � Ð +-

œ m + ‚ m→ →,



23. de Sean y vectores tales que es perpendicular a ,→ → →→ → →+ , + � , + � ,‘$

m + � , m œ #( + , '!→ →→ →È , el ángulo formado por y es . o Determine el áreadel paralelógramo generado por los vectores y .→ →→

+ , � & +

Solución

el área del paralelógramo generado por y es la misma que el→ →→+ , � & +

área del paralelógramo generado por y , luego→ →+ ,

E œ m + ‚ m œ m + m † m , m † =/8Ð Ñ:+<+6Þ → → →→, !

º œ m + m † m , m † =/8Ð'! Ñ œ m + m † m , m→ →→ →È$#

pero es perpendicular a → →→ →+ � , + � ,

luego : Ð + � , Ñ Ð + � , Ñ œ !→ →→ →†

Í † † Í m + m � m , m œ ! Í m + m œ m , m→ → → →+ + � , , œ ! → →→ →# #

luego se tiene que : E œ m + m:+<+6Þ$

##È →

por otro lado,como : m + � , m œ #( m + � , m œ #(→ →→ →È Í #

Í †Ð + � , Ñ Ð + � , Ñ œ #(→ →→ →

Í m+ m � # † � m , m→ → # #→ →

+ , œ #(

Í #m + m � # †→ # → →+ , œ #(

pero →→

+ , œ œ† m + m † m , m † -9=Ð'! Ñ m + m→ →→ º "

##

luego : #m + m � # †→ # → →+ , œ #(

Í #m + m � m + m→ → # # œ #(

9Í m+ m → # œ por lo tanto : E œ m + m œ:+<+6Þ

$ $# #

#È È→ 9



24. Sean y vectores no nulos de , que satisfacen las condiciones→ →+ , ‘$

→ →+ , œ #† , m + m œ " m , m œ % - œ #Ð + ‚ , Ñ � $ ,→ → →→ → →

, . Considere .

a) Determine →→

+ Ð , �†→- Ñ

b) Expresar →- como combinación lineal de →→

+ ,y Solución

a) → → → → →→ → →+ Ð , � + , � + + , � + Ð Ñ† † † † †

→ → → → →- Ñ œ - œ #Ð + ‚ , Ñ � $ ,

œ # Ð + ‚ , Ñ , œ !→ → →→+ , � + � $ + # � � ' œ � %† † †

→ → →

b) → → → →→, ‚ - œ , ‚ Ð Ñ œ # , ‚ , ‚ Ñ#Ð + ‚ , Ñ � $ , Ð + ‚ , Ñ � $Ð ,→ →→ → → →

œ # , ‚ Ð , † , Ñ + � #Ð , † + Ñ ,→ → → → →→ →Ð + ‚ , Ñ œ #→ →

œ $# → →+ � % ,



25. Dada la recta ,P À ÐBß Cß DÑ œ Ð"ß #ß !Ñ � Ð #ß � "ß #Ñ à −- - ‘

los puntos que están a una distancia del punto T ßV − P $ W œ Ð"ß #ß !Ñ y el punto . Calcular el área del triangulo de vértices :U œ Ð"ß !ß "Ñ T ßUßV

Solución

sea X œ ÐBß Cß DÑ − P Í X œ Ð" � # ß # � ß # Ñ- - -

tal que À .ÐX ß WÑ œ $ Í Ð # Ñ � Ð � Ñ � Ð# Ñ œ $È - - -# # #

Í $ œ $ Í œ " ” œ � "¸ ¸- - -

con lo cual : T œ Ð � "ß $ß � # Ñ ß V œ Ð$ß "ß # Ñ

consideremos los vectores : → →TU œ Ð#ß � $ß $Ñ à TV œ Ð%ß � #ß %Ñ

se tiene que E œ m ‚ m œ m m œ #*><3+Þ" "# #

→ →TU TV Ð � 'ß %ß )Ñ È

ya que → →

→ → →

TU TV œ Ð � 'ß %ß )Ñ3 4 5# � $ $% � # %

‚ œ

â ââ ââ ââ ââ ââ â



26. Dada la recta y el plano :P À œ œ œB�" D" �" #

C�" -

Determinar : 1 À B œ � # �C œ # � �D œ " � � #

- .

- .

- .

a.- tal que b.- T − P .ÐT ß Ñ œ P :1 1#

$È

c.- 1 1 1 1" " " plano tal que : P © • ¼

Solución

a.- se tiene que con lo cual , si se cumple queP À B œ � " � T − PC œ " �D œ #

-

-

-

T œ Ð � " � ß " � ß # Ñ- - -

por otro lado como se tiene que1 À B œ � # �C œ # � �D œ " � � #

- .

- .

- .

1 À

â ââ ââ ââ ââ ââ âB C � # D � "

� # " � "" " #

œ ! $B � $ÐC � #Ñ � $ÐD � "Ñ œ !Í

Í 1 À B � C � D œ " luego

.ÐT ß Ñ œ Í œ1# #

$ $ $

Ð�"� ß"� ß# Ñ†Ð "ß"ß�"Ñ�"

È È È¸ ¸- - -

Í # � " œ # Í œ ” œ �¸ ¸- - -" $# #

por lo tanto : T œ Ð � ß ß "Ñ à T œ Ð � ß ß � $Ñ" #" " & &# # # #



b.- sea T œ Ð � " � ß " � ß # Ñ − P- - - si T − Í � " � " � # Í1 - - - -� � œ " œ � "

#

luego P : Ð � ß ß � "Ñ1 œ Ö ×$ $# #

c.- 1 1" " : :â ââ ââ ââ ââ ââ â

B � " C � " D" � " #" " � "

œ ! Í � B � $ C � #D œ %

27. Dadas la recta y el plano ,donde :P 1

B œ � " � #-P C œ " � à − %B � C � $D œ "': ; : - - ‘ 1

D œ $ � -

Determinar: a.- L b.- tal que : P © • ¼1 1 1 1 1

" " "

c.- d.- tal que , )1 1 1": T − P .ÐT œ #'È

Solución

a.- sea T œ Ð � " � # ß " � ß $ � Ñ − P- - - si T − Í � " � # " � $ � Í1 %Ð Ñ � Ð Ñ � $Ð Ñ œ "'- - - - œ $

luego P : Ð&ß %ß !Ñ1 œ Ö ×

b.- 1 1" " : :â ââ ââ ââ ââ ââ âB � " C � " D � $

# " � "% � " $

œ ! Í #B � "! C � ' D œ � $!

c.- hay que resolver el sistema : # B � "! C � ' D œ � $!

%B � C � $D œ "'

” • ” •# � "! � ' � $! " � & � $ � "&% � " $ "' % � " $ "'

J Ð Ñ J Ð � %Ñ" #""#



” • ” •" � & � $ � "&! "* "& (' ! " %

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– —" ! &

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")"*"&"*

B � D œ &")"*

C � D œ %"&"*

B œ � D � &")"*

C œ � D � %"&"*

luego 1 1 -": œ P À œ D œ#

B�& C�%

�� ") "&

"* "*

œ

d.- T œ Ð � " � # ß " � ß $ � Ñ − P- - -

.ÐT ß Ñ œ Í œ1 È È#' #'¸ ¸

ÈÐ�"�# ß"� ß$� Ñ†Ð %ß�"ß$Ñ�"'

#'

- - -

Í � ' � # œ Í œ ” œ �¸ ¸- - -"$ "* (# #

por lo tanto : T œ Ð � " � "*ß ß � Ñ à T œ Ð � )ß � ß Ñ" ##" "$ & "$# # # #



28. Dadas la recta L y el plano ,donde :1

L: ; :

B œ � " � # à − B œ % � � à ß −C œ " � C œ $ � � #D œ $ � D œ " � � #

- - ‘ 1 - . - . ‘

- - .

- - .

Determinar: a.- L b.- tal que L : © • ¼1 1 1 1 1

" " "

c.- d.- P L tal que P, )1 1 1": − .Ð œ #'È

Solución

se tiene que : : 1 - . 1

- .

- .

B œ % � � Í œ !C œ $ � � #D œ " � � #

B � % C � $ D � "� " " "

" � # #

â ââ ââ ââ ââ ââ â : Í %B � $C � D œ #'1

sea T œ Ð � " � # ß " � ß $ � Ñ − P- - - si T − Í � " � # " � $ � Í1 %Ð Ñ � $Ð Ñ � Ð Ñ œ #'- - - - œ "#

&

luego P : Ð ß ß Ñ1 œ Ö ×"* "( $& & &

b.- 1 1" " : :â ââ ââ ââ ââ ââ âB � " C � " D � $

# " � "% $ "

œ ! Í #B � $C � D œ � #

c.- hay que resolver el sistema : %B � $C � D œ #' Í D œ "# � $B

%B � $C � D œ #'#B � $C � D œ � #

Í D œ "# � $B Í B œ Í B œB � $C œ "%

"#�D "#�D$ $

B œ "% � $C

"% � $C œ

luego 1 1 -": œ P À œ œ#

D�"#�$

B�!"

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$

"

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d.- T œ Ð � " � # ß " � ß $ � Ñ − P- - -

.ÐT ß Ñ œ Í œ1 È È#' #'¸ ¸

ÈÐ�"�# ß"� ß$� Ñ†Ð %ß$ß"Ñ�#'

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- - -

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por lo tanto : T œ Ð*ß 'ß � #Ñ à T œ Ð � ß ß Ñ" #( % "'& & &

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