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INSTITUCIÓN EDUCATIVA MISAEL PASTRANA BORRERO SEDES: CENTRAL, MARIA GORETTI, SAN MATEO, NUEVO MILENIO

Licencia de Funcionamiento RESOLUCION N.º 0559 del 30 de enero de 2018 Emanada de la Secretaría de Educación Municipal DANE N.º 154001010449 NIT. 807.005.239 – 3

SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS: TEOREMA DEL COSENO

PROPÓSITO: Aplicar la ley o teorema del coseno en la solución de un triángulo no rectángulo

1.FASE DE INICIO

EN BASE A TUS CONOCIMIENTOS Prueba la ley del Seno utilizando el siguiente triangulo.

Para esto sigue el procedimiento propuesto

a. Mide, con una regla, los tres lados del triángulo y expresa estas medidas en milímetros

A

c

b

B

a

C

b. Mide con un transportador, los tres ángulos del

triángulo y expresa estas medidas en grados

c. Calcula el valor de la función Seno de cada

ángulo y divídalo entre sus lados opuestos

d. Compara los valores que obtuviste al realizar la

medición directa.

2. FASE DE DESARROLLO

El TEOREMA O LEY DEL COSENO ( teorema de los cosenos o ley de los cosenos) es un resultado de trigonometría que

establece la relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de lados de un triángulo cualquiera con los cosenos de sus ángulos interiores opuestos.

El teorema enuncia que: El cuadrado de un lado (a, b o c) cualquiera de un triángulo es igual a la

suma de los cuadrados de los dos lados restantes menos el doble del producto de ellos por

el coseno del ángulo (A, B o C) que forman. ... Si el ángulo A fuese obtuso, es decir >90º, entonces

el coseno sería negativo. La Ley del Coseno afirma que para todo triangulo se cumple,

GUÍA DE APRENDIZAJE #13

ÁREA/ASIGNATURA: MATEMATICAS DOCENTE: JIMMY SUAREZ - MYRIAM GUARIN

GRADO: 1OA 10B 10C ESTUDIANTE: FECHA: Agosto 24 a agosto 28 /2020



Este teorema es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos rectángulos en trigonometría porque si uno de los ángulos es recto, el triángulo es rectángulo, siendo la hipotenusa el lado opuesto a dicho ángulo y se obtiene el teorema de Pitágoras al aplicar el del coseno.

Por ejemplo, si α = 90º, entonces, la primera de las tres fórmulas anteriores queda como

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 siendo a la hipotenusa del triángulo.

La Ley o teorema del Coseno se pude utilizar en los siguientes casos:

CASO 1: Se conocen los tres lados del triángulo (LLL)

CASO 2: Se conocen dos lados del triángulo y el ángulo comprendido entre ellos (LAL).

2.1 INTERPRETACIÓN DE MODELACIONES: Lea detenidamente la modelación e interprete y analice el proceso empleado para su solución

MODELACIÓN 1 Se tiene un triángulo cuyos lados b y c miden 45 y 66 cm respectivamente y cuyo ángulo α mide 47°. Hallar cuánto mide el lado a del triángulo.

C

SOLUCIÓN: Como queremos calcular el lado a del triángulo, aplicamos la siguiente fórmula del teorema del coseno:

B A

Tenemos los datos necesarios para calcular a, es decir, tenemos b, c y al ángulo α que es el ángulo que se forma entre los dos lados. Por tanto, sustituyendo los datos y haciendo la raíz cuadrada obtenemos:

MODELACIÓN 2 Un topógrafo se ubica en el punto A y

con un distanciómetro mide las longitudes de los puntos B y C, situados en los extremos del estanque. Además, con un teodolito mide el ángulo BAC como lo muestra la imagen. Calcule el ancho del estanque a partir de las

medidas tomadas por un topógrafo

SOLUCIÓN:

Primero, se identifica la información de la situación. Se conocen dos lados y l ángulo comprendido entre ellos (caso LAL), así que se puede aplicar la Ley del coseno.

Luego, se aplica la ley del coseno relacionando la medida del estanque y la información conocida, así:

𝐵𝐶2 = 𝐴𝐶2 + 𝐴𝐵2 − 2(𝐴𝐶)(𝐴𝐵) cos 𝐴

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2(𝑏) (𝑐) cos 𝐴

𝑎2 = (26)2 + (40)2 − 2(26) (40) cos 52° Se remplaza la información en la expresión

𝑎2 = 676 + 1600 − 1280,58 Se halla el valor aproimado de la función coseno

𝑎2 ≈ 995,42 Se resuelven als opreaciones

𝑎 ≈ 31,55 Se aplica la raiz Cuadrada



Finalmente ,se concluye que el ancho del estanque mide 31,55 m aproximadamente.

2.2 Interpretar los ejemplos 1,2,3 de la página 113 Texto MEN Matemáticas 10 (como calcular la medida de un ángulo)

2.3TRANSFERENCIA DE CONCEPTOS

2.3.1Resolver Actividades de Aprendizaje página 114 Ejercitación Numeral 1 (a,b,c) Numeral 2 ( a, b, c) Modelación Numeral 3 (a, b ) Comunicación Numeral 4 y 5

3. FASE DE CIERRE: EVALUA TUS CONOCIMIENTOS

Resuelva la siguiente situación aplicando la Ley o teorema del Coseno

3.1 Resolver el triángulo Δ ABC si a = 4 b= 3 y c = 6

3.2 Calcular la distancia que separa a dos motociclistas de acuerdo con la siguiente información.

Dos motociclistas, A y C, se mueven en línea recta desde el punto B, de tal manera que el ángulo ABC mide 42º. Si ambas motocicletas se desplazan con una rapidez constante, siendo la motocicleta A el doble de rápida que la motocicleta C, ¿cuál es la distancia que separa a las dos motocicletas cuando la motocicleta C ha recorrido 3 Km?

NOTA : 1. Recuerde escribir los conceptos claves en su cuaderno y la interpretación de

modelaciones.

2.Acompañamiento, revisión y aclaración de dudas en grupo de WhatsApp, correo electrónico:

[email protected] (10B Y 10C) y [email protected] (10A) o mensaje plataforma

institucional.



ANEXO. SOLUCION RAZONES TRIGONOMETRICAS POR IGUALACIÓN

Ejemplo : Se quiere medir la anchura de un río. Para ello se observa un árbol que está en la otra orilla a la parte más alta

y se obtine un ángulo de elevación de 55º. Alejándose 5m del río en la misma dirección del árbol se vuelve a medir el

ángulo de elecvación y se obtiene 42º. Calcula la anchura del río y la altura del árbol.

Como se puede observar tenemos dos triángulos, se analizan independientemente.

Triángulo 1. Para el ángulo de 55°

Triángulo2. Para el ángulo de 42°

Resolvemos por sustitución (Reemplazamos h del triángulo 1 en h del triángulo 2) y despejamos x.

Respuesta: La anchura de rio es 8.53 m

Si se quiere hallar la altura del árbol, solo reemplazamos x en cualquiera de los dos triángulos.

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