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Solución numérica de EDMétodos de Runge-Kutta
Juan Manuel Rodríguez Prieto
Método de Heun
• Para mejorar la estimación de la pendiente emplea la determinación de dos derivadas en el intervalo (una al inicio y otra al final).
• Las dos derivadas se promedian después con la finalidad de obtener una mejor estimación de la pendiente en todo el intervalo
0
1
0
1 1
1
( , )
( , ) ( , )
2
n n n n
n n n n
n n
y y f x y h
f x y f x y hy y
Predictor
Corrector
Método de Heun
• Con el método de Heun integre desde x=0 hasta x=4 con un tamaño de paso igual a h=1
• Recuerde que la solución analítica es:
0
1
0
1 11
( , )
( , ) ( , )
2
n n n n
n n n nn n
y y f x y h
f x y f x yy y
Predictor
Corrector
0.8' 0.5 4 xy y e
0.8 0.5 0.54( )0 2
1.3
x x xy e e e
Método de Heun• Con el método de Heun integre desde x=0 hasta x=4
con un tamaño de paso igual a h=10
1
0
1 11
( , )
( , ) ( , )
2
n n n n
n n n nn n
y y f x y h
f x y f x yy y
Predictor
Corrector
0.8' 0.5 4 xy y e
xn xn+1 yn yteorico f(n,yn) yn+1_0 f(xn+1,yn+1_0) pendiente promedio yn+1 Error global
0 1 2 2 3 5 6,402163714 4,701081857 6,701082 0,00%
1 2 6,701082 6,194631 5,551623 12,2527 13,68577738 9,618700081 16,31978 -8,18%
2 3 16,31978 14,84392 11,65224 27,97202 30,10669519 20,87946696 37,19925 -9,94%
3 4 37,19925 33,67717 25,49308 62,69233 66,7839558 46,13851844 83,33777 -10,46%
4 5 83,33777 75,33896 56,46124 139,799 148,4930979 102,4771675 185,8149 -10,62%
-9,80%
Metodo de Heun h=1
Método de Heun• Con el método de Heun integre desde x=0 hasta x=4
con un tamaño de paso igual a h=1Si disminuimos el h a la mitad, el error global disminuye cuatro veces
En cambio, si usamos el método de Euler, si disminuimos el h a la mitad el error disminuye a la mitad
0.8' 0.5 4 xy y e
Heun
h=1 -9,80%
h=0,5 -2,24%
h=0,25 -0,50%
Método de Heun vs. Método de Euler• Con el método de Heun integre desde x=0 hasta x=4
con un tamaño de paso igual a h=1
0.8' 0.5 4 xy y e
Euler Heun
Método de Heun vs. Método de Euler• Con el método de Heun integre desde x=0 hasta x=4
con un tamaño de paso igual a h=1
0.8' 0.5 4 xy y e
Heun Euler
h=1 -9,80% 22,81%
h=0,5 -2,24% 10,88%
h=0,25 -0,50% 4,95%
En el método de Euler, si reducimos en 2 el tamaño de h, el error se reduce a la mitad
En el método de Heun, si reducimos en 2 el tamaño de h, el error se reduce cuatro veces
Método del punto medio
1
2
1
2
'
1 1
2 2 2
1 1
2 2
( , )
2
2
( , )
( , )
n nn
n
nn
hn n n
n n hn n
f x yy y h
hx x
y f x y
y y f x y h
Método del punto medio• Con el método del punto medio integre desde x=0
hasta x=4 con un tamaño de paso igual a h=1
0.8' 0.5 4 xy y e
h xn xn+h/2 yn f(xn,yn) yn+(h/2)*f(xn,yn) f(xn+(h/2),yn+(h/2)*f(xn,yn)) yn+1 yteorico Error global(%)
1 0 0,5 2 3 3,5 4,217298791 6,217299 2 0,00%
1 1,5 6,217299 5,793514 9,11405595 8,723439716 14,94074 6,194631 0,37%
2 2,5 14,94074 12,34176 21,11161873 19,00041503 33,94115 14,84392 0,65%
3 3,5 33,94115 27,12213 47,50221791 42,02747813 75,96863 33,67717 0,78%
4 4,5 75,96863 60,1458 106,0415341 93,3721707 169,3408 75,33896 0,84%
Método de Runge Kutta del punto medio h=1
Método del punto medio• Con el método del punto medio integre desde x=0
hasta x=4 con un tamaño de paso igual a h=1
0.8' 0.5 4 xy y e
Método de Ralston
1
2 1
1 1 2
( , )
3 3( , )
4 4
1 2
3 3
n n
n n
n n
k f x y
k f x h y k h
y y k h k h
Método del punto medio• Con el método de Ralston integre desde x=0 hasta x=4
con un tamaño de paso igual a h=1
0.8' 0.5 4 xy y e
h xn xn+3h/4 yn f(xn,yn) yn+(3h/4)*f(xn,yn) f(xn+(3h/4),yn+(3h/4)*f(xn,yn)) yn+1 yteorico Error global(%)
1 0 0,75 2 3 4,25 5,163475202 6,442317 2 0,00%
1 1,75 6,442317 5,681005 10,70307079 10,86926447 15,58216 6,194631 4,00%
2 2,75 15,58216 12,02105 24,59794825 23,80107988 35,45656 14,84392 4,97%
3 3,75 35,45656 26,36442 55,22988192 52,72720673 79,39618 33,67717 5,28%
4 4,75 79,39618 58,43203 123,220201 117,1946375 177,0033 75,33896 5,39%
Método de Runge Kutta de Ralston h=1
Método del punto medio• Con el método de Ralston integre desde x=0 hasta x=4
con un tamaño de paso igual a h=1
0.8' 0.5 4 xy y e
Método del punto medio vs. Ralston• Integre desde x=0 hasta x=4 con un tamaño de paso
igual a h=1
0.8' 0.5 4 xy y e
h punto medio ralston
1 0,66% 4,91%
0,5 0,23% 1,19%
0,25 0,06% 0,29%
En el método del punto, si reducimos en 2 el tamaño de h, el error se reduce cuatro veces
En el método de Ralston, si reducimos en 2 el tamaño de h, el error se reduce cuatro veces
Comparación de todos los métodos• Integre desde x=0 hasta x=4 con un tamaño de paso
igual a h=1
0.8' 0.5 4 xy y e
Heun Euler punto medio ralston
h=1 -9,80% 22,81% 0,66% 4,91%
h=0,5 -2,24% 10,88% 0,23% 1,19%
h=0,25 -0,50% 4,95% 0,06% 0,29%
El método de Euler, posee el error más grande, debido a que el error es de orden h
Método de Runge-Kutta de tercer orden
1
2 1
3 1 2
1 1 2 3
( , )
1 1( , )
2 2
( , 2 )
14
6
n n
n n
n n
n n
k f x y
k f x h y k h
k f x h y k h k h
y y k k k
Método de Runge-Kutta de tercer orden• Con el método de Runge_kutta de tercer orden integre
desde x=0 hasta x=4 con un tamaño de paso igual a h=1
0.8' 0.5 4 xy y e
h xn xn+h/2 xn+h yn f(xn,yn) yn+(h/2)*f(xn,yn) f(xn+(h/2),yn+(h/2)*f(xn,yn)) yn-k1h+2k2h f(xn+h,yn-k1h+2k2h) yn+1 yteorico Error global(%)
1 0 0,5 1 2 3 3,5 4,217298791 7,434597581 5,184864923 6,175677 2 0,00%
1 1,5 2 6,175677 5,814325 9,082839368 8,739048007 17,83944732 10,89240604 14,78616 6,194631 0,31%
2 2,5 3 14,78616 12,41905 20,99568779 19,0583805 40,48387719 23,85076693 33,53672 14,84392 0,39%
3 3,5 4 33,53672 27,32435 47,19889279 42,17914069 90,57065591 52,84479283 75,01767 33,67717 0,42%
4 4,5 5 75,01767 60,62129 105,3283131 93,72878125 201,853947 117,4656266 167,1847 75,33896 0,43%
Método de Runge Kutta de tercer orden h=1
Método de Runge-Kutta de tercer orden• Con el método de Runge_kutta de tercer orden integre
desde x=0 hasta x=4 con un tamaño de paso igual a h=1
0.8' 0.5 4 xy y e
Método de Runge-Kutta de tercer orden• Con el método de Runge_kutta de tercer orden integre
desde x=0 hasta x=4 con un tamaño de paso igual a h=1
0.8' 0.5 4 xy y e
h runge kutta 3
1 0,384651%
0,5 0,051904%
0,25 0,006580%
Si disminuimos el h a la mitad, el error disminuye ocho veces con el método de Runga-Kutta de tercer orden
Método de Runge-Kutta de cuarto orden• Con el método de Runge_kutta de cuarto orden integre
desde x=0 hasta x=4 con un tamaño de paso igual a h=10.8' 0.5 4 xy y e
Método de Runge-Kutta de cuarto orden• Con el método de Runge_kutta de cuarto orden integre
desde x=0 hasta x=4 con un tamaño de paso igual a h=10.8' 0.5 4 xy y e
h Runge Kutta 4
1 0,12315997%
0,5 0,00754079%
0,25 0,00045801%
Si disminuimos el h a la mitad, el error disminuye 16veces con el método de Runga-Kutta de cuarto orden
Comparación de los métodos• integre desde x=0 hasta x=4 con un tamaño de paso
igual a h=10.8' 0.5 4 xy y e
Heun Euler punto medioralston runge kutta 3 Runge Kutta 4
h=1 -9,80% 22,81% 0,66% 4,91% 0,384651% 0,12315997%
h=0,5 -2,24% 10,88% 0,23% 1,19% 0,051904% 0,00754079%
h=0,25 -0,50% 4,95% 0,06% 0,29% 0,006580% 0,00045801%
Comparación de los métodos• integre desde x=0 hasta x=4 con un tamaño de paso
igual a h=10.8' 0.5 4 xy y e
Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Métodos Numéricos
Comparación de los métodos
Método de Euler para varios h
Métodos Numéricos
Método de Euler en Matlab
Método de Heun en Matlab