SOLUCIÓN NUMÉRICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES...
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SOLUCIÓN NUMÉRICA DE
SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES
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EN ESTE TEMA VAMOS A DESARROLLAR UNA SERIE DE
MÉTODOS PARA DETERMINAR LA SOLUCIÓN DE UN SISTEMA
DE ECUACIONES LINEALES.
UNA ECUACIÓN LINEAL ES AQUELLA QUE SE COMPONE POR
UNA SERIE DE VARIABLES ELEVADAS A LA PRIMERA
POTENCIA, AFECTADAS DE UN COEFICIENTE.
UN CONJUNTO DE ELLAS SE DENOMINA SISTEMA DE
ECUACIONES LINEALES.
11 1 12 2 13 1 1... n na x a x a a x b
nnnnnnn
nn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
...
..........................................................
..........................................................
..........................................................
...
...
...
332211
33333232131
22323222121
11313212111
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SOLUCIÓN DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES.
ES UN CONJUNTO ORDENADO DE “n” VALORES QUE SATISFACENSIMULTANEAMENTE A TODAS LAS ECUACIONES DEL SISTEMA.
EN LA SOLUCIÓN SE PUEDEN PRESENTAR TRES CASOS:
A) QUE EL SISTEMA TENGA SOLUCIÓN FINITA ÚNICA, SE LE LLAMACOMPATIBLE DETERMINADO.
B) QUE EL SISTEMA ADMITA MAS DE UNA SOLUCIÓN , ENTONCES SERÁCOMPATIBLE INDETERMINADO.
C) QUE NO TENGA SOLUCIÓN ENTONCES SE DICE QUE ES,INCOMPATIBLE.
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PARA CONOCER CUAL ES EL CASO AL QUE CORRESPONDE
UN SISTEMA NOS APOYAMOS EN EL TEOREMA DE ROUCHE-
FROBENIUS, NOS DICE:
1) LA CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE PARA QUE UN
SISTEMA SEA COMPATIBLE ES QUE EL RANGO DE LA
MATRIZ DEL SISTEMA Y EL RANGO DE LA MATRIZ AMPLIADA
SEAN IGUALES.
2) SIENDO POSIBLE EL SISTEMA, SERÁ DETERMINADO, SI EL
RANGO DE LA MATRIZ Y LA MATRIZ AMPLIADA SEAN
IGUALES A “n” NÚMERO DE INCOGNITAS, EN CASO
CONTRARIO EL SISTEMA ES INDETERMINADO Y ACEPTA
MUCHAS SOLUCIONES.
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LA TÉCNICA FUNDAMENTAL PARA
ENCONTRAR LA SOLUCIÓN DE UN SISTEMA
ES EL DE LA ELIMINACIÓN Y DICHO
PROCESO CONSISTE EN TRANSFORMAR EL
SISTEMA ORIGINAL EN SISTEMAS
EQUIVALENTES APLICANDO LAS TRES
OPERACIONES ELEMENTALES SOBRE LOS
RENGLONES DEL SISTEMA.
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1) INTERCAMBIAR DOS ECUACIONES (solo cambia elsigno del valor del determinante)
2) MULTIPLICAR UNA ECUACIÓN DEL SISTEMA PORUN ESCALAR DIFERENTE DE CERO.
3) MULTIPLICAR UNA ECUACIÓN POR UN ESCALARDIFERENTE DE CERO Y SUMAR EL RESULTADO AOTRA ECUACIÓN DEL SISTEMA.(combinación linealde ecuaciones)
EL SISTEMA RESULTANTE TIENE LA MISMASOLUCIÓN QUE EL ORIGINAL.
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MÉTODO DE GAUSS-JORDAN.
(Método de eliminación completa)
CONSISTE EN LA APLICACIÓN REITERADA DE LAS
OPERACIONES SOBRE LOS RENGLÓNES DE UNA
MATRIZ, PARA OBTENER SISTEMAS
EQUIVALENTES AL ORIGINAL, DE TAL FORMA DE
ENCONTRAR UN SISTEMA CON UNA SOLO
INCOGNITA EN CADA ECUACIÓN.
LOS PASOS A SEGUIR SON LOS SIGUIENTES:
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1) SE REPRESENTA EL SISTEMA CON LA MATRIZ AMPLIADA
2) SE SELECCIONA UN ELEMENTO LLAMADO “PIVOTE” DE LA
MATRIZ DE COEFICIENTES, SI ÉSTE ES EL MAYOR EN VALOR
ABSOLUTO SE DICE QUE SE MINIMIZAN LOS ERRORES POR
REDONDEO.
3) SE NORMALIZA EL RENGLÓN DEL PIVOTE SELECCIONADO,
DIVIDIENDO TODOS LOS ELEMENTOS ENTRE EL PIVOTE.
4) CON UNA COMBINACIÓN DE ECUACIONES SE HACEN CERO LOS
ELEMENTOS DE LA COLUMNA DEL PIVOTE.
5) LA SOLUCIÓN AL SISTEMA SE OBTIENE CUANDO SE ENCUENTRA
UN SISTEMA EQUIVALENTE REPRESENTADO POR LA MATRIZ
IDENTIDAD, QUEDANDO LA SOLUCIÓN EN EL LUGAR DEL VECTOR
DE TÉRMINOS INDEPENDIENTES.
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6) SI A LA MATRIZ DE COEFICIENTES SE AGREGA UNA MATRIZ
IDENTIDAD DEL MISMO ORDEN QUE LA MATRIZ DE COEFICIENTES,
AL APLICAR EL MÉTODO SE OBTIENE LA MATRIZ INVERSA, QUE
ENTRE OTRAS UTILIDADES NOS SIRVE PARA RESOLVER EL
SISTEMA CUANDO SOLO CAMBIA EL VECTOR DE TÉRMINOS
INDEPENDIENTES.
7) EL PRODUCTO DE LOS PIVOTES NOS PROPORCIONA EL VALOR DEL
DETERMINATE AFECTADO DE UN SIGNO MAS/MENOS
DEPENDIENDO DEL NÚMERO DE CAMBIOS DE RENGLÓN
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Ejercicio 1.
Resuelva por Gauss-Jordan, con cuatro cifras decimales
correctas con redondeo.
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 0
3 2 15
3 3 1
X X X
X X X
X X X
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MÉTODO DE DESCOMPOSICIÓN LU.
MÉTODO DE CHOLENSKY.
ES UNA MODIFICACIÓN DEL MÉTODO DE ELIMINACIÓN Y ES MUY
USADO PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES POR MEDIO
DE LA COMPUTADORA POR LA FACILIDAD QUE TIENE EN EL POCO
USO DE MEMORIA.
CONSISTE BASICAMENTE EN LA DESCOMPOSICIÓN DE LA MATRIZ
DE COEFICIENTES “A” EN DOS MATRICES “L” Y “U” EN DONDE “L”
ES UNA MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR Y “U” ES UNA MATRIZ
TRIANGULAR SUPERIOR Y ESTA ÚLTIMA TIENE LA
CARACTERÍSTICA DE QUE SOLO CONTIENE UNOS EN SU
DIAGONAL PRINCIPAL.
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A L U
= *
nnnnn
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
321
3333231
2232221
1131211
nnnnn llll
lll
ll
l
321
333231
2221
11
0
00
000
1000
100
10
1
3
223
112
n
n
n
u
uu
uu
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SI SE OBTIENE EL PRODUCTO DE LOS
RENGLONES DE L POR LA PRIMERA
COLUMNA DE U SE TENDRÁ.
DE DONDE SE CONCLUYE QUE LA PRIMERA
COLUMNA DE L ES LA MISMA QUE LA
PRIMERA DE LA MATRIZ A.
)1(;; 1121211111 nn alalal
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SI SE MULTIPLICA EL PRIMER RENGLÓN DE L PORLAS COLUMNAS DE U SE TIENE:
LO QUE NOS DETERMINAEL PRIMER RENGLÓN DEU , QUE ES EL PRIMER RENGLÓN DE ANORMALIZADO.
ESTE MÉTODO ALTERNA LA OBTENCIÓN DE:PRIMERO UNA COLUMNA DE L Y SEGUNDO UNRENGLÓN DE U.
)2(;;
*;*;*
11
11
11
1313
11
1212
1111131311121211
l
au
l
au
l
au
aulaulaul
nn
nn
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EN GENERAL LOS COEFICIENTES DE L Y U
ESTAN DADOS POR LAS SIGUIENTES
ECUACIONES:
nj
jil
ula
u
ni
ijulal
ii
i
k
kjikij
ij
j
k
kjikijij
,,3,2
,,3,2,1
1
1
1
1
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LA SOLUCIÓN AL SISTEMA DE ECUACIONES
EN CHOLENSKY SE OBTIENE PARA
CUALQUIER VECTOR DE TÉRMINOS
INDEPENDIENTES (SIN NECESIDAD DE
OBTENER LA INVERSA).
LA MATRIZ L ES UN REGISTRO DE LAS
OPERACIONES REQUERIDAS PARA HACER
QUE A SE TRANSFORME EN UNA
TRIANGULAR SUPERIOR U.
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EL VECTOR DE TÉRMINOS
INDEPENDIENTES SE TRANSFORMA EN
UN NUEVO VECTOR QUE AL
AUMENTARSE A U, SE ENCUENTRA, POR
SUSTITUCIÓN INVERSA LA SOLUCIÓN AL
SISTEMA.
PARA REDUCIR A SE UTILIZA LA
MISMA TRANSFORMACIÓN QUE EN U Y ES
LA SIGUIENTE:
b
b
b 'b
'b
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UN MÉTODO EQUIVALENTE PARA TRANSFORMAR
LU, EN EL QUE L TIENE UNOS EN LA DIAGONAL
PRINCIPAL ES EL LLAMADO MÉTODO DE
DOOLITTE.
nil
blb
b
l
bb
ii
i
k
kiki
i ,,3,2
1
1
'
'
11
1'
1
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EXPRESIONES QUE DEFINEN EL MÉTODO:
nil
blb
b
l
bb
ii
i
k
kiki
i ,,3,2
1
1
'
'
11
1'
1
nj
jil
ula
u
ni
ijulal
ii
i
k
kjikij
ij
j
k
kjikijij
,,3,2
,,3,2,1
1
1
1
1
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Ejercicio 1.
Resuelva por la transformación LU con tres cifras decimales correctas,considere redondeo.
5942
968
19327
321
321
321
XXX
XXX
XXX
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EJERCICIO 2.
Una persona invierte $25,000.00 en 3 diferentes tasas:
8%, 10% y 12%, los intereses totales al cabo de un año
fueron de $2,440.00 y los intereses por las inversiones
al 8% y al 12 % fueron iguales. ¿Cuánto invirtió en cada
tasa?
Resuelva por la transformación LU, con tres cifras
decimales correctas, considere redondeo.