Jeiner Orlando Moreno Soto

Código 1088253518

Trabajo de Final De Óptica

Solución a la Ecuación de Onda con la Trasformada de Fourier y un algoritmo para Matlab

La Ecuación de Onda describe fenómenos ondulatorios tales como la propagación del sonido, vibración transversal de cuerdas flexibles y vibración longitudinal de una viga. Dichos fenómenos se pueden modelar con ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.

Descripción del Problema

Sea la ecuación de onda:

∂2U∂t 2

−k2∂2U∂x2

=f (x) , (1)

−∞<x<+∞ ;t>0,

Donde u(x , t) es la solución general a la ecuación de onda y representa el desplazamiento de cualquier punto x en el instante t.

Solución del Problema

Para (1) utilizaremos la trasformada de Fourier F, dada por:

F ( f ( t ) )=∫−∞

∞

f ( t )e−iwtdt ,

Definida en R y toma valores complejos. Al resolver la integral optemos:

F ( f (t ) )=F(w)

Para que la transformada de Fourier de una señal f (t) exista debe satisfacer las denominadas condiciones de Dirichlet:

1. f (t) sea absolutamente integrable, es decir:

∫−∞

∞

¿ f (t )∨dt<∞

2. f (t) posea un número finito de discontinuidades en cualquier intervalo.

La transformada de Fourier Inversa está dada por:

F−1 {F (w ) }= 12π

∫−∞

∞

F (w ) eiwt dw

Resolvamos la ecuación (1), teniendo las condiciones iniciales:

u ( x ,0 )=g ( x );∂ u ( x ,0 )∂ t

=h(x ) (2)

Conociendo el desplazamiento g ( x ) y la velocidad inicial h( x) de la cuerda. Teniendo en cuenta que f ( x ) , g ( x ) , h(x ) cumplen con las condiciones de Dirichlet para la existencia de la Transformada de Fourier,

F (u ( x , t ) )=U (w ,t ) ,

F ( f ( x ) )=F (w ),

F (g ( x ) )=G (w) ,

F (h ( x ) )=H (w) ,

Por las propiedades de la Transformada de Fourier con respecto a x y tomando t fija, tenemos:

F (u ( x ,0 ) )=F (g ( x )),

U (w ,0 )=G(x),

F ( ∂u ( x ,0 )∂ t )=F (h ( x ) ),

dU (w ,0 )dt

=H (w).

Si tomamos la Transformada de Fourier en (1) se obtiene:

F ( ∂2u∂ t2 )=d2U (w ,t )d t 2

F (k2 ∂2u∂x2 )=k2F ( ∂2u∂ x2 )F (k2 ∂2u∂x2 )=k2F ( ∂2u∂ x2 )

¿k2(iw )2U (w ,t )

¿−k2w2U (w , t )

Teniendo (1) y las respectivas trasformadas se tiene:

d2U (w ,t )d t 2

+k2w2U (w , t )=F(w) (3)

La cual es una ecuación diferencial ordinaria homogénea de coeficientes constantes. La soluciones para (3) están dadas por:

U (w ,t )=U H+UP (4)

Donde:

U H = Solución homogénea,

U p= Solución particular.

Ahora hallamos la solución para U H

d2U (w ,t )d t 2

+k2w2U (w , t )=0 (5)

La ecuación es de la forma: y ' '+k 2w2 y=0

La solución es de la forma:

y=Ce∝ x

La ecuación auxiliar: ∝2+k2w2=0

∝=√kw2=±kw

Obtenemos

U H (w , t )=C1 cos (kwt )+C2 sin(kwt )

¿C1V 1+C2V 2

Y con

V 1=cos (kwt ) y V 2=sin(kwt )

Para encontrar H p se hace uso del método de variación de parámetros, teniendo en cuenta:

U p=Z1V 1+Z2V 2 , donde Z1 y Z2 son soluciones al sistema (que podemos variar) de forma que:

{ Z1' V 1+Z2

' V 2=0 ,Z1

' V 1' +Z2

' V 2' =F(w)

Definimos:

Z1' =

−V 2 F (w )W

y Z2' =

V 1F (w )W

Donde W=wronskiano

El cual puede ser calculado como

W (v1 , v2 )=[ cos (kwt ) sin (kwt )−kw sin(kwt ) kw cos (kwt )]

¿kw cos2 (kwt )+kw sin2 (kwt )

¿kw

Por lo tanto se tiene:

Z1' =

−sin (kwt )F (w )kw

y Z2' =cos (kwt )F (w )

kw

Ahora integramos respectivamente:

Z1=∫−sin ( kwt )F (w )kw

dw

Z2=∫ cos (kwt )F (w )kw

dw

De este modo tenemos

U p=−cos (kwt )∫ sin (kwt )F (w )kw

dw+sin (kwt )∫ cos (kwt )F (w )kw

dw

Ahora reemplazamos en (4)

U ( x ,t )=C1cos (kwt )+C2sin ( kwt )−cos (kwt )∫ sin (kwt ) F (w )kw

dw+sin (kwt )∫ cos (kwt )F (w )kw

dw

Para hallar las constantes evaluamos (6) en t = 0, se obtiene:

Como U (w ,0 )=G(w) , entonces

C1=G(w) (7)

Ahora derivo (6) con respecto a t, y evaluando en t=0 ; obtenemos:

dU (w ,0 )dt

=kwC2−∫F (w )dw+kw∫ F (w )kw

dw

De la condición inicial:

dU ( x , t )dt

=H (w ) ,

Reemplazando en la ecuación anterior:

H (w )=kwC2−∫F (w )dw+kw∫ F (w )kw

dw

C2=H (w )kw

+ 1kw∫F (w )dw−∫ F (w )

kwdw

Ahora reemplazamos (7) y (8) en (6)

(6)

(8)

U (w ,t )=G (w )cos (kwt )+[H (w )kw

+ 1kw

∫F (w )dw−∫ F (w )kw

dw ]sin (kwt )−cos (kwt )∫ sin (kwt ) F (w )kw

dw+sin (kwt )∫ cos (kwt )F (w )kw

dw

Manipulamos la ecuación para buscar una simplificación:

U (w ,t )=cos (kwt )[G (w )−∫ sin (kwt ) F (w )kw

dw ]+sin ( kwt )kw

[H (w )+∫F (w )dw ]−sin (kwt )∫ F (w )kw

dw+sin (kwt )∫ cos (kwt ) F (w )kw

dw

U (w ,t )=cos (kwt )[G (w )−∫ sin ( kwt )F (w )kw

dw]+ sin ( kwt )kw

[H (w )+∫ F (w )dw ]−sin (kwt )∫ [ F (w )kw

+cos ( kwt )F (w )

kw ]dw

U (w ,t )=cos (kwt )[G (w )−∫ sin (kwt ) F (w )kw

dw ]+sin ( kwt )kw

[H (w )+∫F (w )dw ]−2sin (kwt )∫ F (w ) sin2 (kwt /2 )kw

dw

A la función U (w ,t ) se le toma la Transformada Inversa de Fourier, y así se obtiene la respuesta de (1) teniendo en cuenta (2).

u ( x , t )=F−1 [U (w ,t ) ](9)Ejemplo:

d2U (w ,t )d t 2

−25d2U (w , t )

d x2=0

Implementamos un código en Matlab para la solución de este problema, el código implementado se muestra a continuación con la solución y las gráficas obtenidas:

syms x w t; %Variables simbólicas definidas por Matlab k = 5; %Constantef = 0; %Función entrante parte no Homogénea [f(x)]F = fourier(f,x,w); %Transformada de Fourier de Fg = x^3; %Función relacionada con la condición inicial u(x,0)G = fourier(g,x,w); %Transformada de Fourier de gh = sin(x); %Función relacionada con la condición inicial du(x,0)/dtH = fourier(h,x,w); %Transformada de Fourier de h %Ecuación final obtenida que soluciona la Ecuación de Onda con la trasformada %de FourierU = cos(k*w*t)*( G -int(F/(k*w)* sin(k*w*t),w))+ sin(k*w*t)*(1/(k*w)*(H+int(F,w))- 2*int(F/(k*w)*(sin(k*w*t/2)) ^2,w));

%Función Solución a la ecuación de Onda obtenida por la Trasformada Inversa%de Fourieru = ifourier(U,w,x); ezsurf(u) %Funcion para graficar en 3D con superficie simple(u) %Funcion de Matlab que me simplifica la funcion u

La solución obtenida es la siguiente: u (w , t )=x3+75 x t 2+sin (5 t )sin ( x )

5