IET Controlate a ti mismo!!

1. (3 puntos) Discute segun el valor del parametro a, y resuelve cuando sea posible, el SEL

x + y = 1ay + z = 0

x + (a + 1)y + az = a + 1

Solucion. Veamos cuando falla el rango maximo de la matriz asociada:

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 1 00 a 11 a + 1 a

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= a2 − a = a(a− 1).

• Si a 6= 0, 1 el sistema es compatible y determinado. La solucion, por Cramer. Como

∣

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∣

∣

∣

1 1 00 a 1

a+ 1 a+ 1 a

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= a2;

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 1 00 0 11 a+ 1 a

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= a;

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 1 00 a 11 0 a + 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= a2

tenemos

x =a

a− 1; y =

−1

a− 1; z =

a

a− 1.

• Sea a = 0. El sistema queda

x + y = 1z = 0

x + y = 1

Tanto el rango de la matriz como el de la matriz ampliada es 2 por lo que el sistema escompatible indeterminado. Veamos la solucion:

x = λ; y = −λ; z = 0.

• Sea a = 1. El sistema queda

x + y = 1y + z = 0

x + 2y + z = 2

El rango de la matriz es 2 y el de la matriz ampliada es 3 por lo que el sistema esincompatible.

1

2. (3 puntos) Considera la a.l. f cuya matriz asociada es

1 0 1 10 1 1 22 −1 1 0

.

a) Indica que vectores son las imagenes de la base canonica. Calcula el rango de la a.l.y la dimension del nucleo. Expresa el nucleo en implıcitas y en parametricas.

b) Consideremos ahora g la aplicacion afın que tiene f como a.l. asociada y la traslacionasociada es (1, 0,−1). El conjunto g−1(3, 2, 1) es un subespacio afın. Expresalo enimplıcitas y en parametricas.

Solucion. a) De forma inmediata la a.l. va de R4 en R

3. Ademas

f(e1) = (1, 0, 2); f(e2) = (0, 1,−1); f(e3) = (1, 1, 1); f(e4) = (1, 2, 0).

El rango de la a.l. es el de la matriz. O sea, 2. Por lo que la dimension del nucleo es4− 2 = 2. Para hallarlo veamos los vectores (x, y, z, w) que cumplen

1 0 1 10 1 1 22 −1 1 0

xyzw

=

000

.

Son las soluciones del sistema (ecuaciones implıcitas del nucleo)

x + z + w = 0y + z + 2w = 0

2x − y + z = 0

Resolviendo el sistema da (ecuaciones parametricas del nucleo).

x = −λ− µ; y = −λ− 2µ; z = λ;w = µ.

Como se ve, el nucleo tiene dimension 2 (dos parametros)

b) La aplicacion afın g tiene como expresion matricial

g(x, y, z, w) =

1 0 1 10 1 1 22 −1 1 0

xyzw

+

101

.

Hallar los puntos cuya imagen es (3, 2, 3) es resolver el sistema

2

x + z + w + 1 = 3y + z + 2w = 2

2x − y + z − 1 = 1≡

x + z + w = 2y + z + 2w = 2

2x − y + z = 2

Estas son las ecuaciones implıcitas de g−1(3, 2, 1). La solucion en parametricas es

x = 2− λ− µ; y = 2− λ− 2µ; z = λ;w = µ.

3

3. (2 puntos) Considera la matriz

F =

(

4 14 4

)

.

a) Escribe la a.l. f(x, y) = ... cuya matriz asociada es F .

b) Halla los autovalores de f . ¿Es diagonalizable?

c) Determina, si existe, una base de vectores propios de f . Expresa F en dicha base.

Solucion. a) La a.l. asociada f : R2 → R2 viene dada por f(x, y) = (4x+ y, 4x+ 4y).

b) Los valores propios (o autovalores) son las raıces del polinomio caracterıstico:

∣

∣

∣

∣

4− λ 14 4− λ

∣

∣

∣

∣

= λ2 − 8λ+ 12 = 0.

Las raıces son 2, 6. Como son distintas es diagonalizable.

c) Calculemos los vectores propios asociados a cada valor propio.

• Para λ = 2, los vectores propios asociados cumplen

(

2 14 2

)(

xy

)

=

(

00

)

.

Son las soluciones de 2x+ y = 0 (o de 4x+ 2y = 0). Por tanto, son los vectores de forma(a,−2a). Uno serıa (1,−2).

• Para λ = 6, los vectores propios asociados cumplen

(

−2 14 −2

)(

xy

)

=

(

00

)

.

Son las soluciones de −2x + y = 0 (o de −4x + 2y = 0). Por tanto, son los vectores deforma (a, 2a). Uno serıa (1, 2).

Respecto a esta base (1,−2), (1, 2) la matriz de la aplicacion tendrıa forma diagonal conlos valores propios en la diagonal

(

2 00 6

)

.

4

4. (2 puntos) Sea V el subespacio vectorial de R3 con base {(−2, 2, 1), (−1, 4,−1)}. Ortonor-maliza esta base y anadele un vector a los dos resultantes para tener una b.o.n. de R

3.

Determinar la proyeccion ortogonal del vector u = (1,−1, 1) en la direccion de subespacioanterior y la componente de u ortogonal a V .

Solucion. Llamemos u1 = (−2, 2, 1); u2 = (−1, 4,−1). El primer paso es dividir u1 porsu modulo (3).

e1 =1

3(−2, 2, 1).

La primera parte del segundo paso es quitarle a u2 la parte que tiene en la direccion dee1 usando u′

2= u2 − (u2 · e1)e1:

u′2= (−1, 4,−1)−

(

(−1, 4,−1) · 13(−2, 2, 1)

)

1

3(−2, 2, 1) = (1, 4,−1)−(−2, 2, 1) = (1, 2,−2).

Para acabar normalizamos (dividimos por el modulo que es 3).

e2 =1

3(1, 2,−2).

La base e1, e2 ya es una b.o.n. de V .

Para completar le anadimos

e3 = e1 × e2 =1

3(−2, 2, 1).

La base e1, e2, e3 ya es una b.o.n. de R3.

La proyeccion ortogonal de u en V usamos πV (u) = (u · e1)e1 + (u · e2)e2. Como

u · e1 =(

(1,−1, 1) · 13(−2, 2, 1)

)

= −1 y (u · e2) =(

((1,−1, 1)) · 13(1, 2,−2)

)

= −1

por lo que

πV (u) = −1

3(−2, 2, 1)− 1

3(1, 2,−2) =

(

1

3,−4

3,1

3

)

.

La componente ortogonal a V es

u− πV (u) = (1,−1, 1)−(

1

3,−4

3,1

3

)

=

(

2

3,1

3,2

3

)

.

5

5. (2 puntos) Va de complejos

a) Representa graficamente, y escribe en forma polar, el numero complejo −1

2+

√3

2j.

b) Sea f(x) =x3 + 1

x− 1. Calcula f(1− j).

c) Calcula√

−1

2+

√3

2j.

Solucion. a) Representar en el plano es marcar el vector de coordenadas −1/2,√3/2).

Para la forma polar hay que hallar el modulo y el argumento.

El modulo es facil ver que es 1

El argumento es el angulo cuyo seno es√3/2 y cuyo coseno es −1/2. Es 2π/6 (o 120).

En forma polar

√3

2+

1

2j = e

2π

6j.

b) Es una simple sustitucion. La fraccion queda:

f(1− j) =(1− j)3 + 1

(1− j)− 1=

1− 3j + 3j2 − j3 + 1

−j=

−1− 2j

−j.

Para hacer la division multiplicamos numerador y denominador por el conjugado deldenominador:

f(1− j) =(−1 − 2j)(j)

(−j)(j)=

(2− j)(j)

1= 2− j.

c) Hemos visto que este complejo tiene modulo 1 y argumento 2π/3.

Las raıces son dos, de modulo 1 y argumentos

π

3;

4π

3.

6