Solucion de Mate

8/17/2019 Solucion de Mate

1/44

Aritmética

A) n2-1 B) 5n3+n2 C) 6n2-n D) 2n2+n E) n3-2n

1. Calcular el valor de


2/44

Solución:

Sea:n2

1k

2k Sk)1(

S = -12 + 22 32 + 42 - 2

S = (22 + 42 2) (12 + 32 1)2

S =n

1k

n

1k

22 )1k2()k2(

S =n

1k

22 )1k2()k2(

S =n

1k

1k4

S =n

1k

n

1k

1k4

S = n2

)1n(n4

S = 2n2 + n

Clave: D

2. Si la media geométrica y la media aritmética de los números enteros positivosa y b se diferencian en 4 unidades y la media aritmética de las raíces

cuadradas de a y b, es igual al doble de la diferencia de dichas raíces, hallar lamedia armónica de a y b.

A) 450

17B)

13

220C)

15

227D)

16

213E)

17

217

Solución:

Sean a, b Z+

se tiene:

4MGMA )b,a()b,a(

4ab2

ba


3/44

8)ba( 2

Además:

)ba(22

ba

)ba(4ba

5 a3a

k3

k5

b

a

(II) en (I):

(5k 3k)2 = 84k2 = 8

k2 = 2a = 50 b = 18

17

450

ba

ab2MH )b,a(

Clave: A

3. Si la media armónica de los números positivos a y b es 15

2y la media

armónica de (a-3) y (b-3) es 24

7, halle la diferencia positiva de a y b.

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

Solución:

2

15MH )b,a(

2

15

ba

ab2

4

15

ba

ab

Además:

7

24MH 3b(),3a(

7

24

)3b()3a(

)3b)(3a(2


4/44

7

12

6ba

)3b)(3a(

De I y II:a = 15 , b = 5

a b = 10

Clave: C

4. El promedio armónico de 60 números es 17 y el promedio armónico de otros40 números es 34 .Halle el promedio armónico de los 100 números.

A) 22 B) 23 C) 23,25 D) 21 E) 21,25

Solución:

17

a

1...

a

1

a

1

60

6021

34

b

1...

b

1

b

1

40

4021

Luego:

17

20

17

60

100

b

1...

b

1

a

1...

a

1

60

401601

25,2180

)17(100

Clave: E

5. La varianza de los sueldos de los trabajadores de una empresa es S/.32. Si laempresa decide descontar en 75% el sueldo de cada trabajador y luegoaumentarles S/. 800 a cada uno, Halle la varianza de los nuevos sueldos.

A) 2 B) 2,8 C) 2,2 D) 5,1 E) 4,2

Solución:2 = 32

xi = sueldo de cada trabajador.

Luego los nuevos sueldos son:25% xi + 800

Entonces la nueva varianza es:

2)32(%)25( 22N


5/44

Clave: A6. Halle la media aritmética de los números

8 ; 20 ; 32 ; 44; . . . ; 356

A) 124 B) 160 C) 182 D) 176 E) 133

Solución:

a1 a2 a3 a4 30

an = 12n 4

30

a

MA

30

1ii

3030

4

2

)31(30

30

12

30

)4i12(

MA

30

1i

182MAClave: C

7. La media aritmética de 3 números enteros positivos es 623

, su media armónica

es 150

31y su media geométrica igual a uno de los números. Halle la diferencia

del mayor y menor de estos números.

A) 32 B) 42 C) 48 D) 30 E) 56

Solución:

Sean a, b, c Z+

donde a < b < centonces:

3

62MA )c.b.a(

Además

31

150MH )c.b.a(

50

31

c

1

b

1

a

1

3


6/44

También:

)III...(bac

babc

bMG

2

3

)c,b,a(

De I, II, III:b = 10 , a = 2 c = 50

c a = 48Clave: C

8. El promedio geométrico de 4 números enteros positivos diferentes es 4 255 .Halle el promedio armónico de estos números.

A) 21,25 B) 13,75 C) 510203

D) 512103

E) 1214517

Solución:

a, b, c, d Z+, diferentes

44 255dcba

1 3 5 17

Luego:

203

510

85

22

3

4

4

17

1

5

1

3

11

4MH

Clave: C

9. En un concurso de matemática los puntajes de la primera fase de 11estudiantes fueron 04, 05, 06, 10, 08, 09, 10, 11, 12, 13 y 14. Si pasan a la

segunda fase todo aquel que tiene un puntaje mayor que la media geométricade la moda y la mediana, halle el número de estudiantes que pasaron a lasegunda fase.

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

Solución:04, 05, 06, 08, 09, 10, 11, 12, 13, 14

notas mayores que 10

Mo = 10Me = 10

Luego:

10)10(10MF )10,10(

Entonces pasan a la siguiente fase 4 estudiantes.


7/44

Clave: B10. El promedio aritmético de un conjunto de números aumenta en 5 unidades

cuando se le suma 6 unidades a cada uno de los 15 primeros números.¿Cuantos elementos tiene dicho conjunto de números?

A) 22 B) 12 C) 20 D) 18 E) 24

Solución:Sea

xMA )x,...x( r 1Se sabe que si se suma 6 unidades a los primeros s el nuevo promedio es

5x

Entonces:

xn

xn

1ii

Además:

18n

n590

5xn

90nx

5xn

)6(15xn

1ii

Clave: D

11. Halle la diferencia positiva de dos números positivos sabiendo que el productode su media armónica por su media aritmética es 900 y el producto de su

media aritmética por su media geométrica es 1305.

A) 46 B) 63 C) 41 D) 35 E) 29

Solución:

Se sabe:

900MAxMH )b,a()b,a(

1305MExMA )b,a()b,a(Entonces:

)I....(900ab

9002

ba

ba

ab2


8/44

Además:

)II....(87ba

1305ab2

ba

De I y II:

a = 12 , b = 75b a = 63

Clave: B

12. La media aritmética de 30 números es 12 y la media aritmética de otros 20números es 17. Hallar la media aritmética de los 50 números.

A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17

Solución:

1720

b

1230

a

20

1ii

30

1ii

Luego

1450

)17(20)12(30

50

ba20

1ii

30

1ii

Clave: B

EJERCICIOS DE EVALUACIÓN N°15

1. Sin

1k4

24

kk

1kkS , calcular el valor de S.

A)5

1)-n(nB)

n5

3)n(nC) n

4

n)-(2n3

D)1-n

5E)

1n

2)n(n

Solución:


9/44

n

1k4

24

kk

1kkS

n

1k4

24

kk

1kkkkS

n

1k4

2

kk

1kk1S

n

1k )1k(k

11S

1n)2n(nS

1n

11nS

1k

1

k

11S

n

1k

Clave: E

2. El promedio aritmético de una cierta cantidad de números es un número primo

ab y eliminando a 31 números cuya suma es 527, el promedio de los números

restantes no varía. Además si agregamos 23 números cuya suma es xya a los

números no eliminados el promedio sigue siendo ab . Determine el valor de

x + y + a + b.

A) 20 B) 21 C) 19 D) 22 E) 18

Solución:

Se tiene:

17ab

31

527

Luego se debe de cumplir

391xya

391)23(17x23

1ii

(x + y + a + b) = 20


10/44

3 9 1 7Clave: A

3. Sio

)6( 173a1 , halle la varianza de a 1; a + 1; 2a + 3 y 3a 1.

A) 7 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

Solución:o

)6( 173a1

36 + 6a + 3 =o

17

6a =o

17+ 12a = 2

Luego

4

)45()47()43()41(

44

5731x

22222

2 = 5Clave: D

4. La media geométrica de los términos de una proporción geométrica continuaes 16 y la media aritmética de los términos diferentes de la misma proporciónes 28. Halle la media armónica de los términos diferentes de la proporciónindicada.

A)7

64B)

4

81C)

5

36D)

6

49E)

13

98

Solución:

Sea la P.G continua:b = 16

)I...(c

b

b

a

ac = b2

luego28MA )c,b,a(

a + b + c = 84Además:

bcacab

abc3MH )c,b,a(


11/44

De I:

7

64

84

)16(3

cba

ac3MH

2

Clave: A

5. Si la desviación estándar de 2; 2; 3; 6; m y n es 5,8 y la media aritmética de

dichos números es 5, hallar la media aritmética de m2 y n2.

A) 74 B) 60 C) 75 D) 72 E) 64

Solución:

(2,2,3,6,m,n) = 5,82 = 8,5

Además:

22i2

x6

x

Luego

17nm

56

nm6322x

74MA

148nm

56

nm63225,8

)nm(

22

2222222

22

Clave: A

6. La media aritmética de ab y ba es 66. Si se cumple que a2 + b2 = 90, halle lamedia geométrica de a y b.

A) 3 3 B) 2 3 C) 3 D) 13 3 E) 5 3

Solución:

33ab

90bapero

12ba

132baab

66MA

22

)ba,ab(

Clave: A

ab = 27


12/44

7. La diferencia de dos números enteros positivos es n3 . Halle el menor de ellossi se sabe que la media aritmética y la media geométrica de ambos son dosnúmeros impares consecutivos.

A) 9 B) 49 C) 43 D) 47 E) 45

Solución:

Sea:a b = n3

Además:

)II...(2ba

2ab2

ba

2MGMA )b,a()b,a(

De (I) y (II):a = 81 , b = 49

49Clave: B

8. La MH de dos números es igual a la mitad del mayor número y la MA excede ala MH en 24 unidades. Determinar la diferencia de los números.

A) 120 B) 100 C) 98 D) 96 E) 85

Solución:

Sea: a > b

k1

k3

b

a

bab42

a

ba

ab22

aMH )b,a(

Además:

96k2ba

48k

242

k3k2

24ba

ab22

ba

24MHMA )b,a()b,a(


13/44

Clave: D9. En una serie de tres razones geométricas, la media geométrica de los

promedios aritméticos de los términos de cada razón es 2. Determinar la mediaaritmética, de la media geométrica de los antecedentes y la media geométricade los consecuentes.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Solución:

22

)1k(bdf

2

bdf ace

bdf ,aceMA

Luego

4)1k(bdf

64)1k(bdf

64)f e)(dc)(ba(

22

f e

2

dc

2

ba

22

f e,

2

dc,

2

baMG

kf

e

d

c

b

a

3

33

33

3

3

Clave: B

10. es 93,5; si a los4; ... ; p respectivamente y al

resto se les agrega 1; 4; 9; 16; ...; q² respectivamente; entonces el promedioaritmético aumenta en sus 2/5. Determinar p/q.

A) 1/5 B) 2/3 C) 7/3 D) 4/7 E) 5/7

Solución:

Se sabe:

* )I...(4675an

1ii

*)II...(5,93

n

an

1ii


14/44

De I y II: n = 50

Luego:

3

7

15

35

b

a

15b,35a11220)1b2)(1b(b)1a(a3

)5,93(5

7

50

)b...41()a...21(ba 2i1

Clave: C

Álgebra EJERCICIOS DE CLASE

1. Halle el cardinal del conjunto solución en Z

Z del sistema

4y0

3x0

2yx

A) 15 B) 17 C) 18 D) 16 E) 13

Solución:

El conjunto solución tiene 17 elementos.Respuesta: B

2. Si a es la mayor abscisa y b es la menor ordenada de las soluciones que

satisfacen el sistema

7y

9y3x3yx

; zy,x , halle a + b.

A) 4 B) 12 C) 6 D) 8 E) 10

4

0

y

x3


15/44

Solución:

iii...7y

ii...9y3x

i...3yx

De (i) y (ii): ...9y3xy3

iv...y3

y412

9y3y3

De (iii) y (iv): 7y36;5;4:y

Si 3x1:en,4y2,2,4,1,4,0

Si 6x2:en,5y

5,5,5,4,5,3,5,2,5,1,5,0,5,1

Si 9x3:en,6y

6,8,........,6,1,6,2

4by8a

Luego a + b=12.Respuesta: B

3. Hallar el área de la región limitada por

0y

0x1yx

7x

3xy

A) 2u44 B) 2u40 C) 2u45 D) 2u64 E) 2u36

Solución:


16/44

A = Área del Trapecio Área del Triángulo= 2u452

1.17.

2

103 .

Respuesta: C

4. Halle el área de la región limitada por

24x3y4x

xy

6y0

A) 2u20 B) 2u24 C) 2u16 D) 2u18 E) 2u22

Solución:

Área (R) Área del Triángulo OAB Área (T)

.u20

22.4

26.8

2

Respuesta: A

5. Sea Ra;ayax9)y,x(f la función objetivo sobre la región R

Si Zb y el área de la región R es 2u14 , halle el valor de a sabiendo que elmáximo valor de f(x,y) es 90.

A) 5 B) 6 C) 3 D) 2 E) 4


17/44

Solución:

Área (R)2

1.b9.

9

b763

15b3b

b9362.9

b9b9714

2

Evaluando en la función ayax9y,xf

máximo,a45a39

42a93,9

42f

a99,0f

a33,0f

.2a90a45

Respuesta: D

6. Dada las restricciones

0y0x

30y2x3

12yx

. Determine la suma de las coordenadas del

punto que minimiza la función f (x,y) = 5x + 2y

A) 10 B) 12 C) 8 D) 9 E) 6

Solución:

Evaluando un y2x5y,xf

4212306,6f

3015,0f

mínimo,2412,0f

.12120scoordenadadesuma

Respuesta: B


18/44

7. Hallar el mínimo valor del producto de los valores de x e y que satisfacen elsistema

0a;a2ay

11

100

110

x...

6

x

2

x

A) 10 B) 100 C) 60 D) 30 E) 20

Solución:

10x

11100

1110x

11100

111

101...

31

21

211x

11100

1101...

61

21x

11100

110x...

6x

2x

Como 2ya2ay

.20210xy mínimoRespuesta: E

8. Juan ganó 10 millones en un negocio y decide invertir como máximo 6millones en la compra de acciones del tipo M que producen un beneficio de10% anual y por lo menos 2 millones en la compra de acciones del tipo N queproducen un beneficio de 7% anual y también decide que lo invertido en M sea

por lo menos igual a lo invertido en N. ¿Cómo debe invertir para que elbeneficio anual sea lo máximo posible?

A) 6 millones en acciones de tipo M y 4 millones en acciones de tipo N.B) 2 millones en acciones de tipo M y 2 millones en acciones de tipo N.C) 4 millones en acciones de tipo M y 6 millones en acciones de tipo N.D) 5 millones en acciones de tipo M y 5 millones en acciones de tipo N.E) 6 millones en acciones de tipo M y 2 millones en acciones de tipo N.

Solución:

Sea x: cantidad en millones que invierte en comprar acciones del tipo My: cantidad en millones que invierte en comprar acciones del tipo N


19/44

0y

0x

10yx

yx

2y

6x

.millones4ymillones6invertir debe

742,6f máximo,884,6f

855,5f

342,2f :Evaluando

utilidadfunción,y7x10y,xf

Respuesta: A

EVALUACIÓN DE CLASE


12yx

x3y

x2y

A) 2u5 B) 2u6 C) 2u4 D) 2u9 E) 2u7

Solución:

Área (R)= .u62

8.12

2

9.12 2

Respuesta: B


20/44

2. Halle el número de soluciones en Z

Z del sistema

5x

8xy4x3

yx2yx

A) 3 B) 4 C) 2 D) 5 E) 6

Solución:

iii...5x

ii...8xy4x3

i...yx2yx

De (i) y (ii): ...48x2

y2

x

4;3;2:x

5x2

x2

x48

8x2x2

1,2

1y1:en;2xSi

1,3

21y

23:en;3xSi

0,4,1,4,2,4

0y2:en;4xSi

Hay 5 soluciones.Respuesta: D

3. Si T es la región determinada por

0y,0x

9y3x

6yx

, halle el área de T.

A) 2u4

45B) 2u20 C) 2u16 D) 2u14 E) 2u64


21/44

Solución:

Área (T)= .u4

452

23.3

23.9 2

Respuesta: A

4. Halle la suma de los componentes de los elementos del conjunto solución del

sistema

5x

5yx

5x2y3

en Z

xZ .

A) 6 B) 27 C) 4 D) 7 E) 9

Solución:

iii...5x

ii...5yx

i...5x2y3

De (i) y (ii)

4,3:x

x2

5x2x315

...3

5x2yx5

3,3

311y2:en;3xSi

4,4,3,4,2,4

313y1:en;4xSi

Suma de componentes = 27.Respuesta: B


22/44

5. Halle el punto que minimiza la función objetivo 2yx)y,x(f sujeto a lasrestricciones.

0y

0x

30y3x4

5yx

A) (4,0) B) (7,0) C) (0,5) D) (5,0) E) (0,10)

Solución:

Evaluando en y2xy,xf

2150,15f

2010,0f

mínimo,50,5f

105,0f

.funciónlaimizamin0,5

Respuesta: D

6. El número de unidades de dos tipos de productos M y N que un comerciantepuede vender es como máximo 100. Dispone de 60 unidades del tipo M con unbeneficio de 2,5 dólares y de 70 unidades del tipo N con un beneficio de 3dólares. ¿Cuántas unidades de cada tipo de producto debe vender elcomerciante para maximizar sus beneficios?

A) 30 de tipo M y 70 de tipo N B) 60 de tipo M y 40 de tipo NC) 40 de tipo M y 20 de tipo N D) 30 de tipo M y 30 de tipo NE) 50 de tipo M y 50 de tipo N

Solución:Seax: # de unidades del tipo My: # de unidades del tipo N


23/44

0y

0x

70y

60x

100yx

y3x5,2y,xf

1500,60f

27012015040,60f

máximo,2852107570,30f 21070,0f

00,0f

Debe vender 30 del tipo M y 70 del tipo N.Respuesta: A


6y0

0x

4yx

2yx

A) 2u25 B) 2u16 C) 2u40 D) 2u19 E) 2u27

Solución:

Área (R)= .u402

2.26.

2

104 2

Respuesta: C


24/44

8. Un sastre tiene 80 m2 de tela M y 120 m2 de tela N. Para hacer un terno decaballero requiere de 1 m2 de tela M y 3 m2 de tela N y hacer un vestido dedama requiere de 2m2 de cada tela. Si la venta de un terno deja el mismobeneficio que la de un vestido, cuantos ternos y vestidos debe fabricar elsastre para obtener la máxima ganancia?

A) 20 ternos y 30 vestidos B) 40 ternosC) 30 ternos y 10 vestidos D) 20 ternos y 20 vestidos

E) 40 vestidos.

Solución:

Sea x: número de ternosy: número de vestidos

Terno VestidosTela M X 2yTela N 3x Y

0y

0x

120y2x3

80y2x

yxy,xf

Evaluando

400,40f

máximo5030,20f

4040,0f

00,0f

Debe fabricar 20 ternos y 30 vestidos.

Respuesta. A


25/44

Geometría

EJERCICIOS DE LA SEMANA Nº 15

1. El desarrollo de la superficie lateral de un cono de revolución es un semicírculo.Halle la medida del ángulo que forman dos generatrices diametralmente opuestas.

A) 30° B) 45° C) 60° D) 37° E) 53°

Solución:

1) AL = S

rg =2

g2

g = 2r

2) ABC: Equilátero

x = 60°

Clave: C

2. En un cono de revolución, cuya altura mide 15 cm y el radio de la base mide 6 cm,se traza un plano secante paralelo a la base a una distancia de 5 cm del vértice del

cono. Halle el área total del tronco de cono resultante.

A) 8 (2 29 + 5) cm2 B) 6 (3 29 + 5) cm2 C) 8 (3 29 + 5) cm2

D) 5 (3 29 + 2) cm2 E) 2 (3 29 + 5) cm2

Solución:

1) CDE ~ ABC

r = 2

g = 2 29

2) AT = g(R + r) + (R2 + r 2)

AT = (2 29 )(6 + 2) + (22 + 62)

AT = (16 29 + 40)

AT = 8 (2 29 + 5) cm2

Clave: A

A

B

xg

r CO g g

g

D es a r r o l l o d e l a s u e r f i ci elat e ral d e un c o no d e

re vo lu ció n

AB

C

D Er

5

h =10g

R = 6


26/44

3. En la figura, el trapecio circular sombreado es el desarrollo de la superficie lateral de

un tronco de cono recto. Si O es centro, mBOC = 60°, OB = 12 cm y OA = 3 cm,

halle el área total del tronco de cono correspondiente.

A) 2cm4

865B) 2cm

4

875C) 2cm

4

675

D) 2cm4945 E) 2cm4

877

Solución:

1) AB = 9 = g : generatriz

2) mBOC = 60° =3

3) Longitud de arco:

L1 = 2 r 1 = 33

5r 1 =

2

5

L2 = 2 r 2 = 123

5r 2 = 10

4) AT = g(r 1 + r 2) + ( 21r + 2

2r )

AT = (9) 1025 + 2

2

1025 AT = 2cm

4875

Clave: B

4. En una superficie esférica de radio R, se inscribe un cono circular recto cuya alturamide h (h > R). Halle el volumen del cono.

A) 2h)hR2(3

B) 2h)hR(3

C) h)hR2(3

D)3

hR 2E)

3

hR 3

Solución:

1) AEO: (Pitágoras)

r 2 + (h R)2 = R2

r 2 = 2Rh h2

2) V =3

1r 2h

=3

1(2Rh h2)h

V =3

(2R h)h2

Clave: A

O

AB

C

g

r 1

r 2

L1

L2

h

Rh R

r A B

C

E

OR


27/44

5. En la figura, halle el valor de para que el área de la superficie lateral del conocircular recto que se forma con el sector circular sombreado sea el triple del área dela base del mismo cono.

A) 240° B) 260°

C) 280° D) 300°

E) 220°

Solución:

1) AL = 3B g = 3 r 2

rR = 3 r 2

R = 3r . . . (*)

2) Longitud de arco = Perímetro base

R(2 ) = 2 r

3r(2 ) = 2 r

6 3 = 2 =3

4

= 3

4

(180) = 240°Clave: A

6. El área de un huso esférico de 30° es 2m3

4. Halle el volumen de la cuña esférica

correspondiente.

A) 3m9

4B) 3m

6

5C) 3m

8

7D) 3m

9

8E) 3m

7

8

Solución:

1) AH.E. =3

4= 4 R2

360

30

R = 2 m

2) VCUÑA = 3R3

4

360

30

= 3)2(3

4

360

30

VCUÑA = 3m9

8

Clave: D

O

A B

C

R

O

A Husoesférico

O

A B

C

g = R

r

h

F

E D

B

2

R R


28/44

7. En una superficie esférica cuya área es 144 m2, es seccionada por dos planos queforman entre sí un ángulo diedro de 60°, determinando dos casquetes esféricoscongruentes que tienen un punto en común. Halle el área de la superficie esféricacomprendida entre ambos planos.

A) 60 m2 B) 72 m2 C) 76 m2 D) 80 m2 E) 96 m2

Solución:

1) 4 R2 = 144 R = 6

2) AEO (Notable 30°- 60°)

h = 3

3) Sx = AS.E. 2AQ.E.

= 144 2[2 Rh]

= 144 2[5 (6)(3)]

= 144 72

Sx = 72 m2

Clave: B

8. El radio de una superficie esférica mide 12 cm. Si las áreas de una zona esférica yun huso esférico son equivalentes en dicha superficie esférica, y la altura de la zonaesférica es 3 cm, halle el volumen de la cuña esférica correspondiente.

A) 248 cm3 B) 268 cm3 C) 278 cm3 D) 288 cm3 E) 300 cm3

Solución:

1) A1 = A2

2 Rh = 4 (122)360

2 (12)(3) = 4 (122)360

= 45°

2) VCUÑA =36045R

34 3

=360

45)12(

3

4 3

VCUÑA = 288 cm3

Clave: D

30° A

B

O

Er

r

R =6R =6

círculomáximo

F Sx

AQ.E.

AQ.E.

R = 12

O

A

h = 3

A2

A1


29/44

9. Una superficie esférica está inscrita en un tronco de pirámide cuadrangular regular cuyas aristas básicas miden 4 cm y 8 cm. Halle el volumen de la esfera.

A) 3cm3

264B) 3cm

3

265C) 3cm

3

267

D) 3cm

3

277E) 3cm

3

280

Solución:

1) MNAC: Trapecio isósceles

2) AEC: (Rel. métricas)

O1 A = AB = 2

O2C = CB = 4

r 2 = (2)(4) r = 2 2

3) VESFERA =3

4(2 2 )3

VESFERA = 3cm

3

264

Clave: A

10. El radio de una esfera mide 3 cm. Halle el volumen de un segmento esférico de dos

bases congruentes cuya altura mide 2 3 cm.

A) 3cm38 B) 3cm316 C) 3cm310

D) 3cm312 E) 3cm314

Solución:

1) ABO (Pitágoras)

r = 22 )3(3 r = 6

2) v = 212

21 BB3

hBB

2

h

v =3

)32(r r

2

32 222

v = 3cm316Clave: B

E

A

B

CM

N

O2 4

4

2O1

4

r

O

A B

R = 3

r r

r

3

h

=2 3

B1

B2


30/44


31/44

13. La base de un cono circular recto es un círculo máximo de una semiesfera cuyoradio mide 5 cm tal que al intersecar la semiesfera determina un círculo menor. Si elvolumen del cono es igual a la mitad del volumen de la esfera, halle el volumen deltronco de cono comprendido entre el círculo máximo y el círculo menor mencionados.

A) 3cm3

206B) 3cm

3

131C) 3cm

3

146D) 3cm

3

176E) 3cm

3

196

Solución:

1) vCONO =2

1vESFERA

3

1(5)2H = 3)5(

3

4

2

1

H = 10

2) ADE (Notable 53°/2)

3) DBC (Notable 37°- 53°)

r = 3 h = 4

4) vx =3

h[R2 + r 2 + Rr]

=3

)4([52 + 32 + 5(3)]

vx = 3cm

3

196

Clave: E

14. En la figura, el radio de la superficie esférica inscrita en la superficie cilíndrica recta

mide 5 cm. Si O1 y O2 son centros, halle el área de la zona esférica que contiene

al arco AD.

A) 30 cm2 B) 40 cm2

C) 50 cm2 D) 60 cm2

E) 70 cm2

Solución:

1) AZ.E. = 2 Rh

2) AEO (Notable 37°- 53°)MN = 2R = 10 R = 5,

2

h= 3

h = 6

3) AZ.E. = 2 (5)(6) = 60 cm2

Clave: D

O2

A B

D C

M O1

A

B C

D E

h

53°

R = 5

R = 5

53°

53°2

H = 1vx r

O2

A B

D C

M NO1

53°2

h

53°

E

h2


32/44

EVALUACIÓN Nº 15

1. El área total de un cono de revolución es 200 m2 y numéricamente el producto delas medidas de la generatriz y el radio de la base es 136. Halle el volumen del cono.

A) 320 m3 B) 220 m3 C) 520 m3 D) 420 m3 E) 720 m3

Solución:1) AT = 200 = r(r + g)

r 2 + rg = 200 . . . (*)

2) Dato: rg = 136 . . . (**)

3) Reemplazando (**) en (*):

r 2 + 136 = 200 r 2 = 64

r = 8 g = 17

h = 15

4) V =3

1r 2h

V =

3

1(8)2(15)

V = 320 m3

Clave: A

2. En la figura, se tiene un depósito cónico equilátero cuya generatriz mide 12 3 cm.

Se vierte agua hasta que su volumen sea la mitad del volumen del depósito. Halle laaltura del cono determinado por el agua.

A) cm493

B) cm293

C) cm393 D) cm593

E) cm29

Solución:

1) AOB (Notable 30°- 60°):

h = 18 v1 =2

v 2

2)3

3

2

1

18

x

v

v3

3

1

1

18

x

v2

v

x = cm493

Clave: A

g = 17

h = 15

r = 8

O

A

B

C

v2

30°

A

B

C D

O

h =18

R =6 3

x v1


33/44

3. En la figura, mDBC = mACB = 53° y BC = 6 cm. Halle el volumen de tronco de

cono de revolución de generatriz AD .

A) 112 cm3 B) 113 cm3

C) 116 cm3 D) 124 cm3

E) 136 cm3

Solución:

1) DEC (Notable 37°- 53°): r = 4

ABC (Notable 37°- 53°): R = 8

2) vx =

3

h[R2 + r 2 + Rr]

=3

)3([82 + 42 + 8(4)]

vx = 112 cm3

Clave: A

4. Halle el área de la superficie esférica circunscrita a un cilindro circular recto, si elradio de la base mide 12 cm y su altura es 32 cm.

A) 1600 cm2 B) 1700 cm2 C) 1800 cm2 D) 1200 cm2 E) 1660 cm2

Solución:

1) OBA: OB = r = 12

AB = 2

h

= 16R = 20

2) AS.E. = 4 R2

= 4 (20)2

AS.E. = 1600 cm2

Clave: A

5. Una circunferencia menor en una superficie esférica, determina dos casquetes cuyasáreas están en relación de 3 a 5. Si la longitud del radio de la superficie esféricaes 16 m, halle la medida del radio de la circunferencia menor.

A) 3 15 m B) 4 15 m C) 3 17 m D) 4 19 m E) 5 15 m

A B

C

D E M

N

A

B

C

D E M

N

h= 3

R

53°h = 3

53°

r v

x

O

A

B

R h2

h2


34/44

Solución:

1) Área de casquetes: (dato)

5

3

S

S

2

1

5

3

Rh2

Rh2

2

1

5

3

h

h

2

1

k5h

k3h

2

1

20h

12h

2

1

h1 + h2 = 32 = 8k k = 4

2) OAB: (Pitágoras): r 2 + 42 = R2

r 2 = 162 42 r = 4 15 mClave: B

6. En la figura, MON es un cuadrante, OM = 5 cm y OA = 3 cm. Halle el volumen

generado por la región sombreada al girar 360° alrededor de ON .

A) 3cm3

143B) 3cm

3

134C) 3cm

3

124

D) 3cm4

132E) 3cm

3

142

Solución:1) vx = vSEMI-ESFERA vCILINDRO

= 353

4

2

1(3)2(4)

vx = 3cm3

142

Clave: E

Trigonometría

EJERCICIOS DE LA SEMANA Nº 15

1. Sea la función real f definida por ,4x329)x(f hallar el dominio de f.

A)2

17,

2

1B)

6

17,

6

1C)

6

17,

16

1

D) 3,6

1E) 4,1

A

BC

M

N

O

R = 5

360°N

h = 4

A

BC

Or = 3 M

R 4

r

S1

S2

AB

O

h1

h2R= 16


35/44

Solución:

617

,61

)f (Dom

617

x61

217

x321

429x3294294x329

29

4x394x32

04x329sss)f (Domx

Clave: B

2. Sea f una función real definida por 4x

x

2x

8x2x)x(f

32

. Calcular el dominio

de f.

A) ,22,4 B) ,4 C) ,2

D) ,00,4 E) ,44,2

Solución:

,22,4)f (Dom

2x4x

2x04x

4x,2x02x

8x2x:)f (Dom

2

Clave: A

3. Dada la función real f definida por 1x3x3x

1x2x)x(f 23

2

; determinar el complemento

del dominio de dicha función.

A) 1R B) 1, C) ,1 D) ,0 E) 1


36/44

Solución:

1)f (Dom

dondede,1)f (Dom,Luego

1xsss)f (Domx

)1x)(1x(

)1x(

)1x2x()1x(

)1x(

)x31xx()1x(

)1x()x(f

)1x(x3)1xx()1x(

)1x(

)x3x3()1x(

)1x(

1x3x3x

1x2x)x(f

C

2

2

2

2

2

2

2

2

23

2

23

2

R

Clave: E

4. Sea la función real f definida por 12x2x4xx)x(f 234 , calcular el

complemento del dominio de f.

A) 2,1 B) 2,2 C) 1,2 D) 2,3 E) 1,3

Solución:

2,3)f Dom(C

,23,)f (Dom

02x3x02x3x2x

012x2x4xxsss)f (Domx

2

234

Clave: D

5. Sea f la función real definida por x

xx)x(f . Determinar la intersección del

dominio y rango de la función.

A) 0R B) ,2 C) 2, D) 2 E) 0


37/44

Solución:

2)f (Ran)f (Dom)3

2,0)f (Ran

2x

xx)x(f 0x

0x

xx)x(f 0x

:0)f (DomxSea)2

0)f (Dom,luego,0xsss)f (Domx)1

R

R

Clave: D

6. Los pares ordenados (0,6) , (1,5) y ( 1,13) pertenecen a la función real F definida

por cxbax)x(F 2 ; ¿cuál es el valor mínimo que asume la función real G

definida por c7xbax)x(G 2 ?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

Solución:

66)6x(0)6x(

6)6x(Gy

6)6x()x(G

6)6x12x()x(G

42x12x)x(G

4b3a6a2

7ba136ba)1(F

1ba56ba)1(F

6c)0(F

22

2

2

22

2

Por lo tanto, 6y . El valor mínimo de G es 6.

Clave: C

7. De la función real f , definida por 3x2x2

1)x(f 2 , se sabe que su dominio es el

intervalo 6,2 y su rango es el intervalo b,a ; halle b a.

A) 8 B) 2 C) 2 D) 8 E) 4


38/44

)(...3b2

3a

4

3I

)(...32

ba

4

3II

Solución:

8)5(3ab

3,5)f (Ranel

,luego;35)2x(21

5

8)2x(2

1016)2x(042x4

entonces,6x2,atodPor

5)2x(21

)x(f

2

22

2

Clave: A

8. Los puntos t,2

3P y m,

2

1Q pertenecen a las gráficas de las funciones

reales f y g definidas por xbax)x(f 2 y 3xa)x(g . Hallar .5

mtg

A) 4 B) 15 C) 8 D) 11 E) 5

Solución:

3a23

b23

a49

t3a23

23

g

tb23

a49

23

f

32a

2b

43

m32a

21

g

m2b

4a

21

f


39/44

De (I) y (II) se obtiene b = 0 , a = 4

113)2(4)2(g5

19g,Finalmente

1321

421

gm

923423f t

3x4)x(g

x4)x(f

2

2

Clave: D

9. La gráfica adjunta corresponde a una función real periódica f.

Evaluar .2

55

f 2

37

f 25f 2

33

f

A) 6 B) 4,5 C) 5 D) 8,5 E) 7

Solución:

4x3,1

3x2,6x22,x1,2

1x0,x2

)x(f


40/44

El periodo de la función f es 4.

511212

55f 2

37f 25f 2

33f

127

f 2427

f 2

55f

125

f 1625

f 2

37f

21f 241f 25f

121

f 4421

f 1621

f 2

33f

Clave: C

10. Calcular el área de la región limitada por las gráficas de las funciones reales f y gdefinidas por .9)x(gy,x41)x(f

A) 18 u2 B) 16 u2 C) 14 u2 D) 8 u2 E) 10 u2

Solución:

x41)x(f ,0xSi

x41)x(f ,0xSi

1)0(f ,0xSi

x41)x(f

La región sombreada es la regióndeterminada por los gráficos de lasfunciones f y g.

2

u16 Área

168421

Área

Clave: B


41/44

EVALUACIÓN Nº 15

1. Determinar el dominio de la función real f definida por .x41)x(f 2

A) B) C) 3,1

D) E)

Solución:

2,33,2)f (Dom

2x23x3x

2xx3

4)x(33x43x4,414x440

1x401x40

x41

0x41sss)f (Domx

2222

22

2

2

Clave: E

2. Si f es una función real definida por ,3x2

1x3)x(f determine el dominio

de f.

A) 1,72,3 B) 12,4

C) 7,12,4 D) 12,3

E) 2,3


42/44

Solución:

12,3)f (Dom

1x,3x2x41x,3x31x3

23x3x1x3

03x203x01x3sss)f (Domx

Clave: D

3. La función real f está definida por

2x0,1x 5x2

5x3,13x

)x(f

Si el rango de f es b,a , hallar .ab 22

A) 21 B) 16 C) 24 D) 25 E) 17

Solución:

2x0,1x

32

5x3,2x)x(f

:como)x(f escribir Podemos1x

32

1x5x2

)ii

2x13x13x

23x05x3)i


43/44

Cálculo del rango de f.

5y331x

3

2511x

3

3

31

1x1

131x1;2x0,1x

32y)ii

3y132x15x3,2xy)i

Por lo tanto, 5,1)f (Ran de donde

2415ab 2222

Clave: C

4. La gráfica de la función real f definida por 12xx)x(f 2 interseca al eje X enlos puntos (a, 0) y (b, 0). Calcular )b3a3(f .

A) 4 B) 3 C) 2 D) 6 E) 1

Solución:

6159123912)3()3()3(f )b3a3(f

3)34(3)ba(3b3a3

3x,4x)3x()4x()(012xx0f )0,b(,)0,a(

2

2

Clave: D

5. Sea f una función real periódica (de período 6) con regla

6x4,2

4x2,2x

2x0,x2

)x(f

Calcular 3

35f

2

9f

7

66f 7

5

16f 5

2

3f 4

A) 21 B) 20 C) 23 D) 24 E) 22


44/44

Solución:

272

5f 632

5f 32

11f 3

35f

25,4f 29

f

710

273

373

3f 673

3f 73

9f 7

66f

5

62

5

16

5

16f

21

5,125,1f 23

f

Si E es el número buscado entonces

22E

41062E

227

107565

214E

Clave: E

Solucion de Mate

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