Solución Ejercicio ELU Pandeo-Columna Modelo

7/24/2019 Solucin Ejercicio ELU Pandeo-Columna Modelo

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MASTERENINGENIERAESTRUCTURALYDELACONSTRUCCIN

MASTERINGENIERADECAMINOS,CANALESYPUERTOS

DISEOAVANZADODEESTRUCTURASDEHORMIGN

Ejercicio:ELUinestabilidad Noviembre2014

Considreseunapiladepuentede20mdealtura,empotradaensubaseylibreensuextremo

superior,queseencuentrasometidaaunesfuerzoaxil declculodevalorNd=24000kN ya

unmomento Mcrecienteensucabeza.

SEPIDE

1) CalculareldiagramaMomentoCurvaturaparaelaxilconstanteN=24000kN

2) Obtenerelmximovalordelmomentoquepuederesistirlapila,siendoel esfuerzo

axilconstante,teniendoencuentalosefectosde2orden,porelmtododela

ColumnaModelo

3) Decirsilacolumnaagotaopandeaycualseralaesbeltezmximaparaevitarel

pandeo

4) Calcularlaflechaencabezabajoelmomentomximo

1,50m

20m

Nd= 24000kN

40000mm2

4,00m

1,50m A=6m2

I=1,125m4v=v=0,75m

fck=30MPa;

Ec=32836 N/mm2

;

ct=2,89

N/mm2

fyk=500MPa; Es=200000N/mm2; n=Es/Ec=6,09

Coeficientesdeminoracinmateriales: c=1,5 ; s=1,15

Coeficientede


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SOLUCIONEJERCICIOELUINESTABILIDAD

Valoresdeclculodelosmateriales: fcd=fck/1,5=20MPa ;fyd=fyk/1,15=435MPa.Lalongitud

de

pandeo,

por

tratarse

de

un

voladizo,

es

le=2

l

=

40m

1. ClculodeldiagramaMomentoCurvatura

EldiagramaMomentoCurvaturaseconsiderartrilineal,conlaprimerafaseelsticahastala

fisuracin,lasegundafasefisuradahastaelpuntodeplastificacindelaarmaduradetraccin

odelhormignencompresinylatercerafaseplsticahastaelagotamiento.

Fase1.

Momentodefisuracin(Mcr).Seobtieneigualandolatensindelhormignenlafibrams

traccionada

ala

resistencia

a

traccin

del

hormign,

fct.

inf

inf inf

; ctct cr cra

IfM vN NIf M M N c

A I v Av

DondeMcraeselmementodefisuracindelaseccinsinaxil(N=0)yceselextremosuperior

delncleocentraldelaseccin.Dadoqueelaxilesunaaccinfavorable,yaunquesetratade

unestadolmiteltimo,utilizaremosparaelclculodelpuntofinaldelafaseelsticalos

valorescaractersticosdelacargaaxialydelaresistenciaatraccindelhormign.

Considerandoelcoeficientedemayoracindecargasf =1,5, Nk=16000.Porotraparte,la

resistencia

caracterstica

del

hormign

es

fct,k=0,7

fctm=2,03

N/mm

2

.

SiendoA=6m2,vinf=0,75myI=1,125m,resultaMcr=7040,6kNm.LarigidezelsticaesEI=

36941139kNm2,conloquelacurvaturaenelmomentodelafisuracinserccr=Mcr/EI=

0,000191m1

Fase2.

Lafase2(fisuradaseconsiderarectayfinalizaconlaplastificacindelaarmaduratraccionada

odelaarmaduracomprimidayelhormign,debiendoescogerseelmenorvalordelos

momentosresultantesparacadaunadeestassituaciones.Noobstant,enfuncindelaxil

relativodeclculosepuedesaberaprioricualdelasdossitacionessedarantes.Sielaxil

relativoesmenorque0,45,quecorrespondeaproximadamentealplanoderoturacrtica,la

roturaserdctil,esdecirlaarmaduradetraccinestarplastificadaantesqueelhormign.

Enestecaso,elaxilrelativoes:

240000,2 0,45

41.520000

dd

cd

N

b h f

Portanto,seharlahiptesisdequeelpuntofinaldelafas2correspondeaunadeformacin

delaarmaduradetraccins=y=fyd/Es=0.002175.


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Paraobtenerelmomentoquecorrespondeaestadeformacin,seplanteanlasecuacionesde

equilibrioycompatibilidaddelaseccin,considerandoelhormignfisuradoperocon

comportamientolinealencompresin,elaceroentraccinplastificado(s=y, s=fyd)

c

d s x Ass h/2

N d

M

Asfyd

' '

' '

1

2

1 '

2 2 3 2 2

c s s s yd d

c s s s d

bx A A f N

h x h hbx A d A d M

'

( ') ( )

yc s

c sE x E x d d x

Sustituyendolasecuacionesdecompatibilidadenladeequilibriodefuerzas,seobtieneuna

ecuacindesegundogradoqueproporcionalaprofundidaddelafibraneutra,x.Esta

ecuacines:

2'

' ' 0d d

yd yd

N Nx x dn n n n

d f bd d d f bd

Donde

=As/bd,

=As/bd

son

las

cuantas

de

traccin

y

de

compresin,

que

son

iguales

en

estecaso==40000/(40001500)=0,006667,yn=Es/Ec=6,09.

Estaecuacinresulta,paralosvaloresconcretosdeesteejemplo:

2

0, 093 0,1 0x x

d d

Cuyasolucinesx/d=0,187,x=261,8mm. Conestevaloryapartirdelasecuacionesde

compatibilidad

se

obtienen

las

tensiones:

y


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c=18,89MPa, s=71,10.Elmomentodeplastificacinseobtienedelaecuacindeequilibriodemomentosresultando:My=32072kNm

LAcurvaturaseobtienedividiendoladeformacindelhormigncomprimdioporla

profuncidaddelafibraneutra,esdecirc/(Ecx)

0,0022c sy

cx d x

Larigidezdelafase2seobtieneas

2

2 1247867 0y cr

y cr

M MK N m

c ck

Fase

3

Lafase3(prerotura)finalizaconelagotamientodelaseccin,paraloquehayquecalcularel

momentoltimoylacurvaturaltima.

Elmomentoltimoseobtieneplanteandolasecuacionesdeequilibriodefuerzasy

momentos.,enELU,suponiendoambasarmadurasplastificadasyelhormignensu

deformacinltima

'

'2 2

dcd s yd s yd cd d

cd

du d s yd

cd

Nf by A f A f f by N y

f b

NhM N A f d d

f b

ConlosvaloresdeesteejemploMu=37008kNm. Lacurvaturaltimaseobtieneas:

0,00350,0093

1,25

cu

uc

x y

Larigidezdelafase3seobtieneas

2

3 691666

u y

u y

M MK kN m

c c

LAfiguraenazuleseldiagramaMomentocurvaturatrilineal


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2.

Obtencindelmximovalordelmomentoquepuedeintroducirseenlacabezadel

voladizojuntoconunesfuerzoaxilN=24000kN

AplicandolaecuacindelacolumnaModelo,el momentodesegundoordenesunarectaque

pasaporelorigenytieneporecuacin:

2

10

II ed

lM N c

Ladiferenciaentreelmomentointerno(dadoporeldiagramamomentocurvatura)yel

momentodeSegundoorden(dadoporestaecuacin,representadaporlalineroja)esel

momentodeprimerordenquepuedeintroducirseenlcabezadelacolumna. Enestecaso,el

mximoestenelpuntodeplastificacinysuvalores

2 240

32072 24000 0,0022 23624 10 10

I II e

y d y

l

M M M M N c kN m

3.

Decirsilacolumnaagotaopandea

LAcolumnapandeaporqueelmximoseproduceparaunacurvaturamenorquelacurvatura

ltima.Laintroduccindelmomentodeprimerordengeneraunmomentodesegundoorden

de8448kNm,quedalugara desplazamientosqueincrementanmomentodesegundoorden,

desencadenandolainestabilidad.

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

40000

0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01

Mint

MII

(32072,0.0022)

(70401 , 0.00191)

(37009, 0.0093)


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4.

CalcularlaflechaencabezabajolaaccindelaxilNdyelmomentomximo

Laflechaencabezavienedadaporlaecuacindelacolumnamodelo,estoes:

21600

0,0022 0,35210 10

II

e

d

l Ma c m

N

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