Solucion Sesión 8_Derivadas
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Departamento de Ciencias Calculo 1_Ingeniera
1
SESIN 8
Tema: Derivada de una Funcin
1. Calcular la derivada de las siguientes funciones:
a) 5 4
2( ) 3 55 2
x xf x x
Solucin:
4 35 4
'( ) 3(2 )5 2
x xf x x
4 3'( ) 2 6f x x x x
b) 2 2 23 36 63 18 9 6
( ) . .2 7 5 13
f x x x x x x x x
Solucin:
Primero reescribimos la funcin
2 1 2 1
23 6 3 63 18 9 6
( ) . . . .2 7 5 13
f x x x x x x x x
2 7 5 13
3 6 3 63 18 9 6
( )2 7 5 13
f x x x x x
Ahora derivamos la funcin usando la regla de potencias
1( )n nd
x nxdx
2 7 5 13
1 1 1 13 6 3 6
3 2 18 7 9 5 6 13'( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 3 7 6 5 3 13 6f x x x x x
2
3
1 1 7
3 6 6'( ) 3 3f x x x x x
-
Departamento de Ciencias Calculo 1_Ingeniera
2
2 73 66
3
1'( ) 3 3f x x x x
x
c) 5 4 3 2
8 3 2 1( )
5 2f x
x x x x
Solucin:
Reescribiendo la funcin dada, usando la ley del exponente negativo:
1 nn
xx
25 4 38( ) 3 2
5 2
xf x x x x
Derivamos la funcin usando:
1( )n nd
x nxdx
2 15 1 4 1 3 18 2( ) ( 5 ) 3( 4 ) 2( 3 ) ( )
5 2
xf x x x x
6 5 4 3( ) 8 12 6f x x x x x
d) 20 12 8( ) ( 6 )( 2 )f x x x x x
Solucin:
Derivamos usando la regla del producto
( . )f g f g gf
20 12 8 8 20 12( ) ( 6 )( 2 ) ( 2 )( 6 )f x x x x x x x x x
20 12 7 8 19 11( ) ( 6 )(8 2) ( 2 )(20 72 )f x x x x x x x x
27 20 19 12 27 19 20 12( ) 8 2 48 12 20 72 40 144f x x x x x x x x x
-
Departamento de Ciencias Calculo 1_Ingeniera
3
27 20 19 12( ) 28 42 120 156f x x x x x
e) 33 3( ) ( 5).( )f x x x x
Solucin:
Derivamos usando la regla del producto
( . )f g f g g f
1 1
3 33 33 3( ) ( 5)( ) ( ) ( 5)f x x x x x x x
1 2 1 2
2 33 3 3 31 1
( ) ( 5)(3 ) ( ) ( )3 3
f x x x x x x x
7 1 2 7 1
23 3 3 3 31 5 1 1
( ) 3 153 3 3 3
f x x x x x x x
7 1 2
23 3 310 2 5
( ) 153 3 3
f x x x x x
2 73
3 23
10 2 5( ) 15
3 3 3f x x x
x x
f) 3
3
1( )
1
xf x
x
Solucin:
Primero reescribimos la funcin 1
3
1
3
1( )
1
xf x
x
Derivamos usando la regla de cociente
2( )f gf fg
g g
-
Departamento de Ciencias Calculo 1_Ingeniera
4
1 1 1 1
3 3 3 3
1
23
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )( )
(1 )
x x x xf x
x
1 2 1 2
3 3 3 3
1
23
1 1(1 ) ( ) (1 ) ( )
3 3( )
(1 )
x x x x
f x
x
2 1 2 1
3 3 3 3
1
23
1 1 1 1( )
3 3 3 3( )
(1 )
x x x x
f x
x
2 1 2 1
3 3 3 3
1
23
1 1 1 1
3 3 3 3( )
(1 )
x x x x
f x
x
2
3
1 1 2 1 21 1
2 2 2 233 3 3 33 3
2
2 2 23'( )
(1 ) 3 (1 ) 3 ( )3 (1 ).
x
f x
x x x x xx x
2 233
2( )
3( )f x
x x
g) 3 2
4 3
2 7( )
x xf x
x x x
Solucin:
Derivamos usando la regla del cociente
2
f gf fg
g g
4 3 3 2 3 2 4 3
4 3 2
( )( 2 7) ( 2 7)( )( )
( )
x x x x x x x x x xf x
x x x
-
Departamento de Ciencias Calculo 1_Ingeniera
5
4 3 2 3 2 3 2
4 3 2
( )(3 4 ) ( 2 7)(4 3 1)( )
( )
x x x x x x x x xf x
x x x
6 5 5 4 3 2 6 5 3 5 4 2 3 2
4 3 2
(3 4 3 4 3 4 (4 3 8 6 2 28 21 7)( )
( )
x x x x x x x x x x x x x xf x
x x x
6 5 4 3 2
4 3 2
4 2 26 19 7( )
( )
x x x x xf x
x x x
h) ( ) ( 3cos )f x x senx x
Solucin: Derivamos usando la regla del producto ( . )f g f g gf
( ) ( 3cos ) ( 3cos )f x x sen x x sen x x x
( ) (cos 3 ) ( 3cos ).1f x x x sen x sen x x
( ) cos 3 3 cosf x x x x sen x sen x x
( ) ( 3)cos (3 1)f x x x x sen x
i) ( ) 1 2 cos 5f x xsenx x x Solucin:
( ) ( 1)(2 cos 5) ' (2 cos 5)( 1)f x x sen x x x x x x sen x
'( ) 2( 1)( cos ) ' (2 cos 5)( ) 'f x x sen x x x x x x sen x
'( ) 2( 1)( cos ) (2 cos 5)( cos )f x x sen x x sen x x x x x x sen x
2 2 2 2'( ) 2( cos cos ) 2 cos 2 cos 5 cos 5f x x sen x x sen x x x sen x x x x x sen x x x x sen x
2 2 2 2'( ) 2 2 cos 2 2cos 2 cos 2 cos 5 cos 5f x x sen x x sen x x x sen x x x x x sen x x x x sen x
2 2 2 2'( ) 2 cos 2 4 cos 2 5 cos 2cos 5f x x x x sen x x sen x x x sen x x x x sen x
-
Departamento de Ciencias Calculo 1_Ingeniera
6
2 2 2 2'( ) 2 cos 2 (1 cos ) (4 5 2)cos (2 5)f x x x x x x sen x x x x sen x
2 2 2 2 2'( ) 2 cos 2 2 cos (4 5 2)cos (2 5)f x x x x x x x sen x x x x sen x
2 2 2'( ) 4 cos (4 5 2)cos (2 5) 2f x x x x sen x x x x sen x x
j) 3
( )( )
1
sen xf x
x
Solucin:
Derivamos usando la regla del cociente
2
f gf fg
g g
Entonces:
3 3
3 2
( 1) ( ) ' ( 1) ''( )
( 1)
x sen x sen x xf x
x
3 2
3 2
( 1) (cos ) ' 3'( )
( 1)
x x x sen xf x
x
k) ( )1
x senxf x
tgx
Solucin:
Derivamos usando la regla del cociente
2
f gf fg
g g
Primero reescribir la funcin, usando la identidad:
tancos
sen xx
x
Entonces:
-
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7
cos( )
cos1
cos
x senx x sen x xf x
sen x x sen x
x
2
( cos )( cos ) ' ( cos )( cos ) ''( )
( cos )
sen x x x sen x x x sen x x sen x xf x
sen x x
2
( cos )( cos ( cos ) ') ( cos )(cos )'( )
( cos )
sen x x sen x x x sen x x x sen x x x sen xf x
sen x x
2 2
( cos )( cos (cos cos )) ( cos )(cos )'( )
2 cos cos
sen x x sen x x x x x sen x sen x x sen x x x sen xf x
sen x sen x x x
usando la identidad: sen2 x + cos2 x = 1
2 2( cos )( cos cos ) ( cos )(cos )
'( )1 2 cos
sen x x sen x x x x x sen x x sen x x x sen xf x
sen x x
2 3 2 3cos cos cos
'( )1 2 cos
sen x x x sen x sen x x x xf x
sen x x
l) ( ) lnf x x x x
Solucin:
Recordar que la derivada del logaritmo natural es: 1
(ln )d
xdx x
'( ) ( ln ) 'f x x x x
'( ) ( ln ) ' ( ) 'f x x x x
1'( ) ( ln . ) 1f x x x
x
'( ) ln 1 1f x x
'( ) lnf x x
-
Departamento de Ciencias Calculo 1_Ingeniera
8
m) 3
ln( )
ln
x xf x
x x
Solucin:
3 3
3 2
( ln ) ( ln ) ' ( ln ) ( ln ) ''( )
( ln )
x x x x x x x xf x
x x
3 2
3 2
1 1( ln ) ( ln . ) ( ln ) (3 )
'( )( ln )
x x x x x x xx xf x
x x
3 3
3 2
( ln ) ( ln 1) 3 ln ln'( )
( ln )
x x x x x xf x
x x
3 2 3
3 2
ln 2 ln'( )
( ln )
x x x xf x
x x
2 3 3
3 2
ln 2 ln'( )
( ln )
x x x xf x
x x
n) cos
( )ln
xe xf x
x
Solucin:
2
( cos ) ' ln (ln ) '( cos )'( )
(ln )
x xe x x x e xf x
x
2
1( ) ln ( )( cos )
'( )(ln )
x xe sen x x e xxf x
x
2
( ) ( cos )'( )
ln (ln )
x xe sen x e xf x
x x x
-
Departamento de Ciencias Calculo 1_Ingeniera
9
o) ( )f x x arctgx
Solucin:
'( ) ( ) ' ( ) 'f x x arctg x x arctg x
2'( )
12
arctg x xf x
xx
2. Balstica. Los expertos en Balstica pueden identificar el arma que dispar cierta bala estudiando las marcas en el proyectil. Las pruebas se realizan disparando en un bulto de papel. Si la distancia
S, en centmetros, que la bala recorre en el papel est dada por 3
s(t) 27 (3 10t) para
0 t0,3 segundos, encuentre la velocidad de la bala en un dcimo de segundo despus de que golpea el papel.
Solucin
Derive la funcin s(t)
3
s(t) 27 (3 10t) 2 2
s'(t) 3(3 10t) ( 10) 30(3 10t)
Analice la derivada en el dcimo segundo
21 1s'( ) 30(3 10 ) 120
10 10
La velocidad es de 120 cm/s
3. En el instante t 0 , un saltador se lanza desde un trampoln que est a 16 metros sobre el nivel
del agua de la piscina. La posicin del saltador viene dada por 2s(t) 8t 8t 16 ; con s en
metros y t en segundos.
a) Cundo entra el saltador en el agua? b) Cul es su velocidad en ese momento? Solucin
a) Saltador entra al agua significa que s(t)=0. Es decir:
2s(t) 8t 8t 16
20 8(t t 2) 8(t 2)(t 1) t=2 segundos
b) La velocidad es la derivada de la posicin. Es decir:
-
Departamento de Ciencias Calculo 1_Ingeniera
10
s'(t) 16t 8 s'(2) 16(2) 8 24
El saltador entra al agua con una velocidad de 24 m/s
4. Un cohete se desplaza segn la funcin 22000100 tty , en la que y es la distancia recorrida en
km y t el tiempo en horas. a) Calcula la funcin velocidad b) Calcula la funcin aceleracin (as como la funcin velocidad se obtiene derivando la funcin
distancia, la funcin aceleracin se obtiene derivando la funcin velocidad) c) Cunto vale la velocidad inicial ? y la aceleracin inicial? Solucin
Un cohete se desplaza segn la funcin 22000100 tty , en la que y es la distancia recorrida en
km y t el tiempo en horas.
a) La funcin velocidad es la derivada de la funcin dada
ty 4000100'
b) La funcin aceleracin es la segunda derivada de la funcin dada
4000'' y
c) La velocidad inicial sucede cuando (t=0)
hkmv /1000
Y la aceleracin inicial, ser 2
0 /4000 hkma