SOLUCIÓN TAREA 4

8/19/2019 SOLUCIÓN TAREA 4

1/14

-SOLUCIÓN TAREA 4PROFESOR: DR. JUAN MARTINALUMNO: ADOLFO BARRIOS

SANTA MARTA, COLOMBIA, FEBRERO 15 DE 2016

1.

APROXIMACIÓN DEL ELECTRON LIBRE

Puede considerarse en primera aproximación que la parte más significativa del potencial enel que se encuentra un electrón son las paredes que lo mantienen recluido en el interior del

cristal. Se ignora por tanto el conjunto de potenciales atómicos, y en consecuencia el

tratamiento matemático del electrón se reduce a un movimiento encerrado en una “cajavacía". Este modelo es el llamado modelo de electrones libres y, pese a su sencillez, explica

con éxito algunas propiedades físicas, en concreto aquellas que dependen esencialmente de

las propiedades cinéticas de los electrones de conducción. En primera aproximación, las

funciones de onda de los electrones se asemejan, dentro de este marco, a las ondasestacionarias. Los niveles energéticos están muy próximos entre sí, separados por energías

varios órdenes de magnitud inferiores a las energías térmicas habituales, por lo que los

niveles forman esencialmente un continuo de estados. El proceso de conducción eléctrica, enel que los electrones se mueven en respuesta a un campo eléctrico externo, implica que estos

electrones van adquiriendo mayor energía, situándose en niveles superiores a causa de la

acción del campo. Debido a la proximidad de los niveles, tales transiciones se realizan muy

fácilmente. Sabemos que un modelo particular de potencial periódico conduce a la formación de bandas

de energía permisibles y a una relación de en función de . La forma de esta relación es talque la cantidad ℏ se puede considerar convenientemente como una cantidad de movimientodel cristal en cuyos términos se puede explicar de un modo sencillo la dinámica de los

electrones en los campos de fuerza aplicados. Esta representación resultante delcomportamiento electrónico es muy similar a la del electrón libre.

En cristales reales, la función de potencial que se utiliza debe estar relacionada de alguna

manera con el potencial real experimentado por un electrón, debido a los núcleos iónicos y atodos los demás electrones del cristal. Una solución exacta de este problema, incluso en la

aproximación de un solo electrón, sería imposible de lograr, es así, que se acostumbra a

plantear el problema desde el punto de vista de la aproximación del electrón libre o la

aproximación del enlace firme.

En la aproximación del electrón libre, se supone que la energía total del electrón es siempre

grande en comparación con la energía potencial periódica. Estas circunstancias nunca serealizan a la perfección en cristales reales, dado que el potencial va siempre a ∞ en losnúcleos iónicos; pero para los electrones más externos de muchos metales simples,

incluyendo los alcalinos, los requisitos se satisfacen aceptablemente en casi todo el volumen

del cristal.

El modelo de electrones libres que se ha expuesto nos ha permitido obtener muchas

propiedades electrónicas de los metales, sin embargo cuando algunos elementos químicos


2/14


3/14

Donde teniendo en cuenta (1) los coeficientes están relacionados con los coeficientes dela expansión de Fourier del potencial periódico, con

ℏ (6)Donde está relacionada con los coeficientes de expansión de Fourier de .Pero, las funciones de onda deben tener la forma de las ondas de Bloch, es decir, donde debe ser una función periódica con un periodo , la que se puede expresar comouna serie de Fourier de la siguiente manera

−=− 7 (8)Donde

0, para electrones perfectamente libres y las soluciones se convierten en

funciones ondulatorias de partícula libre de la forma

(9)En este limite → y → , en el caso general se debe esperar que todos los valoresde excepto tiendan a cero cuando → 0. Debido a esto se puede escribir una expresiónaproximada para la función de onda de la forma

− ⁄≠ 10 Que es válida para valores pequeños de . Es fácil ver que esta función de onda tiene la formade Bloch, en donde esta dada por

−⁄≠ 11 Al sustituir la ecuación (10) en la ecuación de Schrödinger (2), se obtiene

≠ − −

≠≠0 12

En donde

(13)Como nos interesa que → 0, podemos omitir el término de la ecuación (12), luegomultiplicando toda la ecuación por − e integrando sobre celda unitaria desde 0 hasta


4/14

⁄ − ⁄

0≠ 14 Si 0 la segunda integral se elimina para todos los valores de en la suma

0 ó

(15)

Si 0 , la primera integral es quien se elimina y la segunda se hace cero, excepto cuando , en este caso se obtiene 0

O también

− − (16)De acuerdo a las ecuaciones (15) y (3), la relación que tienen

y

es la misma que para la

de una partícula libre. La función de onda se obtiene sustituyendo los valores de la ecuación(16) en lugar de en (10), de donde 1 −⁄≠ 17De acuerdo con la ecuación (15) la corrección de primer orden para la energía de la partículalibre que se origina desde el potencial periódico es cero. La corrección de energía de segundo

orden se puede obtener reteniendo el término en (12). Al multiplicar (12) por − eintegrando desde 0 hasta

≠ − ⁄

−+ ⁄

≠≠ 0 18 La primera integral es cero para todos los valores permisibles de , pero la segunda integrales cero solo si ′, luego la ecuación se reduce a

− 0≠ 19 Si está dada como una serie de Fourier por medio de (4), entonces al sustituir por

–

− 20=− Si se supone que ≅ ⁄ , de donde 2 ⁄ ≅ ⁄ . Por tanto ≅ y será muy grande de tal modo que en (17) la cantidad ya no será pequeña aunque sea pequeña. En este caso se puede escribir la función de onda aproximadamente como


5/14

− ⁄ (21)Considerando que los otros términos de la suma de (17) son despreciables en comparación

con el ésimo. Puesto que en el borde de la banda, esta función de onda (21) es unasuperposición de una onda que se propaga a lo largo del eje positivo de las x y otra que se

propaga en la dirección – x; por tal razón tiene característica de una onda estacionaria. Esto

concuerda con el punto de vista de que la función de onda del electrón sufre una reflexión

de Bragg en ± ⁄ . Si la función de onda (21) se sustituye en la ecuación deSchrodinger (2), utilizando (4) obtenemos

− − ≠ − −

≠0 22

Al multiplicar (22) por − y al integrar desde 0 ℎ , vemos que el segundoy tercer término no contribuyen y que el cuarto término solo contribuye cuando ′ , dedonde se obtiene

∗ 0 (23)

De (3), (16) y (13) podemos expresar la energía como

ℏ ± √ [ ] ||ℏ (24)En el borde de la banda ⁄ , en estos puntos la ecuación (24) se reduce a ± || (25)En donde

ℏ (26)Esta ecuación (26) representa la energía libre asociada a los bordes de la banda.

En los puntos de borde de la banda ⁄ , se produce una reflexión interna de Braggque va acompañada de una discontinuidad o vacío de energía en la curva de . De talmanera que la ecuación (25) implica un vacío de energía o banda prohibida con anchura de2||, donde es el nésimo coeficiente de Fourier en la expansión de la serie del potencialreticular periódico. Para valores de k mayores que ⁄ se debe esperar que sea mayorque el valor dado en (25) y que se acerque al valor del electrón libre expuesto en la ecuación(15). De la misma manera, se puede esperar que para valores de k con valores menores que ⁄ , sea menor que el valor dado en (25). Condiciones que se satisfacen si en (24) seescoge el signo más para > ⁄ y el menos para < ⁄ . Las regiones cercanas a los bordes de banda conducen a una relación entre .El modelo de electrones libres nos ha permitido obtener muchas propiedades electrónicas delos metales, sin embargo cuando algunos elementos químicos cristalizan para formar buenos


6/14

conductores, aislantes o semiconductores no lo podemos explicar por el método de electrones

libres.

Todo sólido contiene electrones, ahora como estos electrones reaccionan ante un campo

eléctrico seria nuestro propósito; así que estos electrones están distribuidos dentro del cristal

en bandas de energía, separadas por regiones llamadas bandas o zanjas prohibidas, esto

resulta de la interacción de los electrones de conducción con los núcleos iónicos del cristal.Estas bandas prohibidas de energía tienen un significado decisivo para clasificar si un sólido

es conductor o aislador.

La estructura de las bandas se puede explicar con este modelo que nos dice que los electronesse encuentran ligeramente perturbados por el potencial periódico creado por los núcleos

iónicos; este modelo responde casi a todas las interrogantes cualitativas acerca del

comportamiento de los electrones dentro del metal.

Consideremos un sólido lineal de parámetro de la red “”.

Representación de la estructura de bandas para electrones completamente libres.

Pero por la aproximación del electrón libre tenemos:

El vector base en la red reciproca es A, que mide 2/a. Las perpendiculares que los bisecanforman los límites de la primera zona de Brillouin y están situados a K=±/a.Por la conducción de Bragg para la difracción de una onda de vector de onda K es una

dimensión:

K´ K


7/14


8/14

En K=±/a las funciones de onda son ondas estacionarias para cada reflexión de Bragg seinvierte la dirección de propagación. Tenemos una onda que se propaga a la derecha y otra

hacia la izquierda y son:

e/ y

e−/ donde podemos formar dos ondas estacionarias

diferentes:

Ѱ − Ѱ 2/+/ )

Ѱ 2cos Ѱ e e− Ѱ 2 − )Ѱ 2isenπxa

Por lo tanto se coloca (+) o según cambien o no de signo al sustituir x por – x.Estas dos ondas estacionarias acumulan electrones en zonas distintas con respecto a los iones

(porque tienen diferente valor de energía potencial). Esto es el origen de las bandas de

energía.

En mecánica cuántica, para una onda

la densidad de probabilidad es:

|Ѱ| − . 1 Esto significaba que la densidad de carga es constante.

Pero consideremos la estacionaria Ѱ tenemos:

|Ѱ|

Ѱ∗.Ѱ 2 c o s π .2cosπ cosπ


9/14

Como observamos no es 1, entonces la densidad de carga no es constante, sino que acumula

carga negativa cerca de los iones positivos, donde la energía potencial es pequeña.

Para Ѱ analogamente es sen , donde acumula carga en la región entre losiones y los núcleos iónicos, aumentando la energía potencial con respecto a la que ve una

onda de propagación.

Entonces las energías potenciales de y difieren en una cantidad que es .

Esto es un alcance a lo que se quiere lograr, como una interpretación física; porque en si

tenemos que dar solución a la ecuación de Schrödinger y hallar sus correspondientes niveles

de energía y la forma de su función de onda.


10/14

2. LA APROXIMACIÓN DEL ENLACE FUERTE

En la aproximación del electrón libre, la energía potencial del electrón se supuso pequeña encomparación con su energía total. Dando como resultado la aparición de bandas de energía

prohibidas y permitidas con una anchura de banda prohibida más pequeñas que la anchura

de las bandas permitidas. La aproximación del enlace firme utiliza un argumento contrario alantes mencionado: la energía potencial del electrón representa casi toda la energía y las

bandas de energía permitidas son menos anchas que las bandas prohibidas. En el modelo del

electrón libre se supone que los átomos del cristal están tan cerca unos de otros que las

funciones de onda de los electrones de los átomos circunvecinos se superponen en gran parte,lo que da como resultado una fuerte interacción entre los átomos cercanos, y los estados de

energía permisibles del cristal resultante tiene muy poco parecido con las funciones de onda

atómicas de los átomos individuales de los que se compone el cristal. A pesar de esto, laaproximación de enlace firme se basa en la suposición de que los átomos del cristal están tan

separados que la función de onda de los electrones asociados con átomos vecinos se

superponen sólo en menor grado. La interacción entre átomos cercanos será relativamente

débil en este caso, y las funciones de onda y los niveles de energía permisibles de todo elcristal estarán íntimamente relacionados con las funciones de onda y los niveles de energía

de los átomos aislados. La utilización de estas dos aproximaciones presentadas, dependen

del material de que se trate como puede darse el caso que ninguna de las dos aproximaciones

nos sea útil para una sustancia en particular.

Las funciones de onda del cristal en las aproximaciones del enlace firme se basan en lasfunciones de onda de átomos aislados. Si la función de potencial relacionada con un átomo

aislado es

, entonces la solución de la ecuación de Schrödinger

ℋ ∇ ℏ ℰ ) 0 (1)Representa las funciones de onda electrónicas del átomo. Si la función de onda del estado

base no está degenerada y corresponde a una energía de estado base . Si un gran númerode átomos de este tipo se combinan en una red periódica, de tal manera que el valor del potencial en las regiones que rodean a cada átomo individual en donde la función de onda

del estado base es grande, no se ve muy afectada por la presencia de los átomos vecinos, la

función de onda del cristal se puede escribir como una superposición lineal de funciones de

onda

∑ (2)La suma se toma sobre todos los átomos del cristal que, para mayor facilidad, se suponetienen una extensión finita. Puesto que todos los átomos del cristal son equivalentes, todos

los coeficientes deben tener el mismo valor absoluto; por esto pueden deber expresarsede la forma en donde y son cantidades reales. Por la misma razón, la diferenciade fase entre cada par de átomos cercanos a lo largo de cualquier eje cristalino, debe ser lamisma. Esto conduce a la selección del factor de fase. Si las funciones están normalizadas


11/14

de tal manera que su integral tomada sobre todo el espacio es la unidad y, si se desea mantener

esta normalización, a debe ser igual a1 y (2) toma la forma

∙

3 Estas funciones de onda satisfacen la ecuación de Schrödinger para todo el cristal. Con la

condicion de que se haga caso omiso de la pequeña superposición de las funciones de ondas

atómicas centrados en diferentes puntos de la red, las propiedades de normalización de las

funciones y la definición de (3) requieren que ∫ ∗ , es decir, el número deátomos del cristal. Si se usa este hecho y se sustituye el valor dado por (3) en lugar de ∗ obtenemos la energía

1 { ∙−

∗ }

4Debido a la periodicidad del cristal y a causa de la suma sobre todos los valores de , cadatérmino de la suma sobre , da el mismo valor. El valor de la suma sobre , es el valor decualquier término de la suma multiplicado por el número de términos de la suma que es N,

(4) se puede reescribir como

−∙ ∗ 5 En donde la suma se toma sobre todos los átomos del cristal. Sin embargo, puesto que la

función de onda desciende casi siempre de un modo muy rápido con respecto a ladistancia y, puesto que las magnitudes de las integrales de (5) están gobernadas

esencialmente por la cantidad de superposición entre dos funciones de onda centradas enátomos separados por distancias , las contribuciones de los términos de la suma se reducencon gran rapidez conforme aumenta . Por tanto, se tiene como buena aproximación alconsiderar solo términos del vecino más cercano. De acuerdo con esto, se hará caso omiso

de todos los términos que se relacionan con las contribuciones que van más allá de la del

vecino más cercano en (5). Se supone también que las funciones de onda sonesféricamente simétricas; en estas condiciones, todas las aportaciones del vecino más cercano

serán idénticas. Así, este método se reduce a que la configuración electrónica del estado base

en el átomo aislado es la de un estado como es el caso de los metales alcalinos, aunque laextensión a los estados p es lo suficientemente directa y puede lograrse sin problema.

Para el caso m=0, la integral de (5) se convierte en

∗ 6 Mientras que para los átomos más cercanos

∗ 7


12/14

En donde es un vector que relaciona al átomo en el origen con el átomo vecino máscercano. La ecuación (5) se puede escribir como

−∙

8 En donde la suma solo considera los átomos más cercanos. En el caso de un cristal cubico

simple, las componentes del vector son ±,0,0, 0,±,0,0,0,± (9)En donde es la constante de red. La ecuación (8) queda 2cos c o s c o s (10)Es evidente que existe un rango de valores de energía permisibles correspondientes a varios

valores que pueden tener , . Los estados permisibles forman una banda de energíamás o menos en la misma forma en que sucede con las aproximaciones del electrón libre. El

valor mínimo de la energía esta en 0. En el origen de una gráfica decoordenadas ortogonales , , en el espacio . Los valores máximos se producen enlos vértices de un cubo dentro del espacio cuyas coordenadas son ± ± ± en dondetodas las permutaciones de los signos + y – entre las tres coordenadas se toman para generarocho puntos de los vértices. En estos sitios cada termino de coseno toma el valor de 1. Ladiferencia de energía entre los puntos de energía máxima y mínima es, de acuerdo con (10),

12. Esta es la anchura de la banda de energía correspondiente al estado del átomo aislado.Si los átomos vecinos más cercanos están muy separados, la superposición de las funciones

de onda, como lo expresa el producto en la integral (7), se hace muy pequeñocomo sucede con el valor de

. En el límite donde las distancias atómicas se hacen grandes,

las bandas de energía permisibles se hacen angostas acercándose a un solo valor de energíadiscreta, correspondiendo al nivel energético del estado atómico conforme la separaciónse hace infinita.Para un electrón que se mueve en la dirección , 0. Si la cantidad de movimientoes lo suficientemente pequeña de tal manera que ≪ ⁄ , el electrón estará cerca de la base de la banda de energía. En estas condiciones, al aproximar el cos en (10) mediantelos dos primeros términos de su expansión de serie (10) se convierte en

2 3 (11)Esto muestra que la relación en función de es parabólica y que, por tanto, el electrón secomporta como si fuera libre.La aproximación del Enlace Fuerte (Tight-Binding) se basa en que la energía potencial del

electrón en comparación con su energía total es grande, esto es, se considera la energía que

no es potencial muy pequeña, en este caso, se encuentra que las bandas de energía permitidasson angostas en comparación con las bandas prohibidas. Este método se basa en la suposición

que los átomos del cristal se encuentran tan separados que la función de onda de los


13/14

electrones asociados con los átomos vecinos se superponen sólo en menor grado, lainteracción entre átomos que se encuentran cerca será relativamente débil, y las funciones de

onda y los niveles de energía permisibles de todo el cristal estarán íntimamente relacionados

con las funciones de onda y los niveles de energía de los átomos aislados.

En el método Tight-Binding los electrones se describen por una función de onda

, que

será construida como una combinación de funciones de Bloch, las funciones periódicas seránlos orbitales atómicos (de átomos aislados). Para encontrar los coeficientes de las funcionesde Bloch y las relaciones de dispersión se calculan usando la ecuación de Schrödinger

independiente del tiempo, la combinación lineal se extenderá a todos los átomos del cristal

y al número de orbitales que se deseen incluir. Los electrones en la coraza no se toman en

cuenta debido a que se encuentran en un potencial muy profundo, y estos no contribuyen engran medida a las propiedades del material. El método Tight-Binding consiste en hacer una

combinación lineal de orbitales atómicos (CLOA) localizado en los átomos del cristal. Este

método sugiere aproximar la solución del problema del potencial periódico del cristal de la

manera siguiente: tomamos un conjunto finito de orbitales atómicos en cada átomo contenidoen la celda unitaria, comenzando desde el estado atómico más bajo hasta el nivel de

ocupación más alto o uno superior; a partir de cada uno de los orbitales atómicosconstruiremos sumas de Bloch.

La suma se extiende sobre los átomos que se encuentran en posiciones equivalentes en todaslas celdas unitarias del cristal. Podemos proponer funciones de onda por combinaciones

lineales de todas las sumas de Bloch, excepto los valores especiales de k donde estasfunciones son cero. Estas sumas son tomadas como las componentes de la matriz de energía,

con lo cual tenemos un problema secular cuyo orden es igual al número total de orbitalesatómicos involucrados. Se toman en cuenta interacciones entre orbitales atómicos de todos

los átomos del cristal. En el caso de interacción a primeros vecinos usando la base

,,, los resultados son notablemente diferentes a la realidad, para la interacción a

segundos vecinos, los resultados son mejores pero el número de parámetros se incrementaraa 23, al igual que el tiempo de cálculo. Lo que es más utilizado es aumentar la base de3 3 ∗ ,,,,∗. ∗ es el orbital atómico excitado, los estadoselectrónicos conservan el carácter . Al usar esta aproximación se obtienen resultadossatisfactorios con un número de parámetros de 13. Para la deducción de la existencia de

bandas de energía en los sólidos a partir de una versión elemental de la aproximación de

fuerte enlace, consiste básicamente en suponer que las funciones de onda de los electrones

en los átomos que forman el sólido apenas se extiende más allá de los límites de cada uno de

estos átomos.

En el marco de esta aproximación, una manera sencilla de visualizar el efecto del potencial

periódico en la formación de las bandas de energía consiste en determinar los nivelesenergéticos de los electrones en un sólido partiendo de los niveles energéticos de los átomos

individuales y observando cómo varían estos niveles cuando los átomos se aproximan lo

suficientemente como para formar un sólido.

Una conclusión similar a la anterior puede obtenerse también desde otro punto de vista. En

una hilera de átomos, cada uno con un electrón fuertemente ligado, los niveles energéticos

cambian según se varía la distancia entre átomos vecinos. Si se alejan mucho, los niveles deenergía para cada electrón serán los de los átomos individuales, aunque cada nivel


14/14

corresponde realmente a un número de estados diferentes, igual al número de átomos en lahilera (se dice que hay degeneración). Pero si los átomos se acercan suficientemente, las

funciones de onda individuales solapan, dando lugar a estados electrónicos extendidos en

toda la red cuyos niveles de energía tomarán valores ligeramente distintos de loscorrespondientes al átomo individual (se dice que se ha levantado la degeneración). Por

consiguiente, el espectro discreto de estado energético original se convierte en un número de bandas cuasi continuas separadas por gaps de energía. Cuando están suficientementeseparados, las funciones de onda de los electrones de átomos vecinos no solapan y hay

degeneración de los niveles, pero al ir juntándose hay mayor solapamiento de las funciones

de onda, se levanta la degeneración y cada nivel da lugar a una banda. Esta aproximación puede ser utilizada principalmente para las bandas originadas a partir de los niveles

electrónicos profundos, con energías sensiblemente inferiores a la altura de la barrera de

potencial creada por cada uno de los iones de la red cristalina. Para estos niveles de energía,

la función de onda de un electrón en un ion y la de su vecino prácticamente no solapan y la

función de onda electrónica extendida a todo el cristal se puede hallar como una

superposición de las funciones de onda individuales de cada ion

SOLUCIÓN TAREA 4

Documents

Transcript of SOLUCIÓN TAREA 4